高等數(shù)學下冊D122可分離.ppt

,轉(zhuǎn)化,可分離變量微分方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第二節(jié),解分離變量方程,可分離變量方程,第十二章,分離變量方程的解法:,設(shè) y (x) 是方程的解,兩邊積分, 得,則有恒等式,當G(y) 與F(x) 可微且 G(y) g(y)0 時,說明由確定的隱函數(shù) y(x) 是的解.,則有,稱為方程的隱式通解, 或通積分.,同樣,當F(x),= f (x)0 時,上述過程可逆,由確定的隱函數(shù) x(y) 也是的解.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分離變量得,兩邊積分,得,即,( C 為任意常數(shù) ),或,說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、,減解.,( 此式含分離變量時丟失的解 y = 0 ),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 解初值問題,解: 分離變量得,兩邊積分得,即,由初始條件得 C = 1,( C 為任意常數(shù) ),故所求特解為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 求下述微分方程的通解:,解: 令,則,故有,即,解得,( C 為任意常數(shù) ),所求通解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,練習:,解法 1 分離變量,即,( C 0 ),解法 2,故有,積分,( C 為任意常數(shù) ),所求通解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4.,子的含量 M 成正比,求在,衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時間 t 的變化規(guī)律.,解: 根據(jù)題意, 有,(初始條件),對方程分離變量,即,利用初始條件, 得,故所求鈾的變化規(guī)律為,然后積分:,已知 t = 0 時鈾的含量為,已知放射性元素鈾的衰變速度與當時未衰變原,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5.,成正比,求,解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程,初始條件為,對方程分離變量,然后積分 :,得,利用初始條件, 得,代入上式后化簡, 得特解,并設(shè)降落傘離開跳傘塔時( t = 0 ) 速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度,降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系.,t 足夠大時,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6. 有高 1m 的半球形容器, 水從它的底部小孔流出,開始時容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過程中, 容器里水面的高度 h 隨時間 t 的變,解: 由水力學知, 水從孔口流出的流量為,即,求水,小孔橫截面積,化規(guī)律.,設(shè)在,內(nèi)水面高度由 h 降到,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,對應(yīng)下降體積,因此得微分方程定解問題:,將方程分離變量:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,兩端積分, 得,利用初始條件, 得,因此容器內(nèi)水面高度 h 與時間 t 有下列關(guān)系:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 微分方程的概念,微分方程;,定解條件;,2. 可分離變量方程的求解方法:,說明: 通解不一定是方程的全部解 .,有解,后者是通解 , 但不包含前一個解 .,例如, 方程,分離變量后積分;,根據(jù)定解條件定常數(shù) .,解;,階;,通解;,特解,y = x 及 y = C,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.,常用的方法:,1) 根據(jù)幾何關(guān)系列方程 ( 如: P263,5(2) ),2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 ),3) 根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程 ( 如: 例6 ),(2) 利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定定解條件.,(3) 求通解, 并根據(jù)定解條件確定特解.,3. 解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習,求下列方程的通解 :,提示:,(1) 分離變量,(2) 方程變形為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè),P 269 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6,第三節(jié) 目錄