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文檔簡介

,5 對坐標的曲面積分,一、基本概念,觀察以下曲面的側(假設曲面是光滑的),曲面分上側和下側,曲面分內側和外側,曲面的分類:,1.雙側曲面;,2.單側曲面.,典型雙側曲面,典型單側曲面: 莫比烏斯帶,播放,曲面法向量的指向決定曲面的側，一側為正，一,側為負。選定了側的曲面稱為有向曲面。,面S , S 在xOy面上的投影(S)xy為,注：1. 求投影時，要求S上各點的法向量,與z軸的夾角均為銳角或均為鈍角。,2. 當S為平面塊時, 它在xOy面的投影為,SS cos,3. 可同樣定義S 在yOz面上的投影(S)yz與S 在zOx面上的投影(S)zx,1. 分割 把曲面 分成 n小塊Si (Si同時也代表 第 i 小塊曲面的面積)。,法向量為 ni ，,在Si上任取一點(i , i , i ) ,2. 近似,3. 求和,通過 流向指定側的流量,4.取極限 0取極限得到流量的精確值。,二、對坐標的曲面積分的定義及性質,定義 設 為光滑的有向曲面, 函數(shù)R(x, y, z)在 上,有界。把 任意分成 n 塊小曲面Si(Si同時又表示第 i 塊小曲面的面積),Si在xOy面上的投影記為(Si)xy ,任取(i , i , i)Si 。如果當各小塊曲面的直徑的最大值 0 時，極限,被積函數(shù),積分曲面,可類似定義,，即,存在條件:,習慣上記:,性質:,三、計算法,設積分曲面 是由方程z=z(x , y)所給出的曲面上側, 在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy ,函數(shù)z=z(x , y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導數(shù),被積函數(shù)R(x, y, z)在上連續(xù).,說明：1. 對坐標的曲面積分必須注意曲面所取的側。,2. 上述結論只有當積分曲面上每點的法向量 n 與,z(x、y)軸的夾角均為銳角或均為鈍角時才成立。,3. 若 在xOy面的投影為曲線，則,若 在yOz面或zOx面的投影為曲線，有類似的結論。,解,四、兩類曲面積分之間的聯(lián)系,結論：,的方向角。,向量形式,解,原式,= 8 。,例3 計算,解,其中 是球面x2+y2+z2=R2的外側。,解法2 由對稱性，,習題(P167)：3，4,莫比烏斯帶,典型單側曲面:,典型單側曲面:,莫比烏斯帶,典型單側曲面:,莫比烏斯帶,典型單側曲面:,莫比烏斯帶,典型單側曲面:,莫比烏斯帶,典型單側曲面:,莫比烏斯帶,典型單側曲面:,莫比烏斯帶,典型單側曲面:,莫比烏斯帶,典型單側曲面:,莫比烏斯帶,典型單

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