2018版高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程2.3.1雙曲線及其標準方程學案新人教A版.doc

2.3.1雙曲線及其標準方程學習目標1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程.2.掌握雙曲線的標準方程及其求法.3.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的問題.知識點一雙曲線的定義思考若取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在點F1，F(xiàn)2上，把筆尖放在點M處，拉開或閉攏拉鏈，筆尖經(jīng)過的點可畫出一條曲線，那么曲線上的點應滿足怎樣的幾何條件？答案如圖，曲線上的點滿足條件：|MF1|MF2|常數(shù)；如果改變一下筆尖位置，使|MF2|MF1|常數(shù)，可得到另一條曲線.梳理(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距；(2)關于“小于|F1F2|”：若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”，其余條件不變，則動點軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線(包括端點)；若將“小于|F1F2|”改為“大于|F1F2|”，其余條件不變，則動點軌跡不存在.(3)若將“絕對值”去掉，其余條件不變，則動點的軌跡只有雙曲線的一支.(4)若常數(shù)為零，其余條件不變，則點的軌跡是線段F1F2的中垂線.知識點二雙曲線的標準方程思考1雙曲線的標準方程的推導過程是什么？答案(1)建系：以直線F1F2為x軸，F(xiàn)1F2的中點為原點建立平面直角坐標系.(2)設點：設M(x，y)是雙曲線上任意一點，且雙曲線的焦點坐標為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0).(3)列式：由|MF1|MF2|2a，可得2a.(4)化簡：移項，平方后可得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2).令c2a2b2，得雙曲線的標準方程為1(a0，b0).(5)檢驗：從上述過程可以看到，雙曲線上任意一點的坐標都滿足方程；以方程的解(x，y)為坐標的點到雙曲線兩個焦點(c，0)，(c，0)的距離之差的絕對值為2a，即以方程的解為坐標的點都在雙曲線上，這樣，就把方程叫做雙曲線的標準方程.(此步驟可省略)思考2雙曲線中a，b，c的關系如何？與橢圓中a，b，c的關系有何不同？答案雙曲線標準方程中的兩個參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a與b的大小關系不確定；而在橢圓中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c與b大小不確定.梳理(1)兩種形式的標準方程焦點所在的坐標軸x軸y軸標準方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形焦點坐標F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關系式a2b2c2(2)焦點F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標準方程的類型.“焦點跟著正項走”，若x2項的系數(shù)為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數(shù)為正，那么焦點在y軸上.(3)雙曲線的焦點位置不確定時可設其標準方程為Ax2By21(AB0).(4)標準方程中的兩個參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里的b2c2a2與橢圓中的b2a2c2相區(qū)別.類型一雙曲線的定義及應用命題角度1雙曲線中焦點三角形面積問題例1已知雙曲線1的左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2，若雙曲線上一點P使得F1PF260，求F1PF2的面積.解由1，得a3，b4，c5.由定義和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，所以|PF1|PF2|sinF1PF26416.引申探究本例中若F1PF290，其他條件不變，求F1PF2的面積.解由雙曲線方程知a3，b4，c5，由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a6，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，在RtF1PF2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100，將代入得|PF1|PF2|32，所以|PF1|PF2|16.反思與感悟求雙曲線中焦點三角形面積的方法(1)方法一：根據(jù)雙曲線的定義求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關系式；通過配方，利用整體的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式|PF1|PF2|sinF1PF2求得面積.(2)方法二：利用公式|F1F2|yP|(yP為P點的縱坐標)求得面積.特別提醒：利用雙曲線的定義解決與焦點有關的問題，一是要注意定義條件|PF1|PF2|2a的變形使用，特別是與|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|間的關系.跟蹤訓練1如圖所示，已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1的左，右焦點，點M為雙曲線上一點，并且F1MF2，求MF1F2的面積.解在MF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos .|F1F2|24c2，|MF1|2|MF2|2(|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|4a22|MF1|MF2|，式化為4c24a22|MF1|MF2|(1cos )，|MF1|MF2|，|MF1|MF2|sin .命題角度2利用雙曲線定義求其標準方程例2(1)已知定點F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，在平面內(nèi)滿足下列條件的動點P的軌跡中為雙曲線的是()A.|PF1|PF2|3B.|PF1|PF2|4C.|PF1|PF2|5D.|PF1|2|PF2|24(2)已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_.答案(1)A(2)x21(x1)解析(1)當|PF1|PF2|3時，|PF1|PF2|30).判斷：若2a2c|F1F2|，滿足定義，則動點M 的軌跡就是雙曲線，且2c|F1F2|，b2c2a2，進而求出相應a，b，c.根據(jù)F1，F(xiàn)2所在的坐標軸寫出雙曲線的標準方程.跟蹤訓練2下列命題是真命題的是_.(將所有真命題的序號都填上)已知定點F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，則滿足|PF1|PF2|的點P的軌跡為雙曲線；已知定點F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，則滿足|PF1|PF2|4的點P的軌跡為兩條射線；到定點F1(3，0)，F(xiàn)2(3，0)距離之差的絕對值等于7的點P的軌跡為雙曲線；若點P到定點F1(4，0)，F(xiàn)2(4，0)的距離的差的絕對值等于點M(1，2)到點N(3，1)的距離，則點P的軌跡為雙曲線.答案解析6，故點P的軌跡不存在；點M(1，2)到點N(3，1)的距離為50，b0)，則解得雙曲線的標準方程為1.(2)方法一設所求雙曲線方程為1(a0，b0)，由題意易求得c2.又雙曲線過點(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求雙曲線方程為1.方法二設雙曲線方程為1(4k16)，將點(3，2)代入得k4，所求雙曲線方程為1.反思與感悟待定系數(shù)法求方程的步驟(1)定型：即確定雙曲線的焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸.(2)設方程：根據(jù)焦點位置設出相應的標準方程的形式，若不知道焦點的位置，則進行討論，或設雙曲線的方程為Ax2By21(AB0，b0)共焦點的雙曲線的標準方程可設為1(b2k0，b0)，c，b2c2a26a2.由題意知1，1，解得a25或a230(舍).b21.雙曲線的標準方程為y21.(2)設雙曲線方程為mx2ny21(mn0，b0)，則a2b220.又雙曲線過點(3，)，1.a2202，b22.所求雙曲線的標準方程為1.類型三雙曲線定義的綜合運用例4已知橢圓1與雙曲線1有交點P，且有公共的焦點，且F1PF22，求證：tan .證明如圖所示，設|PF1|r1，|PF2|r2，|F1F2|2c，則在PF1F2中，對于雙曲線有|r2r1|2m，cos 21，1cos 2.sin .則在PF1F2中，對于橢圓有r1r22a，cos 21，1cos 2，cos ，tan .反思與感悟(1)結合雙曲線的定義，解決綜合問題，諸如：實際應用題，焦點三角形問題等，要充分利用雙曲線的定義、正弦定理、余弦定理等，利用化歸思想，重點考查綜合運用能力與求解能力.(2)雙曲線與橢圓的比較如下表：曲線橢圓雙曲線定義|PF1|PF2|2a(|F1F2|2c，2a2c)|PF1|PF2|2a(|F1F2|2c，2ab0)1或1(a0，b0)圖形特征封閉的連續(xù)曲線分兩支，不封閉，不連續(xù)根據(jù)標準方程確定a，b的方法以大小分a，b(如1中，94，則a29，b24)以正負分a，b(如1中，40，9b0)具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關于原點對稱的兩點，點P是橢圓C上任意一點，設直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值.試對雙曲線C：1寫出具有類似特殊的性質(zhì)，并加以 證明.解類似的性質(zhì)如下：若M，N為雙曲線1上關于原點對稱的兩點，點P是雙曲線上任意一點，設直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值.其證明過程如下：設P(x，y)，M(m，n)，則N(m，n)，其中1，即n2(m2a2).kPM，kPN.又1，即y2(x2a2)，y2n2(x2m2).kPMkPN.故kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值.1.若雙曲線E：1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|3，則|PF2|等于()A.11 B.9 C.5 D.3答案B解析由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a6，即|3|PF2|6，解得|PF2|9(負值舍去)，故選B.2.設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x21的左，右焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|4|PF2|，則PF1F2的面積等于()A.4 B.8 C.24 D.48答案C解析由題意得解得又由|F1F2|10可得PF1F2是直角三角形，則|PF1|PF2|24.3.已知圓C：x2y26x4y80，以圓C與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則所得雙曲線的標準方程為_.答案1解析令x0，得y24y80，方程無解，即該圓與y軸無交點.令y0，得x26x80，解得x2或x4，則符合條件的雙曲線中a2，c4，b2c2a216412，且焦點在x軸上，雙曲線的方程為1.4.已知雙曲線2x2y2k(k0)的焦距為6，則k的值為_.答案6或6解析由題易知，k0.當k0時，方程化為1，c2kk，26，解得k6.當k0時，方程化為1，c2k，26，解得k6.綜上，k6或k6.5.已知雙曲線1上一點M的橫坐標為5，則點M到左焦點的距離是_.答案解析由于雙曲線1的右焦點為F(5，0)，將xM5，代入雙曲線方程可得|yM|，即為點M到右焦點的距離，由雙曲線的定義知M到左焦點的距離為23.1.雙曲線定義的理解(1)定義中距離的差要加絕對值，否則只為雙曲線的一支.設F1，F(xiàn)2表示雙曲線的左，右焦點，若|MF1|MF2|2a，則點M在右支上；若|MF2|MF1|2a，則點M在左支上.(2)雙曲線定義的雙向運用：若|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|)，則動點M的軌跡為雙曲線.若動點M在雙曲線上，則|MF1|MF2|2a.2.求雙曲線標準方程的步驟(1)定位：是指確定與坐標系的相對位置，在標準方程的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以確定方程的形式.(2)定量：是指確定a2，b2的數(shù)值，常由條件列方程組求解.特別提醒：若焦點的位置不明確，應注意分類討論，也可以設雙曲線方程為mx2ny21的形式，為簡單起見，常標明條件mn5”是“方程1表示雙曲線”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析當k5時，方程表示雙曲線；反之，當方程表示雙曲線時，k5或k2.故選A.3.已知雙曲線1的一個焦點是(0，2)，則實數(shù)m的值是()A.1 B.1 C. D.答案B解析由焦點坐標知，焦點在y軸上，m0，b0)，則a2b25.線段PF1的中點的坐標為(0，2)，點P的坐標為(，4)，將其代入雙曲線的方程，得1.由解得a21，b24，雙曲線的方程為x21.5.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左，右焦點，點P在C上，|PF1|2|PF2|，則cosF1PF2等于()A. B. C. D.答案C解析由雙曲線定義知，|PF1|PF2|2， 又|PF1|2|PF2|，|PF2|2，|PF1|4，|F1F2|2c2 4.cosF1PF2.6.已知雙曲線1，直線l過其左焦點F1，交雙曲線左支于A，B兩點，且|AB|4，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點，ABF2的周長為20，則m的值為()A.8 B.9 C.16 D.20答案B解析ABF2的周長|AB|AF2|BF2|20，|AB|4，|AF2|BF2|16.根據(jù)雙曲線定義知，2a|AF2|AF1|BF2|BF1|，4a(|AF2|BF2|)(|AF1|BF1|)16412，a3，ma29.故選B.二、填空題7.已知雙曲線1的一個焦點坐標為(3，0)，則m_.答案5解析因為c3，故解得m5.8.與圓A：(x5)2y249和圓B：(x5)2y21都外切的圓的圓心P的軌跡方程為_.答案1(x0)解析設動圓P的半徑為R，且P(x，y)，則|PA|R7，|PB|R1，|PA|PB|60).9.已知雙曲線1上一點P到F(3，0)的距離為6，O為坐標原點，若()，則|的值為_.答案1或5解析由題意得Q為PF的中點，設左焦點為F，其坐標為(3，0)，|OQ|PF|.若P在雙曲線的左支上，則|OQ|PF|(|PF|2a)(622)1；若P在雙曲線的右支上，則|OQ|PF|(|PF|2a)(6