彈性力學(xué)與有限元法.ppt

2019/7/1,1,第1節(jié) 概 述,有限元方法起源于彈性力學(xué)問題求解，最先發(fā)展的是平面三角形位移元。經(jīng)過半個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，發(fā)展了一批具有不同精度的單元，也是有限元單元技術(shù)發(fā)展最成熟的領(lǐng)域，應(yīng)用最成功的領(lǐng)域是土木工程結(jié)構(gòu)靜動(dòng)力學(xué)分析中。在彈性力學(xué)問題位移元方法中，有限元法一般包括以下幾個(gè)步驟：,概 述,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,2,第1節(jié) 概 述,概述,Institute of Mechanical Engineering and Automation,整個(gè)求解區(qū)域的未知場(chǎng)函數(shù)可由各個(gè)單元節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值以及插值函數(shù)近似表示。這樣一來，在一個(gè)問題的有限元分析中，未知場(chǎng)函數(shù)的有限個(gè)節(jié)點(diǎn)值就成為待求全部的未知量，從而使一個(gè)連續(xù)體的無限自由度問題簡(jiǎn)化為有限自由度問題。,將連續(xù)體離散化，即將連續(xù)求解域離散為一組由虛擬的點(diǎn)、線、面構(gòu)成的有限個(gè)“單元”的組合體，這樣的組合體能夠解析地模擬或逼近求解區(qū)域。 假設(shè)上述“單元”由位于單元邊界上的節(jié)點(diǎn)相互連接在一起，以這些節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。 利用節(jié)點(diǎn)未知量，選擇一組插值函數(shù)唯一地定義每一個(gè)單元內(nèi)相應(yīng)物理場(chǎng)(位移、應(yīng)力、應(yīng)變等)的分布，即選擇單元位移模式或單元列式。 將各種類型的載荷變換為只作用在節(jié)點(diǎn)上的等效載荷，建立基本未知量與等效節(jié)點(diǎn)載荷之間的基本方程。 求解基本方程，得到基本未知量的解答。,2019/7/1,3,Institute of Mechanical Engineering and Automation,彈性力學(xué)的研究?jī)?nèi)容 彈性體在外部因素（外力、溫度等）作用下而產(chǎn)生的應(yīng)力和應(yīng)變，以及與應(yīng)變有關(guān)的位移。,第2節(jié) 彈性力學(xué)簡(jiǎn)介,2019/7/1,4, 彈性力學(xué)假設(shè) ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,連續(xù)性假設(shè) 完全彈性假設(shè) 均勻性和各向同性假設(shè) 小變形、小轉(zhuǎn)動(dòng)假設(shè) 自然狀態(tài)假設(shè)（無初始應(yīng)力）,彈性力學(xué)與我們十分熟悉的材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域，但彈性力學(xué)比材料力學(xué)，研究的對(duì)象更普遍，分析的方法更嚴(yán)密，研究的結(jié)果更精確，因而應(yīng)用的范圍更廣泛。 但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)。由于研究對(duì)象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解算問題時(shí)，往往需要冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。但為了簡(jiǎn)化計(jì)算，便于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定：,2019/7/1,5,基本定律,牛頓定律 幾何連續(xù)性定律 物性定律 應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系 ( 物理方程 ),動(dòng)量平衡原理 平衡(運(yùn)動(dòng))微分方程 動(dòng)量矩平衡原理 應(yīng)力張量的對(duì)稱性 作用與反作用定律 , 位移和變形的關(guān)系 ( 幾何方程 ) 位移邊界條件,2019/7/1,6,位移,和,應(yīng)變,和,應(yīng)力,和,1)、基本力學(xué)量：,彈性力學(xué)中的物理量,2019/7/1,7, 載 荷 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,作用于彈性體的外力(或稱荷載)可能有兩種： 表面力，是分布于物體表面的力，如靜水壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。單位面積上的表面力通常分解為平行于座標(biāo)軸的三個(gè)成分，用記號(hào) 來表示。 體力，是分布于物體體積內(nèi)的外力，如重力、磁力、慣性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三個(gè)成分，用記號(hào)X、Y、Z表示。 彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。,2019/7/1,8, 應(yīng)力的概念 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,9, 應(yīng)力的概念 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,為了表明這個(gè)正應(yīng)力的作用面和作用方向，加上一個(gè)角碼，例如，正應(yīng)力x是作用在垂直于x軸的面上同時(shí)也沿著x軸方向作用的。,正應(yīng)力,加上兩個(gè)角碼，前一個(gè)角碼表明作用面垂直于哪一個(gè)坐標(biāo)軸，后一個(gè)角碼表明作用方向沿著哪一個(gè)坐標(biāo)軸。例如，剪應(yīng)力xy是作用在垂直于x軸的面上而沿著y軸方向作用的。,剪應(yīng)力,2019/7/1,10, 應(yīng)力的概念 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,應(yīng)力的正負(fù) 如果某一個(gè)面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。 相反，如果某一個(gè)面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。,剪應(yīng)力互等定律 作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的。(大小相等，正負(fù)號(hào)也相同)。因此剪應(yīng)力記號(hào)的兩個(gè)角碼可以對(duì)調(diào)。即：,2019/7/1,11,應(yīng)力的概念,Institute of Mechanical Engineering and Automation,可以證明：如果 這六個(gè)量在P點(diǎn)是已知的，就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，它們就稱為在該點(diǎn)的應(yīng)力分量。 一般說來，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個(gè)應(yīng)力分量并不是常量，而是坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。 六個(gè)應(yīng)力分量的總體，可以用一個(gè)列矩陣 來表示：,2019/7/1,12, 位 移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,彈性體在受外力以后，還將發(fā)生變形。物體的變形狀態(tài)，一般有兩種方式來描述： 1、給出各點(diǎn)的位移；2、給出各體素的變形。 彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移，用此位移在x、y、z三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影u、v、w來表示。以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。這三個(gè)投影稱為位移分量。一般情況下，彈性體受力以后，各點(diǎn)的位移并不是定值，而是坐標(biāo)的函數(shù)。,2019/7/1,13, 應(yīng) 變 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,14,其中：X、Y、Z為三個(gè)方向的均勻分布體力,平衡方程（外力與應(yīng)力的關(guān)系）,彈性力學(xué)的基本方程,2019/7/1,15, 幾何方程、剛體位移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,16, 幾何方程、剛體位移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,17, 位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,18, 位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,19, 位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,可以證明，如果彈性體內(nèi)任一點(diǎn)，已知這三個(gè)垂直方向的正應(yīng)變及其相應(yīng)的三個(gè)剪應(yīng)變，則該點(diǎn)任意方向的正應(yīng)變和任意二垂直線間的剪應(yīng)變均可求出，當(dāng)然也可求出它的最大和最小正應(yīng)變。因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)變分量，它們就稱為該點(diǎn)的應(yīng)變分量。 六個(gè)應(yīng)變分量的總體，可以用一個(gè)列矩陣 來表示：,2019/7/1,20, 位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,21, 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,22, 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,23, 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,2019/7/1,24, 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,將應(yīng)變分量表為應(yīng)力分量的函數(shù)，可稱為物理方程的第一種形式。若將式(11)改寫成應(yīng)力分量表為應(yīng)變分量的函數(shù)的形式，并將式(10)代入，可得物理方程的第二種形式：,2019/7/1,25, 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,式(12)可用矩陣的形式表示如下：,式(13)可簡(jiǎn)寫為由彈性體性質(zhì)決定的物理方程：,2019/7/1,26, 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程 ,Institute of Mechanical Engineering and Automation,D稱為彈性矩陣，它完全決定于彈性常數(shù)E和,2019/7/1,27,彈性力學(xué)的基本方法,從取微元體入手，綜合考慮靜力（或運(yùn)動(dòng)）、幾何、物理三方面條件，得出其基本微分方程，再進(jìn)行求解，最后利用邊界條件確定解中的常數(shù)。,按照方程中保留的未知量，求解方法可分為,應(yīng)力法（以應(yīng)力為未知量） 位移法（以位移為未知量） 混合法（同時(shí)以應(yīng)力和位移為未知量）,精確解法：采用數(shù)學(xué)分析的手段求得精確解 近似解法：最有效的是基于能量原理的變分方法 數(shù)值方法：有限元法，有限差分法，邊界元法等,2019/7/1,28,Institute of Mechanical Engineering and Automation,總結(jié)-彈性力學(xué)基本方程（分量形式）,一、平衡方程,二、幾何方程,三、本構(gòu)關(guān)系,四、協(xié)調(diào)方程,五、邊界條件(應(yīng)力,位移),位移,應(yīng)力,2019/7/1,29