FORTRAN數(shù)值方法及其在物理學(xué)中應(yīng)用.ppt

1,第二章 物理圖形、圖象與計(jì)算機(jī)模擬,2,2.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其合成曲線模擬,一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的 曲線和 曲線,例1：畫出 曲線及對(duì)應(yīng)的 曲線，其中,3,Implicit real*8(a-h,o-z) open(1,file=x-t.dat) open(2,file=v-t.dat) write(*,*)input A,w,phi,N read(*,*)A,w,phi,N pi=3.1415926 do 10 I=1,N t=2.*pi/w t=t*float(I)/N x=A*cos(w*t+phi) v=A*w*cos(w*t+phi+pi/2.) write(1,*)t,x 10 write(2,*)t,v end,計(jì)算程序,4,圖形模擬,Origin簡(jiǎn)介,5,二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,1.同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,同頻率情況,其中,6,例2：試給出兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成程序,open(1,file=x1.dat) open(2,file=x2.dat) open(3,file=x.dat) write(*,*)input A1,A2,w,phi1,phi2=? read(*,*)A1,A2,w,phi1,phi2 pi=3.1415926 do 10 I=1,1000 t=2.*pi/w t=t*float(I)/1000 x1=A1*cos(w*t+phi1) x2=A2*cos(w*t+phi2) x=x1+x2 write(1,*)t,x1 write(2,*)t,x2 10 write(3,*)t,x end,7,圖形模擬,兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,8,EX2-1: 編程完成例2。,兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,9,不同頻率情況,若 ，會(huì)出現(xiàn)拍的現(xiàn)象。,合振動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，利用旋轉(zhuǎn)矢量法可以求得合振動(dòng)的振幅為,中間經(jīng)歷的時(shí)間 稱為周期，顯然 ， 頻率：,振幅在 和 間周期性地變化，屬振動(dòng)調(diào)制。 合振動(dòng)振幅從一次極大到相鄰的另一次極大。,10,假設(shè)兩個(gè)分振動(dòng)振幅都為 ，圓頻率 相差較小，取它們的初相位,此時(shí)合成運(yùn)動(dòng)的位移可寫成：,變化主要取決于 ，振幅按變化 。,都是零，則可以分別表示為：,由于圓頻率 遠(yuǎn)大于圓頻率 ，,11,圖形模擬,兩個(gè)同方向頻率近似的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,12,2. 兩個(gè)相互垂直方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,若 ，則有合振動(dòng)方程：, （一、三象限直線方程）,（二、四象限直線方程）, （橢圓方程）,13,質(zhì)點(diǎn)軌跡曲線,下圖所示為兩個(gè)頻率相同、振幅相等、相互垂直而相位差,兩個(gè)頻率相同、振幅相等、相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,為 下的質(zhì)點(diǎn)軌跡曲線。,14,若 ，但滿足一定整數(shù)倍數(shù)比關(guān)系時(shí)，則會(huì),下圖所示為兩個(gè)頻率不同（滿足 ）、振幅相等、,利薩如圖形示意圖,出現(xiàn)利薩如圖形：,相互垂直而相位差為0， 下的質(zhì)點(diǎn)軌跡曲線。,15,2.2 阻尼運(yùn)動(dòng)和阻尼振動(dòng)的模擬,一、阻尼情況下物體運(yùn)動(dòng)的 曲線,例3：質(zhì)量為 的摩托快艇以速度 行駛，它受到的摩擦阻力 與速度成正比，設(shè)比例系數(shù)為 ，則 ，試求關(guān) 閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，對(duì) 的變化規(guī)律。 （取,解：物理分析與數(shù)學(xué)模型,方法1:,16,方法2：用 （差商法）,17,open(1,file=vt.dat) write(*,*)input a,v0,t=? read(*,*) a,v0,t v1=v0 t0=0. v10=v0 write(1,*)t0,v0,v10 dt=t/1000. do 10 j=1,1000 tt=t*float(j)/1000. v=v0*exp(-1.)*a*tt) v1=v1-a*v1*dt 10 write(1,*)tt,v,v1 end,模擬程序,18,二、阻尼振動(dòng),問題：彈簧振子阻尼振動(dòng)的方程為 阻尼因子 彈簧振子的角頻率,試用函數(shù)近似法作出位移與時(shí)間的函數(shù)變化曲線。,19,問題分析:,解：將二階微分方程化為一階微分方程,即,而,20,實(shí)例說明：,例4：畫出當(dāng) ， ， 時(shí)， ， ， ， 秒下的 曲線。,計(jì)算程序： open(1,file=v-t.dat) open(2,file=x-t.dat) write(*,*)input B,w0,x0,v0,t=? read(*,*)B,w0,v0,x0,t dt=t/1000. v=v0 x=x0 tt0=0.0 write(1,*)tt0,v0 write(2,*)tt0,x0,do 10 j=1,1000 tt=float(j)*dt f=-2.*B*v-w0*2*x v=v+f*dt x=x+v*dt write(1,*)tt,v 10 write(2,*)tt,x end,21,阻尼振動(dòng)曲線示意圖,圖形模擬,22,不同阻尼情況振動(dòng)曲線示意圖,圖形模擬,23,EX2-2: 編程完成例3。,EX2-3:一石子從空中靜止下落，已知,曲線。其中,。,作業(yè),24,2.3 駐波的模擬,定義：兩列振幅、振動(dòng)方向和頻率都相同而傳播方向相 反的兩列同類波相干疊加形成駐波。,設(shè)有兩列振動(dòng)方向相同、振幅相同、頻率相同的平面余弦波，,按疊加原理，合成的駐波的波函數(shù)為:,25,在 值滿足下式的各點(diǎn)，振幅為零駐波波節(jié)處,相鄰兩波節(jié)的距離為半波長(zhǎng)，即：,討論:,各質(zhì)點(diǎn)都在作同頻率的諧振動(dòng)。,的振幅按余弦函數(shù)規(guī)律分布。,26,在 值滿足下式的各點(diǎn)，振幅最大駐波波腹處,相鄰兩波腹間的距離也為半波長(zhǎng)，即：,l 波節(jié)處的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅為零，始終處于靜止； l 波腹處的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅最大，等于 。 l 其他各處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅則在零與最大之間。 l 兩相鄰波節(jié)或兩相鄰波腹之間相距半波長(zhǎng)。 l 波腹和相鄰波節(jié)間的距離為 ，波腹和波節(jié)交替作等距離排列。,討論:,27,駐波模擬程序流圖,28,implicit real*8(a-h,o-z) open(1,file=zhubo.dat) open(2,file=zhubo1.dat) open(3,file=zhubo2.dat) write(*,*)input A,x,wavelength read(*,*)A, x, wa pi=3.1415926 T=2.*pi time=0.5*T dx=x/1000,do 10 I=1,1000 x=dx*float(i) y1=A*cos(2*pi)*(time/T-x/wa) y2=A*cos(2*pi)*(time/T+x/wa) y=2*A*cos(2*pi*x/wa)*cos(2*pi*time/T) write(1,*)x,y write(2,*)x,y1 10 write(3,*)x,y2 end,模擬程序,29,圖形模擬,，,30,31,每一時(shí)刻，駐波都有一定的波形，此波形既不向右移，也不向左移，各點(diǎn)以各自確定的振幅在各自的平衡位置附近振動(dòng)，沒有振動(dòng)狀態(tài)或相位的傳播，因而稱為駐波。,又沿相反方向同時(shí)通過平衡位置。,有相同的符號(hào)，而相鄰的兩端符號(hào)總是相反的，這說明在駐,波中同一段上各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位相同，而相鄰兩段中的各點(diǎn),振動(dòng)相位相反。,同一段內(nèi)各點(diǎn)沿相同方向同時(shí)達(dá)到各自振動(dòng)位移的最大值，,又沿相同方向同時(shí)通過平衡位置；,波節(jié)兩側(cè)各點(diǎn)同時(shí)沿相反方向達(dá)到振動(dòng)位移的正、負(fù)最大值，,32,當(dāng)波在自由端反射時(shí)，則無相位突變，形成駐波時(shí)，在,半波損失,在弦線上進(jìn)行的駐波實(shí)驗(yàn)，反射點(diǎn)處弦線是固定不動(dòng)的，,這一點(diǎn)只能是波節(jié)。這說明反射波和入射波的相位在反射,點(diǎn)正好相反，即入射波在反射點(diǎn)反射時(shí)相位有 的突變。,根據(jù)相位差 與波程差的關(guān)系（ ），相位差為,說，反射波和入射波之間存在著半個(gè)波長(zhǎng)的波程差，這種,相位突變 稱為半波損失。,就相當(dāng)于半個(gè)波長(zhǎng)的波程差，這說明對(duì)固定端的反射點(diǎn)來,自由端出現(xiàn)波腹。,33,作業(yè),34,2.4 點(diǎn)電荷與點(diǎn)電荷系的等勢(shì)線和電場(chǎng)模擬,一、等勢(shì)線方程,要求：作出滿足等勢(shì)線方程 的等勢(shì)線。,例5：一個(gè)點(diǎn)電荷 在 處產(chǎn)生的電勢(shì),等勢(shì)線方程為：,即,圓心在 ，半徑為 的圓。,由上式可得：,畫圖時(shí)可采用參數(shù)方程：,35,例6：兩個(gè)點(diǎn)電荷的電勢(shì)分布。,等勢(shì)線方程為：,36,二、隱函數(shù)曲線的繪制（ ）,（這里引入?yún)?shù) ）,指定 (如 )，計(jì)算出 和 ，由上式可得 和 。,若點(diǎn) 處電勢(shì)為 ，則 處的電勢(shì)也為 。,37,編程步驟:,把上述點(diǎn) 連起來，就是 的等勢(shì)線。,Step2:,38,三、 等勢(shì)線作圖步驟,39,作圖步驟:,3.,而,同樣有：,因此有：,?。?40,計(jì)算才會(huì)保證曲線的完整性。,41,open(1,file=a1.dat) write(*,*)input q1,q2,x1,x2=? read(*,*)q1,q2,x1,x2 x=x* y=0.0 write(1,*)x,y dt=0.005,do 10 j=1,100 r1=(x-x1)*2+y*2 r1=sqrt(r1) r2=(x-x2)*2+y*2 r2=sqrt(r2) dx=y*(q1*r2*3+q2*r1*3)*dt x=x+dx dy=(-1.)*(q1*(x-x1) *r2*3+ q2*(x-x2)*r1*3)*dt y=y+dy 10 write(1,*)x,y end,模擬程序,42,圖形模擬, （異號(hào)）,兩個(gè)點(diǎn)電荷電勢(shì)等勢(shì)線示意圖,（同號(hào)）,43,同號(hào)情況,44,q1=-1, q2=1, x1=-2, x2=2,q1=1, q2=-1, x1=-2, x2=2,異號(hào)情況,45,四、點(diǎn)電荷系電場(chǎng)線的圖像模擬,單個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)：,點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)：,例8：如圖所示，A、B、C三個(gè)點(diǎn)電荷組成一個(gè)點(diǎn)電荷系，其中A(0,0)點(diǎn)帶電為 ， B(0,1)點(diǎn)帶電亦為 ，最后C(0,-1)點(diǎn)帶電 ，試模擬 平面內(nèi)電場(chǎng)線分布。,46,點(diǎn)電荷系在某點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和，這稱為電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理。,所以，在XOY平面內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度為：,電場(chǎng)線上每一點(diǎn)的切線方向反映了該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向，有：,解上述方程可得：,47,此超越方程（等值線）即為這個(gè)點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)線方程，,點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)線模擬,常數(shù)C選取不同的值對(duì)應(yīng)不同的電場(chǎng)線。(C=0.13,間隔0.1）,48,例9：電偶極振子電場(chǎng)的模擬,設(shè)電偶極子的電偶極矩為：,在球坐標(biāo)系下，任意時(shí)刻t空間任意處r的輻射電場(chǎng)為：,輻射的電場(chǎng)線滿足方程:,49,解上述方程即可得電場(chǎng)線滿足的方程：,當(dāng)C 取不同值時(shí)可得到不同的輻射電場(chǎng)線。,電偶極子輻射電場(chǎng)線模擬,50,五、帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng),在均勻磁場(chǎng)中帶電粒子受洛倫茨力的作用,時(shí)：,51,粒子回轉(zhuǎn)周期與頻率分別為：,當(dāng)粒子速度與磁場(chǎng)夾角為 時(shí)：,帶電粒子作螺旋運(yùn)動(dòng)：,52,其軌跡為一圓柱螺旋線，參數(shù)方程為：,53,均勻磁場(chǎng)中帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡模擬,54,其中：,在直角坐標(biāo)系下：,六、 粒子散射實(shí)驗(yàn),55,對(duì)應(yīng)的加速度a：,粒子速度為：,所以 粒子坐標(biāo)為：,56,散射粒子運(yùn)動(dòng)軌跡模擬,57,2.5 波的干涉和衍射圖形模擬,一、波的干涉圖形模擬,物理分析（在均勻介質(zhì)中傳播）：,波源：,點(diǎn)：,這里,58,點(diǎn)的合振動(dòng)：,其中,(隱函數(shù)等值線方程),設(shè)有兩列相干波，如果初相相等，則干涉條件可簡(jiǎn)化為用,波程差 來表示，即當(dāng)滿足：,處的空間各點(diǎn)，合振幅最大，這時(shí)合振幅 ，,強(qiáng)度加強(qiáng)；,59,處的空間各點(diǎn)，合振幅最小，這時(shí)合振幅,當(dāng)波程差界于上述兩者之間，則合振幅也處于上述兩者,波的干涉圖象 (兩波源相距為4m, =1.5m， ),(隱函數(shù)等值線方程),大小之間。,強(qiáng)度減弱；,60,二、等厚干涉（牛頓環(huán)）,如下圖所示：d表示入射點(diǎn)處膜的厚度, 當(dāng)垂直入射的單色平行光透過平凸透鏡B后, 在空氣層的上、下表面發(fā)生反射形成兩束向上的相干光。這兩束相干光在平凸透鏡下表面相遇而發(fā)生干涉。,等厚干涉實(shí)驗(yàn)及牛頓環(huán)干涉圖樣,61,兩束相干光的光程差為：,其中：,兩束相干光的相位差為：,牛頓環(huán)干涉光強(qiáng)分布為：,直角坐標(biāo)系中,62,模擬牛頓環(huán)干涉圖樣光強(qiáng)分布,63,明紋位置：,暗紋位置：,討論：,(1) 測(cè)透鏡球面的半徑R：已知，測(cè)m、rk+m、rk，可得R,(2) 測(cè)波長(zhǎng)：已知R，測(cè)出m、rk+m、rk，可得,(3) 檢測(cè)透鏡的曲率半徑誤差及其表面平整度。,(4) 透射圖樣與反射圖樣互補(bǔ)。,64,三、波的衍射圖形模擬,均勻光源的夫瑯禾費(fèi)多縫衍射，其衍射場(chǎng)強(qiáng)度分布為：,式中 ， ，其中 是狹縫寬度， 是光柵常數(shù)， 是,衍射角， 是入射波長(zhǎng)， 是狹縫的有效數(shù)目。,65,單縫衍射,顯然當(dāng)衍射角 時(shí)， ，,在衍射屏上某一點(diǎn) 處的強(qiáng)度為,單縫衍射強(qiáng)度分布曲線,其中 ， 為 點(diǎn)合振動(dòng)的振幅。,此時(shí) ，光強(qiáng)最大， 為中央明紋中心處強(qiáng)度。,66,單縫衍射圖樣模擬,67,討論:,當(dāng) 時(shí)， ，,由此得 ，解得：,，此時(shí)為暗紋條件。在相鄰暗紋之間，有一次極大，,出現(xiàn)次極大條件為：,的增加很快減少。,由上式可知，,68,實(shí)驗(yàn)衍射屏放置在XOY平面上，在屏上O點(diǎn)有一半徑為R的圓孔，一束平行于Z軸的光線垂直照射圓孔，在透鏡后方的焦平面上可得衍射圖樣。,四、圓孔的夫瑯禾費(fèi)衍射,69,圓孔衍射光強(qiáng)公式為：,其中 是一階