31道思考題總結(jié)

有限元分析及其應(yīng)用-2010聲明：該材料為往屆師兄整理，我只是重新排版。部分缺失的內(nèi)容自己補(bǔ)上哈。1、 有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步驟有那些？其中“離散”的含義是什么？是如何將無(wú)限自由度問題轉(zhuǎn)化為有限自由度問題的？答：基本思想：幾何離散和分片插值?；静襟E：結(jié)構(gòu)離散、單元分析和整體分析。離散的含義：用假想的線或面將連續(xù)物體分割成由有限個(gè)單元組成的集合，且單元之間僅在節(jié)點(diǎn)處連接，單元之間的作用僅由節(jié)點(diǎn)傳遞。當(dāng)單元趨近無(wú)限小，節(jié)點(diǎn)無(wú)限多，則這種離散結(jié)構(gòu)將趨近于實(shí)際的連續(xù)結(jié)構(gòu)。2、 有限元法與經(jīng)典的差分法、里茲法有何區(qū)別？區(qū)別：差分法：均勻離散求解域，差分代替微分，要求規(guī)則邊界，幾何形狀復(fù)雜精度較低；里茲法：根據(jù)描述問題的微分方程和相應(yīng)的定解構(gòu)造等價(jià)的泛函表達(dá)式，求得近似解；有限元：基于變分法，采用分片近似進(jìn)而逼近總體的求解微分方程的數(shù)值計(jì)算方法。3、一根單位長(zhǎng)度重量為q的懸掛直桿，上端固定，下端受垂直向下的外力P，試1）建立其受拉伸的微分方程及邊界條件；2）構(gòu)造其泛函形式；3）基于有限元基本思想和泛函求極值構(gòu)造其有限元的計(jì)算格式（即最小勢(shì)能原理）。4、以簡(jiǎn)單實(shí)例為對(duì)象，分別按虛功原理和變分原理導(dǎo)出有限元法的基本格式（單元?jiǎng)偠染仃嚕?、什么是節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)載荷？?jī)烧哂泻螀^(qū)別？答：節(jié)點(diǎn)力：?jiǎn)卧c單元之間通過節(jié)點(diǎn)相互作用節(jié)點(diǎn)載荷：作用于節(jié)點(diǎn)上的外載6、單元?jiǎng)偠染仃嚭驼w剛度矩陣各有何特點(diǎn)？其中每個(gè)矩陣元素的物理意義是什么（按自由度和節(jié)點(diǎn)解釋）？答：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚕簩?duì)稱性、奇異性、主對(duì)角線恒為正整體剛度矩陣：對(duì)稱性、奇異性、主對(duì)角線恒為正、稀疏性、帶狀性。Kij，表示j節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位位移、其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)作用i節(jié)點(diǎn)的力，節(jié)點(diǎn)力等于節(jié)點(diǎn)位移與單元?jiǎng)偠仍爻朔e之和。7、單元的形函數(shù)具有什么特點(diǎn)？有哪些性質(zhì)？答：形函數(shù)的特點(diǎn)：Ni為x，y的坐標(biāo)函數(shù)，與位移函數(shù)有相同的階次。形函數(shù)Ni在i節(jié)點(diǎn)的值為1，而在其他節(jié)點(diǎn)上的值為0；單元內(nèi)任一點(diǎn)的形函數(shù)之和恒等于1；形函數(shù)的值在01間變化。8、描述彈性體的基本變量是什么？基本方程有哪些組成？答：基本變量：外力、應(yīng)力、應(yīng)變、位移基本方程：平衡方程、幾何方程、物理方程、幾何條件9、何謂應(yīng)力、應(yīng)變、位移的概念？應(yīng)力與強(qiáng)度是什么關(guān)系？答：應(yīng)力：limQ/A=SA0應(yīng)變：物體形狀的改變位移：彈性體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位置的變化10、問題的微分方程提法、等效積分提法和泛函變分提法之間有何關(guān)系？何謂“強(qiáng)形式”？何謂“弱形式”，兩者有何區(qū)別？建立弱形式的關(guān)鍵步驟是什么？答：強(qiáng)弱的區(qū)分在于是否完全滿足物理模型的條件。所謂強(qiáng)形式，是指由于物理模型的復(fù)雜性，各種邊界條件的限制，使得對(duì)于所提出的微分方程，對(duì)所需要求得的解的要求太強(qiáng)。也就是需要滿足的條件太復(fù)雜。比如不連續(xù)點(diǎn)的跳躍等等。將微分方程轉(zhuǎn)化為弱形式就是弱化對(duì)方程解的要求。不拘泥于個(gè)別特殊點(diǎn)的要求，而放松為一段有限段上需要滿足的條件，使解能夠以離散的形式存在。11、以平面微元體為例，考慮彈性力學(xué)基本假設(shè)，推導(dǎo)微分平衡方程。12、常見的彈性力學(xué)問題解法有哪幾類？各有何特點(diǎn)或局限？簡(jiǎn)述求解思路？13、何謂平面應(yīng)力問題？何謂平面應(yīng)變問題？應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)如何？如何判斷？舉例說明？答：平面應(yīng)力問題：作用于很薄的板上的載荷平行于板平面且沿厚度方向均勻分布，而在兩板面上無(wú)外力作用平面應(yīng)變問題：長(zhǎng)柱體的橫截面沿長(zhǎng)度方向不變，作用于長(zhǎng)柱體結(jié)構(gòu)上的載荷平行于橫截面且沿縱向方向均與分布，兩端面不受力。14、何謂軸對(duì)稱問題？如何判斷？推導(dǎo)極坐標(biāo)下的平衡方程和幾何方程。答：軸對(duì)稱：幾何形狀、約束情況及所受的外力都對(duì)稱于空間的某一跟軸，則通過該軸的任何平面都是物體的對(duì)稱面，物體內(nèi)的所有應(yīng)力、應(yīng)變和位移都關(guān)于該軸對(duì)稱。15、何謂虛位移原理？推導(dǎo)彈性體虛功方程的矩陣形式，并寫出軸對(duì)稱問題的虛功方程。16、什么叫外力勢(shì)能？什么叫應(yīng)變能？簡(jiǎn)述勢(shì)能變分原理。試問勢(shì)能變分原理代表了彈性力學(xué)的那些方程？同時(shí)，附加了什么條件？17、在三維彈性體中，若系統(tǒng)勢(shì)能對(duì)位移變分為零。試證明一定滿足應(yīng)力平衡方程和應(yīng)力邊界條件。18、為了保證有限元解的收斂性，位移函數(shù)必須滿足那些條件？為什么？答：1.位移函數(shù)應(yīng)包含剛體位移2.位移函數(shù)應(yīng)能反映單元的常應(yīng)變狀態(tài)3.位移函數(shù)在單元內(nèi)要連續(xù)，在單元邊界上要協(xié)調(diào)。19、位移函數(shù)構(gòu)造為何按Pascal三角形進(jìn)行？為什么？答：選取多項(xiàng)式具有坐標(biāo)的對(duì)稱性，保證單元的位移分布不會(huì)因?yàn)槿藶檫x取的方位坐標(biāo)不同而變化。20、如何理解有限元解的下限性？簡(jiǎn)要說明。21、何謂剛性位移？何謂常量應(yīng)變？答：剛性位移就是物體的形狀不發(fā)生變化產(chǎn)生的位移變形位移就是考慮物體產(chǎn)生的變形22、在按位移法求解有限元法中，為什么說應(yīng)力解的精度低于位移解的精度？答：實(shí)際結(jié)構(gòu)本來(lái)是具有無(wú)限個(gè)自由度，當(dāng)用有限元求解時(shí)，結(jié)構(gòu)被離散為有限個(gè)單元的集合，便只有有限個(gè)自由度了，限制了結(jié)構(gòu)變形能力，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的剛度增大、計(jì)算的位移減少，所以有限元求得的位移近似解小于精確解。23、何為單元的協(xié)調(diào)性和完備性條件？為什么要滿足這些條件？平面問題三節(jié)點(diǎn)三角形單元是如何滿足這些條件？矩形四節(jié)點(diǎn)單元是否滿足？答：完備性準(zhǔn)則：如果在能量泛函中所出現(xiàn)的位移函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，則有限元解收斂的條件之一是單元函數(shù)至少是m階的完全多項(xiàng)式。24、何為協(xié)調(diào)單元？何為非協(xié)調(diào)單元？為什么有時(shí)非協(xié)調(diào)單元的計(jì)算精度還高于協(xié)調(diào)單元？答：協(xié)調(diào)性準(zhǔn)則：如果在能力泛函中的位移函數(shù)出現(xiàn)最高階導(dǎo)數(shù)是m階，則位移函數(shù)在單元邊界上必須具有m-1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。網(wǎng)格劃分不一樣25、何為常應(yīng)變單元？其位移、應(yīng)變、應(yīng)力在單元內(nèi)、單元邊界上有何特性？答：常應(yīng)變單元：?jiǎn)卧膽?yīng)變分量均為常量。位移函數(shù)在單元內(nèi)部線性函數(shù)，內(nèi)部連續(xù)。公共邊界處位移協(xié)調(diào)。單元的應(yīng)力應(yīng)變?yōu)槌Ａ?，在相鄰單元邊界處，?yīng)變應(yīng)力不連續(xù)，有突變。26、假設(shè)平面三節(jié)點(diǎn)三角形單元的的位移模式為：U=a1x2+a2xy+a3y2V=a4x2+a5xy+a6y2試計(jì)算該單元的形函數(shù)矩陣、單元?jiǎng)偠染仃嚕⒂懻撛搯卧奶匦浴?7、平面矩形單元的位移、應(yīng)力在單元內(nèi)、單元邊界上有何特性？試說明矩形單元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算與坐標(biāo)原點(diǎn)位置無(wú)關(guān)。答：常數(shù)項(xiàng)和線性項(xiàng)的系數(shù)反映了單元的剛體位移和常應(yīng)變，滿足收斂性的必要條件；在單元邊界上，由于u，v分別僅為x或y的線性函數(shù)，則這樣的單元的位移函數(shù)是雙線性函數(shù)，這說明單元邊界上的兩點(diǎn)能唯一確定變形后的邊界，而對(duì)于相鄰的單元公共邊界，它們具有公共節(jié)點(diǎn)，則不論按哪個(gè)單元確定公共邊界上的位移，都能保證公共邊界上具有相同的位移，即單元邊界處位移具有連續(xù)性，滿足協(xié)調(diào)性要求。28、何謂面積坐標(biāo)？其特點(diǎn)是什么？答：Li=Ai/A；Lj=Aj/A;Lm=Am/A特點(diǎn)：只有兩個(gè)坐標(biāo)是獨(dú)立的：Ai+Aj+Am=129、試分析以下幾種平面單元的位移在單元公共邊界上的連續(xù)性：1）常應(yīng)變?nèi)切螁卧?）四節(jié)點(diǎn)矩形單元；3）六節(jié)點(diǎn)三角形單元；4）四節(jié)點(diǎn)直線邊界四邊形等參單元；5）八節(jié)點(diǎn)曲線邊界四邊形等參單元。答：常應(yīng)變?nèi)切螁卧盒魏瘮?shù)只與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)；單元應(yīng)變分量均為常量；收斂性：位移函數(shù)含單元常量應(yīng)變；反應(yīng)單元?jiǎng)傮w位移；單元內(nèi)部位移連續(xù)；相鄰公共邊界連續(xù)協(xié)調(diào)。四節(jié)點(diǎn)矩形單元：位移函數(shù)滿足收斂性條件，為協(xié)調(diào)單元；較常應(yīng)變單元有更高的計(jì)算精度。六節(jié)點(diǎn)三角形單元：比常應(yīng)變?nèi)切螁卧雀?0、非節(jié)點(diǎn)載荷等效的基本原則是什么？答：能量等效原則和圣維南原理。31、試計(jì)算三節(jié)點(diǎn)三角形邊界上不同線性分布載荷的等效節(jié)點(diǎn)載荷。（參考教材P57面）答：1.均質(zhì)材料單元所受體力等效，只需將單元外載荷均勻等分至各個(gè)節(jié)點(diǎn)即2.邊界受均勻分布力等效，只需將單元邊界上的分布載荷之和平均分配至受力的連個(gè)節(jié)點(diǎn)3.邊界受三角形分布面力等效，總力ql/2，分布力ql/6;ql/34.邊界受梯形分布面力的等效，疊加原理，32、何謂等參單元？等參單元具有哪些特點(diǎn)？使用等參單元應(yīng)注意什么？在等參單元計(jì)算中，數(shù)值積分階次是否越高越好呢？為什么？答：定義：以規(guī)則形狀單元的位移函數(shù)相同階次函數(shù)為單元幾何邊界的變換函數(shù)，通過坐標(biāo)變換所獲得的單元。特點(diǎn)：?jiǎn)卧獛缀芜吔绲淖儞Q函數(shù)與規(guī)則單元位移函數(shù)具有相同的節(jié)點(diǎn)參數(shù)。注意：?jiǎn)卧獮橥共皇牵A次提高，單元自由度相應(yīng)增加，計(jì)算更加復(fù)雜，積分更困難。33、平面三角形單元能否看成等