《分析力學(xué)基礎(chǔ)》PPT課件.pptVIP

在空間：一個自由質(zhì)點位置需要3個獨立參數(shù)，即自由質(zhì)點在空間有3個自由度。 在平面：需要2個獨立參數(shù)，即質(zhì)點有2個自由度。 受到運動約束：質(zhì)點自由度數(shù)將減少。 完整約束：約束方程中不含速度項； 穩(wěn)定（定常）約束：約束方程中不顯含時間t 若具有n個質(zhì)點的質(zhì)點系，有s個完整約束方程：, 3-1 自由度和廣義坐標,則：n個質(zhì)點的質(zhì)點系總自由度數(shù)為：,描述質(zhì)點系在空間位置的獨立參數(shù)，稱廣義坐標； 完整系統(tǒng)，廣義坐標數(shù)目等于自由度數(shù)目。,由無重剛桿與小球構(gòu)成平面擺，做定軸轉(zhuǎn)動，擺長為l，是具有1個質(zhì)點的平面質(zhì)點系，自由度為2，有1個約束方程：,用一個獨立參數(shù)表示。,若質(zhì)點限定在半球面上運動，球半徑為R，是具有1個質(zhì)點的空間質(zhì)點系，自由度數(shù)為3，有1個約束方程：,自由度數(shù)為：,通常用2個獨立參數(shù)和表示,自由度數(shù)為：,用q1、q2、qN表示質(zhì)點系廣義坐標： 對完整約束質(zhì)點系，各質(zhì)點坐標可表示為廣義坐標的函數(shù)。,進行變分計算：,設(shè)n個質(zhì)點組成質(zhì)點系受s個雙面約束,為廣義虛位移。虛位移用廣義坐標表示。,同理：, 3-2 以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件,設(shè)：,則：,它的量綱由對應(yīng)的廣義虛位移而定。,為廣義虛位移,稱為廣義力,k為線位移， Qk 量綱是力的量綱； k為角位移， Qk 量綱是力矩的量綱。,由于廣義坐標都是獨立的，廣義虛位移是任意的。 上式成立必須滿足：,質(zhì)點系的平衡條件是所有的廣義力都等于零,質(zhì)點系具有N個自由度，有N個廣義力，則有N個平衡方程是互相獨立的，可聯(lián)立求解質(zhì)點系的平衡問題 。 大多數(shù)工程機構(gòu)只有一個自由度，這只需要列出一個廣義力等于零的平衡問題。,廣義力求解方法有兩種：,法1.,給質(zhì)點系一個廣義虛位移不等于零，而其它（N-1）個廣義虛位移等于零。,法2.,質(zhì)點系在勢力場中，質(zhì)點系上的主動力都為有勢力，則勢能應(yīng)為各質(zhì)點坐標的函數(shù)，總勢能為V表示為：,虛功為：,虛位移原理表達為：,在勢力場中，具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件為質(zhì)點系的勢能在平衡位置處的一階變分為零。,用廣義坐標表示質(zhì)點系位置。在勢力場中，質(zhì)點系勢能可表示為廣義坐標函數(shù)，總勢能為V為：,廣義力為：,在勢力場中，具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件是勢能對于每個坐標的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。,平衡條件為：,法3:,（314）,即：在勢力場中具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件是勢能對于每個廣義坐標的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。,在穩(wěn)定平衡的平衡位置處，系統(tǒng)勢能具有極小值,在不平衡位置上，系統(tǒng)勢能具有極大值,對于隨遇平衡，系統(tǒng)在某位置附近其 勢能是不變的，所以其附近任何可能 位置都是平衡位置。,穩(wěn)定平衡,不穩(wěn)定平衡,對于一個自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)具有一個廣義坐標q,因此系統(tǒng)勢能可以表示為q的一元函數(shù)，,即,當系統(tǒng)平衡時，,根據(jù)式（314），,在平衡位置處有,如果系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，則在平衡位置處。系統(tǒng)勢能 具有極小值，即系統(tǒng)勢能對廣義坐標的二階導(dǎo)數(shù)大于零。,上式是一個自由度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)。,對于多自由度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)可參考其他書籍。,例1 復(fù)合擺機構(gòu)， A、B點位置作用力F1 ,F2， F. 。用廣義坐標表示A、B點位置，求平衡時作用力F1 ,F2， F與1，2關(guān)系。,解：方法 1： 1）取整個系統(tǒng)為研究對象，A,B 2個質(zhì)點具有4個自由度。 兩個約束方程：,該質(zhì)點系自由度數(shù)為：4-2=2,可以用2個獨立參數(shù)。,表示,2）用廣義坐標表示A,B,（4）虛位移原理：,直接計算：,方法 2：,不變，給 虛位移,不變，給 虛位移,選題,設(shè)有一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，質(zhì)點系中第i個質(zhì)點質(zhì)量為mi，作用在該質(zhì)點上的主動力的合力為Fi，約束反力的合力為FNi . 如果假想地加上該質(zhì)點的慣性力FIi=-miai，由達朗貝爾原理，F(xiàn)i 、Fni、 FIi構(gòu)成平衡力系。整個質(zhì)點系應(yīng)組成平衡力系，質(zhì)點系具有理想約束. 應(yīng)用虛位移原理，得到：,3-3 動力學(xué)普遍方程,在理想約束的條件下，質(zhì)點系的各個質(zhì)點在任一瞬時所受的主動力和慣性力在虛位移上所作的虛功和等于零。 稱為動力學(xué)普遍方程。,得到：,例1 圖示滑輪系統(tǒng)，動滑輪上懸掛質(zhì)量為m1的重物，繩子繞過定滑輪后懸掛質(zhì)量m2重物，滑輪和繩子重量以及輪軸摩擦忽略不計，求m2重物下降的加速度。,解： （1）取整個系統(tǒng)為研究對象，（2）受力分析 系統(tǒng)的主動力為：m1g、 m2g,2）給系統(tǒng)虛位移s1 和s2,慣性力為：,設(shè)m2重物下降的加速度為a2， 設(shè)m1重物下降的加速度為a1。,代入加速度和虛位移關(guān)系得到：,3）動力學(xué)普遍方程：,選題,例3-5 如圖二相同圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m，輪可繞O軸轉(zhuǎn)動，二輪相連繩鉛直時，輪中心C的加速度。,解： （1）取系統(tǒng)為研究對象 （2）力分析： 作用的主動力mg,（3）設(shè)輪的角加速度為1 輪的角加速度為2,輪慣性力偶：MI=J11 輪I 慣性力偶：MI=J22 慣性力：FI=maC,4)加虛位移： 輪： 輪I ：,I 輪定軸轉(zhuǎn)動,II 輪平面運動 取B為基點,5) 動力學(xué)普遍方程：,由虛位移的任意性：,解得：,選題, 3-4 第一類拉格朗日方程,設(shè)n個質(zhì)點組成質(zhì)點系受s個雙面約束,設(shè)：,由動力學(xué)普遍定理：,第一類拉格朗日方程,例3-6 如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動的重物M1的質(zhì)量為m1；可在鉛直面內(nèi)擺動的擺錘M2的質(zhì)量為m2。兩個物體用無重桿連接，桿長為l。求此系統(tǒng)微幅擺動的周期。,解： 1）取整個系統(tǒng)為研究對象。選取坐標軸如圖所示，則M1和M2的坐標各為x1、y1和x2 、y2。 2）運動分析： 系統(tǒng)受到水平面和剛性桿的約束，有2個約束方程。,約束方程微分，消去,當系統(tǒng)各質(zhì)點的虛位移不獨立時，要找到虛位移之間的關(guān)系不方便。 動力學(xué)普遍方程用獨立的廣義坐標表示，可推導(dǎo)出第二類拉格朗日方程，這種方法便于求解非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題。 設(shè)一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，系統(tǒng)具有s個完整理想約束，具有N=3n-s個自由度。用q1、q2、qn表示系統(tǒng)的廣義坐標。 設(shè)系統(tǒng)中第i個質(zhì)點的質(zhì)量為m1，矢徑為 ri，矢徑ri可表示為廣義坐標和時間的函數(shù)：, 3-5 第二類拉格朗日方程,由質(zhì)點系普遍方程：,上式第一項又可以表示為：,注意：這里不是研究平衡問題，所以Qk不一定為零。,代入上式第二項得:,對于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標是相互獨立的。 所以廣義坐標的變分是任意的，為使上式成立，必須有：,這是具有N個方程的方程組，其中第二項與廣義力對應(yīng)，稱為廣義慣性力。 表明廣義力與廣義慣性力相平衡，是達朗伯原理的廣義坐標表示。 對廣義力做如下變換,1.證明：,進一步簡化，先證明兩個等式,對時間求導(dǎo)數(shù),其中,是廣義坐標和時間的函數(shù)，而不是廣義速度的函數(shù)。,再對 求偏導(dǎo)數(shù)：,得證,在完整約束下,對某qj求偏導(dǎo)數(shù),2.證明 ：,由此得證,其中,為質(zhì)點系的動能,該方程組中方程式的數(shù)目等于質(zhì)點系的自由度數(shù)，每一個方程都是二階常微分方程。,得,上式稱為拉格朗日方程,于是拉格朗日方程可寫成,上式就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。 記L=T-V，L稱為拉格朗日函數(shù)或動勢。,如果作用在質(zhì)點系上的主動力都是有勢力，則廣義力Qk可寫成,拉格朗日方程用動勢L =T-V表示,拉格朗日方程是解決具有完整約束的質(zhì)點系動力學(xué)問題的普遍方程，是分析力學(xué)中重要的方程。 拉格朗日方程的表達式非常簡潔，應(yīng)用時只需計算系統(tǒng)的動能和廣義力； 對于保守系統(tǒng)，只需計算系統(tǒng)的動能和勢能。,因為勢能是坐標的函數(shù),解： 1）取系統(tǒng)為研究對象 此系統(tǒng)具有一個自由度。 以物塊平衡位置為原點，取x為廣義坐標如圖。 2）以平衡位置為重力勢能零點，系統(tǒng)在任意位置x處的勢能為,例 6 如圖所示的系統(tǒng)中，A輪沿水平面純滾動，輪心以水平彈簧聯(lián)于墻上，質(zhì)量為m1的物塊C以細繩跨過定滑輪B聯(lián)于A點。A、B二輪皆為均質(zhì)圓輪，半徑為R，質(zhì)量為m2。彈簧剛度為k，質(zhì)量不記。當彈簧較軟，在細繩能始終保持張緊的條件下，求此系統(tǒng)的運動微分方程。,0為平衡位置彈簧伸長量。,2）運動分析；,B輪角速度為,A輪質(zhì)心速度為,A輪角速度為,物塊速度為,此系統(tǒng)的動能為：,3）代入拉格朗日方程,4）系統(tǒng)的運動微分方程為,得,注意,系統(tǒng)的動勢為：,選題,例7 如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動的重物M1的質(zhì)量為m1；可在鉛直面內(nèi)擺動的擺錘M2的質(zhì)量為m2。兩個物體用無重桿連接，桿長為l。求此系統(tǒng)微幅擺動的周期。,解： 1）取整個系統(tǒng)為研究對象。選取坐標軸如圖所示，則M1和M2的坐標各為x1、y1和x2 、y2。 2）運動分析： 系統(tǒng)受到水平面和剛性桿的約束，所以具有兩個自由度。,3）拉格朗日方程列出系統(tǒng)的微分方程。 系統(tǒng)的動能為：,選x1和為廣義坐標，則有：,其中：,選M1在水平面上而M2在最低處為系統(tǒng)的零勢能位置，則系統(tǒng)的勢能為：,代入拉格朗日方程,如果M2擺動很小，則可近似地認為,且可忽略高階小量，上式可改寫為,解為 ：,圓頻率為 ：,擺動周期,如果m1遠大于m2，則M1的位移x1將很小，M2的擺動周期將趨近于普通單擺的周期：,選題, 3-6 拉格朗日方程的初積分,對于保守系統(tǒng)，在一定條件下，可以直接給出初積分的一般形式。,1.能量積分,若系統(tǒng)所受到的約束均為定常約束，,則式（34）中不顯含時間t，,從而,（327）,為關(guān)于 的二次齊次函數(shù)，,其中,是廣義坐標的函數(shù)，,稱為廣義質(zhì)量，,容易證明,（328）,上式也稱為關(guān)于齊次函數(shù)的歐拉定理，,注意勢能V不含 項，,從而,將式（326b）對k求和,（329）,積分上式，,有,這就是保守系統(tǒng)的機械能守恒定律。,也稱為保守系統(tǒng)中拉格朗日方程的能量積分。,2.循環(huán)積分,如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某廣義坐標 ，,則稱該坐標為循環(huán)坐標，此時,從而有,上式稱為拉格朗日方程的循環(huán)積分。,如果引入廣義動量,則有,式（331a）也稱為廣義動量守恒,例 3-9：圖表示一個均質(zhì)圓柱體，可繞其垂直中心軸自由轉(zhuǎn)動，圓柱 表面上刻有一傾角為的螺旋槽，今在槽中放一小球M ，自靜止開 始沿槽下滑，同時使圓柱體繞軸線轉(zhuǎn)動，設(shè)小球質(zhì)量為 ，圓柱體 的質(zhì)量為 ，半徑為R，不計摩擦。,求：當小球下降的高度為h時，小球相對于圓柱體的速度以及 圓柱體的角速度。,解：,小球與圓柱體組成的系統(tǒng)是具有兩個自由度的系統(tǒng)，,并具有穩(wěn)定、完整、理想約束，,因為系統(tǒng)所受的主動力是重力，,所以是保守系統(tǒng)。,取圓柱體的轉(zhuǎn)角 ，和沿螺旋槽方向的弧坐標s為廣義坐標。,取小球為動點，,圓柱體為動系，,利用點的速度合成公式，,則小球的動能為,圓柱體的動能