《階動態(tài)電路》PPT課件.ppt

第5章 一階動態(tài)電路, 前面各章所討論的是電阻電路的分析方法。 電阻電路是用代數(shù)方程來描述的。, 實際上，許多實際電路不能僅用電阻電路來描述，在模型中往往不可避免地要包含電容元件和電感元件。 這 兩種元件的伏安關(guān)系都要通過電流、電壓的微分或積分表達，我們稱這種元件為動態(tài)元件。, 電路中至少包含一個動態(tài)元件的電路稱為動態(tài)電路。 任何一個電路不是電阻電路便是動態(tài)電路。, 動態(tài)電路在任一時刻的響應(yīng)與激勵的全部過去歷史有關(guān)，這與電阻電路完全不同。 也就是說動態(tài)電路是“有記憶”的。, 本章將介紹電容元件和電感元件的定義、伏安關(guān)系。 一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)和一階電路的三要素法。,5.1 電容元件及其伏安關(guān)系,5.1.1 電容元件 電容器是電子設(shè)備中常用的元件之一，在調(diào)諧、耦合、濾波、脈沖等電路中常用到。 它的基本結(jié)構(gòu)是用兩塊導(dǎo)體做極板，中間隔以電介質(zhì)（如云母、絕緣紙、電解質(zhì)等）組成。, 電容器加上電源后，極板上分別聚集起等量異號電荷，在介質(zhì)中建立起電場，并儲存電場能量。 當(dāng)電源斷開后，電荷在一段時間仍繼續(xù)聚集在極板上，內(nèi)部電場繼續(xù)存在，所以電容器是一種能夠儲存電場能量的元件。, 在實際電容器中，電容器上電壓的變化，引起介質(zhì)極化程度的變化，使介質(zhì)有一定的介質(zhì)損耗；同時介質(zhì)也不可能完全絕緣，多少還有一些漏電流。 質(zhì)量優(yōu)良的電容器，其介質(zhì)損耗和漏電流都很小，可以忽略不計。, 電容元件就是反映實際電容器這種物理現(xiàn)象的電路模型。 這樣就可以用一個僅儲存電場能量的理想元件即電容元件作為它的模型。,電容元件的符號如圖5-1-1所示。,圖5-1-1 電容元件的圖形符號, 電容元件的定義如下：一個二端元件，如果在任一時刻，它的電荷q同它兩端電壓u之間的關(guān)系可以用u q平面上的一條明確的曲線來確定，則此二端元件稱為電容元件。, 式中C是電容元件的參數(shù)，稱為電容。 在國際單位制中，電容的單位為F（法拉，簡稱法）。, 由于法拉這個單位太大，實際中常用微法（F）與皮法（pF）作為電容的計算單位。,1F = 106F 1pF = 1012F 如果u q平面上的特性曲線是一條通過原點的直線，如圖5-1-2所示，則此電容元件稱為線性電容元件。,圖5-1-2 線性電容元件的庫伏特性, 我們常常將電容元件簡稱為電容，這樣電容既代表一種元件的名稱，同時也代表該元件的參數(shù)。,5.1.2 電容元件的伏安關(guān)系, 電容元件上的伏安關(guān)系，即電壓與電流的關(guān)系，在電路分析中是十分有用的，當(dāng)電容兩端的電壓發(fā)生變化時，極板上的電荷也發(fā)生相應(yīng)的變化，這時電容所在的電路中就有電荷的定向移動，形成了電流。, 在圖5-1-3中，選定電容上的電壓uC與電路電流i的參考方向一致，電容電路中的電流為,圖5-1-3 電容上電壓與電流, 式（5-1-2）表明，在某一時刻電容的電流取決于該時刻電容電壓的變化率，而與該時刻的電容電壓無關(guān)。 如果電壓不變，那么 ，雖然有電壓，電流也為零。, 故電容在直流情況下其兩端電壓恒定，相當(dāng)于開路，或者說電容有隔斷直流（簡稱隔直）的作用。, 電容電壓變化越快，即 越大，電流也越大。 該公式是分析線性電容的基本公式。 它是以電容電壓與電流的參考方向一致為前提的。, 若電壓與電流的參考方向不一致，則 。, 假定時間的起始時刻為，并且此時電容無電荷存儲，由式（5-1-2）可得表達式為 表明電容的電壓與以前所有時刻流過電容的電流有關(guān)。, 時刻t0以后電容上電壓與電流關(guān)系為, 例5-1-1 如圖5-1-4（a）所示，電容與一電流源相接，電流源的波形如圖5-1-4（b）所示，試求電容電壓。 設(shè)u(0) = 0。,圖5-1-4 例5-1-1的圖,圖5-1-5 電壓波形圖,5.1.3 電容元件的儲能,1瞬時功率 若電壓和電流都是隨時間變化的，則算得的功率也是隨時間變化的。 則稱每一瞬間的功率為瞬時功率，用符號p表示，當(dāng)電容電壓與電流的參考方向一致時，則, 當(dāng)電容的功率為正值時，說明電容吸收功率或消耗功率，當(dāng)電容的功率為負(fù)值時，說明電容提供或放出功率。,2電容的儲能, 電容元件所存儲的能量為它從到t時刻所吸收的能量。, 電容元件吸收的能量以電場能的形式儲存在元件中。 若認(rèn)為t = 時，u() = 0，電容元件在任何時刻t儲存的電場能量WC(t)將等于它吸收的能量，可寫為, 此式表明電容的能量總為正，但有時增加，有時減少。 電場能量的單位為焦耳，以J表示。, 設(shè)時間從t1到t2對電容C充電，電容電壓為u(t)，電流為i(t)，則在此期間電容元件吸收的能量為, 由式（5-1-5）可知：在t1到t2期間電容儲存或釋放的能量只與t1、t2時刻的電壓值有關(guān)，而與此期間內(nèi)的其他電壓值無關(guān)。, 電容元件充電時，|u(t2)|u(t1)|，WC(t2)WC(t1)，故在此時間內(nèi)元件吸收能量；電容元件放電時，WC(t2)WC(t1)，元件釋放能量。, 若元件原來沒有充電，則在充電時吸收并儲存起來的能量一定又在放電完畢時全部釋放，它不消耗能量。 所以，電容元件是一種儲能元件。, 同時，由公式可知WC(t)0，電容元件不會釋放出多于它吸收或儲存的能量，所以它又是一種無源元件。,5.1.4 電容的串聯(lián)和并聯(lián), 為了滿足所需要的電容量和工作電壓，常常將不同容量和不同額定電壓的電容組合起來使用。,1電容的并聯(lián), 圖5-1-6所示為3個電容元件的并聯(lián)情況，即所有電容處在同一電壓U之下。 各電容極板上的電量為,圖5-1-6 電容的并聯(lián), 電源供給極板上的總電量為 。 根據(jù)等效條件，如果有一電容在同樣電壓之下，所充電量為 ，那么此電容為3個并聯(lián)電容的等效電容。,即, 幾個電容并聯(lián)時其等效電容等于各個電容之和。 電容并聯(lián)時相當(dāng)于極板面積的增大，所以增大了電容。 因為并聯(lián)使用的電容，它們的工作電壓相等，所以外加的工作電壓應(yīng)該等于其中耐壓最小的工作電壓。,2電容的串聯(lián), 圖5-1-7所示為3個電容相串聯(lián)的情況。 因為只有最外面兩塊極板與電源連接，電源對這兩極板充以相等的異號電荷，中間極板上因靜電感應(yīng)也出現(xiàn)等量異號電荷。,圖5-1-7 電容的串聯(lián),根據(jù)KVL， 而每個電容上的電壓為 故,根據(jù)等效條件，等效電容上的電壓為 所以 得, 即電容串聯(lián)時的等效電容的倒數(shù)等于各電容倒數(shù)之和。, 電容串聯(lián)時，其等效電容比每一個電容都小。 因為電容串聯(lián)時相當(dāng)于加大了極板間的距離，從而減少了電容。 當(dāng)每個電容的額定電壓小于外加電壓時，可將電容串聯(lián)使用。, 電容串聯(lián)使用時，由每個電容上的電壓可推出：, 電容串聯(lián)時，各電容的電壓與電容成反比，即電容小的所承受的電壓高些，這一點在工作中應(yīng)該特別注意。 在工作實踐中為了獲得所需要的電容和耐壓，常常采用既有并聯(lián)、又有串聯(lián)的混聯(lián)接法。, 例5-1-2 有兩只電容器， ， ，耐壓分別為450V及250V。 求（1）并聯(lián)使用時的等效電容及工作電壓；（2）串聯(lián)使用時的等效電容及允許的端電壓。, 例5-1-3 3只電容器連接如圖5-1-8所示，其中 ， 。 它們的耐壓都是50V。 求（1）等效電容；（2）它們總的端電壓u不能超過多少。,圖5-1-8 例5-1-3的圖,5.2 電感元件,5.2.1 電感元件 電感元件是實際電感器的理想模型。 將一根導(dǎo)線繞成線圈，當(dāng)線圈內(nèi)的電流 發(fā)生變化時，就會引起其磁通量的變化，使線圈周圍建立磁場，儲存磁場能量。, 若磁通與線圈匝相交鏈時，形成磁鏈。 圖5-2-1所示為一個線圈，其中的電流i產(chǎn)生的磁通與N匝線圈交鏈，則磁鏈為 = N。,圖5-2-1 電感線圈, 不考慮其他作用，只體現(xiàn)能夠建立磁場、儲存磁能這一物理特性的電路模型就是電路理論中的電感元件，簡稱為電感。, 定義：一個二端元件，如果在任一時刻，它的電流i同它的磁通鏈之間的關(guān)系可以用平面上的一條曲線來確定，則此二端元件稱為電感元件。 電流i同電感磁鏈的關(guān)系為, 式中，L是電感元件的參數(shù)，稱為電感，電感的單位為H（亨利，簡稱亨）。 在電子技術(shù)中，常采用較小的單位，如mH（毫亨）和H（微亨）。,圖5-2-2 電感元件的符號,圖5-2-3 線性電感元件的韋安特性,圖5-2-4 實際電感器模型,5.2.2 電感元件的伏安特性, 電感元件雖然是根據(jù) i關(guān)系來定義的，但在電路分析中常常使用其伏安特性。 如果通過電感的電流隨時間變化，磁鏈也相應(yīng)地跟隨變化，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，線圈兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓，如果通過電感的電流不變化，磁鏈也不發(fā)生變化，雖有電流卻沒有電壓。, 當(dāng)電壓與磁鏈參考方向符合右手螺旋法則時，則, 將式（5-2-2）代入式（5-2-1）可得 電感上電壓、電流符合關(guān)聯(lián)參考方向。, 式（5-2-3）表明，在某一時刻電感的電壓取決于該時刻電感電流的變化率，而與該時刻的電感電流無關(guān)。 如果電流不變，那么 ，雖然有電流，電壓也為零。, 故電感在直流情況下其兩端電壓為零，相當(dāng)于短路，或者說電感有通直流的作用。, 電感電流變化越快，即 越大，電感電壓也越大。 該公式是分析線性電感的基本公式。 它是以電感電壓與電流的參考方向一致為前提的。, 若電感電壓、電流是非關(guān)聯(lián)參考方向，則關(guān)系式前要加負(fù)號，即, 對式（5-2-3）積分，則電感電流i可表示為電壓u的函數(shù)，即, 表明，某一時刻t的電感電壓不僅取決于該時刻的電壓值，還取決于t之前，從到t的所有時間里的電壓值，因此，電感電流能記憶電壓的歷史，電感元件也是個記憶元件。,5.2.3 電感的儲能, 當(dāng)電感電流、電壓為關(guān)聯(lián)參考方向時，任一時刻電感吸收的瞬時功率為, 其中p(t)表示瞬時功率，當(dāng)p0時，電感吸收能量，當(dāng)p0時，電感釋放能量。, 從t = 到t時刻，電感吸收的磁場能量為, 由于t時，i() = 0，所以, 上式表明，當(dāng)線圈通有電流時，線圈中就要儲存磁場能量，通過線圈的電流越大，儲存的能量也越多，通電線圈從外界吸收能量；在通有相同電流的線圈中，電感越大的線圈，儲存的能量越多，因此，線圈的電感就反映它儲存磁場能量的能力。, 從時間t0到t1，線性電感元件吸收的磁場能量為, 電感元件不消耗能量，所以說電感元件僅是儲能元件。 它也不會釋放出多于所吸收或儲存的能量，是一種無源元件。,5.2.4 電感元件的串聯(lián)、并聯(lián),1電感的串聯(lián) 若有幾個電感串聯(lián)，如圖5-2-5所示，根據(jù)KVL，總電壓為, 其中， 為等效電感，是各串聯(lián)電感的總和。,圖5-2-5 電感元件的串聯(lián),2電感的并聯(lián), 若有幾個電感并聯(lián)，如圖5-2-6所示，根據(jù)KCL，總電流為,圖5-2-6 電感元件的并聯(lián), 其中， 為等效電路電感的初始電流，是各并聯(lián)電感初始電流的代數(shù)和。, 其中，Lp為等效電路的等效電感，其倒數(shù)為各并聯(lián)電感倒數(shù)的總和。, 一個實際的電感線圈，除了標(biāo)明它的電感量以外，還應(yīng)標(biāo)明它的額定工作電流。 在使用中，如果電流過大，會使電感線圈過熱而發(fā)生變形，甚至燒毀線圈。,5.3 動態(tài)電路的基本概念,5.3.1 概念 電容元件和電感元件其電壓和電流的約束關(guān)系是通過導(dǎo)數(shù)（或積分）表達的。, 當(dāng)電路中含電容和電感時，根據(jù)KVL和KCL以及元件的VCR建立的電路方程是以電流和電壓為變量的微分方程或微分積分方程，這顯然與電阻的情況不同，電阻電路的電路方程是代數(shù)方程。, 僅含有一個電容或一個電感的電路，當(dāng)電路的無源元件都是線性時不變時，電路方程將是一階線性常微分方程，用一階微分方程來描述的電路稱為一階動態(tài)電路。, 一階電路的分解及等效：一階動態(tài)電路可看成由兩個單口網(wǎng)絡(luò)組成，一個包含所有的電源及電阻元件組成含源電阻網(wǎng)絡(luò)，另一個則只含有一個動態(tài)元件，如圖5-3-1（a）所示。, 例如：一種方法，利用戴維南定理將含源電阻網(wǎng)絡(luò)化簡為電壓源與電阻串聯(lián)，如圖5-3-1（b）所示；另一種方法，利用諾頓定理將含源電阻網(wǎng)絡(luò)化簡為電流源與電阻并聯(lián)的形式，如圖5-3-1（c）所示。,圖5-3-1 一階電路的分解及等效, 在自然界中，各種事物的運動過程通常都存在穩(wěn)定狀態(tài)（穩(wěn)態(tài)）和過渡過程。 例如，有一個含有兩條支路的電路，第1條支路由一電阻箱和燈泡組成，另一條支路由一個線圈和燈泡組成。, 當(dāng)接通電源后，含有電阻支路中的燈泡瞬間就亮，但含有線圈支路的燈泡經(jīng)過一定的時間逐漸由暗變亮。 這就是說不含有動態(tài)元件的電路無過渡過程，含有動態(tài)元件的電路在接通直流電源時有過渡過程。, 一般說來，電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一種穩(wěn)定狀態(tài)的中間過程叫做電路的過渡過程。 在過渡過程中電路中的電壓、電流處于暫時的不穩(wěn)定狀態(tài)，因此過渡過程又稱為瞬態(tài)過程，簡稱瞬態(tài)。, 研究電路中的過渡過程是有實際意義的。 例如，有些電路利用電容器充電和放電的過渡過程來完成一些特定的任務(wù)，像積分電路、微分電路、多諧振蕩器等。, 另一方面，在電力系統(tǒng)中，由于過渡過程的出現(xiàn)將會引起過電壓和過電流，若不采取一定的保護措施，就可能損壞電氣設(shè)備。 因此，我們要對動態(tài)電路的過渡過程進行研究，以便掌握其規(guī)律。, 引起電路過渡過程的原因有兩個，即外因和內(nèi)因。 電路的接通或斷開，電源的變化，電路參數(shù)的變化，電路的改接等都是外因。, 只有外因還不一定能引起電路的過渡過程，還必須有內(nèi)因。 內(nèi)因是什么呢？即電路中必須含有儲能元件（或稱動態(tài)元件）。,5.3.2 換路定律, 電路結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化引起的電路變化統(tǒng)稱為“換路”。 換路可能使電路改變原來的工作狀態(tài)，轉(zhuǎn)變到另一個工作狀態(tài)。, 我們研究的是換路后電路中電壓或電流的變化規(guī)律，知道了電壓、電流的初始值，就能掌握換路后電壓、電流是從多大的初始值開始變化的。, 一般認(rèn)為換路是在t = 0時刻進行的，把換路前的最終時刻記為t = 0，把換路后的最初時刻記為t = 0+，換路經(jīng)歷的時間為0到0+。, 當(dāng)電路發(fā)生換路時，由于動態(tài)元件的存在，動態(tài)電路由原工作狀態(tài)轉(zhuǎn)變到新工作狀態(tài)往往需要經(jīng)歷一個過程，在工程上稱為過渡過程。, 分析動態(tài)電路的過渡過程的方法之一是：根據(jù)KCL、KVL和支路的VCR建立描述電路的方程，建立的方程是以時間為自變量的線性常微分方程，然后求解常微分方程，從而解出電路變量（電壓或電流），它們都是時間的函數(shù)，能夠完整表達過渡過程的變化規(guī)律。, 此方法稱為經(jīng)典法，它是一種在時間域中進行分析的方法。, 求解常微分方程時，必須給出電路的初始條件，從而確定解答中的積分常數(shù)。 設(shè)描述電路動態(tài)過程的微分方程為N階，則需由初始條件確定電路中所求變量（電壓或電流）及其（n1）階導(dǎo)數(shù)在t = 0+時的值，稱為初始值。,1具有電容的電路, 對于線性電容，在任意時刻t，其電壓與電流的關(guān)系為, 令t0 = 0，t = 0+，則, 如果在換路前后，即0到0+的瞬間，流入（或流出）電容的電流iC(t)為有限值，則上式中右邊的積分項將為零，此時電容上的電荷和電壓應(yīng)當(dāng)保持換路前一瞬間的原有值而不能躍變，即, 如果電容上電壓uC可以躍變，即t = 0時，uc由0突變?yōu)閁S，那么電路中的電流 ，這與電路電流為有限 值相矛盾。, 另外，從能量的觀點來看，當(dāng)開關(guān)合上之前，電容的電場中儲能為零。 開關(guān)合上的瞬間，若uC躍變，電場能量就要躍變，則電路中的瞬時功率p = 。, 也就是說在電路接通的瞬間，需要電源供給電路無窮大的功率，對實際電源來講這是不可能的。 所以RC串聯(lián)電路接通電源的瞬間，電容上的電壓不能躍變。, 在t = 0時刻，若電容電壓為U0，其電壓在換路瞬間不發(fā)生躍變，因此uC(0+) = uC(0) = U0，可見在換路后的瞬間，電容可視為一個電壓值為U0的電壓源。, 對于在t = 0時刻不帶電壓（即未充電）的電容來說，其電壓在換路瞬間不發(fā)生躍變的情況下，uC(0+) = uC(0) = 0，在換路后瞬間電容相當(dāng)于短路。,2具有電感的電路, 對于線性電感來說，在任意時刻t，其電流與電壓的關(guān)系為, 令t0 = 0，t = 0+，則, 如果t從0到0+的瞬間，電感電壓uL(t)為有限值，式中右方的積分項將為零，此時電感中的電流不發(fā)生躍變，即, 如果電流可以躍變，即dt = 0時，若di 0， 則電感上電壓 ，這與電源電壓 為有限值是矛盾的。, 另外，從能量的觀點來看，當(dāng)開關(guān)合上時，電感中電流為零，磁場能量也為零。 當(dāng)開關(guān)合上的瞬間，若電流躍變，磁場能量就躍變，則電路中的瞬間功率 。, 這就是說，在電路接通的瞬間，需要電源供給電路無窮大的功率，對任何實際電源來說，這是不可能的。 所以，RL串聯(lián)電路接通電源瞬間，電流不能躍變。, 在t = 0時電流為I0的電感，其電流在換路瞬間不發(fā)生躍變，因此iL(0+) = iL(0) = I0， 此電感在換路后瞬間可視為一個電流值為I0的電流源。, 對于t = 0時電流為零的電感，在換路瞬間不發(fā)生躍變的情況下，iL(0+) = iL(0) = 0，此電感在換路后瞬間相當(dāng)于開路。,在換路前后電容流過的電流和電感兩端的電壓為有限值的條件下，換路瞬間電容電壓和電感電流不能躍變，即 這個規(guī)律被稱為換路定律。, 注意： （1）換路定律僅表明當(dāng)電路發(fā)生換路時，iL、uC將保持換路前一瞬間的數(shù)值，但隨著時間的推移，它們將會從這個數(shù)值逐漸向新的穩(wěn)態(tài)值變化。,（2）換路定律只對iL和uC具有約束作用，電路中其他電壓、電流不受換路定律的約束，因此可以發(fā)生躍變。,5.3.3 初始值的計算, 由于基爾霍夫電流和電壓定律是反映電路中互連的規(guī)律，只與元件的連接方式有關(guān)，而與構(gòu)成電路元件性質(zhì)無關(guān)，故對動態(tài)電路仍適用。, R、L、C 3種元件的電壓與電流關(guān)系式則要用基本關(guān)系式 ； ； 。 若電路是線性的，疊加定理也適用。, 只由電阻和電源組成的部分，可以用戴維南等效電路或諾頓等效電路來代替。 換路后瞬間電容電壓、電感電流的初始值，用uC(0+)和iL(0+)來表示，它是利用換路前瞬間t = 0電路確定uC(0)和iL(0)，再由換路定律得到uC(0+)和iL(0+)的值。, uC(0+)和iL(0+)可以確定電路的初始狀態(tài)，因此稱uC(0+)和iL(0+)為獨立的初始條件。 其余電路變量在t = 0+時刻的值，稱為非獨立的初始條件。, 該電路的非獨立初始條件，即電阻的電壓或電流、電容電流、電感電壓等則需要通過已知的獨立初始條件求得。, 若電路中的激勵全部為直流，發(fā)生換路前t = 0時刻，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，各支路電壓、電流對時間的變化率為零，根據(jù)兩種元件的VCR可知iC(0) = 0、uL(0) = 0，因此，計算uC(0)和iL(0)的值時，可將換路前電路中的電容開路而電感短路，則uC(0)即為原電容位置的開路電壓，iL(0)為原電感位置的短路電流。, 例5-3-1 在圖5-3-2（a）所示的電路中，開關(guān)S在t = 0時閉合，開關(guān)閉合前電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)。 試求初始值uC(0+)、iL(0+)、i1(0+)、i2(0+)、ic(0+)和uL(0+)。, 解（1）電路在t = 0時發(fā)生換路，欲求各電壓、電流的初始值，應(yīng)先求uC(0+)和iL(0+)。, 通過換路前穩(wěn)定狀態(tài)下t = 0電路可求得uC(0)和iL(0)。 在直流穩(wěn)態(tài)電路中，uC不再變化，duC/dt = 0，故iC = 0，即電容器C相當(dāng)于開路。, 同理，iL也不再變化，diL/dt = 0，故uL = 0，即電感器L相當(dāng)于短路。 所以t = 0時刻的等效電路如圖5-3-2（b）所示，由該圖可知,圖5-3-2 例5-3-1圖, 例5-3-2 電路如圖5-3-3（a）所示，開關(guān) S閉合前電路無儲能，開關(guān)S在t = 0時閉合，試求i1、i2、i3、uC、uL的初始值。,圖5-3-3 例5-3-2圖, 通過以上例題，可以歸納出求初始值的一般步驟如下。,（1）根據(jù)t = 0時的等效電路，求出uC(0)及iL(0)。 （2）作出t = 0+時的等效電路，并在圖上標(biāo)出各待求量。 （3）由t = 0+等效電路，求出各待求量的初始值。, 例5-3-3 直流電源的電壓US = 100V，R2 = 100，開關(guān)S原先合在位置1，電路處于穩(wěn)態(tài)。 試求S由位置1合到位置2的瞬間，電路中電阻R1、R2上及電容C上的電壓和電流的初始值。, 例5-3-4 如圖5-3-5所示電路，設(shè)已知US = 10V，R1 = 6，R2 = 4， = 2mH，求當(dāng)開關(guān)S閉合后t = 0+時各電流及電感電壓的數(shù)值（開關(guān)S閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)）。,圖5-3-4 例5-3-3圖,圖5-3-5 例5-3-4圖,5.4 一階電路的零輸入響應(yīng), 電路中含有一個獨立的動態(tài)元件（L或C），描述電路性狀的方程稱為一階微分方程，這種電路叫一階動態(tài)電路，簡稱一階電路。 沒有外加電源，由電容元件和電感元件儲存的能量激勵電路產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)。, 零輸入響應(yīng)依靠動態(tài)元件的初始儲能進行，當(dāng)電路中存在著耗能元件R時，有限的初始儲能最終將被消耗殆盡，零輸入響應(yīng)終將為零，即零輸入響應(yīng)是一個放電過程。,5.4.1 RC電路的零輸入響應(yīng), RC電路如圖5-4-1所示，開關(guān)S閉合前，電容器C已充電，其電壓uC = U0。 現(xiàn)把開關(guān)動作時刻取為計時起點（t = 0）。,圖5-4-1 RC零輸入響應(yīng)電路, 換路瞬間，由于電容電壓不能躍變，所以此時電容器兩端仍具有初始電壓，即 。, 因此在換路瞬間，電流將由0躍變U0/R。隨后電容儲存的電荷通過電阻放電，電容電壓逐漸減少，最后為零。 放電電流也相應(yīng)地從U0/R逐漸下降為零。, 在這個過程中電容儲存的電場能量逐漸為電阻消耗，轉(zhuǎn)化為熱能。 此時 ， ， 。, 電容器初始狀態(tài)并非為零，具有U0初始電壓，這叫做非零初始狀態(tài)。 當(dāng)開關(guān)閉合后，即t 0時，根據(jù)KVL可得, 將電阻元件、電容元件的伏安關(guān)系式 ， 代入上述方程，則得微分方程, 這是一階常系數(shù)線性齊次微分方程。 由高等數(shù)學(xué)可知，此方程的通解為, 代入式（5-4-1）后有 相應(yīng)的特征方程為,特征根為 因此 再由初始值確定待定系數(shù)A。, 將初始條件uC(0+) = U0代入上式，uC(0+) = Ae0 = U0，則A = U0。 由此，我們得到了滿足初始條件的微分方程的解，即RC電路的零輸入響應(yīng)為, 這就是電容對電阻放電過程中電容電壓uC的表達式。 電路中的放電電流, 電阻兩端的電壓, 從以上表達式可以看出，電壓uC、uR及電流i都是按照同樣的指數(shù)規(guī)律衰減的。 它們衰減的快慢取決于指數(shù)中RC的大小。 當(dāng)電阻的單位為，電容的單位為F時，乘積RC的單位為s，稱為RC電路的時間常數(shù)，用 表示， = RC。, 引入 后，電容電壓uC和電流i可以分別表示為,圖5-4-2所示為電壓uC和電流i隨時間變化的曲線。,圖5-4-2 一階RC電路零輸入響應(yīng)曲線, 電壓、電流衰減的快慢取決于時間常數(shù)的大小， 越大，衰減越慢，反之則越快。 越大，說明R或C越大。, 從物理概念上講，如C一定，電阻R愈大，則放電電流的起始值就愈小，放電所需時間長，放電速度慢；如R一定，則放電電流的起始值一定，C愈大，電容起始儲存的電荷愈多，放電需要的時間就愈長。, 的大小反映了一階電路過渡過程的進展速度，它是反映過渡過程特性的一個重要的量。 理論上，按照指數(shù)規(guī)律，需要經(jīng)過無限長的時間過渡過程才能結(jié)束。, 但當(dāng)t = (35) 時，電容上的電壓已達（0.04980.00674）U0（見表5-4-1），通常認(rèn)為電容器放電基本結(jié)束，電路進入穩(wěn)定狀態(tài)。, 例5-4-1 在圖5-4-4所示的電路中，C = 0.5F，R1 = 100，R2 = 50k，Us = 100V，當(dāng)電容器充電至200V后，將開關(guān)K由接點1轉(zhuǎn)向接點2。 求初始電流、時間常數(shù)和電容電壓。,圖5-4-3 不同時間常數(shù)時uC的變化曲線,圖5-4-4 例5-4-1圖, 例5-4-2 在圖5-4-5（a）所示電路中，當(dāng)t0時電路已處于穩(wěn)態(tài)，在t = 0時打開開關(guān)K。求打開開關(guān)K后的電流i(t)。,圖5-4-5 例5-4-2的電路,5.4.2 RL電路的零輸入響應(yīng), 在RL電路中，沒有外部激勵源作用只是由電感初始儲能引起的響應(yīng)，稱為RL電路的零輸入響應(yīng)。 圖5-4-6（a）所示電路，開關(guān)未動作之前電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，t = 0時開關(guān)由1倒向2，構(gòu)成RL回路，等效電路如圖5-4-6（b）所示。,圖5-4-6 零輸入響應(yīng)電路,在開關(guān)K換路前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，電 感相當(dāng)于短路，流過的電流為 ， 由換路定律 i(0+) = i(0) = I0換路瞬間電感 中儲存的能量為 。, 回路中的電流不能立即降為零，而是在RL構(gòu)成的電路中繼續(xù)流動，由于電阻器R是耗能元件，它不斷地吸收能量，電感中的儲能不斷減少，電流將逐漸衰減，最后變到零，過渡過程也隨之結(jié)束。 這就是通常所說的電感的“放電”過程。,圖5-4-7 RL電路電流、電壓波形圖, iL(t)、uL(t)的波形都是按指數(shù)規(guī)律從最大值開始衰減的，衰減的快慢同樣取決于時間常數(shù)。, 在相同的初始電流條件下，L越大，存儲的磁場能量越多，電阻消耗磁場能量的時間就越長；電阻越大，在同樣的電流下，電阻消耗的能量越大，磁場能量釋放的越快。 在工程上一般認(rèn)為當(dāng)時間經(jīng)過(35) 后，過渡過程就已結(jié)束。, 例5-4-3 如圖5-4-8所示電路，t = 0時開關(guān)K由12，開關(guān)動作前電路已處于穩(wěn)態(tài)。 求t0時電感電壓和電流。,圖5-4-8 例5-4-3圖,5.4.3 零輸入響應(yīng)的一般形式, 對上述RC電路和RL電路的零輸入響應(yīng)分析可以看出，對任意時間常數(shù)為非零有限值的一階動態(tài)電路，不僅電容電壓、電感電流而且所有的電壓、電流的零輸入響應(yīng)，都是從它的初始值開始按指數(shù)規(guī)律衰減到零的，并且同一電路中所有電壓、電流的時間常數(shù)相同。, 若以f(t)表示電壓或電流，f(0+)表示電壓或電流的初始值，用 表示時間常數(shù)，則式（5-4-2）、式（5-4-4）可統(tǒng)一記為, 對于RC電路， = RC；對于RL電路 = L/R（R為從動態(tài)元件兩端看進去的等效電阻）。 由此可見，只要計算出一階電路的初始值f(0+)、時間常數(shù)，便可直接寫出表達式。, 電容電壓或電感電流非零初始值也是一種激勵，該激勵產(chǎn)生相應(yīng)的響應(yīng)。 其有別于獨立電源激勵產(chǎn)生的響應(yīng)。, 時間常數(shù) 愈小，衰減愈快。, 式（5-4-6）的零輸入響應(yīng)形式不僅適用于狀態(tài)變量，也適用于非狀態(tài)變量。 零輸入響應(yīng)線性：初始值增加K倍，零輸入響應(yīng)也增加K倍。, 反映一階電路特性的時間常數(shù)是特征根，亦即固有頻率倒數(shù)的相反數(shù)。 在電路理論中，固有頻率用來表征電路的固有性質(zhì)。 固有頻率是負(fù)實數(shù)，表明響應(yīng)總是按指數(shù)規(guī)律衰減的。, 例5-4-4 在圖5-4-9中，K是電阻 = 250的繼電器，吸合時，其電感L = 25H，R1 = 230，US = 24V。 設(shè)這種繼電器的釋放電流為，問當(dāng)K閉合后多少時間繼電器開始釋放？,圖5-4-9 例5-4-4圖,5.5 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng), 零狀態(tài)響應(yīng)就是電路在零初始狀態(tài)，即動態(tài)元件初始儲能為零的情況下由外施激勵引起的響應(yīng)。 零狀態(tài)響應(yīng)是儲能從無到有的建立過程充電過程。,5.5.1 RC電路的零狀態(tài)響應(yīng), 在圖5-5-1中，當(dāng)開關(guān)K剛合上時，電容器上還沒有電荷，它的電壓uC = 0，此時uR = US，電路里的起始電流I0為最大， 。, 隨著充電過程的發(fā)展，電路里有了電流，電容器極板上就開始積累電荷，電容器上的電壓uC就隨時間逐漸上升，由于，因此隨著uC的升高，電阻兩端電壓uR就不斷減小。, 根據(jù)歐姆定律 可知，充電電流也隨著變小。 充電過程延續(xù)到一定時間以后，uC增加到趨近于電源電壓US，則充電電流趨近于零，充電過程基本結(jié)束。, 由于電容器兩端電壓與電容電流的關(guān)系為, 將上式代入 中，得 （一階線性常系數(shù)非 齊次微分方程）, 解的形式由兩部分組成： 為對應(yīng)非齊次微分方程的特解， 為對應(yīng)齊次微分方程的通解。, 對應(yīng)齊次微分方程與（5-4-1）式相同，其通解為 式中 為時間常數(shù)： = RC。, 由于電路的激勵是直流電源，非齊次微分方程的特解應(yīng)與輸入的激勵函數(shù)式相同，即, 微分方程的解為 代入初始條件得 A = US, 于是解出電容電壓為, 根據(jù)電容的伏安關(guān)系 將上式代入 中，得, 其中US 、R 、C在具體電路中是常數(shù)。 圖5-5-2所示為零輸入響應(yīng)隨時間變化的過程曲線。,圖5-5-1 RC電路的零狀態(tài)響應(yīng),圖5-5-2, 理論上，按照指數(shù)規(guī)律，需要經(jīng)過無限長的時間充電過程才能結(jié)束。 但當(dāng)t = (35)時，電容上的電壓已達（0.950.99）US（見表5-5-1），通常認(rèn)為電容器充電基本結(jié)束，電路進入穩(wěn)定狀態(tài)。, 從上表中可以看出，當(dāng)t = 時，充電電流恰好減小到其初始值的37%。 因此時間常數(shù) 是過渡過程已經(jīng)變化了總變化量的63%（余下37%）所經(jīng)過的時間。 固有頻率, 從以上式子可以得出：電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩部分構(gòu)成：穩(wěn)態(tài)分量（強制分量）+暫態(tài)分量（自由分量）。, 電容電壓和電流隨時間變化的曲線如圖5-5-3所示。 響應(yīng)與外加激勵成線性關(guān)系。,圖5-5-3 電容電壓和電流隨時間變化的曲線, 能量關(guān)系：在充電過程中電容儲存的能量為 ，電阻消耗的總能量為, 該能量與R的大小無關(guān)。 在充電過程中電阻所消耗的總能量與電容最后所儲存的能量是相等的，電源提供的能量為, 例5-5-1 在圖5-5-1所示的電路中，已知US = 100V，R = 1M，C = 50F，問當(dāng)K閉合后經(jīng)過多少時間電流減小到其初始值的一半？,5.5.2 RL電路零狀態(tài)響應(yīng), 在圖5-5-4所示的RL串聯(lián)電路中，K剛剛閉合時，由于電感電流不能躍變，所以在t = 0+時電路中的電流仍然為零，電感相當(dāng)于開路，電阻上沒有電壓，這時電路的方 程為uR + uL=US，即 ，電感兩 端的電壓uL必然等于電源電壓US。,圖5-5-4 RL串聯(lián)電路, 隨著電流的逐漸上升，電阻電壓也逐漸增大，電感上的電壓逐漸減小，電流的變化率也在逐漸減小，并且越來越慢，當(dāng)時間t后，電流不再變化，電感電壓幾乎為零，電感如同短路一樣，電路中電流 。, 由KVL方程 ：, 由RC電路零狀態(tài)響應(yīng)的求解步驟得, 由此方程看出，RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)是由零值開始按指數(shù)規(guī)律變化的，直到穩(wěn)態(tài)值 。 式中 ，稱為RL電路的時間常數(shù)。, 充電時電感電壓與電流的波形圖如圖5-5-5所示。,圖5-5-5 充電時電感電壓與電流的波形圖, 事實上，對于一階電路在直流電源作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，無論是RC電路還是RL電路，其物理過程的實質(zhì)都是電路中儲能元件的儲能從無到有逐漸增長的過程。 對于RC電路來說，電容電壓uC從零開始按指數(shù)規(guī)律上升到它的穩(wěn)態(tài)值uC()。, 對于RL電路來說，電感電流iL從零開始按指數(shù)規(guī)律上升到它的穩(wěn)態(tài)值iL()。 它們具有相同的變化形式，時間常數(shù) 分別為RC 和 。, 當(dāng)電路達到穩(wěn)態(tài)時，電容相當(dāng)于開路，電感相當(dāng)于短路。 所以零狀態(tài)響應(yīng)的一般形式為, 由此可見，無論RC電路還是RL電路只要確定穩(wěn)態(tài)值f()、時間常數(shù) 就可以確定電路在零初始狀態(tài)下，僅由外加激勵作用所產(chǎn)生的響應(yīng)。, 例5-5-2 電路如圖5-5-6所示，K閉合前電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，t = 0時，開關(guān)K閉合，求t0時的iL(t), uL(t),圖5-5-6 例5-5-2的圖, 例5-5-3 圖5-5-7（a）所示電路中的開關(guān)S打開已久，t = 0時將開關(guān)S閉合。 已知iL(0) = 0A，求t0時的電流i。,圖5-5-7 例5-5-3的圖,5.5.3 RC串聯(lián)電路充放電過程的應(yīng)用, 在電子技術(shù)中，常利用RC串聯(lián)電路的充放電過程來實現(xiàn)微分電路和積分電路。,1微分電路, 圖5-5-8所示為一種簡單的微分電路。 由電容和電阻串聯(lián)后的兩端A、B作為輸入端，電阻R的兩端C、D作為輸出端（B和D實際為一點）。,圖5-5-8 微分電路, 這樣的電路，為什么叫微分電路呢？我們看一看輸出電壓與輸入電壓的關(guān)系。 選擇電流和電壓的參考方向如圖中所示。,輸出電壓 輸入電壓, 在電容uc電壓遠(yuǎn)大于電阻R上電壓u2期間，即ucu2時，就有,所以 這樣輸出電壓u2與輸入電壓u1之間就有微分關(guān)系。,圖5-5-9 微分電路的工作過程,2積分電路, 圖5-5-10所示為電阻器電容器組成的積分電路，它的輸出電壓u2與輸入電壓u1之間存在積分關(guān)系。,圖5-5-10 積分電路, 積分電路的條件是： （1）時間常數(shù) a； （2）從電容兩端輸出。, 在脈沖電路中，常應(yīng)用積分電路將矩形脈沖換成近似三角形。 如圖5-5-11所示。,圖5-5-11 將矩形脈沖換成近似三角形,5.6 一階電路的全響應(yīng), 一階電路換路后由外