平穩(wěn)時(shí)間序列模型預(yù)測.ppt

1,第四章 平穩(wěn)時(shí)間序列模型預(yù)測,時(shí)間序列分析預(yù)測的重要性 時(shí)間序列分析的一個(gè)重要的目的是預(yù)測其未來值，就是根據(jù)以往積累的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，先確定其時(shí)序模型的形式，然后對未來可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行預(yù)測。 預(yù)測是計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析的重要部分，對某些人來說也許是最重要的部分。 概括地說，在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中依據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)預(yù)測的方法有四種：(1)單一方程回歸模型；(2)聯(lián)立方程回歸模型；(3)自回歸移動(dòng)平均模型；(4)向量自回歸模型。,2,第一節(jié) 預(yù)測準(zhǔn)則,稱 為 的預(yù)測值或 的h步預(yù)測值 怎樣選取預(yù)測函數(shù) 呢？直觀的想法是所選取的預(yù)測函數(shù)應(yīng)能夠使預(yù)測誤差 盡可能的小。這就需要確定一種準(zhǔn)則，使得依據(jù)這種準(zhǔn)則能衡量采用某種預(yù)測函數(shù)所得的預(yù)測誤差比采用別的預(yù)測函數(shù)所得的預(yù)測誤差小。,3,一、 從幾何角度提出預(yù)測問題,對在t+h的取值進(jìn)行預(yù)測，我們所能利用的就是yt在t和以前時(shí)刻的取值 所提供的信息,也就是說 是 的函數(shù)，我們知道最簡單的函數(shù)是的線性函數(shù)，設(shè)為 現(xiàn)在的問題是如何求出系數(shù) 使得 與 最接近。,4,圖4.1 在平面M上的投影 從幾何圖形來看，離yt+h最近的是向量yt+h在平面M上的投影。,5,二、求解正交投影,基于直到時(shí)刻t的信息集 對變量 取值的預(yù)測記為 ，為獲得此預(yù)測必需指明相應(yīng)的損失函數(shù)(loss function)。一個(gè)十分方便的結(jié)果是選取平方損失函數(shù)，即選取 ，使其均方誤差達(dá)到最小。 容易知道， 關(guān)于 的條件期望 是 關(guān)于 的最小均方誤差預(yù)測。 這種預(yù)測具有許多優(yōu)良性質(zhì)，但其計(jì)算比較復(fù)雜。在許多的實(shí)際應(yīng)用問題，我們更感興趣于在的線性函數(shù)類中尋求的預(yù)測。,6,例如 時(shí)，可選?。?假定我們已求得 之值，使得 預(yù)測誤差 與 無關(guān) 即有 成立 則稱(4.1)式為yt+1關(guān)于 的線性投影。并記為,7,三、最小均方誤差預(yù)測,設(shè)隨機(jī)序列適合一個(gè)ARMA模型，即 在已知 的條件下，很自然會考慮到 的線性函數(shù) 這是一種比較容易處理而在使用中最有廣泛意義的情形。作為一個(gè)好的預(yù)測值，應(yīng)該滿足預(yù)測的誤差越小越好，于是問題轉(zhuǎn)化為求 使 與 之間的誤差最小。使預(yù)報(bào)的均方誤差最小的稱為線性最小均方預(yù)測。,8,綜上可得，yt+h的線性最小均方誤差預(yù)測為 稱(4.5)式為線性最小均方誤差預(yù)測的傳遞函數(shù)形式。我們知道這是可以實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)橐粋€(gè)系統(tǒng)的參數(shù)完全可以由其格林函數(shù)確定。 預(yù)測的殘差為 預(yù)測誤差方差為,9,第二節(jié) ARMA模型預(yù)測,前面我們對最小均方預(yù)測的基本原理進(jìn)行了討論，所有的結(jié)論都是在平穩(wěn)的條件下得到的。下面我們求ARMA模型的最小均方預(yù)測。 一、AR(p)模型的預(yù)測 考慮一個(gè)AR(2)模型 其向前一步的預(yù)測為 一步預(yù)測的誤差方差為,10,向前二步的預(yù)測為 注意到 故二步的預(yù)測誤差的方差為,11,更一般的情形，遵從AR(p)的序列滿足隨機(jī)差分方程 由差分方程很容易得到AR(p)的最小均方誤差預(yù)測公式為 再根據(jù)(4.9)式，AR(p)模型的遞推預(yù)報(bào)公式為：,12,. 由上式可以看出，AR(p)模型的最小均方預(yù)測公式比較簡單，只要知道 這p個(gè)歷史值便可以得到任意步長的平穩(wěn)線性最小均方預(yù)測。正是因?yàn)锳R模型的建模與預(yù)測的簡單性，所以它成為預(yù)測問題中應(yīng)用得最為廣泛的時(shí)間序列模型。,13,二、MA(q)模型的最小均方預(yù)測,對于MA(q)模型 我們可以得到預(yù)測值的遞推公式為 分析預(yù)測公式(4.11)，可以看出MA模型的最佳預(yù)測具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：,(4.11),14,(1)MA(q)模型只能對未來進(jìn)行q步預(yù)測，當(dāng)hq時(shí)，預(yù)測值為零(時(shí)間序列均值為零)；因此當(dāng)模型階數(shù)較低時(shí)，MA模型只能進(jìn)行短期預(yù)測； (2)MA模型預(yù)測中使用的 ，其數(shù)據(jù)需要 的全部歷史數(shù)據(jù)迭代計(jì)算，并需要設(shè) 的取值，由此可知這種處理比較繁瑣，有一定主觀性，故不便應(yīng)用。,15,設(shè)有MA(2)模型 則有一步預(yù)測 因而 又由于 ，因此預(yù)測誤差的方差等于 。 對于前兩步預(yù)測 易知 預(yù)測誤差為,預(yù)測誤差的方差為,16,類似可得三步預(yù)測的誤差為 預(yù)測誤差的方差為 與前三步預(yù)測相似，模型中已沒有記憶對前四步預(yù)測有幫助。這時(shí)的預(yù)測值已經(jīng)是這個(gè)系統(tǒng)的均值。即有 其預(yù)測誤差的方差為 更一般的情況，對于一個(gè)MA(q)模型 h步預(yù)測公式為,17,h步預(yù)測殘差的方差為 三、 ARMA(p,q)預(yù)測 對于一個(gè)ARMA模型， 仿照AR和MA模型同樣的步驟可以推得關(guān)于ARMA(p,q)模型的預(yù)測公式， ,18, 分析上面的公式可知，ARMA(p,q)模型的最佳計(jì)算具有以下特點(diǎn)： (1)當(dāng) 時(shí)，預(yù)測計(jì)算公式中包含了 , 這 q 個(gè)值，與MA模型的預(yù)測計(jì)算一 樣，需要由 迭代計(jì)算出 ，因此ARMA 模型的預(yù)測計(jì)算也非常繁瑣； (2) 當(dāng)hq時(shí)，預(yù)測計(jì)算中不包含MA部分，可由 進(jìn)行遞推計(jì)算；,19,(3) 當(dāng)hq時(shí)，如果把 看成h的函數(shù)(記為 )， 則預(yù)測公式是一個(gè)關(guān)于 的齊次差分方程；因此，如同AR模型的最佳預(yù)測一樣， 也可以 由齊次差分方程所確定。 根據(jù)上面的分析可知，ARMA模型的最佳預(yù)測計(jì)算遠(yuǎn)較AR模型復(fù)雜，同時(shí)其建模過程也是繁瑣的。,20,第三節(jié) 案例分析,【例4.1】基于批發(fā)價(jià)格指數(shù)的美國通貨膨脹研究 批發(fā)價(jià)格指數(shù)(Wholesale Price Index，簡記為WPI)是通貨膨脹測定指標(biāo)的一種，它是根據(jù)大宗物資批發(fā)價(jià)格的加權(quán)平均價(jià)格編制而得的物價(jià)指數(shù),反應(yīng)不同時(shí)期生產(chǎn)資料和消費(fèi)品批發(fā)價(jià)格的變動(dòng)趨勢與幅度的相對數(shù)。包括在內(nèi)的產(chǎn)品有原料、中間產(chǎn)品、最終產(chǎn)品與進(jìn)出口品，但不包括各類勞務(wù)。批發(fā)價(jià)格是在商品進(jìn)入零售，形成零售價(jià)格之前，有中間商或批發(fā)企業(yè)所訂，其水平?jīng)Q定于出廠價(jià)格或收購價(jià)格，對零售價(jià)格有決定性影響。,21,所以有經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為批發(fā)價(jià)格指數(shù)比消費(fèi)物價(jià)指數(shù)具有更廣泛的物價(jià)變動(dòng)代表性，為此我們搜集了1960年第1季度至1990第4季度美國的WPI指數(shù)進(jìn)行研究，數(shù)據(jù)來源于美國勞工統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站/。 從1960年第1季度至1990第4季度的WPI共有124個(gè)數(shù)據(jù)，使用EViews命令 Plot WPI 可得其水平序列圖如下,22,圖4.2 美國批發(fā)價(jià)格指數(shù),23,在EViews中雙擊WPI這個(gè)序列，點(diǎn)擊ViewDescriptive StatisticsHistogram and Stats， 則可以得到它基本描述統(tǒng)計(jì)特征圖4.3。,24,從圖4.3可以得知，WPI的平均值是62.7742，最大值是116.2000，最小值是30.5000，標(biāo)準(zhǔn)差是30.2436，并且這是一個(gè)服從雙峰分布的變量。 為了判斷時(shí)間序列模型的類型，我們要計(jì)算出自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)值。在EViews中雙擊WPI這個(gè)序列，點(diǎn)擊ViewCorrelogram，在彈出的對話框中選擇Level，然后點(diǎn)擊確定，可得WPI的自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)圖4.4,25,圖4.4 WPI的自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)圖 雖然偏相關(guān)函數(shù)是截尾的，但自相關(guān)函數(shù)衰減很慢(幾乎不減少，所以不是拖尾的)，因此WPI是一個(gè)非平穩(wěn)序列。,26,如果非要認(rèn)為自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則照第三章的標(biāo)準(zhǔn)，模型應(yīng)該是AR(1)的，使用命令 LS WPI c AR(1)可得輸出輸出結(jié)果表4.1,27,從表4.1的最后一行的輸出結(jié)果“Estimated AR process is nonstationary”，可看出這個(gè)AR(1)過程是非平穩(wěn)的。所以下面我們依照博克斯詹金斯方法的思路：原始序列不平穩(wěn)，但其差分序列可能是平穩(wěn)的。所以下面我們對WPI的差分序列建模。 使用命令 genr Dwpi=D(WPI),生成WPI的差分序列。然后用命令Plot Dwpi 畫出Dwpi的差分圖形4.5。雙擊Dwpi這個(gè)序列,點(diǎn)擊ViewCorrelogram，在彈出的對話框中選擇Level，然后點(diǎn)擊確定，可得WPI的自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)圖4.6,28,圖4.5 WPI的差分序列圖,29,從圖4.5看出序列Dwpi是一個(gè)無趨勢的序列；從圖4.6可以看出序列Dwpi偏相關(guān)函數(shù)3階以后是截尾的，但自相關(guān)函數(shù)是拖尾的。因此序列Dwpi是一個(gè)平穩(wěn)序列，適合建立一個(gè)AR(3)的模型，使用命令 LS Dwpi c AR(1) AR(2) AR(3)可得輸出輸出結(jié)果表4.2,圖4.6Dwpi的自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)圖,30,表4.2 AR(3)模型的輸出結(jié)果,31,從表4.2可以看出AR(2)的系數(shù)對應(yīng)的 p值較大，所以統(tǒng)計(jì)上不顯著。因此剔除AR(2)這一項(xiàng)以后，再對模型進(jìn)行擬合可得表4.3,32,從表4.3可以看出，模型的三個(gè)參數(shù)都通過了t檢驗(yàn)，所以這些變量選用是恰當(dāng)?shù)?；且F統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)的p值較小，所以模型的整體擬合效果較好。在輸出結(jié)果視圖下，點(diǎn)擊ViewResiduals Tests Correlogram-Q-Statistic，可得模型殘差序列的自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)圖4.7,33,因?yàn)镼(3)Q(10)對應(yīng)的p值都比0.05大，可以認(rèn)為模型的殘差序列為白噪聲，這也說明模型的擬合效果比較好。所以最終模型為 即 由于變量差分后損失了很多信息，所以差分序列的模型的R2不可能很高。還需要注意的是對輸出結(jié)果解釋，根據(jù)Wold分解定理EViews的輸出格式表示的是：對序列(Dwpit-0.8280)建立剔除AR(2)這一項(xiàng)后的AR(3)模型，而不是對Dwpit建立AR(3)模型；,34,輸出結(jié)果中的0.8280是Dwpit的均值，而不漂移項(xiàng)，它的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義是41年間的WPI的季度平均凈增值是0.8280。 上述案例分析中描述統(tǒng)計(jì)量、自相關(guān)函數(shù)、偏相關(guān)函數(shù)和ARMA模型的估計(jì)也可以用R軟件來實(shí)現(xiàn)，下面我們給出相應(yīng)的R程序。其中的中文是對下面各語句的文字說明，在運(yùn)行中可以去掉。 (讀取數(shù)據(jù)) WPI.dat=read.table(“c:/WPI.txt“,header=T) attach(WPI.dat) WPI,35,(畫圖) plot(WPI,type=“l(fā)“) #畫線圖 hist(WPI) #畫直方圖 acf(WPI, type = “correlation“) #畫自相關(guān)函數(shù)圖 acf(WPI, type =“partial“) #畫偏相關(guān)函數(shù)圖 plot(diff(WPI),type=“l(fā)“) #畫差分序列Dwpi線圖 hist(diff(WPI) #畫差分序列Dwpi直方圖 acf(diff(WPI), type = “correlation) #畫差分序列 Dwpi自相關(guān)函數(shù)圖 acf(diff(WPI), type =“partial“) #畫差分序列Dwpi 偏相關(guān)函數(shù)圖,36,(描述統(tǒng)計(jì)量) summary(WPI) #給出最小值、第一分位數(shù)、中位數(shù)、平均值、第三分位數(shù)、最大值 var(WPI) #給出方差 sd(WPI) #給出標(biāo)準(zhǔn)差 (估計(jì)模型) arima(WPI, order = c(1, 0, 0), method = “CSS”) #對WPI擬合AR(1)模型 fit=arima(diff(WPI), order = c(3, 0, 0), method = “CSS“) #對差分序列Dwpi擬合AR(3)模型,37,resid=fit$residuals #給出AR(3)模型的殘差 Box.test(resid,lag =3, type = “Ljung-Box”) #給出LjungBox檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，檢驗(yàn)殘差是否還有自相關(guān)性 本章小結(jié) 1. 預(yù)測是計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析的重要部分，對某些人來說也許是最重要的部分。預(yù)測是經(jīng)濟(jì)與管理決策中最普遍且重要的一環(huán)，唯有把握未來，才能做出正確的決策。 2. 博克斯詹金斯方法(Box-Jenkins)或者ARMA方法。這種方法的要點(diǎn)是：在“數(shù)據(jù)自己說話”的哲理指引下，著重于分析經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列本身的概,38,率或隨機(jī)性質(zhì)，而不在意于構(gòu)造單一方程抑或聯(lián)立方程組模型。所以此方法和傳統(tǒng)的單一方程和聯(lián)立方程模型是相對立的。 3.對于一個(gè)時(shí)間序列的預(yù)測，基本的博克斯詹金斯策略如下：(1)首先檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性，這可以通過自相關(guān)函數(shù)(ACF)與偏相關(guān)函數(shù)(PACF)或者通過以后學(xué)習(xí)的單位根檢驗(yàn)來實(shí)現(xiàn)； (2)如果時(shí)間序列不平穩(wěn)，將它差分一次或多次以獲得平穩(wěn)性；(3)然后計(jì)算此時(shí)間序列的ACF和PACF ，以判斷序列是純自回歸還是純移動(dòng)平均的，或這二者的一種混合體； (4)然后估計(jì)此嘗試模型；,39,(5)分析嘗試模型的殘差，看它是不是白噪聲；如果是，則嘗試模型也許是一個(gè)好的估計(jì)模型；如果不是，則要從頭做起，因此博克斯詹金斯方法是一個(gè)反復(fù)的過程；(6)最后選定的模型便可用于預(yù)測。 4. 最小均方誤差準(zhǔn)則是一種常用的統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則。在此準(zhǔn)則下，如果我們選擇線性預(yù)測函數(shù)，則線性預(yù)測函數(shù) 事實(shí)上 是在空間上的正交投影。 5.AR(p)模型的最小均方預(yù)測公式比較簡單，只要知道 這p個(gè)歷史值便可以得到任意步長的平穩(wěn)線性最小均方預(yù)測。,40,正是因?yàn)锳R模型的建模與預(yù)測的簡單性，它成