高中數(shù)學第二章雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第1課時雙曲線的簡單幾何性質(zhì)學案（含解析）新人教A版.docx

2.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第1課時雙曲線的簡單幾何性質(zhì)學習目標1.了解雙曲線的簡單性質(zhì)，如范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率等.2.能用雙曲線的簡單性質(zhì)解決一些簡單問題.3.能區(qū)別橢圓與雙曲線的性質(zhì)知識點一雙曲線的幾何性質(zhì)標準方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xaya或ya對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點坐標A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)實軸和虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸漸近線yxyx離心率e，e(1，)知識點二等軸雙曲線思考在雙曲線標準方程中，若ab，其漸近線方程是什么？答案yx.梳理實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，它的漸近線是yx.1雙曲線有四個頂點，分別是雙曲線與其實軸及虛軸的交點()2雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越開闊()3方程1(a0，b0)的漸近線方程為yx.()4等軸雙曲線的離心率為.()類型一雙曲線的幾何性質(zhì)例1求雙曲線9y24x236的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率、漸近線方程考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)解將9y24x236化為標準方程1，即1，a3，b2，c.因此頂點為A1(3,0)，A2(3,0)，焦點為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，實軸長2a6，虛軸長2b4，離心率e，漸近線方程為yxx.反思與感悟討論雙曲線的幾何性質(zhì)，先要將雙曲線方程化為標準形式，然后根據(jù)雙曲線兩種形式的特點得到幾何性質(zhì)跟蹤訓練1求雙曲線x23y2120的實軸長、虛軸長、焦點坐標、頂點坐標、漸近線方程、離心率考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)解將方程x23y2120化為標準方程1，a24，b212，a2，b2，c4.雙曲線的實軸長2a4，虛軸長2b4.焦點坐標為F1(0，4)，F(xiàn)2(0,4)，頂點坐標為A1(0，2)，A2(0,2)，漸近線方程為yx，離心率e2.類型二由雙曲線的幾何性質(zhì)求標準方程例2求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：(1)以直線2x3y0為漸近線，過點(1,2)；(2)與雙曲線1具有相同的漸近線，且過點M(3，2)；(3)過點(2,0)，與雙曲線1離心率相等；(4)與橢圓1有公共焦點，離心率為.考點雙曲線性質(zhì)的應用題點由雙曲線的幾何性質(zhì)求方程解(1)方法一由題意可設所求雙曲線方程為4x29y2(0)，將點(1,2)的坐標代入方程解得32.因此所求雙曲線的標準方程為1.方法二由題意可設所求雙曲線方程為1(mn0)由題意，得解得因此所求雙曲線的標準方程為1.(2)設所求雙曲線方程為(0)由點M(3，2)在雙曲線上，得，2.故所求雙曲線的標準方程為1.(3)當所求雙曲線的焦點在x軸上時，可設其方程為(0)，將點(2,0)的坐標代入方程得，故所求雙曲線的標準方程為y21；當所求雙曲線的焦點在y軸上時，可設其方程為(0)，將點(2,0)的坐標代入方程得0，b0)因為e1，所以a2，則b2c2a25，故所求雙曲線的標準方程為1.方法二因為橢圓焦點在x軸上，所以可設雙曲線的標準方程為1(160，b0)焦點在y軸上的雙曲線的標準方程可設為1(a0，b0)與雙曲線1共焦點的雙曲線方程可設為1(0，b20)，將點(5,4)代入雙曲線方程，得9，雙曲線方程為1.類型三與雙曲線有關的離心率問題命題角度1求雙曲線離心率的值例3雙曲線的兩條漸近線的夾角為60，則雙曲線的離心率為()A2或B2C.D.考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點求雙曲線的離心率答案A解析因為雙曲線的兩條漸近線的夾角為60，所以有以下兩種情況(以焦點在x軸上為例)：(1)如圖所示，其中一條漸近線的傾斜角為60；(2)如圖所示，其中一條漸近線的傾斜角為30.所以該漸近線的斜率為k或k.當雙曲線焦點在x軸上時，有或.因為b2c2a2，所以3或，所以e24或e2，得e2或e；同理，當雙曲線焦點在y軸上時，則或，所以或.同理可得e或e2.故選A.反思與感悟求雙曲線離心率的常見方法(1)依據(jù)條件求出a，c，再計算e.(2)依據(jù)條件建立參數(shù)a，b，c的關系式，一種方法是消去b轉(zhuǎn)化為離心率e的方程求解，另一種方法是消去c轉(zhuǎn)化成含的方程，求出后，利用e求解跟蹤訓練3雙曲線1(0a0)的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若ABF2為鈍角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為()A(1，) B(1，)C(1，1) D(1，)考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點求雙曲線離心率的取值范圍答案B解析由題設條件可知ABF2為等腰三角形，且AF2BF2，只要AF2B為鈍角即可由題設可得AF1，所以有2c，即2ac0，b0)的右支上到原點O和右焦點F距離相等的點有兩個，則雙曲線的離心率的取值范圍為_考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點求雙曲線離心率的取值范圍答案(2，)解析由于到原點O和右焦點F距離相等的點在線段OF的垂直平分線上，其方程為x.依題意，在雙曲線1 (a0，b0)的右支上到原點和右焦點距離相等的點有兩個，所以直線x與右支有兩個交點，故應滿足a，即2，得e2.1雙曲線2x2y28的實軸長是()A2B2C4D4考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)答案C解析雙曲線的標準方程為1，故實軸長為4.2中心在原點，實軸長為10，虛軸長為6的雙曲線的標準方程是()A.1B.1或1C.1D.1或1考點雙曲線性質(zhì)的應用題點由雙曲線的幾何性質(zhì)求方程答案B解析由題意知，a5，b3，雙曲線標準方程為1或1.3已知雙曲線1(a0)的右焦點為(3,0)，則雙曲線的離心率等于()A.B.C.D.考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點求雙曲線的離心率答案C解析由題意知a259, 解得a2，則e.4雙曲線x2y21的頂點到其漸近線的距離等于()A.B.C1D.考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)答案A解析雙曲線x2y21的頂點坐標為(1,0)，漸近線yx，所以xy0，所以頂點到漸近線的距離為d.5已知雙曲線1的一個焦點在直線xy5上，則雙曲線的漸近線方程為()AyxByxCyxDyx考點雙曲線性質(zhì)的應用題點以離心率或漸近線為條件的簡單問題答案B解析根據(jù)題意，雙曲線的方程為1，則其焦點在x軸上，直線xy5與x軸交點的坐標為(5,0)，則雙曲線的焦點坐標為(5,0)，則有9m25，解得m16，則雙曲線的方程為1，其漸近線方程為yx，故選B.1漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，兩方程聯(lián)系密切，把雙曲線的標準方程1(a0，b0)右邊的常數(shù)“1”換為“0”，就是漸近線方程反之由漸近線方程axby0變?yōu)閍2x2b2y2，再結合其他條件求得就可得雙曲線方程2準確畫出幾何圖形是解決解析幾何問題的第一突破口利用雙曲線的漸近線來畫雙曲線特別方便，而且較為精確，只要作出雙曲線的兩個頂點和兩條漸近線，就能畫出它的近似圖形一、選擇題1雙曲線25x29y2225的實軸長、虛軸長、離心率分別是()A10,6，B6,10，C10,6，D6,10，考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)答案B解析雙曲線25x29y2225即為1，可得a3，b5，c，則實軸長為2a6，虛軸長為2b10，離心率e.2雙曲線1的焦點到漸近線的距離為()A1B.C2D2考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)答案C解析雙曲線1的一個焦點為F(4,0)，其中一條漸近線方程為yx，點F(4,0)到xy0的距離為2.3已知雙曲線1(a0，b0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，則雙曲線的方程為()A.y21Bx21C.1D.1考點雙曲線性質(zhì)的應用題點由雙曲線的幾何性質(zhì)求方程答案A解析由焦距為2，得c.因為雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，所以.又c2a2b2，解得a2，b1，所以雙曲線的方程為y21.4若a1，則雙曲線y21的離心率的取值范圍是()A(，) B(，2)C(1，) D(1,2)考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點求雙曲線離心率的取值范圍答案C解析若a1，則雙曲線y21的離心率為(1，)故選C.5若實數(shù)k滿足0k5，則曲線1與曲線1的()A實半軸長相等B虛半軸長相等C離心率相等D焦距相等考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)答案D解析因為0k0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，其中一條漸近線方程為yx，點P(，y0)在該雙曲線上，則等于()A12B2C0D4考點雙曲線性質(zhì)的應用題點以離心率或漸近線為條件的簡單問題答案C解析yx為漸近線方程，則b2，即雙曲線方程為x2y22.當x時，y1.又雙曲線的半焦距為2，F(xiàn)1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，(2，y0)(2，y0)1y110.故選C.8已知A，B為雙曲線E的左、右頂點，點M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為()A.B2C.D.考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點求雙曲線的離心率答案D解析如圖，設雙曲線E的方程為1(a0，b0)，則|AB|2a，由雙曲線的對稱性，可設點M(x1，y1)在第一象限內(nèi)，過M作MNx軸于點N(x1,0)，ABM為等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin60a，x1|OB|BN|a2acos602a.將點M(x1，y1)的坐標代入1，可得a2b2，e，故選D.二、填空題9已知雙曲線1的實軸長為10，則該雙曲線的漸近線的斜率為_考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)答案解析由題意m21625,4m30，m3，3，該雙曲線的漸近線的斜率為.10已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線方程為yx，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為_考點雙曲線性質(zhì)的應用題點由雙曲線的幾何性質(zhì)求方程答案1解析頂點(a,0)到漸近線的距離為1，1，解得a2.，b.雙曲線方程為1.11已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為_考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點求雙曲線的離心率答案解析設F1(c,0)，將xc代入雙曲線方程，得1，所以1，所以y.因為sinMF2F1，所以tanMF2F1，所以e2e10，所以e(負值舍去)12若雙曲線與橢圓4x2y264有公共的焦點，它們的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線方程為_考點雙曲線性質(zhì)的應用題點雙曲線與橢圓結合的有關問題答案1解析橢圓4x2y264，即1，焦點為(0，4)，離心率為，所以雙曲線的焦點在y軸上，c4，e，所以a6，b2，所以雙曲線方程為1.三、解答題13已知雙曲線E：1.(1)若m4，求雙曲線E的焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程；(2)若雙曲線E的離心率為e，求實數(shù)m的取值范圍考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)解(1)當m4時，雙曲線方