常微分方程常見形式及解法.ppt

常微分方程 畢文彬,1,常微分方程常見形式及解法,知行1301 13275001 畢文彬,常微分方程 畢文彬,2,微分方程指描述未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程。微分方程的解是一個符合方程的函數(shù)。而在初等數(shù)學(xué)的代數(shù)方程，其解是常數(shù)值。 常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知數(shù)是單一自變數(shù)的函數(shù)。最簡單的常微分方程，未知數(shù)是一個實數(shù)或是復(fù)數(shù)的函數(shù)，但未知數(shù)也可能是一個向量函數(shù)或是矩陣函數(shù)，后者可對應(yīng)一個由常微分方程組成的系統(tǒng)。微分方程的表達(dá)通式是：,常微分方程常依其階數(shù)分類，階數(shù)是指自變數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，最常見的二種為一階微分方程及二階微分方程。例如以下的貝塞爾方程：,（其中y為應(yīng)變數(shù)）為二階微分方程，其解為貝塞爾函數(shù)。,常微分方程 畢文彬,3,常見例子,以下是常微分方程的一些例子，其中u為未知的函數(shù)，自變數(shù)為x，c及均為常數(shù)。 非齊次一階常系數(shù)線性微分方程： 齊次二階線性微分方程： 描述諧振子的齊次二階常系數(shù)線性微分方程： 非齊次一階非線性微分方程： 描述長度為L的單擺的二階非線性微分方程：,常微分方程 畢文彬,4,微分方程的解,微分方程的解通常是一個函數(shù)表達(dá)式（含一個或多個待定常數(shù)，由初始條件確定）。例如： dy/dx=sinx， 的解是 y=-cosx+C， 其中C是待定常數(shù)； 例如，如果知道 y=f()=2， 則可推出 C=1， 而可知 y=-cosx+1，,常微分方程 畢文彬,5,01,02,簡易微分方程的求解方法,一階線性常微分方程,二階常系數(shù)齊次常微分方程,常微分方程 畢文彬,6,一階線性常微分方程,對于一階線性常微分方程，常用的方法是常數(shù)變易法： 對于方程： 可知其通解： 然后將這個通解代回到原式中，即可求出C(x)的值,01,常微分方程 畢文彬,7,二階常系數(shù)齊次常微分方程,對于二階常系數(shù)齊次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解 對于方程： 可知其通解： 其特征方程： 根據(jù)其特征方程，判斷根的分布情況，然后得到方程的通解 一般的通解形式為(在r1=r2的情況下): (在的r1r2情況下): (在共軛復(fù)數(shù)根的情況下)：,02,常微分方程 畢文彬,8,01,02,03,04,一般通解,可分離方程,一般一階微分方程,一般二階微分方程,線性方程 (最高到n階),常微分方程 畢文彬,9,可分離方程,01,常微分方程 畢文彬,10,一般一階微分方程,02,常微分方程