解線方程組的直接方法.ppt

2019/7/18,1,計(jì)算方法,解線性方程組的直接方法,2019/7/18,2,第五章 解線性方程組的直接方法 5.1 引言,解線性方程組的兩類方法： 直接法: 經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算后可求得方程組精確解的 方法(不計(jì)舍入誤差) 迭代法：從解的某個(gè)近似值出發(fā)，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)無(wú)窮序列去逼近精確解的方法。（一般有限步內(nèi)得不到精確解）,2019/7/18,3,n階線性方程組,2019/7/18,4,2019/7/18,5,5.2 高斯消去法,轉(zhuǎn)化為同解的方程組,2019/7/18,6,5.2.1 高斯消去法計(jì)算過(guò)程,2019/7/18,7,2019/7/18,8,2019/7/18,9,2019/7/18,10,2019/7/18,11,系數(shù)矩陣與常數(shù)項(xiàng)：,2019/7/18,12,回代過(guò)程:,2019/7/18,13,2019/7/18,14,消去第一列的 n-1 個(gè)系數(shù)要計(jì)算n*(n-1） 個(gè)乘法。,5.2.2 高斯消去法計(jì)算量,2019/7/18,15,每一步消去過(guò)程相當(dāng)于左乘初等變換矩陣Lk,5.2.3 矩陣的三角分解,2019/7/18,16,2019/7/18,17,依次遞推,2019/7/18,18,定理7（矩陣的LU分解） 設(shè)A為n階矩陣，如果A的順序主子式 Di0（i=1，2，n-1），則A可分解為一個(gè)單位下 三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U的乘積，且這種分解是 唯一的。,2019/7/18,19,2019/7/18,20,5.3 高斯主元素消去法,為避免此種情況的發(fā)生，可通過(guò)交換方程的次序，選取絕對(duì)值大的元素作主元。,5.3.1 列主元素消去法,2019/7/18,21,選取,或,2019/7/18,22,2019/7/18,23,m31= -0.0005,2019/7/18,24,定理8（列主元素的三角分解定理） 如果A為非奇異 矩陣，則存在排列矩陣P使 PA=LU 其中L為單位下三角陣，U為上三角陣。,2019/7/18,25,5.3.2 高斯若當(dāng)消去法,2019/7/18,26,2019/7/18,27,5.4 矩陣三角分解法 5.4.1 直接三角分解法,將高斯消去法改寫(xiě)為緊湊形式，可以直接從矩陣A的元素 得到計(jì)算L,U元素的遞推公式，而不需要任何中間步驟， 這就是直接三角分解法。,由于A=LU，求解Ax=b的問(wèn)題就等價(jià)于求解兩個(gè)三角形方程組, Ly=b，求y；, Ux=y，求x.,2019/7/18,28,1、不選主元的三角分解法,A=LU,其中L為單位下三角陣，U為上三角陣,（4.1）,2019/7/18,29,一、直接計(jì)算 A 的 LU 分解(例),2019/7/18,30,2019/7/18,31,二、一般計(jì)算公式,2019/7/18,32,三、LU 分解求解線性方程組,2019/7/18,33,矩陣A的直接分解法稱為杜利特爾（Doolittle）分解,2019/7/18,34,例1：將方程組,的系數(shù)矩陣A作LU分解，并求方程組的解,2019/7/18,35,解,LU分解的緊湊格式為,2019/7/18,36,推出：,由Ly=b得,2019/7/18,37,由Ux=y，即,用回代法解得,即為線性方程組的解,2019/7/18,38,2、選主元的三角分解法,采用與列主元消去法類似的