（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第八章立體幾何8.3直線、平面垂直的判定與性質(zhì)教案.docx

8.3直線、平面垂直的判定與性質(zhì)考情考向分析直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容，涉及線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定及其應(yīng)用等內(nèi)容題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強(qiáng)的推理論證能力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想1直線與平面垂直(1)定義如果直線a與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線a與平面互相垂直，記作a，直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面垂線和平面的交點(diǎn)即為垂足(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面l性質(zhì)定理如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行ab2.直線和平面所成的角(1)定義平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0的角(2)范圍：.3平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念二面角：一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角(2)平面和平面垂直的定義如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個(gè)平面互相垂直(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面l概念方法微思考1若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面嗎？提示垂直若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么在平面內(nèi)可以找到兩條相交直線與該直線垂直，根據(jù)異面直線所成的角，可以得出兩平行直線中的另一條也與平面內(nèi)的那兩條直線成90的角，即垂直于平面內(nèi)的這兩條相交直線，所以垂直于這個(gè)平面2兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面嗎？提示垂直在兩個(gè)相交平面內(nèi)分別作與第三個(gè)平面交線垂直的直線，則這兩條直線都垂直于第三個(gè)平面，那么這兩條直線互相平行由線面平行的性質(zhì)定理可知，這兩個(gè)相交平面的交線與這兩條垂線平行，所以該交線垂直于第三個(gè)平面題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l.()(2)直線a，b，則ab.()(3)若，a，則a.()(4)若直線a平面，直線b，則直線a與b垂直()(5)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則.()題組二教材改編2P43練習(xí)T2下列命題中正確的是_(填序號(hào))如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面；如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面；如果平面平面，平面平面，l，那么l平面；如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面.答案解析對(duì)于，若平面平面，則平面內(nèi)的直線可能不垂直于平面，即與平面的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面內(nèi)，其他命題均是正確的3P45T11在三棱錐PABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O.(1)若PAPBPC，則點(diǎn)O是ABC的_心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，則點(diǎn)O是ABC的_心答案(1)外(2)垂解析(1)如圖1，連結(jié)OA，OB，OC，OP，在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以O(shè)AOBOC，即O為ABC的外心(2)如圖2，延長(zhǎng)AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于點(diǎn)H，D，G.PCPA，PBPC，PAPBP，PA，PB平面PAB，PC平面PAB，又AB平面PAB，PCAB，ABPO，POPCP，PO，PC平面PGC，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG為ABC邊AB上的高同理可證BD，AH分別為ABC邊AC，BC上的高，即O為ABC的垂心題組三易錯(cuò)自糾4若l，m為兩條不同的直線，為平面，且l，則“m”是“ml”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析由l且m能推出ml，充分性成立；若l且ml，則m或者m，必要性不成立，因此“m”是“ml”的充分不必要條件5.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線OM與AC，MN的位置關(guān)系是_答案垂直解析因?yàn)镈D1平面ABCD，所以ACDD1，又因?yàn)锳CBD，DD1BDD，所以AC平面BDD1B1，因?yàn)镺M平面BDD1B1，所以O(shè)MAC.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則OM，MN，ON，所以O(shè)M2MN2ON2，所以O(shè)MMN.6如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓O上不同于A，B的任一點(diǎn)，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_答案4解析因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以ACBC，ACB是直角三角形；由PA平面ABC可得，PAAB，PAAC，所以PAB與PAC是直角三角形；因?yàn)镻A平面ABC，且BC平面ABC，所以PABC.又BCAC，PAACA，所以BC平面PAC.而PC平面PAC，所以BCPC，PCB是直角三角形故直角三角形的個(gè)數(shù)為4.題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13，BC2，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1上一點(diǎn)當(dāng)CF2時(shí)，證明：B1F平面ADF.證明因?yàn)锳BAC，D是BC的中點(diǎn)，所以ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，因?yàn)锽B1底面ABC，AD底面ABC，所以ADB1B.因?yàn)锽CB1BB，BC，B1B平面B1BCC1，所以AD平面B1BCC1.因?yàn)锽1F平面B1BCC1，所以ADB1F.方法一在矩形B1BCC1中，因?yàn)镃1FCD1，B1C1CF2，所以RtDCFRtFC1B1，所以CFDC1B1F，所以B1FD90，所以B1FFD.因?yàn)锳DFDD，AD，F(xiàn)D平面ADF，所以B1F平面ADF.方法二在RtB1BD中，BDCD1，BB13，所以B1D.在RtB1C1F中，B1C12，C1F1，所以B1F.在RtDCF中，CF2，CD1，所以DF.顯然DF2B1F2B1D2，所以B1FD90.所以B1FFD.因?yàn)锳DFDD，AD，F(xiàn)D平面ADF，所以B1F平面ADF.思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明線面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的傳遞性；面面垂直的性質(zhì)(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練1如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳BAD，EFAD，則ABEF.又因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因?yàn)锳D平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因?yàn)锳C平面ABC，所以ADAC.題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，AP平面PCD，E，F(xiàn)分別為PC，AB的中點(diǎn)(1)求證：平面PAD平面ABCD；(2)求證：EF平面PAD.證明(1)因?yàn)锳P平面PCD，CD平面PCD，所以APCD.又四邊形ABCD為矩形，所以ADCD，又因?yàn)锳PADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以CD平面PAD.又因?yàn)镃D平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.(2)連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，OF.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)EPA.因?yàn)镺E平面PAD，PA平面PAD，所以O(shè)E平面PAD.同理可證OF平面PAD.因?yàn)镺EOFO，OB，OF平面OEF，所以平面OEF平面PAD.因?yàn)镋F平面OEF，所以EF平面PAD.思維升華 (1)判定面面垂直的方法面面垂直的定義；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直跟蹤訓(xùn)練2(2018南京、鹽城模擬)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)(1)求證：B1C1平面A1DE；(2)求證：平面A1DE平面ACC1A1.證明(1)因?yàn)镈，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以DEBC.又因?yàn)樵谌庵鵄BCA1B1C1中，B1C1BC，所以B1C1DE.又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE，所以B1C1平面A1DE.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，又DE底面ABC，所以CC1DE.又BCAC，DEBC，所以DEAC.又CC1，AC平面ACC1A1，且CC1ACC，所以DE平面ACC1A1，又因?yàn)镈E平面A1DE，所以平面A1DE平面ACC1A1.題型三垂直關(guān)系中的探索性問題例3如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是棱BC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CC1上，已知ABAC，AA13，BCCF2.(1)求證：C1E平面ADF；(2)設(shè)點(diǎn)M在棱BB1上，當(dāng)BM為何值時(shí)，平面CAM平面ADF.(1)證明連結(jié)CE交AD于O，連結(jié)OF.因?yàn)镃E，AD為ABC的中線，則O為ABC的重心，故，故OFC1E，因?yàn)镺F平面ADF，C1E平面ADF，所以C1E平面ADF.(2)解當(dāng)BM1時(shí)，平面CAM平面ADF.證明如下：因?yàn)锳BAC，AD平面ABC，故ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BB1平面B1BCC1，故平面B1BCC1平面ABC.又平面B1BCC1平面ABCBC，AD平面ABC，所以AD平面B1BCC1，又CM平面B1BCC1，故ADCM.又BM1，BC2，CD1，F(xiàn)C2，故RtCBMRtFCD.易證CMDF，又DFADD，DF，AD平面ADF，故CM平面ADF.又CM平面CAM，故平面CAM平面ADF.思維升華對(duì)命題條件的探索的三種途徑途徑一：先猜后證途徑二：先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性途徑三：將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題跟蹤訓(xùn)練3如圖所示的空間幾何體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE平面ABCD，EFAB，EGAD，EFEG1.(1)求證：平面CFG平面ACE；(2)在AC上是否存在一點(diǎn)H，使得EH平面CFG？若存在，求出CH的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由(1)證明連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，則BDAC.設(shè)AB，AD的中點(diǎn)分別為M，N，連結(jié)MN，則MNBD，連結(jié)FM，GN，則FMGN，且FMGN，所以四邊形FMNG為平行四邊形，所以MNFG，所以BDFG，所以FGAC.由于AE平面ABCD，所以AEBD.所以FGAE，又因?yàn)锳CAEA，AC，AE平面ACE，所以FG平面ACE.又FG平面CFG，所以平面CFG平面ACE.(2)解存在設(shè)平面ACE交FG于Q，則Q為FG的中點(diǎn)，連結(jié)EQ，CQ，取CO的中點(diǎn)H，連結(jié)EH，由已知易知，平面EFG平面ABCD，又平面ACE平面EFGEQ，平面ACE平面ABCDAC，所以CHEQ，又CHEQ，所以四邊形EQCH為平行四邊形，所以EHCQ，又CQ平面CFG，EH平面CFG，所以EH平面CFG，所以在AC上存在一點(diǎn)H，使得EH平面CFG，且CH.1已知兩條異面直線平行于一平面，一直線與兩異面直線都垂直，那么這個(gè)平面與這條直線的位置關(guān)系是_(填序號(hào))平行；垂直；斜交；不能確定答案解析設(shè)a，b為異面直線，a平面，b平面，直線la，lb.過a作平面a，則aa，la.同理過b作平面b，則lb.a，b異面，a與b相交，l.2設(shè)l，m表示直線，m是平面內(nèi)的一條直線，則“l(fā)m”是“l(fā)”成立的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析由線面垂直的定義知，直線垂直于平面內(nèi)至少兩條相交直線，則直線與平面垂直，只平行于平面內(nèi)一條直線說明充分性不成立，反之，直線垂直于平面，則直線垂直于平面內(nèi)任意一條直線，說明是必要條件，則“l(fā)m”是“l(fā)”成立的必要不充分條件3已知平面，直線m，n.給出下列命題：若，n，mn，則m；若n，n，m，則m；若m，n，mn，則；若，m，n，則mn.其中，真命題是_(填序號(hào))答案解析對(duì)于，當(dāng)m時(shí)，才能保證m，不對(duì)；對(duì)于，由m，n，得mn，又n，所以m，對(duì)；都對(duì)4設(shè)m，n是兩條不同的直線，是三個(gè)不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：若，m，則m；若，m，則m；若m，m，則；若mn，n，則m.其中正確的命題是_(填序號(hào))答案解析易知正確；可能有m，m，m與相交等情況，故不正確；正確；可以有m或m，故不正確5設(shè)，是空間兩個(gè)不同的平面，m，n是平面及外的兩條不同直線從“mn；n；m”中選取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：_.(用序號(hào)表示)答案(或)解析逐一判斷若成立，則m與的位置關(guān)系不確定，故錯(cuò)誤；同理也錯(cuò)誤；與均正確6.如圖，已知PA平面ABC，BCAC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_答案4解析PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，則PAB，PAC為直角三角形由BCAC，且ACPAA，得BC平面PAC，從而BCPC，因此ABC，PBC也是直角三角形7.如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，則C1在底面ABC上的射影H必在直線_上答案AB解析ACAB，ACBC1，ABBC1B，AC平面ABC1.又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC.C1在平面ABC上的射影H必在兩平面交線AB上8.如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足_時(shí)，平面MBD平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可)答案DMPC(或BMPC等)解析PA底面ABCD，BDPA，連結(jié)AC，則BDAC，且PAACA，BD平面PAC，BDPC.當(dāng)DMPC(或BMPC)時(shí)，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.9如圖所示的五個(gè)正方體中，l是正方體的一條體對(duì)角線，點(diǎn)M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出l平面MNP的是_(填序號(hào))答案解析圖中，只有MPl；圖中，l與MN，PN，MP均不垂直；圖中l(wèi)與NP，MP不垂直10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為_答案解析點(diǎn)P到直線CC1的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為P，顯然點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為PC的長(zhǎng)度的最小值當(dāng)PCDE時(shí)，PC的長(zhǎng)度最小，此時(shí)PC.11(2018江蘇南京師大附中考前模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)P，C)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.(1)求證：ABEF；(2)若AFEF，求證：平面PAD平面ABCD.證明(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以ABCD.又AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB平面PDC，又因?yàn)锳B平面ABE，平面ABE平面PDCEF，所以ABEF.(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以ABAD.因?yàn)锳FEF，(1)中已證ABEF，所以ABAF.又ABAD，由點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)C)，所以點(diǎn)F異于點(diǎn)D，所以AFADA，AF，AD平面PAD，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.12.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PAABBC，ADCD1，ADC120，點(diǎn)M是AC與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)N在線段PB上，且PNPB.(1)證明：MN平面PDC；(2)求直線MN與平面PAC所成角的正弦值(1)證明因?yàn)锳BBC，ADCD，所以BD垂直平分線段AC.又ADC120，所以MDAD，AM.所以AC.又ABBC，所以ABC是等邊三角形，所以BM，所以3，又因?yàn)镻NPB，所以3，所以MNPD.又MN平面PDC，PD平面PDC，所以MN平面PDC.(2)解因?yàn)镻A平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，又BDAC，PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.由(1)知MNPD，所以直線MN與平面PAC所成的角即直線PD與平面PAC所成的角，故DPM即為所求的角在RtPAD中，PD2，所以sinDPM，所以直線MN與平面PAC所成角的正弦值為.13在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，給出下面三個(gè)結(jié)論：BC平面PDF；DF平面PAE；平面PDF平面ABC.其中不成立的結(jié)論是_(填序號(hào))答案解析如圖，由題意知BCDF，又BC平面PDF，DF平面PDF，BC平面PDF.PABC為正四面體，BCPE，AEBC，又AEPEE，BC平面PAE，DF平面PAE，平面PAE平面ABC，成立易知PMA為二面角PDFA的平面角設(shè)此正四面體的棱長(zhǎng)為1，則PA1，AM，PM2PD2DM222，PA2AM2PM2，即PMA不為90，平面PDF與平面ABC不垂直，故不成立14.如圖，PA圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_答案解析由題意知P