彈性力學(xué)講義(徐芝綸版).ppt

第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答,第一節(jié) 極坐標(biāo)中的平衡微分方程,第二節(jié) 極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程,第三節(jié) 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程,第四節(jié) 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式,第五節(jié) 軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移,第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答,第六節(jié) 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?第八節(jié) 圓孔的孔口應(yīng)力集中,第九節(jié) 半平面體在邊界上受集中力,第十節(jié) 半平面體在邊界上受分布力,例題,第七節(jié) 壓力隧洞,區(qū)別:直角坐標(biāo)中, x和y坐標(biāo)線都是直線,有 固定的方向, x 和y 的量綱均為L。 極坐標(biāo)中, 坐標(biāo)線（ =常數(shù)）和 坐標(biāo)線（ =常數(shù)）在不同點(diǎn)有不同的方向;,相同:兩者都是正交坐標(biāo)系。,直角坐標(biāo)(x,y)與極坐標(biāo) 比較：,坐標(biāo)線為直線, 坐標(biāo)線為圓弧曲線; 的量綱為L, 的量綱為1。這些區(qū)別將引 起彈性力學(xué)基本方程的區(qū)別。,對(duì)于圓形，弧形，扇形及由徑向線和環(huán)向圍成的物體，宜用極坐標(biāo)求解。用極坐標(biāo)表示邊界簡單，使邊界條件簡化。,應(yīng)用,41 極坐標(biāo)中的平衡微分方程,在A內(nèi)任一點(diǎn)（ ， ）取出一個(gè)微分體，考慮其平衡條件。,微分體-由夾角為 的兩徑向線和距離 為 的兩環(huán)向線圍成。,兩 面不平行，夾角為 ； 兩 面面積不等，分別為 ， 。 從原點(diǎn)出發(fā)為正， 從 x 軸向 y 軸方向 轉(zhuǎn)動(dòng)為正。,注意：,平衡條件：,平衡條件,考慮通過微分體形心 C 的 向及矩的平衡，列出3個(gè)平衡條件:,注意：,-通過形心C的力矩為0，當(dāng) 考慮到二階微量時(shí)，得,-通過形心C的 向合力為0，,整理，略去三階微量，得,同理，由 通過形心C的 向合力為0可得：,極坐標(biāo)下的平衡微分方程：,幾何方程-表示微分線段上形變和位移之間的幾何關(guān)系式 。,42 幾何方程及物理方程,極坐標(biāo)系中的幾何方程可以通過微元變形分析直接推得，也可以采用坐標(biāo)變換的方法得到。下面討論后一種方法。根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系，有,注意：,可求得,根據(jù)張量的坐標(biāo)變換公式,對(duì)平面問題：,幾何方程,由此可得 比較可知,極坐標(biāo)中的物理方程,直角坐標(biāo)中的物理方程是代數(shù)方程，且 x 與 y 為正交，,故物理方程形式相似。,物理方程,極坐標(biāo)中的物理方程也是代數(shù)方程,且,與 為正交，,平面應(yīng)力問題的物理方程：,物理方程,對(duì)于平面應(yīng)變問題，只須作如下同樣變換，,邊界條件-應(yīng)用極坐標(biāo)時(shí)，彈性體的邊界面通常均為坐標(biāo)面，即：,邊界條件,故邊界條件形式簡單。,平面應(yīng)力問題在極坐標(biāo)下的基本方程,物理方程,物理方程,對(duì)于平面應(yīng)變問題，只須將物理方程作如下的變換即可。,以下建立直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的變換關(guān)系，用于：,43 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù) 與相容方程,1、 物理量的轉(zhuǎn)換;,2、從直角坐標(biāo)系中的方程導(dǎo)出極坐標(biāo) 系中的方程。,函數(shù)的變換：將式 或 代入，,坐標(biāo)變量的變換：,反之,1.從直角坐標(biāo)系到極坐標(biāo)系的變換,坐標(biāo)變換,或,矢量的變換：位移,坐標(biāo)變換,將對(duì) 的導(dǎo)數(shù)，變換為對(duì) 的導(dǎo)數(shù)：,可看成是 ，而 又是 的函數(shù)，即 是通過中間變量 ，為 的復(fù)合函數(shù)。,有:,坐標(biāo)變換,導(dǎo)數(shù)的變換：,而,代入，即得一階導(dǎo)數(shù)的變換公式,一階導(dǎo)數(shù),，,。,展開即得：,二階導(dǎo)數(shù)的變換公式，可以從式(e) 導(dǎo)出。例如,二階導(dǎo)數(shù),拉普拉斯算子的變換：由式（f）得,二階導(dǎo)數(shù),3.極坐標(biāo)中應(yīng)力用應(yīng)力函數(shù) 表示,可考慮幾種導(dǎo)出方法：,2.極坐標(biāo)中的相容方程,從平衡微分方程直接導(dǎo)出（類似于 直角坐標(biāo)系中方法）。,相容方程應(yīng)力公式,(2) 應(yīng)用特殊關(guān)系式，即當(dāng)x軸轉(zhuǎn)動(dòng)到與 軸重合時(shí)，有:,(3) 應(yīng)用應(yīng)力變換公式（下節(jié)）,應(yīng)力公式,(4) 應(yīng)用應(yīng)力變換公式（下節(jié)），,而,代入式 ( f ) ，得出 的公式。,比較兩式的 的系數(shù)，便得出 的公式。,應(yīng)力公式,當(dāng)不計(jì)體力時(shí)應(yīng)力用應(yīng)力函數(shù)表示的公式,應(yīng)力公式,4.極坐標(biāo)系中按應(yīng)力函數(shù) 求解，應(yīng)滿足：,(1) A 內(nèi)相容方程,(2) 上的應(yīng)力邊界條件（設(shè)全部為應(yīng) 力邊界條件）。,(3) 多連體中的位移單值條件。,按 求解,應(yīng)力分量不僅具有方向性，還與其作用面有關(guān)。,應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換關(guān)系：,44 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式,1、已知 ，求 。,（含 ）的三角形微分體，厚度為1，如下圖 A，考慮其平衡條件。,取出一個(gè)包含x、y面(含 )和 面,得,同理，由,得,類似地取出包含x 面,y 面和 面的三角形微分體，厚度為1，如圖B，考慮其平衡條件，,得,應(yīng)用相似的方法，可得到,2、已知 ，求,3、可以用前面得到的求一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的公式推出。,4、也可以用應(yīng)力坐標(biāo)變換公式得到,軸對(duì)稱，即繞軸對(duì)稱，凡通過此軸的任何面均為對(duì)稱面。,軸對(duì)稱應(yīng)力問題：,45 軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移,軸對(duì)稱應(yīng)力問題,應(yīng)力數(shù)值軸對(duì)稱- 僅為 的函數(shù)， 應(yīng)力方向軸對(duì)稱-,展開并兩邊同乘 得：,相應(yīng)的應(yīng)力函數(shù) ，所以 應(yīng)力公式為：,（1）相容方程,的通解,(2) 應(yīng)力通解：,（4-11）,分開變量，兩邊均應(yīng)等于同一常量F,將 代入第三式，,由兩個(gè)常微分方程，,其中,代入 ，得軸對(duì)稱應(yīng)力對(duì)應(yīng)的位移通解，,I，K為x、y向的剛體平移， H 為繞o點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角度。,位移通解,（4-12）,說明,（2）在軸對(duì)稱應(yīng)力條件下，形變也是軸對(duì)稱 的,但位移不是軸對(duì)稱的。,（3）實(shí)現(xiàn)軸對(duì)稱應(yīng)力的條件是，物體形狀、 體力和面力應(yīng)為軸對(duì)稱。,（1）在軸對(duì)稱應(yīng)力條件下，(4-10、11、12),為應(yīng)力函數(shù)、應(yīng)力和位移的通解，適用于任何軸對(duì)稱應(yīng)力問題。,說明,(4) 軸對(duì)稱應(yīng)力及對(duì)應(yīng)的位移的通解已滿足相容方程，它們還必須滿足邊界條件及多連體中的位移單值條件，并由此求出其系數(shù)A、B及C。,說明,(5) 軸對(duì)稱應(yīng)力及位移的通解，可以用于求解應(yīng)力或位移邊界條件下的任何軸對(duì)稱問題。,(6) 對(duì)于平面應(yīng)變問題，只須將 換為,圓環(huán)(平面應(yīng)力問題)和圓筒(平面應(yīng)變問題)受內(nèi)外均布?jí)毫?，屬于軸對(duì)稱應(yīng)力問題，可以引用軸對(duì)稱應(yīng)力問題的通解。,46 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?問題,問題,邊界條件是,邊界條件,考察多連體中的位移單值條件：,圓環(huán)或圓筒，是有兩個(gè)連續(xù)邊界的多連體。而在位移解答中，,式(b)中的 條件是自然滿足的，而其余兩個(gè)條件還不足以完全確定應(yīng)力解答(a) 。,單值條件,是一個(gè)多值函數(shù)：對(duì)于 和 是同一點(diǎn)，但式(c)卻得出兩個(gè)位移值。由于同一點(diǎn)的位移只能為單值，因此,B = 0。,單值條件,由B=0 和邊界條件 (b) ，便可得出拉梅解答，,單值條件,(4-13),解答的應(yīng)用：,（1）只有內(nèi)壓力,（2）只有內(nèi)壓力 且 ，成為 具有圓孔的無限大薄板（彈性體）。,（3）只有外壓力,單值條件,單值條件的說明：,（1）多連體中的位移單值條件，實(shí)質(zhì)上就 是物體的連續(xù)性條件（即位移連續(xù)性 條件）。,（2）在連續(xù)體中，應(yīng)力、形變和位移都 應(yīng)為單值。,單值條件,按位移求解時(shí)：取位移為單值，求形變（幾何方程）也為單值，求應(yīng)力（物理方程）也為單值。,按應(yīng)力求解時(shí)：取應(yīng)力為單值，求形變（物理方程）也為單值，求位移（由幾何方程積分），常常會(huì)出現(xiàn)多值項(xiàng)。,所以，按應(yīng)力求解時(shí)，對(duì)于多連體須要校核位移的單值條件。,單值條件,對(duì)于單連體，通過校核邊界條件等，位移單值條件往往已自然滿足；,對(duì)于多連體，應(yīng)校核位移單值條件，并使之滿足。,47 壓力隧洞,本題是兩個(gè)圓筒的接觸問題，兩個(gè)均為軸對(duì)稱問題（平面應(yīng)變問題）。,1.壓力隧洞-圓筒埋在無限大彈性體中，受有均布內(nèi)壓力。圓筒和無限大彈性體的彈性常數(shù)分別為,壓力隧洞,因?yàn)椴环暇鶆蛐约俣?，必須分別采用兩個(gè)軸對(duì)稱解答：,圓筒,無限大彈性體,壓力隧洞,應(yīng)考慮的條件：,（1）位移單值條件：,（2）圓筒內(nèi)邊界條件：,（3）無限遠(yuǎn)處條件，由圣維南原理,壓力隧洞,由（1）（4）條件，解出解答（書中式（4 -16）。,（4） 的接觸條件，當(dāng)變形后兩彈性體 保持連續(xù)時(shí)，有,壓力隧洞,2.一般的接觸問題。,(1) 完全接觸：變形后兩彈性體在s上仍然保持連續(xù)。這時(shí)的接觸條件為：在s上,當(dāng)兩個(gè)彈性體 ，變形前在s上互相接觸，變形后的接觸條件可分為幾種情況：,接觸問題,(2) 有摩阻力的滑動(dòng)接觸：變形后在S上法向保持連續(xù)，而切向產(chǎn)生有摩阻力的相對(duì)滑移，則在S上的接觸條件為,其中C為凝聚力。,接觸問題,(4) 局部脫離：變形后某一部分邊界上兩彈性體脫開，則原接觸面成了自由面。在此部分脫開的邊界上，有,(3) 光滑接觸：變形后法向保持連續(xù)，但切向產(chǎn)生無摩阻力的光滑移動(dòng)，則在s上的接觸條件為,接觸問題,在工程上，有許多接觸問題的實(shí)際例子。如機(jī)械中軸與軸承的接觸，基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)與地基的接觸，壩體分縫處的接觸等等。一般在接觸邊界的各部分，常常有不同的接觸條件，難以用理論解表示。我們可以應(yīng)用有限單元法進(jìn)行仔細(xì)和深入的分析。,接觸問題,3. 有限值條件,圖（a）,設(shè)圖（a）中半徑為r的圓盤受法向均布?jí)毫作用，試求其解答。,有限值條件,引用軸對(duì)稱問題的解答，并考慮邊界 上的條件，上述問題還是難以得出解答。這時(shí)，我們可以考慮所謂有限值條件，即除了應(yīng)力集中點(diǎn)外，彈性體上的應(yīng)力應(yīng)為有限值。而書中式(4-11)的應(yīng)力表達(dá)式中，當(dāng) 時(shí)， 和 中的第一、二項(xiàng)均趨于無限大，這是不可能的。按照有限值條件， 當(dāng) 時(shí)，必須有A=B=0。,有限值條件,在彈性力學(xué)問題中，我們是在區(qū)域內(nèi)和邊界上分別考慮靜力條件、幾何條件和物理?xiàng)l件后，建立基本方程及其邊界條件來進(jìn)行求解的。一般地說，單值條件和有限值條件也是應(yīng)該滿足的，但是這些條件常常是自然滿足的。而在下列的情形下須要進(jìn)行校核：,(1)按應(yīng)力求解時(shí)，多連體中的位移單值條件。,有限值條件,在彈性力學(xué)的復(fù)變函數(shù)解法中，首先排除不符合單值條件和有限值條件的復(fù)變函數(shù)，從而縮小求解函數(shù)的范圍，然后再根據(jù)其他條件進(jìn)行求解。,(2)無應(yīng)力集中現(xiàn)象時(shí)， 和 ，或 處的應(yīng)力的有限值條件(因?yàn)檎?、?fù)冪函數(shù)在這些點(diǎn)會(huì)成為無限大)。,有限值條件,工程結(jié)構(gòu)中常開設(shè)孔口最簡單的為圓孔。,本節(jié)研究小孔口問題，應(yīng)符合,（1）孔口尺寸彈性體尺寸，,孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)局限于小范圍內(nèi)。,48 圓孔的孔口應(yīng)力集中,小孔口問題,（2）孔邊距邊界較遠(yuǎn)（1.5倍孔口尺寸）,孔口與邊界不相互干擾。,當(dāng)彈性體開孔時(shí)，在小孔口附近，將 發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。,小孔口問題,1.帶小圓孔的矩形板，四邊受均布拉力q， 圖(a)。,雙向受拉,內(nèi)邊界條件為，,將外邊界改造成為圓邊界，作 則有,利用圓環(huán)的軸對(duì)稱解答，取,且Rr，得應(yīng)力解答：,雙向受拉,（4-17）,2. 帶小圓孔的矩形板， x, y向分別受拉壓力 ，圖(b)。,所以應(yīng)力集中系數(shù)為2。,內(nèi)邊界條件為,最大應(yīng)力發(fā)生在孔邊，,作 圓，求出外邊界條件為,雙向受拉壓,應(yīng)用半逆解法求解（非軸對(duì)稱問題）:,由邊界條件， 假設(shè),代入相容方程，,由 關(guān)系，假設(shè) ，所以設(shè),雙向受拉壓,除去 ，為典型歐拉方程，通過與前面45相同的處理方式，可以得解,然后代回式（d),即可求出應(yīng)力。,雙向受拉壓,校核邊界條件 (b) , (c) ，求出 A, B, C, D， 得應(yīng)力解答：,在孔邊 ， ，最大、最小應(yīng)力為 ，應(yīng)力集中系數(shù)為 。,雙向受拉壓,（4-18）,3.帶小圓孔的矩形板，只受x向均布拉力q。,單向受拉,應(yīng)用圖示疊加原理（此時(shí)令 ） 得應(yīng)力解答:,單向受拉,（4-19）,討論：,（1）孔邊應(yīng)力，,最大應(yīng)力 3q ，最小應(yīng)力-q。,單向受拉,（2) y軸 上應(yīng)力，,可見，距孔邊1.5D處 ，由于孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)5%。,單向受拉,（3） x 軸 上應(yīng)力，,同樣，距孔邊1.5D處 ，由于孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)5%。,單向受拉,4.小孔口的應(yīng)力集中現(xiàn)象,（1）集中性-孔口附近應(yīng)力遠(yuǎn)處的應(yīng)力，,孔口附近應(yīng)力無孔時(shí)的應(yīng)力。,（2）局部性-應(yīng)力集中區(qū)域很小，約在距孔邊,1.5倍孔徑（D）范圍內(nèi)。此區(qū)域外的應(yīng)力擾動(dòng)，一般5%。,應(yīng)力集中現(xiàn)象,（3）凹角的角點(diǎn)應(yīng)力高度集中，曲率半徑愈小，應(yīng)力愈大。,因此，工程上應(yīng)盡量避免接近直交的凹角出現(xiàn)。,如正方孔 的角點(diǎn)，,角點(diǎn)曲率半徑,應(yīng)力集中現(xiàn)象,5.一般小孔口問題的分析：,（1）假設(shè)無孔，求出結(jié)構(gòu)在孔心處的 、 、 。,（2）求出孔心處主應(yīng)力,（3）在遠(yuǎn)處的均勻應(yīng)力場 作用下， 求出孔口附近的應(yīng)力。,小孔口解法,當(dāng)然，對(duì)于左右邊界受均勻拉力作用帶孔平板的應(yīng)力集中問題，還可以用如下方法求解,單向受拉,對(duì)于無孔板，板中的應(yīng)力為,與之相應(yīng)的應(yīng)力函數(shù)為,轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)表示為,單向受拉,現(xiàn)參照上述無孔板的應(yīng)力函數(shù)來選取一個(gè)應(yīng)力函數(shù)，使它適用于有孔板。即,代入相容方程得：,解得：,單向受拉,由此求得應(yīng)力分量為：,解得：,單向受拉,應(yīng)力分量為：,應(yīng)用彈性力學(xué)問題的復(fù)變函數(shù)解法，已經(jīng) 解出許多各種形狀的小孔口問題的解答。復(fù)變 函數(shù)解法是一種求解彈性力學(xué)解答的解析方法， 它將復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部(均為實(shí)函數(shù))分別 表示彈性力學(xué)的物理量，將彈性力學(xué)的相容方 程(重調(diào)和方程 )也化為復(fù)變函數(shù)方程，并結(jié)合 邊界條件進(jìn)行求解。,6. 其他小孔口問題的解答,為了了解小孔口應(yīng)力集中現(xiàn)象的特性和便 于工程上的應(yīng)用，我們把遠(yuǎn)處為 (壓應(yīng) 力場)作用下，橢圓類孔口、矩形類孔口和廊道 孔口的應(yīng)力解答表示在下圖中，它們的應(yīng)力分 布情況如下。,-4,3/2,b,a,1,1,-2.23,1,2/3,-1,1,0,1,-3,1,1.00,-2.5,-1.35,（1）在 (壓應(yīng)力場)下，孔口的最大 拉應(yīng)力發(fā)生于孔頂和孔底。橢圓類孔口均為 ,矩形類孔口的 ,標(biāo)準(zhǔn) 廊道孔口為0.90和0.92q。,1.8r,-1.7,(c) 標(biāo)準(zhǔn)廊道孔口,r,0.90,0.92,（2）在 （壓應(yīng)力場）下，孔口的最大壓應(yīng)力發(fā)生在孔側(cè)。橢圓類孔口（垂直半軸為b，水平半軸為a）中，當(dāng) 成為一條裂 縫時(shí)， ；當(dāng) ；當(dāng) ， 。矩形類孔口 從 ， 越小，則壓應(yīng)力集中系數(shù)越接近1。標(biāo)準(zhǔn)廊道 左右。,半平面體在邊界上受集中力作用如圖。,它是下圖所示 問題當(dāng) 的特殊情況。,49 半平面體在邊界上 受集中力,半逆解法,用半逆解法求解。,（1）假設(shè)應(yīng)力： F為單位寬度上的力，按量綱分析，應(yīng)力 應(yīng)為:,半逆解法,（2）推測 應(yīng)為,（3）代入 ，得,求出 f 之解，代入 ，,其中前兩項(xiàng)即Ax+By ，與應(yīng)力無關(guān)，刪去。 則取應(yīng)力函數(shù)為,（5）考慮邊界條件,因有集中力作用于原點(diǎn)，,故邊界條件應(yīng)考慮兩部分：,（4）由 求應(yīng)力,(b)在原點(diǎn) O附近，我們可以看成是一段 小邊界。在此小邊界附近，有面力的作 用,而面力可以向原點(diǎn)o簡化為作用于O 點(diǎn)的主矢量F，和主矩為0的情形。 將小邊界上的應(yīng)力邊界條件應(yīng)用圣維南 原理來進(jìn)行處理。圣維南原理的應(yīng)用可 以有兩種方式：,(a) 不包含原點(diǎn)O，則在 顯然這條件是滿足的。,即 ,(1)在同一小邊界上，使應(yīng)力的主矢量和主矩,分別等于對(duì)應(yīng)面力的主矢量和主矩 (數(shù)值相等，方向一致)，共有3個(gè)條件。 (2) 取出包含小邊界