電路課件 第15章

第15章 電路方程的矩陣形式,本章重點(diǎn),重點(diǎn),關(guān)聯(lián)矩陣、割集矩陣、基本回路矩 陣和基本割集矩陣的概念 回路電流方程、結(jié)點(diǎn)電壓方程和割 集電壓方程的矩陣形式,返 回,15.1 割集,下 頁(yè),上 頁(yè),割集Q,連通圖G中支路的集合，具有下述性質(zhì)： 把Q中全部支路移去，圖分成二個(gè)分離部分。 任意放回Q 中一條支路，仍構(gòu)成連通圖。,割集：(1 9 6) (2 8 9) (3 6 8) (4 6 7) (5 7 8),(3 6 5 8 7) , (3 6 2 8)是割集嗎？,問(wèn)題,返 回,基本割集,只含有一個(gè)樹(shù)枝的割集。割集數(shù)n-1,連支集合不能構(gòu)成割集。,下 頁(yè),上 頁(yè),注意,屬于同一割集的所有支路的電流應(yīng)滿足KCL。當(dāng)一個(gè)割集的所有支路都連接在同一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，則割集的KCL方程變?yōu)榻Y(jié)點(diǎn)上的KCL方程 。,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),注意,對(duì)應(yīng)一組線性獨(dú)立的KCL方程的割集稱(chēng)為獨(dú)立割集 ，基本割集是獨(dú)立割集，但獨(dú)立割集不一定是單樹(shù)支割集。,返 回,15.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣,圖的矩陣表示是指用矩陣描述圖的拓?fù)湫再|(zhì)，即KCL和KVL的矩陣形式。有三種矩陣形式：,下 頁(yè),上 頁(yè),1. 圖的矩陣表示,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),2. 關(guān)聯(lián)矩陣A,用矩陣形式描述結(jié)點(diǎn)和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。n個(gè)結(jié)點(diǎn)b條支路的圖用nb的矩陣描述：,每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)，每一列對(duì)應(yīng)一條支路。,矩陣Aa的每一個(gè)元素定義為：,注意,ajk=1 支路 k 與結(jié)點(diǎn) j 關(guān)聯(lián)，方向背離結(jié)點(diǎn)；,ajk= -1 支路 k 與結(jié)點(diǎn) j 關(guān)聯(lián)，方向指向結(jié)點(diǎn)；,ajk =0 支路 k 與結(jié)點(diǎn) j 無(wú)關(guān)。,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),例,特點(diǎn),每一列只有兩個(gè)非零元素，一個(gè)是+1，一個(gè)是-1，Aa的每一列元素之和為零。,-1 -1 1 0 0 0,0 0 -1 -1 0 1,1 0 0 1 1 0,0 1 0 0 -1 -1,矩陣中任一行可以從其他n-1行中導(dǎo)出，即只有n-1行是獨(dú)立的。,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),降階關(guān)聯(lián)矩陣A,特點(diǎn),A的某些列只具有一個(gè)+1或一個(gè)1，這樣的列對(duì)應(yīng)與劃去結(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的一條支路。被劃去的行對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)可以當(dāng)作參考結(jié)點(diǎn)。,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),關(guān)聯(lián)矩陣A的作用,用關(guān)聯(lián)矩陣A表示矩陣形式的KCL方程；,設(shè):,以結(jié)點(diǎn)為參考結(jié)點(diǎn),n-1個(gè)獨(dú)立方程,矩陣形式的KCL: A i = 0,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),用矩陣AT表示矩陣形式的KVL方程。,設(shè):,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),2. 回路矩陣B,獨(dú)立回路與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用回路矩陣B描述。,注意,每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立回路，每一列對(duì)應(yīng)一條支路。,矩陣B的每一個(gè)元素定義為：,1 支路 j 在回路 i 中，且方向一致；,-1 支路 j 在回路 i中，且方向相反；,0 支路 j 不在回路 i 中。,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),例,取網(wǎng)孔為獨(dú)立回路，順時(shí)針?lè)较?給定B可以畫(huà)出對(duì)應(yīng)的有向圖。,注意,基本回路矩陣Bf,獨(dú)立回路對(duì)應(yīng)一個(gè)樹(shù)的單連枝回路得基本回路矩陣Bf,返 回,支路排列順序?yàn)橄冗B支后樹(shù)支，回路順序與連支順序一致。,下 頁(yè),上 頁(yè),連支電流方向?yàn)榛芈冯娏鞣较颍?規(guī)定,例,選 2、5、6為樹(shù)，連支順序?yàn)?、 3 、 4 。,= 1 Bt ,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),回路矩陣B的作用,用回路矩陣B表示矩陣形式的KVL方程；,設(shè),l個(gè)獨(dú)立KVL方程,矩陣形式的KVL： B u = 0,返 回, Bf u = 0,ul+Btut=0,ul= - Btut,設(shè)：,連支電壓可以用樹(shù)支電壓表示。,用回路矩陣BT表示矩陣形式的KCL方程,下 頁(yè),上 頁(yè),注意,獨(dú)立回路電流,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),矩陣形式的KCL： B T il = i ,注意,樹(shù)支電流可以用連支電流表出。,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),3. 基本割集矩陣Qf,割集與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用割集矩陣描述，這里主要指基本割集矩陣。,注意,每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)基本割集, 每一列對(duì)應(yīng)一條支路.,矩陣Q的每一個(gè)元素定義為：,1 支路 j 在割集 i 中，且與割集方向一致；,-1 支路 j 在割集 i中，且與割集方向相反；,0 支路 j 不在割集 i 中。,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),規(guī)定,割集方向?yàn)闃?shù)支方向； 支路排列順序先樹(shù)支后連支； 割集順序與樹(shù)支次序一致。,基本割集矩陣Qf,例,選 1、2、3支路為樹(shù),Q1: 1, 4, 5 Q2: 2, 5, 6 Q3: 3, 4 , 6,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),基本割集矩陣Qf的作用,用基本割集矩陣Qf表示矩陣形式的KCL方程。,設(shè),返 回,矩陣形式的KCL： Qf i =0,下 頁(yè),上 頁(yè),n-1個(gè)獨(dú)立KCL方程,返 回,設(shè)樹(shù)枝電壓（或基本割集電壓）：,ut= u1 u2 u3 T,用QfT表示矩陣形式的KVL方程,矩陣形式的KVL： Qf Tut =u,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,連支電壓可以用樹(shù)支電壓表示。,下 頁(yè),上 頁(yè),注意,小結(jié),A i =0,B T il =i,ul= - Btut,Bu=0,Qfi=0,QT ut=u,返 回,對(duì)同一有向圖，支路排列次序相同時(shí)，滿足：,三個(gè)矩陣從不同角度表示同一網(wǎng)絡(luò)的連接性質(zhì)，它們之間自然存在著一定的關(guān)系。,15.3* 矩陣A、Bf 、Qf 之間的關(guān)系,1. A與B 之間的關(guān)系,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,對(duì)同一有向圖，任選一樹(shù)，按先樹(shù)枝后連枝順序有：,2. Bf 與Qf 之間的關(guān)系,下 頁(yè),上 頁(yè),對(duì)同一有向圖，支路排列次序相同時(shí)，滿足：,返 回,對(duì)同一有向圖，任選一樹(shù)，按先樹(shù)枝后連枝順序?qū)懗鼍仃嚕?3. A與Qf 之間的關(guān)系,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),例,已知：,1 2 3 4 5,求基本割集矩陣，并畫(huà)出網(wǎng)絡(luò)圖。,解,返 回,15.4 回路電流方程的矩陣形式,反映元件性質(zhì)的支路電壓和支路電流關(guān)系的矩陣形式是網(wǎng)絡(luò)矩陣分析法的基礎(chǔ)。,1.復(fù)合支路,下 頁(yè),上 頁(yè),規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)支路,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),復(fù)合支路特點(diǎn),支路的獨(dú)立電壓源和獨(dú)立電流源的方向與支路電壓、電流的方向相反；,支路電壓與支路電流的方向關(guān)聯(lián)；,支路的阻抗（或?qū)Ъ{）只能是單一的電阻、電容、電感，而不能是它們的組合。,返 回,復(fù)合支路定義了一條支路最多可以包含的不同元件數(shù)及連接方法，但允許缺少某些元件。,下 頁(yè),上 頁(yè),注意,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,2.支路阻抗矩陣形式,電路中電感之間無(wú)耦合,下 頁(yè),上 頁(yè),如有b條支路，則有：,返 回,設(shè),Z=diagZ1 Z2Zb,支路電流列向量,支路電壓列向量,電壓源的電壓列向量,電流源的電流列向量,下 頁(yè),上 頁(yè),阻抗矩陣,返 回,整個(gè)電路的支路電壓、電流關(guān)系矩陣：,bb階對(duì)角陣,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),電路中電感之間有耦合,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),如1支路至g支路間均有互感,Z不是對(duì)角陣,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,電路中有受控電壓源,下 頁(yè),上 頁(yè),Z的非主對(duì)角元素將有與受控電壓源的控制系數(shù)有關(guān)的元素。,返 回,例,下 頁(yè),上 頁(yè),寫(xiě)出圖示電路的阻抗矩陣,返 回,3.回路電流方程的矩陣形式,回路電流il (b-n+1)1階,下 頁(yè),上 頁(yè),支路方程：,返 回,回路電壓源向量,回路阻抗陣，主對(duì)角線元素為自阻抗，其余元素為互阻抗。,回路矩陣方程,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,從已知網(wǎng)絡(luò)，寫(xiě)出,回路分析法的步驟：,下 頁(yè),上 頁(yè),小結(jié),返 回,例,下 頁(yè),上 頁(yè),用矩陣形式列出電路的回路電流方程。,解,做出有向圖，選支路1，2，5為樹(shù)枝。,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),把上式各矩陣代入回路電流方程的矩陣形式,返 回,1.支路導(dǎo)納矩陣形式,下 頁(yè),上 頁(yè),15.5 結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式,電路中不含互感和受控源,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,bb階對(duì)角陣,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),電路中電感之間有耦合,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),電路中有受控電源,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,考慮b個(gè)支路時(shí)：,下 頁(yè),上 頁(yè),若：,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),若：,返 回,KCL,下 頁(yè),上 頁(yè),2.結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式,支路方程：,KVL,返 回,結(jié)點(diǎn)導(dǎo)納陣,獨(dú)立電源引起的流入結(jié)點(diǎn)的電流列向量,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,結(jié)點(diǎn)分析法的步驟,第一步：把電路抽象為有向圖,下 頁(yè),上 頁(yè),小結(jié),返 回,第二步：形成矩陣A,下 頁(yè),上 頁(yè),第三步：形成矩陣Y,第四步：形成US、IS,US= -5 0 0 0 0 0 T,IS=0 0 0 -1 3 0 T,返 回,第五步：用矩陣乘法求得結(jié)點(diǎn)方程,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,例,下 頁(yè),上 頁(yè),用矩陣形式列出電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程。,解,做出有向圖,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),注意g的位置,返 回,代入,下 頁(yè),上 頁(yè),返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),*15.6 割集電壓方程的矩陣形式,割集電壓是指由割集劃分的兩分離部分之間的一種假想電壓。以割集電壓為電路獨(dú)立變量的分析法稱(chēng)為割集電壓法。,復(fù)合支路,用導(dǎo)納表示的支路方程：,返 回,結(jié)合以上方程有：,下 頁(yè),上 頁(yè),以樹(shù)支電壓為未知量,返 回,割集導(dǎo)納矩陣，主對(duì)角線元素為相應(yīng)割集各支路的導(dǎo)納之和，總為正；其余元素為相應(yīng)兩割集之間共有支路導(dǎo)納之和。,割集電流源向量,下 頁(yè),上 頁(yè),割集矩陣方程,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),注意,割集電壓法是結(jié)點(diǎn)電壓法的推廣，或者說(shuō)結(jié)點(diǎn)電壓法是割集電壓法的一個(gè)特例。若選擇一組獨(dú)立割集，使每一割集都由匯集在一個(gè)結(jié)點(diǎn)上的支路構(gòu)成時(shí)，割集電壓法便成為結(jié)點(diǎn)電壓法。,小結(jié),割集分析法的步驟：,選定一個(gè)樹(shù)，寫(xiě)出,返 回,例,下 頁(yè),上 頁(yè),以運(yùn)算形式列出電路的割集電壓方程的矩陣形式，設(shè)動(dòng)態(tài)元件的初始條件為零。,解,做出有向圖，選支路1，2，3為樹(shù)枝。,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),用拉氏變換表示時(shí)，有：,代入割集方程：,返 回,下 頁(yè),上 頁(yè),*15.7 列表法,1. 矩陣分析法的局限性,回路電流法不允許存在無(wú)伴電流源支路，且規(guī)定的復(fù)合支路不允許存在受控電流源；,結(jié)點(diǎn)電壓法和割集電壓法