2014年寒假物理競(jìng)賽-運(yùn)動(dòng)學(xué) 動(dòng)力學(xué) 靜力學(xué) 能量 天體運(yùn)動(dòng)等VIP

2014 年寒假 物理競(jìng)賽提高班 導(dǎo)學(xué) （第一次） 資料 說(shuō)明 本 導(dǎo)學(xué)用于學(xué)員在實(shí)際授課 之 前 ，了解授課方向及重難點(diǎn)。 同時(shí) 還 附上部分知識(shí)點(diǎn) 的詳細(xì)解讀。每個(gè)班型導(dǎo)學(xué)共由 4 次書(shū)面資料構(gòu)成。此次發(fā)布的為第一次導(dǎo)學(xué)，后面的第二次導(dǎo)學(xué) ， 將于 2013 年 12 月 5 日發(fā)布。在 2013 年 12 月 20 日，公司 還 會(huì)發(fā)布 相應(yīng)班型的詳細(xì)授課大綱，敬請(qǐng)關(guān)注。 2014 年寒假物理競(jìng)賽提高班導(dǎo)學(xué) (力學(xué) 部分 ) 知識(shí)框架 . 2 重點(diǎn)難點(diǎn) . 3 知識(shí)梳理 . 4 一、 運(yùn)動(dòng)學(xué) . 4 1. 相對(duì)運(yùn)動(dòng) . 4 2. 直線運(yùn)動(dòng) . 4 清北學(xué)堂集中 培訓(xùn)課程 導(dǎo)學(xué)資料 （ 2014 年寒假集中培訓(xùn) 課程 使用 ） QBXT/JY/DX2013/11-1-6 2013-11-30 發(fā)布 清北學(xué)堂教學(xué)研究部 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 3. 曲線運(yùn)動(dòng) . 4 4. 剛體運(yùn)動(dòng) . 5 二、 動(dòng)力學(xué) . 6 1. 牛頓運(yùn)動(dòng)定律 . 6 2. 質(zhì)心系運(yùn)動(dòng)定律 . 6 3. 非慣性參考系和慣性力 . 6 4. 剛體動(dòng)力學(xué) . 7 三、 靜力學(xué) . 8 1. 靜力平衡 . 8 2. 流體靜力學(xué) . 8 3. 摩擦角 . 9 四、 能量、動(dòng)量和角動(dòng)量 . 10 1. 功能原理 . 10 2. 動(dòng)能定理 . 10 3. 動(dòng)量守恒 . 10 4. 角動(dòng)量守恒 . 10 五、 天體運(yùn)動(dòng) . 12 1. 萬(wàn)有引力 . 12 2. 開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律 . 12 3. 宇宙速度與軌道能量 . 12 例題選講 . 14 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 知識(shí)框架 運(yùn)動(dòng)學(xué) 相對(duì)運(yùn)動(dòng) 直線運(yùn)動(dòng) 曲線運(yùn)動(dòng) 剛體運(yùn)動(dòng) 動(dòng)力學(xué) 牛頓運(yùn)動(dòng)定律 質(zhì)心系運(yùn)動(dòng)定律 非慣性參考系和慣性力 剛體動(dòng)力學(xué) 靜力學(xué) 靜力平衡 流體靜力學(xué) 摩擦角 能量、動(dòng)量和角動(dòng)量 功能原理 動(dòng)能定理 動(dòng)量守恒 角動(dòng)量守恒 天體運(yùn)動(dòng) 萬(wàn)有引力 開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律 宇宙速度與軌道能量 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 重點(diǎn)難點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)學(xué)中 曲線運(yùn)動(dòng) 部分解題方法種類及變化多，需要熟練掌握并靈活使用。動(dòng)力學(xué)中需要熟練掌握并使用 質(zhì)心系的運(yùn)動(dòng)定律 、 非慣性參考系 ；剛體動(dòng)力學(xué)中 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 及計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定理非常重要，也較有難度。靜力學(xué)中需要熟練掌握并使用 靜力平衡的條件 ，還需要靈活運(yùn)用 摩擦角 簡(jiǎn)化摩擦力問(wèn)題求解。能量、動(dòng)量和角動(dòng)量中動(dòng)量守恒涉及較多 碰撞 問(wèn)題，需要靈活運(yùn)用碰撞規(guī)律；還需要熟悉 角動(dòng)量守恒 ，并在天體運(yùn)動(dòng)中靈活運(yùn)用。天體運(yùn)動(dòng) 開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律 是重點(diǎn)，結(jié)合角動(dòng)量守恒定律基本可求解天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 知識(shí)梳理 一、 運(yùn)動(dòng)學(xué) 1. 相對(duì)運(yùn)動(dòng) 我們一般把質(zhì)點(diǎn)對(duì)地或?qū)Φ孛嫔响o止物體的運(yùn)動(dòng)稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)運(yùn)動(dòng)參照系的運(yùn)動(dòng)稱相對(duì)運(yùn)動(dòng)，而運(yùn)動(dòng)參照系對(duì)地的運(yùn)動(dòng)稱牽連運(yùn)動(dòng)。以速度為例這三種速度分別稱 絕對(duì)速度 、 相對(duì)速度 、 牽連速度 ，且有 牽連相對(duì)絕對(duì) vvv 。 使用相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)速度有時(shí)可 簡(jiǎn)化問(wèn)題 計(jì)算。 2. 直線運(yùn)動(dòng) （ 1） 勻速直線運(yùn)動(dòng) vts 常數(shù)v 0a （ 2） 勻變速直線運(yùn)動(dòng) 1) 勻變速直線運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律 atvvt 0 20 21 attvs asvvt 2202 2) 自由落體運(yùn)動(dòng) gtvt 221gts 3) 豎直拋體運(yùn)動(dòng) 1 豎直下拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：規(guī)定 拋出點(diǎn)為原點(diǎn) ，豎直 向下為正方向 ，公式為 gtvvt 0 20 21 gttvs 2 豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：規(guī)定 拋出點(diǎn)為原點(diǎn) ，豎直 向上為正方向 ，公式為 gtvvt 0 20 21 gttvs 直線運(yùn)動(dòng)由于規(guī)律簡(jiǎn)單，常與 運(yùn)動(dòng)合成分解 及 相對(duì)運(yùn)動(dòng) 結(jié)合，或考察 變加速 直線運(yùn)動(dòng)等。 3. 曲線運(yùn)動(dòng) （ 1） 斜拋運(yùn)動(dòng) 分速度公式： cos0vvx gtvvy sin0 ， 斜上拋運(yùn)動(dòng) ， 斜下拋運(yùn)動(dòng) 。 分位移公式： tvx cos0 20 21s in gttvy ， 斜上拋運(yùn)動(dòng) ， 斜下拋運(yùn)動(dòng) 。消去參數(shù) t ，得軌跡方程： 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 2220 c o s2ta n xvgxy ， 斜上拋運(yùn)動(dòng) ， 斜下拋運(yùn)動(dòng) 。 斜上拋運(yùn)動(dòng) 的幾個(gè) 特征量 ：飛行時(shí)間gvT sin2 0 射高gvH 2sin220 射程gvs 2sin20 （ 2） 圓周運(yùn)動(dòng) 1) 勻速圓周運(yùn)動(dòng) 線速度、角速度的公式和關(guān)系為： tsv t rv ， s 為弧長(zhǎng)， 為圓心角 切向加速度 0ra ，法向加速度 rrvan 22 ， 指向圓心 。 2) 變速圓周運(yùn)動(dòng) 加速度 不指向圓心 ，加速度可分解為 向心 和 切向 兩個(gè)分量，即 rn aaa 22 rn aaa nraatan （ 3） 一般曲線運(yùn)動(dòng) 每一光滑平面曲線中任何一個(gè) 無(wú)限小部分 均可屬于某一 圓 ，此圓稱為曲線在該部位的 曲率圓 ，其半徑稱為 曲率半徑 ，常記為 ，運(yùn)動(dòng)速度 v 及向心加速度 na 與曲率半徑 間有關(guān)系式： 2n va 4. 剛體運(yùn)動(dòng) 剛體上 任意一條直線 在各個(gè)時(shí)刻位置 彼此平行 稱之為剛體的平動(dòng)。其特點(diǎn)為：剛體上 任意兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡相似 。因此，剛體的平動(dòng)可用其內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表。其公式同質(zhì)點(diǎn)（組）運(yùn)動(dòng)公式。 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)是剛體上的 各點(diǎn) 都在 與轉(zhuǎn)軸垂直的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng) ，各點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的 半徑可以不相等 ，但各點(diǎn)的 轉(zhuǎn)過(guò)的角度都相同 。 轉(zhuǎn)動(dòng)涉及的運(yùn)動(dòng)學(xué)變量為 角位移 、角速度 、 角加速度 ： 20 21 ttrs 0rv ra )(2 0202 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 二、 動(dòng)力學(xué) 1. 牛頓運(yùn)動(dòng)定律 牛頓運(yùn)動(dòng)定律為 牛頓第一定律 、 牛頓第二定律 和 牛頓第三定律 。 牛頓第一定律：慣性定律，不受力物體保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 牛頓第二定律：物體的 加速度跟合外力成正比，跟質(zhì)量成反比 ，即： amF 牛頓第三定律：作用力與反作用力等大反向，在同一條直線上。 三大定律中 第二定律 使用最多，也最為重要。第二定律同樣 適用于質(zhì)點(diǎn)系 。質(zhì)點(diǎn)系某一時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn) 受外力 x 方向分量為 xF1 ， xF2 ， kxF ，加速度 x 方向分量為 xa1 ， xa2 ，kxa ，則： kxxxx FFFF 21 為質(zhì)點(diǎn)系 x 方向上所受的 合外力 ，進(jìn)而有： kxkxxx amamamF 2211 上式為 質(zhì)點(diǎn)系的牛頓第二定律 。 2. 質(zhì)心系運(yùn)動(dòng)定律 對(duì) n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)， 1m ， 2m ， nm 和 1r ， 2r ， nr 分別為質(zhì)量和位置矢量，系統(tǒng) 質(zhì)心的位置矢量 為： mrmmmmrmrmrmrni iinnnc 1212211 ，其中 ni imm 1。 質(zhì)心位置矢量在 直角坐標(biāo)系 三個(gè)方向上的 投影分量 為： mxmxni iic 1 ， mymyni iic 1 ， mzmzni iic 1 對(duì)質(zhì)心的牛頓第二定律 為 camF ， F 為 系統(tǒng)所受合外力 ， ca 為 質(zhì)心加速度 。 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律說(shuō)明：不管物體的質(zhì)量如何分布，也不管外力作用點(diǎn)在物體的哪個(gè)位置，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)總等效于物體的質(zhì)量全部集中在此點(diǎn)、外力作用于此點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。 以 質(zhì)心作參照 的參考系為質(zhì)心系，多質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng) 不受外力 時(shí) 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變 ，結(jié)合質(zhì)心定義可確定各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 3. 非慣性參考系和慣性力 牛頓第一定律不成立 的參考系叫非慣性參考系，簡(jiǎn)稱 非慣性系 ，如加速運(yùn)動(dòng)的小車、考慮自轉(zhuǎn)時(shí)地球等。 非慣性系相對(duì)慣性系有加速度，因此相對(duì)慣性系沒(méi)有加速度的物體對(duì)非慣性系有加速度，因此在非慣性系看來(lái)認(rèn)為物體受到了一種 方向與非慣性系相對(duì)于慣性系的加速度相反 的力，這種力叫慣性力： amF 慣 ， m 為物體質(zhì)量， a 為非慣性系相對(duì)于慣性系的加速度。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 慣性力 不是真實(shí)存在 的，因此 沒(méi)有反作用力 。引入慣性力后非慣性系中動(dòng)力學(xué)方程與慣性系 形式相同 。 4. 剛體動(dòng)力學(xué) 對(duì)饒定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，描述其轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)量為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的 角位移 、剛體旋轉(zhuǎn)的 角速度 和剛體旋轉(zhuǎn)的 角加速度 ，動(dòng)力學(xué)量為剛體受外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的 合外力矩 M ，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I 。 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為 12i iirmI。 類比質(zhì)點(diǎn)牛頓運(yùn)動(dòng)定律， 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)定律 為 IM 。 計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有三個(gè)定理，即 平行軸定理 、 垂直軸定理 和 伸展定則 。 平行軸定理 ：剛體對(duì) 過(guò)質(zhì)心的軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 I ，則剛體對(duì) 與該軸平行 且相距為 d 的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2mdII 。 垂直軸定理 ：設(shè)三維直角坐標(biāo)系 xy 平面內(nèi)有一 平板狀剛體 ，對(duì) x 軸和 y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 xI 和 yI ，則剛體對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 yxz III 。 伸展定則 ：剛體上任一點(diǎn) 平行的沿一直軸 移動(dòng)一段距離，剛體 對(duì)該軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 三、 靜力學(xué) 1. 靜力平衡 （ 1） 彈力 彈力由 形變 引起，為 接觸力 。產(chǎn)生必要條件為 相互接觸且有形變 。 1) 輕繩、輕桿、輕彈簧 輕繩 受力， 只能產(chǎn)生 拉力 ，方向 沿繩子且指向繩子收縮的方向 。 輕桿 受力，有 拉伸 、 壓縮 、 彎曲 、 扭轉(zhuǎn) 形變，與之對(duì)應(yīng)，桿的彈力 方向具有多向性 。 輕彈簧 受力，有 壓縮 和 拉伸 形變，能產(chǎn)生 拉力 和 壓力 ，方向 沿彈簧的軸線方向 。 2) 面與面、點(diǎn)與面接觸 面與面、點(diǎn)與面接觸時(shí)，彈力方向 垂直于面 （若是曲面則 垂直于切面 ）， 指向受力物體 。 對(duì)于不能明確是否產(chǎn)生形變的，可采用 假設(shè)法 判斷物體間是否具有 相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì) 或 相對(duì)運(yùn)動(dòng) 。它們的大小，可通過(guò) 牛頓定律 和 力平衡條件 來(lái)確定。 （ 2） 共點(diǎn)力平衡 共點(diǎn)力平衡條件為 合力為零 ，即 0i iF ，分量形式為 0i ixF ， 0i iyF 。物體受三個(gè) 不平行 的力作用平衡時(shí)，三力必為共點(diǎn)力。 （ 3） 一般性平衡條件 1) 物體受力平衡的一般條件 物體一般的受力平衡條件為 合力為零且合力矩為零 ，即 0i iF ， 0i iM 。合力矩為零的含義是對(duì) 任意轉(zhuǎn)軸（支點(diǎn)） 合力矩為零。 2) 平衡分類 物體的平衡可分為 穩(wěn)定平衡 、 不穩(wěn)定平衡 和 隨遇平衡 三類。 穩(wěn)定平衡 ：當(dāng)物體 稍稍偏離 平衡位置時(shí)，有力或力矩使其回到平衡位置。 不穩(wěn)定平衡 ：當(dāng)物體 稍稍偏離 平衡位置時(shí)，有力或力矩使其偏離繼續(xù)增大。 隨遇平衡 ：當(dāng)物體偏離平衡位置時(shí)，它所受的力或力矩不發(fā)生變化，能 在新的位置再次平衡 。 平衡類型的判斷方法有 受力（力矩）分析法、重心升降法和支面判斷法 。 受力（力矩）分析法 ：偏離平衡位置時(shí)，所受外力指向平衡位置，穩(wěn)定平衡；外力背離平衡位置，不穩(wěn)定平衡；外力為零，隨遇平衡。 重心升降法 ：偏離平衡位置時(shí)，重心升高，穩(wěn)定平衡；重心降低，不穩(wěn)定平衡；重心高度不變，隨遇平衡。 支面判斷法 ：有支面物體平衡時(shí) 重力作用線過(guò)支面 。偏離平衡位置時(shí)，重力作用線仍過(guò)支面，穩(wěn)定平衡；重力作用線不過(guò)支面，不穩(wěn)定平衡。 2. 流體靜力學(xué) （ 1） 液體壓強(qiáng)與浮力 靜止液體的壓強(qiáng)與 液體密度和深度成正比 ，即 ghP ， 為液體密度， h 為深度。 浸在靜止液體中物體受到液體對(duì)它 各個(gè)方向 總壓力的 合力 ，其大小就等于被物體所 排開(kāi)的液體受的重力 。 gVF ，式中 V 為物體浸沒(méi)在液體部分 的體積， 為液體密度。浮力的方向是 豎直向上 的，浮力的大小 與物體的重量無(wú)關(guān) ， 與物體在液體中 深度無(wú)關(guān) 。 （ 2） 液體表面張力 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 液體與其他相物體 交界面 處會(huì)產(chǎn)生表面張力， LF ， 為表面張力系數(shù)， L 為交界面長(zhǎng)度。表面張力 垂直于交界面 。 3. 摩擦角 設(shè)靜摩擦因數(shù)為 s ，則摩擦角定義為 s arctan 。 摩擦角 幾何意義 ：最大靜摩擦力 smf 與支持力 N 的合力 mR 與接觸面法線間的夾角。 全反力 ：物體受到的摩擦力 f 與支持力 N 的合力 R 叫 支持面對(duì)物體 的全反力。當(dāng) R 與法線夾角 時(shí)，靜摩擦力不超過(guò)最大靜摩擦力。因此在 的范圍內(nèi)斜向下推物體，無(wú)論力多大物體都不會(huì)滑動(dòng)，這就是 “自鎖現(xiàn)象” 。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 四、 能量、動(dòng)量和角動(dòng)量 1. 功能原理 系統(tǒng) 機(jī)械能的變化量 等于 外力 對(duì)系統(tǒng)所做 總功 與 系統(tǒng)內(nèi) 耗散力做功 的代數(shù)和。耗散力指的是 非保守力 ，即 做功與路徑有關(guān) 的力。目前接觸到的力除 重力 、庫(kù)侖力外其他力均為非保守力。 2. 動(dòng)能定理 （ 1） 機(jī)械能守恒 系統(tǒng)內(nèi) 只有保守力做功 ，其他非保守內(nèi)力和外力做功之和為零，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。 （ 2） 動(dòng)能定理 系統(tǒng) 所有外力 與 所有內(nèi)力 對(duì)系統(tǒng)做功的代數(shù)和等于系統(tǒng) 總動(dòng)能的變化量 ，即： 12 kk EEWW 內(nèi)外 需要注意，考慮質(zhì)點(diǎn)系時(shí)要考慮內(nèi)力做功。 類比質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，剛體 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 為 221 IEk ，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體動(dòng)能定理仍然成立，即 202 2121 IIW 動(dòng)能定理常用于計(jì)算 變加速運(yùn)動(dòng)速度 。 3. 動(dòng)量守恒 （ 1） 動(dòng)量守恒 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理： 0)( pptF 外 如果 0外F ，則 0pp 。因此，系統(tǒng) 不受外力或者受外力之和為零 ，系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變，即質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量是守恒的。 若系統(tǒng)在 某一方向上 不受外力（或外力分量之和為零），則系統(tǒng)在該方向上的動(dòng)量守恒。 在處理碰撞或爆炸問(wèn)題時(shí)，系統(tǒng) 內(nèi)力作用遠(yuǎn)強(qiáng)于外力作用 ，可近似認(rèn)為無(wú)外力作用于系統(tǒng)， 動(dòng)量守恒仍然成立 。 （ 2） 碰撞 碰撞過(guò)程滿足動(dòng)量守恒。碰撞前后物體速度在同一直線為 正碰 ，否則為 斜碰 。碰撞中無(wú)機(jī)械能損失為 彈性碰撞 ，有機(jī)械能損失為 非彈性碰撞 。當(dāng)碰撞后兩物體速度相同時(shí)，為 完全非彈性碰撞 。 描述碰撞非彈性程度的量為 恢復(fù)系數(shù) ，定義為碰撞后分離速度與碰撞前接近速度的比值，即1212 vv vve 。對(duì)彈性碰撞， 1e ，完全非彈性碰撞 0e ，一般非彈性碰撞 10 e 。對(duì)斜碰，取 沿碰撞接觸面法線方向 的相對(duì)速度為接近速度和分離速度即可。 對(duì)彈性碰撞，使用 1e 及動(dòng)量守恒計(jì)算碰撞后速度，比使用機(jī)械能守恒方便得多。 4. 角動(dòng)量守恒 角動(dòng)量定義為動(dòng)量對(duì)轉(zhuǎn)軸（支點(diǎn)）的矩，也稱為 動(dòng)量矩 ，即 si nmvrvmrL 。 角動(dòng)量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的物理量，類比質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)量的定義，質(zhì)量對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，速度對(duì)應(yīng)角速度，有 IL 。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 類比動(dòng)量定理，角動(dòng)量定理的形式為 )( ItM 。 對(duì) 剛體 ，繞定軸 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I 為常數(shù) ，角動(dòng)量定理為 ItM 。 對(duì) 非剛體 ， 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I 不為常數(shù) ，角動(dòng)量定理為 1122 IItM 。 當(dāng)物體所受 合外力矩為零 時(shí)，角動(dòng)量守恒。合外力矩為零的一種特殊情況是物體受到 有心力 場(chǎng) 作用，如行星繞恒星轉(zhuǎn)動(dòng)。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 五、 天體運(yùn)動(dòng) 1. 萬(wàn)有引力 質(zhì)量為 M 的 球?qū)ΨQ分布 球體，半徑為 R ，則與另一個(gè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn) B 間的萬(wàn)有引力為 Rrr mrMGRrrMmGF22)( ，其中 )(rM 表示半徑 r 內(nèi)的部分球的質(zhì)量。 如果 A 、 B 都是質(zhì)量球?qū)ΨQ分布的球形物體， 相距很遠(yuǎn) ，則萬(wàn)有引力為將其質(zhì)量集中于球心處的 質(zhì)點(diǎn) 間的萬(wàn)有引力，即2rMmGF 兩個(gè)相距為 r 的質(zhì)點(diǎn) M 、 m ，其間 引力勢(shì)能 為 rGMmEp 。若 M 為質(zhì)量均勻半徑為 R 的球殼，則引力勢(shì)能RrRGM mRrrGM mE p 。 2. 開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律 開(kāi)普勒第一定律 ：行星圍繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng) 軌道為橢圓 ，太陽(yáng)在橢圓的一個(gè) 焦點(diǎn) 上。 開(kāi)普勒第二定律 ：行星與太陽(yáng)的 連線 在相等的時(shí)間內(nèi) 掃過(guò)相等的面積 。 開(kāi)普勒第三定律 ：各行星橢圓軌道半長(zhǎng)軸 a 的三次方與軌道運(yùn)動(dòng)周期 T 的平方之比值為相同的常量，即 CTa 23 其中，開(kāi)普勒第二定律與行星運(yùn)動(dòng)中角動(dòng)量守恒等價(jià)。 3. 宇宙速度與軌道能量 （ 1） 第一宇宙速度 第一宇宙速度是使物體 繞地球公轉(zhuǎn) 的最小速度，又稱 環(huán)繞速度 ，即萬(wàn)有引力恰好提供物體公轉(zhuǎn)所需的向心力，得 RmvRMmG 22 ，解得 skm9.7 gRRGMv。 （ 2） 第二宇宙速度 第二宇宙速度是使物體 脫離地球引力 的最小速度，又稱 脫離速度 。物體恰好脫離地球引力 即 物 體 到 達(dá) 無(wú) 窮 遠(yuǎn) 處 時(shí) 速 度 為 零 ， 得 021 2 RMmGmv ， 解 得skm2.1122 gRRGMv 。 （ 3） 第三宇宙速度 第三宇宙速度是使物體 脫離太陽(yáng)系 的最小速度，又稱 逃逸速度 。物體脫離太陽(yáng)系的過(guò)程分為兩步，第一步脫離地球引力，第二步脫離太陽(yáng)引力。設(shè)脫離地球引力后相對(duì)太陽(yáng)速度為xv ，類似第二宇宙速度的求法，脫離太陽(yáng)引力需滿足 021 2 日地太陽(yáng)R mMGmv x ，解得清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 skm2.422 日地太陽(yáng)RGMv x 。地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)速度為 skm8.29 ，由伽利略速度變化公式，物體相對(duì)地球速度 skm4.12skm)8.292.42( xv 。在地球參考系中由機(jī)械能守恒得RMmGmvvm x 22 2121 ，解得 skm7.162 2222 vvRGMvv xx （ 4） 軌道能量與軌道形狀 將行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的 機(jī)械能 記為 E ， E 與三種軌道的對(duì)應(yīng)關(guān)系為： 雙曲線軌道拋物線軌道橢圓軌道圓00/0EEE 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 400-699-3290 例題選講 例 1. 一只兔子沿直線以恒定速度sm5u 奔跑。某時(shí)一只狐貍發(fā)現(xiàn)了這只兔子，便以恒定的速度 sm4v 開(kāi)始 追它。狐貍奔跑時(shí)速度方向始終對(duì)準(zhǔn)兔子。開(kāi)始時(shí)兩者距離減小。 后又不斷增大。已知最近距離為m30L ，求兩者距離最近時(shí)，狐貍的加速度。 解： 當(dāng)狐貍與兔子相距最近時(shí)，以兔子為參考系的狐貍相對(duì)速度 v 方向與二者連線垂直，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理，有 uvv ，矢量關(guān)系如圖所示。 當(dāng)兔子經(jīng)時(shí)間 t 從 AA 時(shí)，狐貍從 BB ，有 tuAA ，而 tvBB c o sc o sB B v vu l l u lAA 狐貍軌跡該處（與兔子最近距離）的曲率半徑 lvv ，而 22 vuv ，所以狐貍此時(shí)的加速度 2222 sm4.0l vuvlvvva 。 簡(jiǎn)析： 本題使用“微元思想”結(jié)合曲線運(yùn)動(dòng)中“曲率半徑”概念，取最近距離附近的微小運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，解決了難以整體計(jì)算運(yùn)動(dòng)過(guò)程的問(wèn)題。此類解題思路及方法值得學(xué)習(xí)和借鑒。 例 2. 一只螞蟻從螞蟻洞沿直線爬出，已知爬出速度 v 的大小與距螞蟻洞中心的距離 L成反比，當(dāng)螞蟻到達(dá)距螞蟻洞中心的距離 m11L 的 A 點(diǎn)時(shí)，速度大小為 scm201 v ，問(wèn)當(dāng)螞蟻到達(dá)距螞蟻洞中心的距離 m22L 的 B 點(diǎn)時(shí)，其速度大小為 2v 是多少？ 螞蟻從 A 點(diǎn)到達(dá) B 點(diǎn)所用的時(shí)間 t 是多少？ 解： 由已知可得 螞蟻在距離洞中心上 L 處的速度 v 為 Lkv 1 ，代入已知得： sm2.0sm12.0 22 vLk ，所以當(dāng) m22L 時(shí)，其速度 sm1.02 v 。 由速度的定義得：螞蟻從 L 到 LL 所 需時(shí)間 t 為 LLkvLt 1 （ 1） 類比初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)基本公式 atv tvs 在 t 到 tt 時(shí)刻所經(jīng)位移 s 為 ttas （ 2） 比較 （ 1） 、 （ 2） 兩式可以看出兩式的表述形式相同。 據(jù)此可得螞蟻問(wèn)題中的參量 t 和 L 分別類比為初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)中的 s 和 t ，清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 400-699-3290 而 k1 相當(dāng)于加速度 a 。 于是，類比 221ats 可得：在此螞蟻問(wèn)題中 2121 Lkt 令 1t 對(duì)應(yīng) 1L ， 2t 對(duì)應(yīng) 2L ，則所求時(shí)間為2222112121LktLkt 代入已知可得從 A 到 B 所用時(shí)間為： s75)(21 212212 LLkttt 。 簡(jiǎn)析： 本題實(shí)質(zhì)上是一道微積分的計(jì)算題，如果掌握一定的微積分知識(shí)，本題求解會(huì)十分容易。在物理競(jìng)賽中有許多題目使用微積分方法進(jìn)行計(jì)算能起到另辟蹊徑的作用。 例 3. 質(zhì)量為 M 的運(yùn)動(dòng)員手持一質(zhì)量為 m 的物塊，以速率 v0 沿與水平面成 角的方向向前跳躍 (如圖所示 )為了能跳得更遠(yuǎn)一點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員可在跳遠(yuǎn)全過(guò)程中的某一位置處，沿某一方向把物塊拋出物塊拋出時(shí)相對(duì)運(yùn)動(dòng)員的速度的大小 u 是給定的，物塊拋出后，物塊和運(yùn)動(dòng)員都在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng) (1) 若運(yùn)動(dòng)員在跳遠(yuǎn)的全過(guò)程中的某時(shí)刻 t0 把物塊沿與 x 軸負(fù)方向成某 角的方向拋出，求運(yùn)動(dòng)員 從起跳到落地所經(jīng)歷的時(shí)間。 (2) 在跳遠(yuǎn)的全過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員在何處把物塊沿與 x軸負(fù)方向成 角的方向拋出，能使自己跳得更遠(yuǎn)？若 v0 和 u 一定，在什么條件下可跳得最遠(yuǎn)？并求出運(yùn)動(dòng)員跳的最大距離。 解： （ 1）規(guī)定運(yùn)動(dòng)員起跳的時(shí)刻為 0t ，設(shè)運(yùn)動(dòng)員在 P 點(diǎn)（見(jiàn)下圖）拋出物塊，以 0t 表示運(yùn)動(dòng)員到達(dá) P 點(diǎn)的時(shí)刻，則運(yùn)動(dòng)員在 P 點(diǎn)的坐標(biāo) Px 、 Py 和拋物前的速度 v 的分量 pxv 、 pyv分別為 0 cospxvv （ 1） 00sinpyv v gt （ 2） 00cospx v t （ 3） 20 0 01sin 2py v t gt （ 4） 設(shè)在剛拋出物塊后的瞬間，運(yùn)動(dòng)員的速度 V 的分量大小分別為 pxV 、 pyV ，物塊相對(duì)運(yùn)動(dòng)員的速度 u 的分量大小分別為 xu 、 yu ，方向分別沿 x 、負(fù) y 方向。由動(dòng)量守恒定律可知 ( ) ( )p x p x x p xM V m V u M m v （ 5） ( ) ( )p y p y y p yM V m V u M m v （ 6） 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 400-699-3290 因 u 的方向與 x 軸負(fù)方向的夾角為 ，故有 cosxuu （ 7） sinyuu （ 8） 解式（ 1）、（ 2）、（ 5）、（ 6）和式（ 7）、（ 8），得 0 c o sc o spx muVv Mm （ 9） 00 s ins inpy muV v g t Mm （ 10） 拋出物塊后，運(yùn)動(dòng)員從 P 點(diǎn)開(kāi)始沿新的拋物線運(yùn)動(dòng)，其初速度為 pxV 、 pyV 。在 t 時(shí)刻（ 0tt ）運(yùn)動(dòng)員的速度和位置為 x pxVV （ 11） 0()y pyV V g t t （ 12） 0 0 0( ) ( c o s )xxp p x m u m ux x V t t v t tM m M m （ 13） 2001( ) ( )2p p yy y V t t g t t （ 14） 由式（ 3）、（ 4）、（ 9）、（ 10）、（ 13）、（ 14）可得 00c o s c o sc o s m u m ux v t tM m M m （ 15） 2s i n 2 s i n2 s i n m u m uy v t g t tM m M m （ 16） 運(yùn)動(dòng)員落地時(shí)， 0y 由式（ 16）得 200s i n 2 s i n2 s i n 0m u m ug t v t tM m M m （ 17） 方程的根為 20 0 0s in s in s ins in ( s in ) 2m u m u m uv v g tM m M m M mtg （ 18） 式（ 18）給出的兩個(gè)根中，只有當(dāng) “ ”取 “ ”時(shí)才符合題意，因?yàn)閺氖剑?12）和式（ 10），可求出運(yùn)動(dòng)員從 P 點(diǎn)到最高點(diǎn)的時(shí)間為式 0sinsin muvMmg 而從起跳到落地所經(jīng)歷的時(shí)間應(yīng)比上面給出的時(shí)間大，故從起跳到落地所經(jīng)歷的時(shí)間為 20 0 0s in s in s ins in ( s in ) 2m u m u m uv v g tM m M m M mt g （ 19） （ 2）由式（ 15）可以看出， t 越大， 0t 越小，跳的距離 x 越大，由式（ 19）可以看出，清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 400-699-3290 當(dāng) 0t 0 時(shí)， t 的值最大，由式（ 3）和式（ 4）可知，拋出物塊處的坐標(biāo)為 0px ， 0py （ 20） 即應(yīng)在原點(diǎn)亦即在剛起跳時(shí)把物塊拋出，運(yùn)動(dòng)員可跳得遠(yuǎn)一點(diǎn)。由式（ 19）可以得到運(yùn)動(dòng)員自起跳至落地所經(jīng)歷的時(shí)間為 0 s i n s i n22v muTg M m g 把 0 0t 和 tT 代入式（ 15），可求得跳遠(yuǎn)的距離，為 2 22002s i n 2 2 s i n ( ) s i n 2( ) ( )v m v u mux g M m g M m g （ 21） 可見(jiàn)，若 s i n 2 1 , s i n ( ) 1 , s i n 2 1 ， 即 /4 ， /4 （ 22） 時(shí)， x 有最大值，即沿與 x 軸成 45方向跳起，且跳起后立即沿與負(fù) x 軸成 45方向拋出物塊，則 x 有最大值，此最大值為 2 220022( ) ( )m v m v u mux g M m g M m g （ 23） 簡(jiǎn)析： 本題是運(yùn)動(dòng)與動(dòng)量的綜合性題目，雖然求解思路清晰但計(jì)算量大，需要一定的計(jì)算能力，這也是有些競(jìng)賽題目的考查目的，在競(jìng)賽中要引起重視。 例 4 如圖所示的系統(tǒng)中滑輪與細(xì)繩的質(zhì)量可忽略不計(jì)，細(xì)繩不可伸長(zhǎng)，且與滑輪間無(wú)摩擦，三個(gè)物體的質(zhì)量分別為 m1、m2、 m3,它們的加速度方向按圖示設(shè)定。試求這三個(gè)加速度量 a1、a2 和 a3。 解： 系統(tǒng)中各段繩子的張力如圖 三個(gè)物體的動(dòng)力學(xué)方程為 : 1 1 1mg T ma （ 1） 2 2 22T m g T m a （ 2） 3 3 32T m g m a （ 3） 確定三物體的加速度的關(guān)聯(lián)關(guān)系： （ 1） 先假定 2m 不動(dòng)，當(dāng) 1m 下降 1h 時(shí)， 3m 將上升 12h （ 2） 再假定 1m 不動(dòng)，當(dāng) 2m 下降 2h 時(shí)， 3m 將上升 22h 綜合以上兩種情況，則實(shí)際上 1m 下降 1h ， 2m 下降 2h 時(shí)， 3m 將上升 123 22hhh 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 400-699-3290 于是得到 123 22aaa （ 4） 解方程組得： 1 2 1 3 2 311 2 1 3 2 3434m m m m m magm m m m m m 1 2 1 3 2 321 2 1 3 2 3434m m m m m magm m m m m m 1 2 1 3 2 331 2 1 3 2 344 m m m m m magm m m m m m 簡(jiǎn)析： 本題主要難點(diǎn)在確定復(fù)雜滑輪系統(tǒng)的位移關(guān)系，定滑輪兩端物體位移直接對(duì)應(yīng)，動(dòng)滑輪移動(dòng)距離等于繩子伸縮距離的一半。把握好這一關(guān)系則本題可輕易求解。 例 5 一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)如圖所示，不計(jì)一切摩擦，繩不可伸長(zhǎng)，m1、 m2 及彈簧的勁度系數(shù) k 已知。求 m2 上下振動(dòng)的周期。 解： 設(shè)某一時(shí)刻彈簧伸長(zhǎng) x ，繩上張力是 FT。 分析 m1： 11Tkx m g F m a 分析 m2：222 2T aF m g m 消去 FT： 21 2 12 2 ( 2 )2mk x m g m g a m ， 假設(shè)振子平衡時(shí)彈簧伸長(zhǎng) 0x ，此時(shí) m1、 m2 的加速度為零，則有 0 2 122k x m g m g 設(shè) m1 偏離平衡位置的位移為 x ，則 0x x x 20 1 2 12 ( ) 2 ( 2 )2mk x x m g m g a m 將 210 22m g m gx k代入 式，可得 212 (2 )2mk x a m 21()4mF k x a m 所以這個(gè)振子系統(tǒng)的等效質(zhì)量是 21 4mm，周期為 12424mmT k 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 400-699-3290 簡(jiǎn)析： 本題是一個(gè)彈簧振子的變式模型，解題時(shí)要根據(jù)受力分析由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得出振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征，然后由周期公式就可求出其振動(dòng)周期 。 例 6. 嫦娥 1 號(hào)奔月衛(wèi)星與長(zhǎng)征 3 號(hào)火箭分離后，進(jìn)入繞地運(yùn)行的橢圓軌道，近地點(diǎn)離 地 面 高 22.05 10nH km ， 遠(yuǎn) 地 點(diǎn) 離 地 面 高45.0930 10fH km，周期約為 16 小時(shí)，稱為 16 小時(shí)軌道（如圖中曲線 1 所示）。隨后，為了使衛(wèi)星離地越來(lái)越遠(yuǎn)，星載發(fā)動(dòng)機(jī)先在遠(yuǎn)地點(diǎn)點(diǎn)火，使衛(wèi)星進(jìn)入新軌道（如圖中曲線 2 所示），以抬高近地點(diǎn)。后來(lái)又連續(xù)三次在抬高以后的近地點(diǎn)點(diǎn)火，使衛(wèi)星加速和變軌，抬高遠(yuǎn)地點(diǎn)，相繼進(jìn)入 24 小時(shí)軌道、 48 小時(shí)軌道和地月轉(zhuǎn)移軌道（分別如圖中曲線 3、 4、 5 所示）。已知衛(wèi)星質(zhì)量 32.350 10m kg，地球半徑 36.3 78 10R km，地面重力加速度 29.81 /g m s ，月球半徑 31.738 10r km。 1、試計(jì)算 16 小時(shí)軌道的半長(zhǎng)軸 a 和半短軸 b 的長(zhǎng)度，以及橢圓偏心率 e。 2、在 16 小時(shí)軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)點(diǎn)火時(shí)，假設(shè)衛(wèi)星所受推力的方向與衛(wèi)星速度方向相同，而且點(diǎn)火時(shí)間很短，可以認(rèn)為橢圓軌道長(zhǎng)軸方向不變。設(shè)推力大小 F=490N，要把近地點(diǎn)抬高到 600km，問(wèn)點(diǎn)火時(shí)間應(yīng)持續(xù)多長(zhǎng)？ 3、試根據(jù)題給數(shù)據(jù)計(jì)算衛(wèi)星在 16 小時(shí)軌道的實(shí)際運(yùn)行周期。 4、衛(wèi)星最后進(jìn)入繞月圓形軌道，距月面高度 Hm 約為 200km，周期 Tm=127 分鐘，試據(jù)此估算月球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比值。 解 ： 1. 橢圓半長(zhǎng)軸 a 等于近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)之間距離的一半，亦即近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)矢徑長(zhǎng)度（皆指衛(wèi)星到地心的距離） nr 與 fr 的算術(shù)平均值，即有 n f n f n f1 1 12 2 2a r r H R H R H H R (1) 代入數(shù)據(jù)得 43.1946 10a km (2) 橢圓半短軸 b 等于近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)矢徑長(zhǎng)度的幾何平均值，即有nfb rr (3) 代入數(shù)據(jù)得 41.9 42 10 kmb (4) 橢圓的偏心率 a bae 22 (5) 代入數(shù)據(jù)即得 0.7941e (6) 2. 當(dāng)衛(wèi)星在 16 小時(shí)軌道上運(yùn)行時(shí)，以 nv 和 fv 分別表示它在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度，根據(jù)能量守恒，衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)能量相等，有 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 400-699-3290 22nfnf1122G M m G M mmmrr vv (7) 式中 M 是地球質(zhì)量， G 是萬(wàn)有引力常量 . 因衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度都與衛(wèi)星到地心的連線垂直，根據(jù) 角動(dòng)量守恒 ，有 n n f fm r m rvv (8) 注意到 gRGM2 (9) 由 (7)、 (8)、 (9)式可得 fnn f n2r g Rr r r v (10) nnfnf f f n2rr g Rr r r r vv (11) 當(dāng)衛(wèi)星沿 16 小時(shí)軌道運(yùn)行時(shí)，根據(jù)題給的數(shù)據(jù)有 nnr R H ffr R H 由 (11)式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 f 1.198 /km sv (12) 依題意，在遠(yuǎn)地點(diǎn)星載發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，對(duì)衛(wèi)星作短時(shí)間加速，加速度的方向與衛(wèi)星速度方向相同，加速后長(zhǎng)軸方向沒(méi)有改變，故加速結(jié)束時(shí)，衛(wèi)星的速度與新軌道的長(zhǎng)軸垂直，衛(wèi)星所在處將是新軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn) .所以新軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)高度 4ff 5 .0 9 3 0 1 0H H km ，但新軌道近地點(diǎn)高度 2n 6.00 10H km .由 (11)式，可求得衛(wèi)星在新軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)處的速度為 f 1.230 /km s v (13) 衛(wèi)星動(dòng)量的增加量等于衛(wèi)星所受推力 F 的沖量，設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)間為 t，有 ffm F t vv (14) 由 (12)、 (13)、 (14)式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 21.5 10 st (15) 這比運(yùn)行周期小得多 . 3. 當(dāng)衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí)，以 r 表示它所在處矢徑的大小， v 表示其速度的大小， 表示矢徑與速