（計算數(shù)學專業(yè)論文）若干反問題模型的數(shù)值求解.pdf

摘要 若干反問題模型的數(shù)值求解 摘要 反問題在醫(yī)學成像、無損探傷、氣象預報、圖像處理、計量經濟、生 命科學等領域都有著廣泛的應用因此對它的理論分析和數(shù)值求解有重 大的研究意義和應用價值，本文的主要工作就是針對若干有實際應用背 景的反問題模型，系統(tǒng)開展相關理論分析與數(shù)值求解研究工作 首先，討論了一維睛形利用帶噪聲均值數(shù)據(jù)進行函數(shù)重構的問題提 出了一種正則化方法并證明了該方法解的存在唯一性，再由b a n a c h 空 間中的優(yōu)化定理給出一系列條件來刻畫解的性質，從而發(fā)現(xiàn)解可由樣條 函數(shù)表示通過插值算子的引進我們也給出了近似解的誤差估計最后 用數(shù)值模擬通過圖表說明該方法在實際計算時是可行的和有效的，同時 提出了一些選取正則化參數(shù)的方法 進一步，將此正則化方法推廣到了二維甚至高維情形通過輔助空間 的引入，同樣證明了此方法解的存在唯一性，并且說明了此解可由格林 函數(shù)表示利用p o i n c a r 6 不等式給出了近似解的l z 模誤差估計數(shù)值例子 驗證了該方法的有效性，其中正則化參數(shù)由多種不同的選取策略決定 接著，考慮了腐蝕探測問題給出了薄管區(qū)域基于小參數(shù)展開方法的 一個誤差估計假設管壁的厚度為a ，對于提出的兩種方法其誤差度量 分別為o ( a ) 和d ( o z ) 同時，我們用優(yōu)化控制的思想構造了一個非薄板區(qū) 域腐蝕探測問題的數(shù)值求解方法數(shù)值實驗證明了該方法的可行及有效 性 最后，本文討論了二階線性橢圓型方程的柯西問題給出了一種數(shù) 值方法來求解未知邊界上的信息，該方法通過最優(yōu)控制的思想將原來的 柯西問題改寫為等價的優(yōu)化問題，并通過添加正則化項來克服離散后問 i 上海交通大學博士學位論文 題的病態(tài)性證明了該數(shù)值方法的收斂性，給出了當正則化參數(shù)趨于 零時數(shù)值解的收斂理論同時提供了一系列的數(shù)值實驗支持我們的理論 結果并且通過有限元形函數(shù)表示技巧將算法進一步重寫，從而可以利 用h a n s e n i 具包來選取合適的正則化參數(shù)該方法也被推廣用于平面彈 性力學柯西問題的數(shù)值求解 關鍵詞：反問題，t i k h o n o v e 則化方法，函數(shù)重構，迭代最優(yōu)化，噪聲， 有限元，誤差估計，柯西問題，格林函數(shù) a b s 礎c t t h en u m e r i c a lm e t h o df o rs o m ei n v e r s ep r o b l e m s a b s t r a c t i n v e r s ep r o b l e m sa r eo f t e ne n c o u n t e r e di nm e d i c a li m a g i n g ，n o n - d e s t r u c t i v ed e t e c t i n g ，w e a t h e rf o r e c a s t ，i m a g ep r o c e s s i n g ，p a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o ni ne c o n o m e t r i c s ，l i f es c i e n c ea n dm a n yo t h e rf i e l d s t h e r e f o r e ，i ti so fg r e a ti m p o r t a n c et oi n v e s t i g a t et h e i rt h e o r e t i c a l p r o p e r t i e sa n dn u m e r i c a ls o l u t i o n s t h i st h e s i sw i l l f o c u so nt h e t h e o r e t i c a ls t u d ya n da l g o r i t h md e s i g nf o rs o m ep r a c t i c mi n v e r s e p r o b l e m s f i r s t ，w ep r o p o s ear e g u l a r i z a t i o nm e t h o df o rt h ef u n c t i o n r e c o n s t r u c t i o nf r o ma p p r o x i m a t ea v e r a g ef l u x e si no n ed i m e n s i o n u n i q u e s o l v a b i l i t yo ft h em e t h o di sp r o v e da n dan u m b e ro fc o n d i t i o n sa r e g i v e nt oc h a r a c t e r i z et h es o l u t i o nb yt h eo p t i m i z a t i o nt h e o r yi nb a - n a c hs p a c e s t h es o l u t i o nc a nb ee x p r e s s e di nt e r m so fs o m es p l i n e f u n c t i o n s e r r o re s t i m a t e sa r ee s t a b l i s h e da f t e rt h ei n t r o d u c t i o no f s o m ei n t e r p o l a t i o no p e r a t o r s as e r i e so fn u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r o - v i d e dt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s sa n dc o m p u t a t i o n a lp e r f o r m a n c eo f t h em e t h o d s o m ei d e a sf o rt h ec h o i c eo ft h er e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r a r ea l s os u g g e s t e db a s e do nt h ec o m p u t a t i o n a le x p e r i e n c e t h e n ，w ee x t e n dt h ep r e v i o u sm e t h o df o rt h ef u n c t i o nr e c o n - i i i 上海交通大學博士學位論文 s t r u c t i o nf r o mn o i s yl o c a la v e r a g e st oa n yd i m e n s i o n a f t e rt h e i n t r o d u c t i o no fa na u x i l i a r yd o m a i n ，t h er e c o n s t r u c t i o nf u n c t i o nc a n b ed e s c r i b e di na ne x p l i c i tf o r mb ys o m eg r e e n sf u n c t i o n s e r r o r b o u n d sf o rt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o ni nl 2 - n o r ma r ed e r i v e db yu s i n g an o v e lp o i c a r i n e q u a l i t y s e v e r a ln u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r o v i d e d t os h o wc o m p u t a t i o n a lp e r f o r m a n c eo ft h em e t h o d ，w i t ht h er e g u l a r - i z a t i o np a r a m e t e r ss e l e c t e db yd i f f e r e n ts t r a t e g i e s n e x t ，w es t u d ya ni n v e r s ep r o b l e mi nc o r r o s i o nd e t e c t i o n e r r o r a n a l y s i s i s d e v e l o p e df o rap a r a m e t e re x p a n s i o nm e t h o du s e dt o d e t e r m i n et h ec o r r o s i o nc o e f f i c i e n ti nap i p e i ti ss h o w nt h a tt h e m a g n i t u d eo ft h ee r r o r si so ( a ) a n do ( a 2 ) f o rt h et w op r o p o s e d m e t h o d sr e s p e c t i v e l y , w h e r eas t a n d sf o rt h et h i c k n e s so ft h ep i p e a l s o ，an u m e r i c a lm e t h o db a s e do nt h eo p t i m a lc o n t r o la p p r o a c h i sp r o p o s e df o rs u c hp r o b l e m si nn o n s h e e tc a s e s o m en u m e r i c a l e x a m p l e sa r eg i v e nt os h o wt h ee f f i c i e n c yo ft h em e t h o d f i n a l l y , w es t u d yan u m e r i c a lm e t h o df o rs o l v i n gt h ec a u c h y p r o b l e mc o r r e s p o n d i n gt oa ne l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h e n u m e r i c a lm e t h o di sb a s e do nar e f o r m u l a t i o no ft h ec a u c h yp r o b l e m t h r o u g ha no p t i m a lc o n t r o la p p r o a c hc o u p l e dw i t har e g u l a r i z a t i o n t e r mw h i c hi si n c l u d e dt ot r e a tt h es e v e r ei l l c o n d i t i o n i n go ft h e c o r r e s p o n d i n gd i s c r e t i z e df o r m u l a t i o n w ep r o v ec o n v e r g e n c eo ft h e n u m e r i c a lm e t h o da n dp r e s e n tt h e o r e t i c a lr e s u l t sf o rt h el i m i t i n g i v a b s 似c t b e h a v i o r so ft h en u m e r i c a ls o l u t i o na st h er e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r a p p r o a c h e sz e r o r e s u l t sf r o ms o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r er e p o r t e d w ea l s oe x t e n dt h em e t h o dt os o l v eac a u c h yp r o b l e mf o rt h ep l a n e e l a s t i c i t y k e yw o r d s ：i n v e r s ep r o b l e m s ，t i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o n ， f u n c t i o nr e c o n s t r u c t i o n ，i t e r a t i v eo p t i m i z a t i o n ，n o i s yd a t a ，c a u c h y p r o b l e m ，g r e e n sf u n c t i o n ，f i n i t ee l e m e n t ，e r r o rb o u n d v 上海交通大學 學位論文版權使用授權書 本學位論文作者完全了解學校有關保留、使用學位論文的規(guī)定，同 意學校保留并向國家有關部門或機構送交論文的復印和電子版，允許論 文被查閱和借閱本人授權上海交通大學可以將本學位論文的全部或部 分內容編入有關數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印、或掃描等復制 手段保存和匯編本學位論文 保密回在年解密后適用本授權書 本學位論文屬于 不保密f 刁 ( 請在以上方框內打“，) 學位論文作者簽名：雕峙 指導教師簽名：j 芰；幻曰 日期：口湃名月呵日 日渺縟易月7 日 1 1 上海交通大學 學位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學位論文，是本人在導師的指導下，獨立進 行研究工作所取得的成果除論文中已經注明引用的內容外，本論文不 包含任何其他個人或者集體已經發(fā)表或撰寫過的作品成果對本文的研 究作出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明本人完全 意識到本聲明的法律結果由本人承擔 學位論文作者簽名： 日期：諺年多月吁日 第一章緒言 1 1反問題的應用背景及意義 數(shù)學物理反問題是一個新興的研究領域，有著重大的理論意義和應用價值它 有別于傳統(tǒng)學物理方程的定解問題( 通常稱為正問題，它由給定的數(shù)理方程和相應 的定解條件來求解定解問題的解) ，通常是已知解的部分信息來求解定解問題中的 某些未知量，如微分方程中的系數(shù)、定解問題的區(qū)域或者是某些定解條件用系統(tǒng) 論的語言來講，正問題對應于給定系統(tǒng)在已知輸入條件下求輸出結果的問題，這些 輸出結果當然包含了系統(tǒng)的某些信息而反問題則是由輸出結果的部分信息來反 求系統(tǒng)的某些結構特征【1 】因此反問題在醫(yī)學成像、無損探傷、氣象預報、圖像處 理、計量經濟、生命科學等領域都有著廣泛的應用它對應于由介質外部可測量的 間接信息來確定介質內部結構的問題反問題的典型應用包括醫(yī)學診斷的c t 成 像，它根據(jù)x 射線的投影來探測人體的內部結構；在地球物理勘探中，通過地震波 的測量來判斷地球內部的結構或地下礦藏的位置；在無損探傷中，用紅外線掃描來 探測固體材料中的缺陷；通過測量地面上的牛頓引力勢來推斷地下金屬礦藏的位 置、形狀、密度工程技術中的定向設計及系統(tǒng)識別等問題也都屬于反問題的范疇 一個問題如果其解存在、唯一并且連續(xù)依賴于輸入數(shù)據(jù)，就稱該問題是適定 的，否則稱為不適定的數(shù)學物理反問題大都具有不適定的特點，該特點也是反問 題求解的難點所在例如地質勘探部門在重力異常探礦中突出的地下波場的解析 延拓問題，無線電工程上由有限頻率區(qū)域上的頻域信號確定時域信號的問題，雷達 成像中由反射波信號確定散射體幾何形狀的問題，中長期數(shù)值天氣預報的問題等， 都是典型的不適定問題恰恰這些不易解決的問題在工程部門有著極為廣泛的應 用 2 - 4 當應用經典的方法去求反問題的解時，或者給定的輸入數(shù)據(jù)不一定能保證 解的存在或唯一性；或者是輸入數(shù)據(jù)的微小變化會引起相應解的巨大波動因此如 何恢復問題的適定性尤其是穩(wěn)定性是值得探索的一個課題 1 上海交通大學博士學位論文 1 2反問題的歷史發(fā)展與研究現(xiàn)狀 與正問題相比，數(shù)學物理反問題的發(fā)展歷史相對較短國外對于反問題理論和 方法的研究起步較早，最早期的工作可以追溯到2 0 世紀2 0 年代h a d a m a r d 對線 性橢圓型偏微分方程柯西問題不適定性的陳述和研究2 0 世紀4 0 年代前蘇聯(lián)著 名數(shù)學家t i k h o n o v 率領他的工作小組開始了反問題的理論研究，終于在6 0 年代 推出了至今仍然廣泛沿用的t i k h o n o v 變分正則化方法關于反問題理論和方法研 究的另一個方向是迭代正則化方法，該領域的典型代表是l a n d w e b e r 和f r i d m a n 近年來發(fā)展起來的方法有梯度型方法和n e w t o n 型方法等等5 1 我國學者在反問題的理論和方法研究發(fā)面也進行了大量的探索最早可追溯 到2 0 世紀8 0 年代初由中國科學院院士馮康先生倡導的反問題的研究反問題理 論和方法的基礎性研究固然重要，但如何把發(fā)展了的反問題的理論和方法應用到 數(shù)學物理、地質與地球物理和大氣科學等實際問題上，仍然是十分值得關注和研究 的課題近年來，有關這方面的應用研究也呈現(xiàn)蓬勃發(fā)展、欣欣向榮之勢態(tài)下面 我們將著重介紹與本論文有關的一些反問題的歷史發(fā)展與研究現(xiàn)狀 對于函數(shù)重構的問題，【6 】中列舉了多項比較傳統(tǒng)的數(shù)值微分方法，其中主要方 法是利用有限差分法并選擇合適的步長來進行數(shù)值微分的計算在9 0 年代，h a n k e 和s c h e r z e r 在文獻【7 】中基于帶誤差的函數(shù)值數(shù)據(jù)，用t i k h o n o v 方法討論了規(guī)則網 格上的數(shù)值微分問題，其中正則化參數(shù)由差異性準則決定其后，程晉、y a m a m o t o 和王彥博等人在文獻 8 一l l 】中沿用了該方法來求解不規(guī)則網格情形的數(shù)值微分問 題，并使用了程晉和y a m a m o t o 在文獻【1 2 】中提出的一個先驗選取正則化參數(shù)的 方法，大大減小了計算量取得了一批重要的研究成果其中，一維問題的正則化解 是分片樣條函數(shù)；二維問題的正則化解則運用了微分方程的格林函數(shù)或徑向基函 數(shù)來描述這些方法也成功用于識別圖像邊界這個圖像處理基本問題而d e l h e z 在文獻【1 3 1 中提出了一個樣條函數(shù)方法來進行基于均值數(shù)據(jù)的函數(shù)重構 對于腐蝕系數(shù)的探測問題，i n g l e s e 在文獻【1 4 】中討論了薄板情形中在一定的正 則性條件下解的唯一性問題，并且構造了正則化數(shù)值方法來求解它進一步地，程 晉，楊聽等人在文獻f 1 5 1 中討論了圓管內壁的腐蝕識別問題，提出了基于小參數(shù)展開 的可行數(shù)值算法f a s i n o 和i n g l e s e 則在文獻 1 6 1 中提出了在矩形域中用g a l e r i k i n 方法計算腐蝕系數(shù)并證明了其收斂性 2 第一章：緒言 對于柯西問題，早在1 9 2 3 年h a d a m a r d 就用一個特殊例子說明了橢圓型偏 微分方程柯西問題的病態(tài)性質，其中就包括了如何根據(jù)部分區(qū)域上提供的多余測 量數(shù)據(jù)來恢復整個區(qū)域上數(shù)據(jù)的問題，有關結果于1 9 5 3 發(fā)表在文獻( 17 1 中在區(qū) 域是正方形的假設條件下，他還得到了基于l a p l a c e 算子的一個問題的計算結果， 發(fā)現(xiàn)其解并不連續(xù)依賴于所給定的邊值數(shù)據(jù)此后，p a y n e 在文獻 1 8 - 2 0 1 中討論了 橢圓型柯西問題解的有界性，給出了若干條件穩(wěn)定性的結果e l d d n 和b e r n t s s o n 則在文獻 2 1 】中給出了一個特定橢圓微分方程柯西問題例子的條件穩(wěn)定估計在 h a d a m a r d 的研究基礎上，b e l g a c e m 等人在文獻 2 2 ，2 3 】中將區(qū)域的限制去除，推廣 到了一般區(qū)域的問題，并證明了柯西問題可以借助d i r i c h l e t - - - , n e u m a n n 映射( 又稱 s t e k l o v - p o i n c a r d 算子) 等價表示為個雙線性變分問題由橢圓型方程正則性理論 可以證明該算子的緊性，最后通過線性算子理論和凸優(yōu)化理論給出了柯西問題解 存在與否兩種情形下的收斂性分析最近，b e l g a c e m 在文獻【2 4 】中進一步完整系統(tǒng) 地說明了為什么柯西問題是嚴重病態(tài)的，不管給定區(qū)域是光滑的還是非光滑至 此，柯西問題的理論框架已經趨向完善，我們可以在文獻【2 ，2 5 - 3 0 中獲得更多關于 柯西問題解的相關理論分析但是如何有效的計算柯西問題仍是一個吸引眾多研 究者不斷探索發(fā)展的課題k o b a y s a s h i 在文獻【3 1 】中則討論了兩種平面彈性問題的 基于優(yōu)化控制思想的數(shù)值求解方法c i m e t i 邑r e 在文獻【3 2 1 中研究了迭代正則化方 法h o n 等人則在文獻 3 3 1 中討論了b a c k u s - g i l b e r t 算法程晉等人在文獻 3 4 1 q b 通過將柯西問題改寫成為矩量問題，提出了相應的算法e n g l 等人在文獻 3 5 1 貝j j 給 出了m a n n 迭代法的一個先驗停機準則最近，b o u r g e o i s 在文獻【3 6 】中研究了擬可 逆方法c h a k i b 和n a c h a o u i 在文獻f 3 7 1 中將差異性準則和優(yōu)化控制技巧相結合 并給出了其在有限元逼近情形下的一個收斂性分析a n d r i e u x 等人在文獻【3 8 】中 討論了將柯西問題轉化成優(yōu)化問題，其泛函形式的給出類似于誤差的個能量估 計更多的數(shù)值逼近收斂性分析和算法設計參見 3 9 - 4 7 此外，我們可以在王彥飛的著作5 1 和劉繼軍的著作【1 1 中詳細了解數(shù)學物理反 問題的發(fā)展歷史，以及其數(shù)值計算方法和在相關各個學科中的應用 3 上海交通大學博士學位論文 1 3本文的主要研究內容 本文重點研究了若干反問題數(shù)值算法的提出及實現(xiàn) 首先討論了在一維情形利用帶噪聲均值數(shù)據(jù)( 與 1 3 1 不同的是這里給定的數(shù)據(jù) 是帶噪聲的) 進行函數(shù)重構的問題利用t i k h o n o v 正則化方法，針對解的光滑性 要求構造不同的正則化項，建立適當?shù)那蠼夥汉Ｐ屯ㄟ^b a n a c h 空間中的最優(yōu) 化定理，我們證明問題的解是存在唯一的，并且由一階優(yōu)化必要條件計算得到解可 由樣條函數(shù)表示通過樣條函數(shù)的性質以及插值算子的構造，我們給出了此問題 在三2 模意義下的誤差估計為了能夠利用h a n s e n 開發(fā)正則化方法一m a t l a b i 具 包 4 8 1 ，我們將問題改造成h a n s e n 模型，從而能夠方便地選取多種策略來決定正 則化參數(shù)數(shù)值實驗表明了理論結果的正確性以及計算的可行性和有效性 接著我們考慮了更一般的情形，在二維甚至高維空間中如何由帶噪聲均值數(shù) 據(jù)進行函數(shù)重構的問題和一維情形相同，仍借助于t i k h o n o v 正則化方法的思想 來處理數(shù)據(jù)噪聲影響關鍵的不同是，這里目標泛函的構造必須進行一些帶有技巧 性的修改，引入了一個輔助函數(shù)空間這樣，便可以獲得此變分問題精確解的顯示 表達式，它是基于格林函數(shù)的利用文獻【7 ，8 】中類似的技巧，以及p o i n c a r 6 不等式 的一個應用，可以得到問題在驢模意義下近似解的誤差估計同樣地，我們使用 h a n s e n 工具包來實現(xiàn)該算法，選用了多種策略來決定正則化參數(shù)數(shù)值實驗表明 了理論結果的正確性以及計算的可行性和有效性 上述問題我們都獲得了可知區(qū)域上的全部信息來求解其未知量但是更為一 般的，有很多問題只能獲取部分邊界上的信息，如何由這部分的信息來反求系統(tǒng) 的其它特征則更引起了人們的興趣它的一個應用比如說無損傷探測，因此求解 此類問題顯得極為重要于是我們接著討論了腐蝕探測問題首先給出了薄管腐 蝕系數(shù)探測問題的一個誤差估計它建立在小參數(shù)展開方法之上，該方法已由程 晉、楊昕等人在文獻【1 5 1 中通過數(shù)值實驗驗證了其可行性及有效性在此基礎上結 合文獻【1 4 】中提供的一些技巧，我們給出了薄管腐蝕系數(shù)的一個誤差估計對于文 獻【1 4 】中提供的薄板腐蝕系數(shù)基于小參數(shù)展開的一個誤差估計，我們所做工作的最 大改進是不再需要運用傅立葉級數(shù)技巧于是可以降低一些對有關函數(shù)正則性所 提的假設同時也給出了在測量數(shù)據(jù)帶誤差情形下的一個誤差估計接著我們討論 了非薄板情形下的腐蝕系數(shù)計算問題，基于優(yōu)化控制的思想提出了一種數(shù)值算法， 4 第一章：緒言 并給出數(shù)值實驗證明了計算的可行性 最后由二階線性橢圓偏微分方程的柯西問題模型著手討論了柯西問題的數(shù)值 求解先運用優(yōu)化控制的方法將問題改寫，給出了一種d i r i c h l e t - n e u m a n n 迭代數(shù) 值方法來求解未知邊界上的信息由于橢圓型柯西問題是病態(tài)的，所以同樣運用了 正則化的思想證明了在一定的條件假設下，帶正則化項的優(yōu)化問題的解是存在唯 一的，并給出了解的穩(wěn)定性分析然后，當柯西問題的解假設存在時，我們給出了相 對應優(yōu)化控制問題( 不帶正則化項) 解的存在唯一性定理以及它們之間等價性定理 的證明同時給出了當正則化參數(shù)趨于零時解的收斂理論接著討論了有限元離散 后問題的收斂性分析數(shù)值實驗表明了理論結果的正確性以及計算的可行性進一 步地，通過有限元形函數(shù)表示技巧將算法重寫，使得可以運用h a n s e n 工具包來選 擇合適的正則化參數(shù)。數(shù)值實驗證明此方法的可行性及有效性最后該方法也被 推廣用于平面彈性力學柯西問題的數(shù)值求解 1 4一些基本概念及基本理論 1 4 1 s o b o l e v 空間的基本概念及記號 設區(qū)域qc 礎是l e b e s g u e 非空可測集，是q 上實值l e b e s g u e 可測函數(shù)， 記 上m ) 如 為l e b e s g u e 積分定義函數(shù)f 的驢( q ) 范數(shù)為 忖帥剛| i o 積q = ( 加刮p ) m ，p o o 定理1 4 1 對于l p o 。，妒( q ) 是b a n a c h 空間心恥 定理1 4 2 對于1 p o 。，曙( q ) 在口中稠密心彰 下面給出廣義導數(shù)的概念為此引入幾個記號【5 0 ，5 1 】讓是定義在q 上的函 數(shù)；玨的支集記作 s u p pu = z q ：u ( x ) o ) 若緊集s u p pucq 為開集，也記為s u p p uc cq ，則稱t 在q 中有緊支集 圭鲞奎望奎堂堡主堂垡迨奎 - - _ _ - _ _ _ 一 定義1 4 3 令區(qū)域qc 礎，d ( q ) 或鉀( q ) 表示在q 中具有緊支集的無窮次可 d ( q ) = t c ( q ) ：s u p pt c cq ) 三k ( o ) = ，：，l 1 ( d ) ， v 緊集dcq ) 定義1 4 4 稱，l l ( 喲具有廣義導數(shù)戰(zhàn)，聲甜，如果存在g l k ( q ) ，使得 j f qg ( z ) 妒( z ) 如= ( 一1 ) 川f n ( z ) 儼妒( z ) 如，咖口( q ) ， 定義1 4 5 今m 0 為一整數(shù)，s o b o l e v 空間定義如下： w m 巾( q ) = 【口l k ( n ) ：0 l l m 一，n ) m 曠 l a l m | | d 刮暖p ，q ) m ，1 p 0 ，使得當 時，有 z z * l l x ，z s j ( z t ) j ( z ) 定義1 4 9 j ：z scx r 是凸的，如果對任意的z l ，z 2 s 和a ( 0 ，1 ) ， 都有 j ( a z l + ( 1 一a ) z 2 ) a j ( z 1 ) + ( 1 一a ) j ( z 2 ) 若上述不等式對z 1 z 2 嚴格成立，則稱泛函j 是嚴格凸的 定義1 4 1 0 算子k ：x _ y 關于z x 是f r 爸c h e t 可微的充分且必要條件是存 在名點的f r 爸c h e t 導數(shù)k 7z ) l ( x ，y ) 使得 式 k ( z + h ) = k ( z ) + k ( z ) + o ( 1 l h l l x ) ， 當怯_ o 時， 高階f r 色c h e t 導數(shù)可以遞歸定義如二階導數(shù)k z ) l ( x ，l ( x ，y ) ) 可按公 k 7 ( z + ) = k 7z ) + k ( z ) + o ( 1 l l l x ) 定義映射( ，) _ ( k ) 為由x x 到y(tǒng) 的有界雙線性形式該映射是對稱 的，即 ( k ( z ) 0 ，則p q ( a ) 易由公式 q 蘭礦：一q ( k + k + q j ) _ 1 礦 a 算得注意到在有限維情形總有砌( o ) = 0 ，因此在實際計算時應當將初始 值o t o 取的稍大些 1 1 第二章一維情形基于帶噪聲均值數(shù)據(jù)的函數(shù)重構 2 1問題的描述 設是區(qū)間a ，6 】的一個剖分，其網格記為 網格大小定義如下： a = x o x l x n2 b h 。1 m 西( 夕) ， 這與，是圣( ，) 在v 中的最小值矛盾命題得證 口 接下來，我們將給出此問題在l 2 模意義下的誤差估計為此我們首先引進一 個插值算子q ，它將空間l 2 ( o ，b ) 映射到與剖分相一致的階梯函數(shù)空間對函 數(shù)f l 2 ( o ，6 ) ，q h f 定義如下： q h f ( x ) = 磊( ，) ，v z ( z t 一1 ，z ) ( 2 2 9 ) 利用 6 3 ，6 4 】，我們可以得到以下的引理 1 5 上海交通大學博士學位論文 引理2 2 3 任取，h 1 ( o ，6 ) ， i i ，一q h f l l 。( 毛一。，毛) h , l l f i l l 。( 以一。，毛) ，1 i ； i i ，一q h f l i l 。( d 6 ) h i l l 7 i l l ：( d ，6 ) 類似于文獻 6 5 ，p 5 5 8 1 中g 的構造，接著我們引進一個新的插值算子7 r h ，它 將l 2 ( 凸，b ) 映射到島( ) ，對任意的f l 2 ( o ，6 ) ，“，島( ) 定義如下： 尬( 鞏，) = 艦( ，) ，1 i ；( 7 r l l ，) 7x o ) = ( 7 r h f ) x n ) = 0 ( 2 2 1 0 ) 引理2 2 4 如上定義的7 1 h 是適定的。并且成立以下等式 l l o r h f ) ，1 1 2 。( 。，+ l l ( f 一7 r h f ) ，| | 2 ：( 。，6 ) = 1 2 ：( d ，砷，v f h 1a ，6 ) ( 2 2 1 1 ) 證明為了說明算子7 r ，i 是適定的，我們首先來證明由約束條件 壇( ，) = 0 ，1 i ；，7 ( z o ) = ，7 ( x n ) = 0 ，。 ( 2 2 1 2 ) 可知對任意函數(shù)f ( ) ，一致為零事實上，注意到，”( z ) 在區(qū)間( 戤一1 ，x i ) 上 是常數(shù)，通過分部積分，利用條件( 2 2 1 2 ) ，我們知 r 6 ( 門2 如：妻廠取( 門2 如 j o i = 1j x l - - 1 = 一f z ( x ) f ( x ) d x + ，k ) m ) 巴) = 一，( 華) 鬼m i ( f ) + ( ，k - o ) 一，釹t + o ) ) m i ) = 0 ， 因此在區(qū)間【o ，6 】上，7 三0 ，也就是說f 是常數(shù)再加上條件m i ( f ) = 0 可以推 得，必須一致為零所以此插值算子是適定的 接下來我們證明等式( 2 2 1 1 ) 由稠密性定理【4 9 】知，我們只需證明對任意函 數(shù)，c a ，6 1 成立此結果通過直接計算得 ，= i i ( f 一他慨d ，6 ) + i i ( r r h f ) ，i i 至。( d ，6 ) + 2 ( ，一，r h f ) ( x ) ( t r h f ) k ) 如 ( 2 2 1 3 ) 1 6 第二章：一維情形基于帶噪聲均值數(shù)據(jù)的函數(shù)重構 此外，通過分部積分，由條件( 2 2 1 0 ) 知 r 6f - - 7 r h ，) ，( z ) ( 丌h ，) k ) 如：妻 z i f - - 7 r h ，) ，( z ) ( 孤( z ) 如 j 8 i = l z t - - 1 = 一( 孤( 畢) 鬼必( ，一，r h f ) i = 1 。 + ( ，一州z ) ( n ( z ) 巴 i = 1 n = 一( 鞏( 學) 見尬( ，一礬，) + ( f 一7 r h f ) ( x n ) ( 7 r h f ) x n ) 一( ，一7 r h f ) ( x o ) ( t r h f ) 7 ( x o ) = 0 結合( 2 2 1 3 ) 就得到了所要的結果 口 引理2 2 5 對于俚2 i o ) 中的插值算子7 r h 成立 i i ，一7 r h f l l n ：( 。，2 h i l l i l l ：( 口，6 ) ，v f 日1a ，6 ) 證明我們由丌 的定義( 2 2 1 0 ) 知q h f = q h ( 7 r h ) 因此，由引理2 2 3 和引 理2 2 4 知對任意的f 日1 ( 口，b ) 有 0 ，7 r h f l l l z ( 口，”= i l ( f q h f ) + ( q h ( 1 r a f ) 一7 v h f ) l l 。( 凸，6 ) l i f q a f l i l z ( 。，b ) + 1 1 7 r ，一q a ( 7 r h f ) l l l 。( d ，6 ) h l l f i l l 。( 口，6 ) + i l ( 7 r h ，) 7 i l l z ( n ，6 ) ) 2 h l l f i l l 。( 。，6 ) 口 現(xiàn)在我們將給出方法( 2 2 2 ) 的誤差估計 定理2 2 6 設y 是日1a ，b ) 中的函數(shù)，記，是方法俾2 矽的解假設俾2 矽中 的數(shù)據(jù)阢滿足條件償j 糾那么我們就有估計 i | y 一 i i l 2 ( 。，6 ) ( 2 1 1 y 7 i i l 。( 口，6 ) + 、石= 刁 石) + 2 函v 而+ ( 2 + v 伍) l l y 7 i l l z ( 口 ) ( 2 2 1 4 )