（運(yùn)籌學(xué)與控制論專業(yè)論文）模糊測度空間上集值函數(shù)的收斂性和choquet積分.pdf

摘要 本文研究了非可加測度的一些結(jié)構(gòu)特性和模糊測度空間上的可測函數(shù)( 單值和集值) 的收斂性以及c h o q u e t 積分的一些性質(zhì)，主要工作如下： ( 1 ) 引入了單調(diào)集函數(shù)的幾種連續(xù)性并給出l e b e s g u e 定理在單調(diào)測度空間上的四種 推廣形式，討論了單調(diào)集函數(shù)的上( 下) 連續(xù)性和模糊積分，c h o q u e t 積分的單調(diào)收斂定理 之間的等價(jià)性，證明了單值函數(shù)c h o q u e t 積分的控制收斂定理 ( 2 ) 研究了模糊測度空間上閉集值可測函數(shù)( 也稱隨機(jī)集) 的收斂性，分別證明了有 限模糊測度空間上和單調(diào)測度空間上關(guān)于閉集值可測函數(shù)的兩種形式的e g o r o f f 定理 ( 3 ) 作為實(shí)值可測函數(shù)的c h o q u e t 積分的推廣，在模糊測度空間上給出了可測集值 函數(shù)的數(shù)值c h o q u e t 積分的定義，討論了這種積分的性質(zhì)，并證明了可測集值函數(shù)的數(shù)值 c h o q u e t 積分的單調(diào)收斂定理，f a t o u s 引理以及l(fā) e b e s g u e 收斂定理 關(guān)鍵詞：集函數(shù)，模糊測度，集值函數(shù)，l e b e s g u e 定理，e g o r o f f 定理，c h o q u e t 積 分，模糊積分 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，s o m es t r u c t u r a lc h a r a c t e r i s t i c so fn o n a d d i t i v en l e a s u r ea r es t u d i e dt h ec o n v e r g e n c eo ft h em e a s u r a b l ef u n c t i o n s ( s i n g l e v a l u e da x e ds e t - v a l u e d ) a n ds o m ep r o p e r t i so fc h o q u e t i n t e g r a la r ed i s c u s s e d i ti so r g a n i z e da sf o l l o w s ： 【1 ) f o u rk i n d so fc o n t i n u i t yo fm o n o t o n es e tf u n c t i o na x ei n t r o d u c e da n df o u rf o r m so fg e n e r a l i z a t i o no nm o n o t o n em e a s u r es p a c ef o rl e b e s g u et h e o r e ma x ep r e s e n t e d t h e e q u i v a l e n c ea m o n g t h ec o n t i n u i t yf r o mb e l o wa n da b o v eo fm o n o t o n es e tf u n c t i o na n dt h em o n o t o n ec o n v e r g e n c et h e o - r e m so ff u z z ya n do fc h o q u e ti n t e g r a l sa r ed i s c u s s e d ，r e s p e c t i v e l y d o m i n a t e dc o n v e r g e n c et h e o r e m o fc h o q u e ti n t e g r a lo fs i n g l e - v a l u e df u n c t i o ni ss h o w n ( 2 ) t h ec o n v e r g e n c eo ft h em e a s u r a b l ec l o s e d - v a l u e df u n c t i o n ( a l s oc a l l e dr a n d o ms e t ) i ss t u d l e dt w of o r m so fe g o r o f ft h e o r e mo ft h em e a s u r a b l ec l o s e d - v a l u e df u n c t i o no nm o n o t o n en l e a s u r e s p a c ea n do nf i n i t ef u z z ym e a s u r es p a c ea x ep r o v e d ，r e s p e c t i v e l y ( 3 ) t h ec o n c e p to fc h o q u e ti n t e g r a lo ft h em e a s u r a b l es e t - v a l u e df u n c t i o n so nf u z z ym e a s u r e s p a c ei si n t r o d u c e d i ti sa sag e n e r a l i z a t i o no ft h ec h o q u e ti n t e g r a lo fm e a s u r a b l es i n g l e - v a l u e d f u n c t i o n st h ep r o p e r t i e so fc h o q u e ti n t e g r a la x ed i s c u s s e d m o n o t o n ec o n v e r g e n c et h e o r e m ，f a t o u l s l e m m aa n dl e b e s g u ec o n v e r g e n c et h e o r e mo fc h o q u e ti n t e g r a la r ep r o v e d ，r e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：s e tf u n c t i o n ，f u z z ym e a s u r e ，s e t - v a l u e df u n c t i o n ，l e b e s g u et h e o r e m ，e g o r o f f t h e o r e m ，c h o q u e ti n t e g r a l ，f u z z yi n t e g r a l 一、學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 東南大學(xué)學(xué)位論文 獨(dú)創(chuàng)性聲明及使用授權(quán)的說明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成 果盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)明和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或 撰寫過的研究成果，也不包含為獲得東南大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材 料與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示了 謝意 二、關(guān)于學(xué)位論文使用授權(quán)的說明 簽名：耋羔監(jiān)日期；翟蚪 東南大學(xué)、中國科學(xué)技術(shù)信息研究所、國家圖書館有權(quán)保留本人所送交學(xué)位論文的復(fù) 印件和電子文檔，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文本人電子文檔的內(nèi)容和紙 質(zhì)論文的內(nèi)容相一致除在保密期內(nèi)的保密論文外，允許論文被查閱和借閱，可以公布( 包 括刊登) 論文的全部或部分內(nèi)容論文的公布( 包括刊登) 授權(quán)東南大學(xué)研究生院辦理 簽名：導(dǎo)師簽名： 耄霾 日期；叢：三 第一章引言 自從1 9 6 5 年美國控制論專家laz a d e h 發(fā)表關(guān)于模糊集1 1 1 的開拓性論文“后，模糊 數(shù)學(xué)的研究獲得了迅猛發(fā)展，目前已形成了一門具有廣泛應(yīng)用的新學(xué)科正像經(jīng)典測度與積 分理論在經(jīng)典數(shù)學(xué)中占有的位置，模糊測度與模糊積分引起了許多學(xué)者的關(guān)注1 9 7 4 年， 日本學(xué)者s u g e n o 在 2 3 中首次提出用比較弱的單調(diào)性和連續(xù)性來代替可加性的另一類定義 在閉區(qū)間 0 ，1 上的集函數(shù)，稱之為模糊測度，它是指滿足以下條件的集函數(shù)： ( 1 ) p ( 0 ) = 0 且u ( x ) = 1 ，e c f = = 爭p ( e ) p ( f ) ， ( 2 ) 若 r ) 為m 中的單調(diào)集列，則l i _ + o 。p ( r ) = p ( 1 i 。o 。r ) 并相應(yīng)地定義了可測函數(shù)關(guān)于模糊測度的積分 1 9 8 0 年1 ：瑚e s c u 和a d a m s 2 2 】將s u g e n o 意 義下的模糊測度推廣取值于 0 ，+ 。】上 由于模糊測度通常不具有可加性，難以完全建立相當(dāng)于經(jīng)典測度論中的理論體系，為 此人們在研究中往往對模糊測度附加一些諸如”次可加性”、 一律等條件，但這些條件 往往是比較強(qiáng)的，所以具有一定的局限性后來王震源在 2 5 ，2 6 中提出了較弱的自連續(xù)和 零可加等重要的概念，并與1 9 8 6 年更進(jìn)一步提出了偽自連續(xù)，偽零可加等概念，討論了模 糊測度空間上可測函數(shù)序列各種收斂之間的關(guān)系以及積分序列的收斂性，推廣了經(jīng)典測度 論中著名的l e b e s g u e 定理、r i e s z 定理、e g o r o f f 定理以及l(fā) e b e s g u e 控制收斂定理等，王震 源的這些工作被系統(tǒng)的總結(jié)在他與k l i r 的專著f u z z ym e a s u r et h e o r y 2 7 中 近幾年，對模糊測度和模糊積分的研究又有了新進(jìn)展，如哈明虎和吳叢忻在f 2 2 中系統(tǒng) 總結(jié)了他們在這些方面的研究成果，得到了一系列有意義的結(jié)果李軍在 1 3 】中證明了古典 測度中的e g o r o f f 定理在有限模糊測度空間是無條件成立，從而使得e g o r o f f 定理在有限模 糊測度空間上的推廣工作得到實(shí)質(zhì)結(jié)果，在 1 4 中，在強(qiáng)序連續(xù)和性質(zhì)( s ) 的條件下，得到 了模糊測度空間上的廣義e g o r o f f 定理，在 1 2 】中，得到了模糊測度空間上的l e b e s g u e 定理 的充分必要條件是強(qiáng)序連續(xù)的以上結(jié)果對進(jìn)一步完善模糊測度理論有非常積極的意義 2 0 世紀(jì)初期，集值映射的引進(jìn)，首先來源于經(jīng)濟(jì)系與控制系的需要比如在經(jīng)濟(jì)系中， 消費(fèi)計(jì)劃、預(yù)算和供給、生產(chǎn)計(jì)劃都是商品空間的集合，為了研究經(jīng)濟(jì)系的均衡問題，必須 研究取集值的映射，因?yàn)樵诮?jīng)濟(jì)系統(tǒng)中有不可忽視的人的動因產(chǎn)生的不同效用1 9 6 4 年，經(jīng) 濟(jì)學(xué)家兼數(shù)學(xué)家a u m a n n 從經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)理論的研究出發(fā)，引進(jìn)了集值映射由于集值映射在控 制領(lǐng)域和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域具有很廣的應(yīng)用，所以集值映射具有很高的研究價(jià)值張文修在 3 】3 中， 系統(tǒng)的討論了測度空間上可測集值函數(shù)的性質(zhì)，劉彥魁在f 1 5 】中又將集值函數(shù)的收斂性問 題從測度空間推廣到模糊測度空間上，并詳細(xì)討論了關(guān)于集值函數(shù)的l e b e s g u e 定理，r i e s z 定理，e g o r o f f 定理以及他們的各種推廣形式，其中在f 1 5 中所用的模糊測度就是r a l e s c u 和a d a m s 2 2 1 意義下的模糊測度 19 6 5 年，a u m a n n 在經(jīng)濟(jì)學(xué)問題的啟發(fā)下，以可測集值映射的單值l e b e s g u e 可積選擇 】 東南大學(xué)碩士論又 定義了兄“空間中集值函數(shù)的積分，稱為a u m a n n 積分6 1 。m m - a m - 積分出現(xiàn)以后，集值函 數(shù)的積分理論大量應(yīng)用在數(shù)學(xué)，經(jīng)濟(jì)，控制以及其他領(lǐng)域，引起了許多學(xué)者的關(guān)注。關(guān)于數(shù) 學(xué)方面的工作主要集中在z h a n g 3 】，p u r ia n dr e l e s c u 2 1 等等但是無論是數(shù)學(xué)領(lǐng)域還是經(jīng) 濟(jì)領(lǐng)域以及其他領(lǐng)域他們的工作都是基于經(jīng)典的l e b e s g u e 積分伴隨著模糊測度與模糊積 分理論的產(chǎn)生和發(fā)展，一種自然的想法就是建立集值函數(shù)的模糊積分，由于最常見的模糊積 分是s u g e n o 模糊積分，從而可以仿照a u m a n n 積分的定義，仍然利用單值可測選擇的模糊 積分來定義集值函數(shù)的模糊積分基于這種考慮，文獻(xiàn) 2 9 ，3 0 ，3 1 的作者定義了集值函數(shù) 的模糊積分，將a u m a n n 積分推廣到模糊測度空間。近幾年，基于非可加集函數(shù)的c h o q u e t 積分也引起了許多學(xué)者的關(guān)注，例如m o r u f u s h ia n ds u g e n o 1 8 ，1 9 ，m e s i a r 1 7 ，w a j l g 2 8 ， p a p 2 0 】等等，他們所有的工作都是關(guān)于單值函數(shù)的相對于集值函數(shù)的模糊積分，集值函 數(shù)的c h o q u e t 積分的概念也被人提出來了，這些積分的基本性質(zhì)也被討論了( f 8 ，3 1 1 ) 本文將進(jìn)一步研究非可加測度的一些結(jié)構(gòu)性質(zhì)和模糊測度空間上可測函數(shù)( 包括實(shí)值 和集值函數(shù)) 的收斂性以及可測集值函數(shù)的c h o q u e t 積分的一些性質(zhì)論文分為四章，第一 章為緒論，第二章為預(yù)備知識，主要給出模糊測度與模糊積分理論中的一些基本定義和性 質(zhì)。 第三章將討論模糊測度空間上實(shí)值可測函數(shù)收斂與依測度收斂的關(guān)系，進(jìn)一步推廣可 加測度論中的l e b e s g u e 定理由于在非可加測度論中，”幾乎處處”與”偽幾乎處處”這 兩個(gè)概念不等價(jià)，因此l e b e s g u e 定理的推廣就具有不同的形式第一節(jié)給出了單調(diào)集函數(shù) 的四種連續(xù)性結(jié)構(gòu)，并討論了這四種連續(xù)性和單調(diào)集函數(shù)的上、下連續(xù)性之間的關(guān)系第二 節(jié)證明了在單調(diào)測度空間上的四種類型的l e b e s g u e 定理在 1 6 和 27 】中，m u r o f u s h i 和 王震源在集函數(shù)的上連續(xù)性、下連續(xù)性的條件下分別證明了c h o q u e t 積分和模糊積分的單 調(diào)收斂性定理我們在第三節(jié)將分別證明單調(diào)集函數(shù)的上連續(xù)性、下連續(xù)性與模糊積分和 c h o q u e t 積分的單調(diào)收斂性定理三者之間的等價(jià)性最后將利用第一節(jié)推廣的l e b e s g u e 定 理證明c h o q u e t 積分的控制收斂定理 第四章討論了模糊測度空間上可測閉集值函數(shù)( 也稱隨機(jī)集) 的e g o r o f f 定理在經(jīng)典 測度論中，e g o r o f f 定理是非常重要的收斂性定理之一 9 】在 2 7 中，王震源利用模糊測 度的零可加性將經(jīng)典測度論中可測實(shí)值函數(shù)的e g o r o f f 定理推廣到有限模糊測度空間上李 軍在 1 3 中進(jìn)一步證明了在有限模糊測度空間上，可測實(shí)值函數(shù)的e g o r o f f 定理是成立的而 無須對模糊測度附加其它條件在本章第二節(jié)，我們利用強(qiáng)序連續(xù)和性質(zhì)( s ) ，證明單調(diào)測 度空間上可測閉集值函數(shù)的e g o r o f f 定理，在下半連續(xù)和性質(zhì)( p s ) 的條件下，證明可測閉 集值函數(shù)的偽e g o r o f f 定理第三節(jié)我們將證明可測閉集值函數(shù)的e g o r o f f 定理和偽形式的 e g o r o f f 定理在有限模糊測度空間上仍然成立以上結(jié)果進(jìn)一步推廣和完善了王震源f 27 1 ， 李軍f 1 3 1 ，劉彥魁 1 5 】等人的結(jié)果。 c h o q t m t 積分是基于非可加測度的一種非可加和非線性積分。在【1 8 ，1 9 ，1 7 ，2 8 ，2 【j 】中， 許多學(xué)者分別研究了可測實(shí)值函數(shù)的c h o q u e t 積分的性質(zhì)和積分收斂定理。第五章我們將 討論可測集值函數(shù)的c h o q u e t 積分，在第一節(jié)我們給出可測集值函數(shù)的數(shù)值c h o q u e t 積分 的定義并討論它的基本性質(zhì)，它可被認(rèn)為是實(shí)值可測函數(shù)的c h o q u e t 積分的一種推廣，在第 二節(jié)討論了這種積分的收斂性，證明了可測閉集值函數(shù)的c h o q u e t 積分的單調(diào)收斂定理， f a t o u 引理，最后利用可測閉集值函數(shù)的f a t o u 引理證明了c h o q u e t 積分的控制收斂定理。 第二章預(yù)備知識 為了后面敘述問題的方便，本章主要介紹一些定義，定理以及引入一些符號 2 1 模糊測度 在本論文中，用符號“”( 或“夕”， “一”) 代表“單調(diào)遞減收斂”( 或“單調(diào)遞 增收斂”，“收斂”) j p 代表m 一維歐氏空間，d 代表r ”上的歐氏度量 定義2 1 1 ：設(shè)x 是一個(gè)非空集合，為x 的一個(gè)子集族，若，滿足下述性質(zhì)r ( 1 ) xe ， ( 2 ) 若a ，則x a ， ( 3 ) 若a 。，= 1 ，2 ，) ，貝0 u 甚1 a n ， 那么我們稱，為一個(gè)一代數(shù)。 定義2 1 2 ：設(shè)x 是一個(gè)非空集合，是由x 的某些子集組成的口代數(shù)，并設(shè)： ，_ 0 ，+ 。 是一個(gè)單調(diào)集函數(shù)，即“滿足以下條件： ( 1 ) p ( 0 ) = 0 ； ( 2 ) v a ，b ，ac b 哥u ( a ) ( b ) 當(dāng)p 是單調(diào)集函數(shù)時(shí)，( x ，p ) 稱為單調(diào)測度空間【2 0 】 注解t 文獻(xiàn) 1 6 中，單調(diào)集函數(shù)p 被稱為模糊測度 1 9 8 0 年，r a l e s c a 和a d a m s 2 2 將s u g e n o 模糊測度推廣到【0 ，。 上 定義2 1 3 2 2 】：模糊測度p ：，- + 0 ，。】是指滿足下面的性質(zhì)： ( f m l ) p ( 日) = o ； ( f m 2 ) a ，b ，a c b ，有p ( a ) p ( b ) ； ( f m 3 ) 若a 1ca 2c ca 。c ，a 。，則有 。 熙p ( ) 2p ( u a n ) ； ( f m 4 ) 若a 1 ) a 2 ) 3a 。d ，a 。，并且存在k ，使得p ( 九) a ) = 。x ：f ( x ) a ) ，( v 口o ) 定義2 2 ，2 1 1 6 ：可測函數(shù)，：x - + r + 在a ，上的c h o q u e t 積分定義如下 rf o o ( c ) f d # = p ( r n a ) d a j aj 0 其中上式右端為l e b e s g u e 積分，f 0 = 扣a ：，( u ) ho o ) 容易看出，可測函數(shù)，關(guān)于模糊測度p 的c h o q u e t 積分總是存在的因此， 若( c ) f d p o ) 定理2 3 7 4 ：設(shè)晶1 ) 是閉集列，f 是閉集，下列命題等價(jià)： ( 1 ) fc l i n m _ + i 。n f f t l ( 2 ) 撬( f e 晶) 2o ( e o ) 定理2 3 8 1 3 t 設(shè)( n ，只p ) 是有限測度空間，( x ，d ) 是可分的度量空間，f r ( n 1 ) ，f 是n 到x 的隨機(jī)集族，則下面命題等價(jià)： ( 1 ) 0 驄晶( u ) 2f ( “) ( 一p ) ( 2 ) 典d ( 。，r ( u ) ) = d 0 ，f ( u ) ) ( o ep ，z r m ) 第三章單調(diào)集函數(shù)的連續(xù)性與可測函數(shù)序列的收斂 l e b e s g u e 定理是可加測度理論中最重要的收斂性定理之一，它陳述為在一個(gè)有限測度 空間上，實(shí)值可測函數(shù)序列 a ) 幾乎處處收斂于，蘊(yùn)含著 0 ，均有l(wèi) i m 。+ m p ( 忙x ：i ( z ) 一f ( x ) i 0 ，有恕p ( 如：i ( z ) 一l f a ) ) = p ( x ) 一特別地取口= 時(shí)，0 驄肛( z ：i 扛) 一l f t ) ) d t 另一方面， 1 0i ft 1 扣| x a 。 t ) = 【a n i f0 t 略= 【a i f0 t 舳= f o l # ( a ) d t 刊a ) 所以，t z ( a 。) ( ) 這說明p 是下連續(xù)的 ( 1 ) 辛( 3 ) ：利用文獻(xiàn) 1 6 】中的引理77 ，證明與文獻(xiàn)【1 6 】中的定理7 5 相同。 ( 3 ) = 爭( 1 ) ：假設(shè) a 。) c ，并且a 。a 我們分兩種情況討論： ( i ) 當(dāng)盧( a ) = n + 。時(shí)，定義可測函數(shù)序列如下： fn i fz a 。 ( z ) = a x n 。= 1 0i fz y a n n = 1 ，2 一，并且 ，( 。) = a x a = fa inio l0j fz x a 則在a 上，n 夕f 由已知條件得 ( s ) f f 。d “( s ) f d , u ( n - + o o ) ， 即 ( s ) 。咖( s ) 蝴斯m - + 毗 又根據(jù)文獻(xiàn)【1 6 中定理7 2 ，可得 ( s ) a x a 。如= na 盧( a n ) = u ( a n ) 且 ， ( s ) a x a d , u = oa p ( a ) = p ( a ) ， 因此p ( 。) 夕p ( a ) ( i i ) 當(dāng)“) = + 。時(shí)，我們證明 。l _ 十i m ?！? 九) = + 。o 如果l i r a ( a 。) = a + o o ，則有( + 1 ) x a 。夕( 0 + 1 ) x a 由條件得 ( n + 1 ) 咖夕( n + 1 ) m 咖， 由模糊積分性質(zhì) ( 0 + 1 ) a “( a 。) ( a + 1 ) a p ( a ) 從而p ( a n ) ( 0 + 1 ) 這與。l 。i m 。p ( a n ) = 。矛盾所以。l _ + i m 。p ( 如) 2 + o 。 定理證畢 與定理3 3 1 的證明類似，我們可以得到以下結(jié)果： 定理3 3 2 ：設(shè)p 是單調(diào)集函數(shù)以下兩條件等價(jià) 1 ) “是上連續(xù)的 ( 2 ) 對任意 ，n ) f + ，n ，且( g ) f f l d p o 。有 。旦( g ) 咖= ( 口廠脅- 東南大學(xué)項(xiàng)士淪文 若“是有限的，則以下條件與上面兩條件分別等價(jià) ( 3 ) 肘任蕙 ) cf + ，a ，有 。1 i m ( s ) f n d # = ( s ) f y d # 下面我們利用定理3 2 1 給出c h o q u e t 積分的控制收斂定理 定理3 3 3 ；設(shè)p 是單調(diào)集函數(shù)且在零集連續(xù)， ，n ) c f + ，f + ， 蘭粵，如果存在 g f + ，使厶g ( 對任意n 1 ) 且( c ) j 目舢 。，則( c ) f 札 o 。，( g ) ，咖 。且 。+ l i r a 。( c ) | 厶一，j d p2 0 證明： 因?yàn)? g ) f g d , 0 ，使得 z “p ( 。：2 9 ( z ) t ) ) d t i ，。， kp ( 。：2 9 ( 2 ) 。) ) 4 。 0 ，p ( z ：l 厶( 。) 一，( 。) i 口) p ( z ：2 9 ( x ) t ) ) 于是， 。 -p(z：|，n(。)一m)lt)dtjo ；o 相 脅圳一x f ( x ) l t ) a t n 時(shí) 于是當(dāng)n n 時(shí) 證畢。 r 州圳舯) _ ，( 圳糾) 蟣1 3 厶川伽：| 川_ ，知) | 剄) ) 出 一 f ， 一 z 厶扣 一 p e 一3e 。汁 + e 一3 0 和r 中的任意緊集k ，存在v ( e ，) ，當(dāng)n _ v ( e ，) 時(shí)，有 e ( = ( ) ) = a ， 則稱 r ) 在e 上一致收斂于f ，記作r 馬p ( 2 ) 如果存在e 的可測集合序列 四k ) ，滿足 l 驄p ( ) 2 0 ， 并且在e 五k 上，咒竺f ，( m = 1 ，2 ) 則稱 r ) 在e 上幾乎一致收斂到f ，記作 r 馬f ( 3 ) 如果存在e 的可測集合序列 點(diǎn)) ，滿足 i 粵b p ( 曰e m ) 2p ( e ) ， 并且在e e 。上，f n 與f ( m = 1 ，2 ) ，則稱 r ) 在e 上偽幾乎一致收斂到f ，記作 晶攀只 ( 4 ) 如果對任意c e n ，在c 上，晶巴罵只那么我們稱 晶，在e 中偽幾乎一致收 斂到f 其中： e ，( “j )= x 科“；d ( x ，f ( u ) ) 0 ，有： 。 x 礎(chǔ)x u 鯽( m 一。) m = 1 因?yàn)閜 ( x e ) = 0 所以p ( x 舀礎(chǔ)) p ( x e ) = 0 ，即p ( x e ) = 0 m = l 根據(jù)p 具有強(qiáng)序連續(xù)性可得 l 驄p ( x 瑚) = 0 所以存在 x 鮒) 的子列 x 刪) 滿足： p 礎(chǔ)) ，( v l 1 ) 所以 l i r a u ( x 0e 鬻) = 由p 具有性質(zhì)( s ) 可知：存在 x 礎(chǔ) 的子序列 x 磷 ) 滿足 p ( nu x 硪：) ) = 0 ，( f l f 。 0 和r m 的緊集k 存在正整數(shù)f t 。( e ，k ) ，滿足e z 。( e ，) 0 p ( u 礎(chǔ)) = p ( a ) l 驄p ( 礎(chǔ)) = p ( a ) 所以存在忙船；f ，f n , 1 ) 的子列怛虢) 滿足： ( 1 ) 若p ( a ) 0 和r ”的緊集k ，存在正整數(shù)l i o ( t ，k ) ，滿足e f 。 t ，kc 瓦： 由 小f kc 硪： n “j x ； ( 晶e f ) u ( f e 晶) ( u ) n = a ) t 0 所以當(dāng)n 蘭( e ，k ) = m i ；。時(shí)， a f k ( a 疊( ) ) = “a 耳； ( f n e f ) u ( f e f n ) ( u ) n k o ) = o 因此r 攀f 4 3模糊測度空間上的e g o r o f f 定理 本節(jié)中我們給出在有限模糊測度空間上的e g o r o f f 定理和偽e g o r o f f 定理，設(shè)( x ，p ) 是模糊測度空間，并且p 是有限模糊測度， 晶協(xié)1 ) ，f ) cp 伍) 定理4 3 1 ：在a ，上， 晶馬f 昔r 馬f 。 證明：設(shè)0 0 ，令 礎(chǔ)= n u a ； ( e 。q f ) u ( f e f r ) 】( u ) n g = o ) ， 吣 j | 瓦 nu r f u f r a u 馴。n 一 nn = = r a 東南大學(xué)碩士論文 r j f f e c 霹c 且nu 聊= a d f = l m = l 所以可得： o 。o 。 p ( unu 如a ；【( r e f f ) u ( f e ? r ) ( u ) n 西o ) ) = ( d ) = 0 7 = l m = l 所以由肛的連續(xù)性可得z 0 粵b “( u u a ； ( r e f f ) u ( f q r ) ( u ) n 巧o ) ) = o n = 仇 令 d 卿= u u ； ( 晶q f ) u ( f q r ) ( u ) n 研o ) ， d ( ) = nj d 卿， t n ；1 d = u d ( “ 令 與文獻(xiàn) 1 3 的證明方法一樣，我們可得到一個(gè)集合列忙哦) ，利用單調(diào)性，我們可得 0 0 p ( u d r o 1 1 l p ( u d 裁u d ) o 和r 的緊集k ，存在正整數(shù)1 0 ( e ，耳) ，滿足1 0 e ，kc 瓦 由 o o e cn u a ； ( 晶e f ) u ( f e r ) ( u ) i - i k ：o ) ， f ，2 = m f “ 2 2 e 陽 d u “ = g 樂南大學(xué)頑士論文 所以當(dāng)n ( e ，k ) = f n 時(shí)， e ( 矗( k ) ) = ue 曰； ( 只，e f ) u ( f e f , 。) ) n k 0 ) = o 因此在e 上，r 與f 推論4 , 3 2 ：若p 是零可加的，則在a y 上， d 扛，r ( u ) ) 馬d ( x ，f ( u ) ) = = d 扛，r ( u ) ) 蘭與d 扛，f ( u ) 定理4 3 3 ：在a ，上， 晶駕f 哥f n 攀p 證明；參見文獻(xiàn) 1 5 推論4 3 4 ：若p 是零可加的，則在a ，上 d ( 。，r ( u ) ) 巴! 毒d ( z ，f ( u ) ) = d ( x ，r ( u ) ) 攀d ( z ，f ( u ) 第五章集值函數(shù)的c h o q u e t 積分 在本章我們假定( x ，) 是一個(gè)可測空間，p 是，上的模糊測度，r + = 0 ，o o ， p ( 月+ ) 表示r + 的所有子集構(gòu)成的類，( r + ) = p ( 佗+ ) d ) 集值函數(shù)f ：x p o ( r + ) 稱 為可測的，如果它的圖是可測的，即 g r ( f ) = ( z ，r ) x r 十：r f ( z ) ) ，x b m e l ( r + ) 其中b o r e t ( r + ) 表示r + 的b o r e l 集全體 近幾年來，集值函數(shù)的c h o q u e t 積分受到許多學(xué)者的關(guān)注，在可測空間( x ，) 上，設(shè) f 是一個(gè)集值函數(shù)，a ，則f 在a 上的c h o q u e t 積分定義如下： rr ( c ) ，蟣= “g ) f d # ：，s ( f ) ) 其中s ( f ) = ，：，是可測的且，( u ) f ( u ) p g e ) 上面定義的集值函數(shù)的積分是a u m a n n 積分的推廣在本章我們給出集值函數(shù)的c h o q u e t 積分的另一種定義，它是可測單值函數(shù)的c h o q u e t 積分的推廣下面我們先給出它的定義 5 1 基本定義及性質(zhì) 可測函數(shù)，：x - - 4 r + 在a ，上的c h o q u e t 積分定義如下： ( g ) 上，舡= z 。肛( r n a ) 如 上式右端為l e b e s g u e 積分，f 0 = u a ：，( u ) 口) 按照單值可測函數(shù)c h o q u e t 積分的定義，我們得到下面可測集值函數(shù)的c h o q u e t 積分 定義5 11 ：可測集值函數(shù)f ：x - - - - 4p 0 ( r + ) 在a f 上的c h o q u e t 積分定義如下： ( g ) f 札= p ( r n a ) d c y j j 0 上式右端為l e b e s g u e 積分，r = 扣a ：f ( u ) n h o c 】0 ) 注解：定義5 1 1 顯然是單值可測函數(shù)的c h o q u e t 積分定義形式的推廣 注解：為了書寫簡單，我們下面在討論x 上的積分時(shí)，用f d # 代替f d # jj 爿 4 樂甬穴學(xué)項(xiàng)士論文 由定義511 可以直接得到下面的性質(zhì)。 性質(zhì)j 1 2 ：設(shè)f 是可測的集值函數(shù)，若p ( a ) = 0 ，則有( c ) f d , u = 0 ja 定義513 ：設(shè)f 和g 是可測的集值函數(shù)，若對u x 有 f ( u ) = g ( u ) p a e 則稱f 與g 幾乎處處相等，記作f = gu n e 定理5 1 4 ：設(shè)f 和g 是可測的集值函數(shù)，若f = g i z a e ， 則( g ) - 廠f 咖= ( c ) f g d p 當(dāng)且僅當(dāng)p 是零可加的 證明：“車= ”由f = gp n e 知， p ( u ：f ( u ) g ( u ) ) ) = 0 而 u ：f ( u ) n 【a ，o o 】毋) u u ：f ( u ) g ( u ) ) = u ：g ( u ) n f n ，o g 0 ) u “：f ( u ) g ( u ) ) 由p 的零可加性知p ( r ) = p ( g 。) 因此 婚、l 腳= f 油= l ，o ou 舊抽i l e 、lg 如 “號”任意d ，e ，且p ( e ) = 0 若p ( d ) = 0 0 ，由p 的單調(diào)性可知： p ( d u e ) = p ( d ) = 。 若肛( d ) p ( d ) 成立，令 若u d u e 其它 若u d 其它 則 p ( f ( u ) g ( u ) ) ) = p ( d 曰) p ( e ) = 0 所以 f ( w ) = g ( u ) p “_ 切 聊 u u d d p p i i d d 吣。 阻o ，、【，、 = = ) ) u u f g 東南大學(xué)碩：_ 論文 ( g ) 產(chǎn)舡= ( g ) g d # 而 ( g ) f d “= z 。p ( r ) d a = z “。8 p ( r ) d n = p ( d u e ) “( du e ) ( g ) g 批= z 。p ( g 。) 婦= 上“。8 p ( g 。) d 。= p ( d u e ) p ( 。) 所以( g ) f f d # ( g ) f g d l 【與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，因此p 是零可加的 定爻5 1 5 ：可滴集值函數(shù)f 稱為c h 。q u e t 可積的，如果( g ) f 如 _ ( c ) f d , uv ( c ) g d , u ，其中( f vg ) ( u ) = 。v k n f ( u ) 1 6 g ( u ) ) ( 2 ) ( g ) f f a 咖s ( g ) f 咖 ( g ) g 礎(chǔ)，其中( f g ) ( u ) = a a b , aef ( 毗6 g ( “) ) ( 3 ) ( a ) f d p ( g ) f 咖v ( c ) f 如 j u 口 ja j 且 ( 4 ) 舊) a o b f d g , ( g ) 。腳邶) 。腳 5 2c h o q u e t 積分的收斂定理 下面我們給出單調(diào)可測閉集值函數(shù)的c h o q u e t 積分的收斂定理，可測閉集值函數(shù)的f a t o u 引理以及控制收斂定理其中在本節(jié)中集列的收斂性都是按照定義2 3 3 的意義下定義的。 定義5 2 1 3 1 ；設(shè)e 晶( n = 1 ，2 ，) 是將x 映到p o ( r + ) 的可測的閉集值函數(shù)，對任 意的u x ，我們分別定義： ( 1 ) ( 1 i ms u p f 仃) ( u ) = l i m s u p r ( u ) ， n _ + n 呻 ( 1 i m