（凝聚態(tài)物理專業(yè)論文）應(yīng)用李變換對(duì)超環(huán)面光柵成像的研究.pdf

摘要 隨著真空紫外軟x 射線( x u v ) 在生物、材料、微加工和超大規(guī)模集成電 路中的應(yīng)用以及在空間光學(xué)研究領(lǐng)域中的發(fā)展，對(duì)x u v 光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提出了 不同程度的挑戰(zhàn)。反射式光柵和反射鏡是x u v 波段光學(xué)系統(tǒng)的主要組成部分。 工作在x u v 波段的光學(xué)儀器，往往需要采用掠入射光學(xué)結(jié)構(gòu)，光學(xué)系統(tǒng)的像差 比較嚴(yán)重。所以對(duì)這類光學(xué)系統(tǒng)像差的研究是一個(gè)十分有意義的研究課題。 李變換理論作為研究像差的方法之一，已經(jīng)在軸對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)的研究領(lǐng)域中 發(fā)展成熟。而對(duì)于平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)來說，李變換的方法還僅僅是剛剛起步； k g o t o 和t k u r o s a k i 將這一方法運(yùn)用到平面對(duì)稱( 球面光柵) 的光學(xué)系統(tǒng)中， 計(jì)算球面光柵的像差和成像公式。本文應(yīng)用李變換的方法研究了超環(huán)面光柵的成 像及其像差。 第一章簡(jiǎn)要闡述了目前常用像差理論的研究基本情況，以及本課題的目的及 其意義。第二章介紹了李變換基本原理，根據(jù)這些基本原理，使得李變換方法能 夠被運(yùn)用到光學(xué)系統(tǒng)像差的研究。 光柵成像過程可分成五個(gè)部分，分別對(duì)應(yīng)五個(gè)李變換；其中最重要的變換就 是超環(huán)面光柵的衍射李變換，本文的第三章詳細(xì)闡述了該變換的推導(dǎo)過程，并得 到了相關(guān)的變換公式。 在第四章中，利用上述五個(gè)李變換推導(dǎo)出超環(huán)面光柵的成像公式，以及相關(guān) 的像差表達(dá)式；并應(yīng)用光線追跡，對(duì)推導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行了分析，說明了李變換的方法 能準(zhǔn)確地描述超環(huán)面光柵的成像。當(dāng)主半徑與次半徑相等時(shí)，超環(huán)面光柵的成像 公式與像差表達(dá)式可轉(zhuǎn)換成球面光柵相對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，與k g o t o 和t k u r o s a k i 的結(jié)果一致。 本文的推導(dǎo)以及分析表明了李變換方法應(yīng)用在像差理論的研究具有優(yōu)勢(shì)。它 可以處理平面光源，能計(jì)算遠(yuǎn)離子午焦平面處的像差。李變換方法導(dǎo)出的成像公 式描述了像平面坐標(biāo)與物平面坐標(biāo)、方向余弦之間的函數(shù)關(guān)系，公式中并沒有出 現(xiàn)如光柵表面坐標(biāo)之類的中間變量，體現(xiàn)了物空間變量與像空間對(duì)應(yīng)變量之間映 射關(guān)系。同時(shí)，該方法能轉(zhuǎn)換成矩陣形式，更有利于多元件的像差表達(dá)。 關(guān)鍵詞：像差理論李變換超環(huán)面光柵 v a bs t r a c t x u vh a sf o u n daw i d ea p p l i c a t i o nf r o mt h ef u n d a m e n t a lr e s e a r c ht ot h e a p p l i c a t i o ns t u d ys u c h a s b i o l o g y , m a t e r i a l ss c i e n c e ，i n d u s t r y , p h y s i c sa n d a s t r o n o m ye t c i tm a k e sd e m a n d so nh i g h - r e s o l u t i o nx u vo p t i c a ls y s t e m x u v o p t i c a ls y s t e mh a st h eg r a z i n gs t r u c t u r e ，w h i c hp r o d u c e sh i g h e r l e v e lo f a b e r r a t i o n g r a t i n g sa n dm i r r o r sa r et h em a i nc o m p o n e n t so fx u vo p t i c a ls y s t e m g r a t i n ga b e r r a t i o nt h e o r yi st h em o s ti m p o r t a n tb a s i sf o ri n s t r u m e n t s l i et r a n s f o r m a t i o n s ，a so n eo ft h em e t h o d si na b e r r a t i o nt h e o r y , h a sb e e n d e v e l o p e di nt h eo p t i c a ls y s t e m sw i t ha x i a ls y m m e t r y i ti san o v e lm e t h o di nt h e o p t i c a ls y s t e m st h a tl a c ka x i a ls y m m e t r y g o t oa n dk u r o s a k ie x t e n d e d 。l i e t r a n s f o r m a t i o n st os y s t e m sw i t hap l a n eo fs y m m e t r y t h e yd e r i v e dt h ea b e r r a t i o n c o e f f i c i e n t sa n di m a g ee q u a t i o n so fs p h e r i c a l g r a t i n g s t h el i em e t h o dt oc h a r a c t e r i z ei m a g i n go fat o r o i d a lg r a t i n gi sp r e s e n t e d a b r i e fi n t r o d u c t i o no fl i em e t h o di sf w s t l yg i v e n , t h e nt h ef i v et r a n s f o r m a t i o n st o d e s c r i b et h ei m a g i n gp r o c e s s e so fat o r o i d a lg r a t i n gi sd e r i v e di nd e t a i l t h e f o r m u l a ef o rc a l c u l a t i o no ft h ec o o r d i n a t e sa n dd i r e c t i o no fl i g h tr a ya r eo b t a i n e d w i t ht h ea b o v el i et r a n s f o r m a t i o n ；a n di t sn u m e r i c a lr e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t h t h o s eb yr a yt r a c i n gp r o g r a mo fs h a d o w a na d v a n t a g eo f t h el i et h e o r yo f o p t i c a li m a g i n gi st h a tt h ep u p i l ( a p e r t u r e ) c o o r d i n a t e sd on o ta p p e a ri nt h el i et h e o r y t h i sp r o v i d eas i g n i f i c a n ta d v a n t a g e w h e nm u l t i - e l e m e n to p t i c a ls y s t e m sa r ec o n s i d e r e d t h ep h a s es p a c ev a r i a b l e sx a n dyi nt h el i et h e o r yp r o v i d ef o rt h ee x t e n to f t h eo b j e c t k e y w o r d s ：a b e r r a t i o nt h e o r y ；l i eo p t i c s ；t o r o i d a lg r a t i n g ； v i 原創(chuàng)性聲明 本人聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作。 除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已發(fā)表 或撰寫過的研究成果。參與同一工作的其他同志對(duì)本研究所做的任何 貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。 簽名：至進(jìn)壟日期：魚盟 本論文使用授權(quán)說明 本人完全了解上海大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué) 校有權(quán)保留論文及送交論文復(fù)印件，允許論文被查閱和借閱；學(xué)?？?以公布論文的全部或部分內(nèi)容。 ( 保密的論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定) 日期：業(yè)7 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 1 課題來源 第一章緒論 本課題來源于國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目建立真空紫外軟x 射線多元件光學(xué) 系統(tǒng)的研究平臺(tái)，項(xiàng)目編號(hào)：6 0 5 7 8 0 4 0 。 1 2 研究目的及其意義 隨著真空紫外軟x 射線( x u v ) 在生物、材料、微加工及超大規(guī)模集成電 路應(yīng)用和空間光學(xué)研究領(lǐng)域的發(fā)展，對(duì)x u v 光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、加工提出了不同 程度的挑戰(zhàn)【。高性能的x u v 光譜儀的能量分辨率達(dá)到1 0 0 0 0 以上：x l r v 微聚 焦系統(tǒng)的空間分辨達(dá)到亞微米；應(yīng)用于空間觀測(cè)的望遠(yuǎn)鏡往往要應(yīng)用復(fù)雜的非球 面光學(xué)元件，在足夠的光學(xué)傳輸效率前提下，得到盡可能高的空間分辨能力【2 1 。 我國(guó)高性能x u v 光學(xué)儀器設(shè)計(jì)、研制水平的提高將會(huì)有力地推動(dòng)上述各領(lǐng)域進(jìn) 行更深入的研究與探索。 工作在x u v 波段的光學(xué)儀器，往往需要采用掠入射光學(xué)結(jié)構(gòu)，光學(xué)系統(tǒng)的 像差比較嚴(yán)型3 】【4 】；對(duì)這類光學(xué)系統(tǒng)像差的研究是一個(gè)十分有意義的研究課題。 通常，在已知系統(tǒng)參數(shù)的情況下，光線追跡是一種能精確而又直觀地評(píng)價(jià)成 像質(zhì)量的工具。但是在設(shè)計(jì)x u v 光學(xué)系統(tǒng)中，我們很難根據(jù)光線追跡的結(jié)果， 來確定每個(gè)光學(xué)元件的參數(shù)與最后在像平面上的像差之間的關(guān)系。而利用李變換 方法，就可以推導(dǎo)出像差與系統(tǒng)參數(shù)之間的直接關(guān)系，便于在設(shè)計(jì)過程中對(duì)光學(xué) 系統(tǒng)整體優(yōu)化。 1 3 研究背景 在x u v 波段內(nèi)，一般采用反射式元件作為整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的基本元件。反射 式光柵和反射鏡是這類系統(tǒng)的主要組成部分。反射式光柵的作用是用來將連續(xù)波 長(zhǎng)的光進(jìn)行色散，以此可以獲得單一波長(zhǎng)的光。反射鏡主要是用于光線的偏轉(zhuǎn)、 聚焦和準(zhǔn)直【5 1 1 6 1 。系統(tǒng)產(chǎn)生的像差可以通過改變?cè)姆瓷涿娴膸缀涡螤畹纫幌?l 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 列參數(shù)來減小甚至消剛7 】【8 】。因此，在設(shè)計(jì)中調(diào)整各個(gè)元件的參數(shù)就能使得整個(gè) 系統(tǒng)的成像質(zhì)量達(dá)到最優(yōu)的水平。 1 3 1 衍射光柵像差理論 衍射光柵像差理論是用解析的方法處理光柵光學(xué)系統(tǒng)的成像特性，從而可以 分析幾何像差對(duì)于分辨率的影響。從r o w l a n d 時(shí)代以來一百多年的歷史來看， 眾多的學(xué)者對(duì)之進(jìn)行了不懈的努力，作出了很多出色的研究，像差理論內(nèi)容日益 豐富，應(yīng)用非常廣泛。迄今，光柵的像差理論并沒有完全成熟。 用哈密頓程函可以清楚地描述一般光學(xué)系統(tǒng)的行為，但實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)都具 有高度的非線性，不能顯式地寫出哈密頓程函。光柵光學(xué)系統(tǒng)比一般光學(xué)系統(tǒng)更 加復(fù)雜，其哈密頓程函的表示更為困難；這很大程度上是由于光柵光學(xué)系統(tǒng)大多 是反射光學(xué)系統(tǒng)，對(duì)稱度很低，在光柵的像差理論中通常只假定光學(xué)系統(tǒng)有一個(gè) 對(duì)稱平面。 研究光學(xué)系統(tǒng)的像差特性的方法可以大致分為兩類：一是解析法，如光柵的 像差理論；二是數(shù)值方法，如光線追跡。解析法是用符號(hào)計(jì)算來描述光學(xué)系統(tǒng)的 像差，為光學(xué)系統(tǒng)的優(yōu)化提供了理論依據(jù)；數(shù)值計(jì)算可以給出光學(xué)系統(tǒng)成像的精 確結(jié)果，借助于計(jì)算機(jī)人們就可以得到與實(shí)際一致的成像。在光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中， 利用解析法可以得到優(yōu)化準(zhǔn)則或者得到優(yōu)化的初始值，以避免漫無目的的搜索而 陷入局部極值；數(shù)值方法可以驗(yàn)證解析法得到的結(jié)果，兩者是相輔相成的。雖然 數(shù)值方法是精確描述光學(xué)像差的方法，但解析法可以加深對(duì)光學(xué)系統(tǒng)成像特性的 理解，在設(shè)計(jì)之初把握光學(xué)元件參數(shù)對(duì)系統(tǒng)像差的影響，這是數(shù)值方法所無法做 到的。 衍射光柵像差理論發(fā)展到今天，主要有以下四種理論： l 、光程函數(shù)( l i g h tp a t hf u n c t i o n ) 理論 2 、波像差( w a v ef i o n ta b e r r a t i o n ) i 里論 3 、解析點(diǎn)列匿t ( s p o td i a g r a m ) 理論 4 、基于李變換( l i et r a n s f o r m a t i o n ) 理論 2 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 3 2 光程函數(shù)理論 光程函數(shù)理論的歷史最為悠久，其基本思想是利用所謂哈密頓特征函數(shù)( 并 非嚴(yán)格意義下的點(diǎn)特征函數(shù)) 和費(fèi)馬定理，即物點(diǎn)和像點(diǎn)之間光程函數(shù)取極值。 n o d a 掣9 】人用光程函數(shù)理論，對(duì)于具有一個(gè)對(duì)稱平面的光學(xué)系統(tǒng)，給出了通用 的光學(xué)系統(tǒng)像差表達(dá)式。從b e u t l e r 10 1 ，n a m i o k a 4 1 【l l 】，到n o d a 等人發(fā)展的理論 在子午焦平面內(nèi)可以得到比較準(zhǔn)確的結(jié)果，對(duì)于離開子午焦平面位置則誤差較大； w w e r n e r 通過選擇合適的光瞳坐標(biāo)和其法線方向，建立斜坐標(biāo)系，用光程函數(shù) 理論詳細(xì)地研究了等間距凹面光柵的像差特性，給出了成像方程和慧差、球差表 達(dá)式。凹面光柵在實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)中經(jīng)常要配上輔助光學(xué)元件，對(duì)于多個(gè)光學(xué)元件， 寫出光程函數(shù)是很困難的。 1 3 3 波像差理論 c h r i s p b 2 1 1 3 】提出的波像差( w ，a v ef r o n ta b e r r a t i o n ) 理論是第一個(gè)多元件像差理 論。該理論定義了相對(duì)于像散參考面的波前像差，把波前像差分開成四個(gè)光束單 獨(dú)作用的貢獻(xiàn)，每個(gè)光束的作用方式相同，差別僅僅是光束的坐標(biāo)參數(shù)不同，最 后用近基理論對(duì)光學(xué)系統(tǒng)的坐標(biāo)進(jìn)行歸一化處理以便不同光學(xué)元件的像差系數(shù) 可以相加。該理論的特點(diǎn)是： 1 、適用于全息超環(huán)面光柵，像差系數(shù)可以相加； 2 、波像差相對(duì)于像散波前定義，適合平面對(duì)稱系統(tǒng)； 3 、可以用于軸對(duì)稱全息光學(xué)系統(tǒng)， 4 、利用計(jì)算機(jī)輔助可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的分析。 同時(shí)該理論有一定的局限性：1 ) 系統(tǒng)入射光闌總是在光柵元件上，而沒有 考慮在其他位置的情況，波像差理論在遠(yuǎn)離焦平面以及衍射角偏大的情況下有很 大誤差；2 ) 在計(jì)算波像差的時(shí)候，以球面波為參考波面，而實(shí)際上由于像差的 存在，這樣的假設(shè)是不確切的。 1 3 4 點(diǎn)列圖理論 由于光程函數(shù)理論和波像差理論的精度不夠好，為了滿足分析高分辨率光柵 3 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 光學(xué)系統(tǒng)的需要，n a m i o k a 等人建立了解析點(diǎn)列圖( s p o td i a g r a m ) 理論【1 4 4 2 0 】，開 始只能處理單個(gè)光柵，后來又發(fā)展出適合平面對(duì)稱雙光學(xué)元件和平面光源的三階 像差理論。該理論具有完全三階精度，可廣泛應(yīng)用于高級(jí)光學(xué)元件和擴(kuò)展光源條 件下的像差研究。 1 3 5 李變換理論 考慮到光學(xué)系統(tǒng)是典型的非線性哈密頓系統(tǒng)，可以用處理非線性動(dòng)力學(xué)中的 李代數(shù)方法分析，通過相空間坐標(biāo)來描述光線通過光學(xué)系統(tǒng)的成像情況。李代數(shù) 這種數(shù)學(xué)工具由理論物理學(xué)家a d r a g t 等人提出并且首先在磁光學(xué)中得到應(yīng)用。 李代數(shù)的方法也可以處理軸對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)的問題，已經(jīng)成為一種成熟的軸對(duì)稱光 學(xué)系統(tǒng)成像理論。k g o t o 和t k u m s a l ( i 將這一方法運(yùn)用到平面對(duì)稱( 球面光柵) 的光學(xué)系統(tǒng)中，計(jì)算球面光柵的像差和成像公式【2 。p a l i i l e 2 2 】【2 3 1 在kg o t o 等人 的工作基礎(chǔ)上提出了一種簡(jiǎn)化算法。 1 4 本論文的主要內(nèi)容 本文應(yīng)用李變換的方法研究了超環(huán)面光柵的成像及其像差。 第二章介紹了李變換基本原理。李變換是高斯光學(xué)中矩陣方法的延伸與發(fā)展， 引入李變換，可得到描述光線狀態(tài)變量的初值和末值之間的關(guān)系表達(dá)式。根據(jù)這 些基本原理，使得李變換方法能夠被運(yùn)用到光學(xué)系統(tǒng)像差的研究。 在單個(gè)超環(huán)面光柵的光學(xué)系統(tǒng)中，按照光線從物平面?zhèn)鞯较衿矫娴捻樞颍瑢?光柵成像過程分成五個(gè)部分，分別對(duì)應(yīng)五個(gè)李變換：其中最重要的變換就是超環(huán) 面光柵的衍射李變換，本文的第三章詳細(xì)闡述了該變換的推導(dǎo)過程，并得到了相 關(guān)的變換公式。 在第四章中，利用這五個(gè)李變換推導(dǎo)出超環(huán)面光柵的成像公式，以及相關(guān)的 像差表達(dá)式；并應(yīng)用光線追跡，對(duì)推導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行了分析，說明了李變換的方法能 準(zhǔn)確地描述超環(huán)面光柵的成像。當(dāng)主半徑與次半徑相等時(shí)，超環(huán)面光柵的成像公 式與像差表達(dá)式可以轉(zhuǎn)換成球面光柵相對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，與k g o t o 和t k u r o s a k i 的結(jié)梨2 l 】一致。 本文的推導(dǎo)以及分析表明了李變換方法應(yīng)用在像差理論的研究具有優(yōu)勢(shì)。它 4 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 可以處理平面光源，能計(jì)算遠(yuǎn)離子午焦平面處的像差，以及便于多元件的像差計(jì) 算。雖然李變換方法在光柵光學(xué)系統(tǒng)的應(yīng)用也存在一定的局限性，但李變換本身 的優(yōu)勢(shì)還有待充分挖掘和利用。 為了保持文章的連貫性，上述推導(dǎo)中的相關(guān)公式將安排在文章的附錄部分。 2 1 概述 x 觚 介的 后 射 出 器 儀 學(xué) 光 從 和 器黼 一 儀 ； 學(xué) 6 f 光 瓢 射 入 線 光 是tij 秀 分 和 里 這 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 射率。 盡管這個(gè)理論經(jīng)常使用，但用特征函數(shù)還是有些不便之處。從上述的例子 中我們可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)關(guān)系式把光線入射時(shí)( 一，；) 和出射時(shí)( 尹，；，) 混合在一起。 為了找出描述光線狀態(tài)變量的初值和末值之間的具體表達(dá)式，必須解出式( 2 1 ) ， 用尹和；。來表示尹，；將這個(gè)結(jié)果代入式( 2 2 ) ，將j 廠表示為尹和；的函數(shù)。即使 在由己知特征函數(shù)的元件所組成的光學(xué)系統(tǒng)中，很難得出整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)特征函數(shù) 的確切表達(dá)式。在使用特征函數(shù)時(shí)，沒有一種特征函數(shù)適用于所有的光學(xué)系統(tǒng)中。 一個(gè)點(diǎn)特征函數(shù)不能用于成像系統(tǒng)，一個(gè)角特征函數(shù)不能用于望遠(yuǎn)系統(tǒng)。 李變換的方法可以用來描述一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)。與h a m i l t o n 的方法類似，這個(gè) 方法包含了由f e r m a t 原理所得到的約束條件。更重要的是，它能提供描述光線 狀態(tài)的各個(gè)變量初值和末值之間明確的關(guān)系表達(dá)式。用特定的算符來描述組成光 學(xué)系統(tǒng)的每個(gè)單獨(dú)元件的行為。這些算符可以通過一定的規(guī)則連接在一起，從而 獲得描述整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的合成算符【2 6 1 1 2 7 1 。最后，這個(gè)方法對(duì)光學(xué)系統(tǒng)的處理和 像差分析比較簡(jiǎn)便2 8 2 9 1 。 2 2 光學(xué)辛映射 假設(shè)光線的入射點(diǎn)p i 和出射點(diǎn)p f 的z 軸坐標(biāo)都是固定值。平面z ：少和平面 z ：z ，可分別看作為物平面和像平面。接著，假設(shè)一般光線從p 點(diǎn)傳到p f 點(diǎn)這個(gè) 過程中，z 是一個(gè)獨(dú)立變量。那么，一般光線的光程可以用x ( z ) 和少( z ) 這兩個(gè) 函數(shù)描述。光程的微元d s 可表示為： c z s = = ( 出) 2 _ p ( ( 紗) 2 _ p ? 2 2 ( 2 3 ) = 1 + ( x ) 2 + ( 少) 2 2d z 其中= 妄= 老a 2比 那么，光線從p i 點(diǎn)傳到p f 點(diǎn)的光程為： 7 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 彳：f ( 訓(xùn)，z ) 1 + ( x t ) 2 + ( y ) 2 扎 ( 2 q 函數(shù)( x ，弘z ) = ( 尹) 是表示光線經(jīng)過每一點(diǎn)的折射系數(shù)，包括光學(xué)元件本 身以及經(jīng)過光學(xué)元件前后的介質(zhì)。 根據(jù)f e r m a t 原理，對(duì)一個(gè)實(shí)際光程來說，彳必須是個(gè)極值。因此，光程必 須滿足e u l e r - l a g r a n g e 方程【3 0 】： 旦d z ( 囂 罷= 。 倍5 ， 、蘇良 、 乏一考- o 出l 砂。砂 、 l a g r a n g e 量為= ( 訓(xùn)，z ) 1 1 + ( x ) 2 + ( y ) 2 2 進(jìn)一步，我們將e u l c r - l a g r a n g e 方程轉(zhuǎn)換到h a m i l t o n 方程。通過標(biāo)準(zhǔn)關(guān)系， 引入兩個(gè)與坐標(biāo)x ，y 共軛的動(dòng)量： p = 囂，g = 器 陋乃 2 - = i ，g2 ：i 【z ，) c 。d 1 ，。 代入l 得 p ：型- ，g ：型- ( 2 - 8 ) + ( 工) 2 + ( y ) 2 2 + ( x ) 2 + ( j ，) 2 2 那么與l 對(duì)應(yīng)的h a m i l t o n 量為 h = - i x 2 ( p ) - p 2 一9 2 2 ( 2 - 9 ) pg 表示光源發(fā)出光線的方向。 在上述基礎(chǔ)上，引入矢量訪 訪= ( w ，叱，w 4 ) = ( 五弘p ，g ) ( 2 - 1 0 ) 訪和表示訪的初值和末值。我們可以用一個(gè)函數(shù)關(guān)系或映射來描述 初值與末值之間的關(guān)系。 ：刪( 2 1 1 ) 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 光線的初值訪與末值之間的關(guān)系由h a m i l t o n 量決定，這與f e r m a t 原理 是等價(jià)的，因此可以推知餓是一個(gè)辛映射。 設(shè)m 為映射j r 的伴隨j a c o b i a n 矩陣【3 l 】 = 甏 j 為4 x 4 的矩陣，其定義為 ，= 匕刁 浯 其中，每個(gè)元素都是2 x2 的矩陣，為單位矩陣，其余都是零。 如果m 滿足 廚肼= ， ( 2 1 4 ) 其中，府為m 的轉(zhuǎn)置。那么，m 為辛矩陣。 上式在光學(xué)中經(jīng)常被稱為透鏡方程【3 2 1 。從某種意義上來說，餓應(yīng)該被稱為 光學(xué)辛映射閻。 2 3 李變換的定義及其運(yùn)算規(guī)則 用數(shù)學(xué)的術(shù)語來說，訪中的變量確立了一個(gè)相空間。設(shè)，g 為定義在此相 空間的兩個(gè)函數(shù)。那么這兩個(gè)函數(shù)的p o i s s o n 括號(hào)表示為 ，g ，定義如下： , g l = 軍i o f o g 一丟砉 弘垌 tv p iv 、量i ， 現(xiàn)在，令是定義在相空間的函數(shù)，g 是相空間中任意函數(shù)。每個(gè)廠都表示 一個(gè)作用在任意函數(shù)g 上的李算符。包含有廠的李算符表示為：，用p o i s s o n 括號(hào)定義此算符為： ：廠：g = g ( 2 1 6 ) 類似的，：廠：的冪表示反復(fù)進(jìn)行p o i s s o n 括號(hào)運(yùn)算。例如，：f 2 ：定義如下： 9 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 ：2g = 廠， 六g ) ( 2 1 7 ) 最后，：的零次冪定義為單位算符： ：廠- og = g( 2 1 8 ) 接著，就可以根據(jù)：f ：冪的定義處理：廠：冪級(jí)數(shù)。其中特別重要的冪級(jí)數(shù)就 是e ) ( p ( ：廠：) 的冪級(jí)數(shù)。e x p ( ：廠：) 也被稱為伴隨廠或：，：的李變換。李變換也是一 個(gè)算符，用冪級(jí)數(shù)定義為： e x p ( ：川2 委等 ( 2 - 1 9 ) e x p ( ：廠：) 作用在任意函數(shù)g 上的具體形式為： c x p ( ：川g = g + ，g ) + 擊 ， 廠，g ) ) + ( 2 - 2 0 ) 利用因式分解理論【3 3 】【蚓，假設(shè)小為任意辛映射，將相空間從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)換 到最終狀態(tài)。那么，j r 能寫成李變換的乘積形式： 小= e x p ( ：石：) 唧( ：石：) 唧( ：石：) ( 2 - 2 1 ) 這里每個(gè)函數(shù)無是n 階齊次多項(xiàng)式。e x p ( ：f 。：) 稱為n 階李變換。更重要的 是，這個(gè)映射對(duì)任何形式的多項(xiàng)式來說都是對(duì)稱的。在連乘式( 2 - 2 1 ) 中，去除任 意因子后，該映射仍然是辛映射。 c a m p b e l l b a l ( e r - h 肌s d o m 方型3 3 1 將兩個(gè)李變換的乘積表示為一個(gè)李變換。 即 e x p ( ：e ) 【p ( ：g ：) = 唧( ：廳：) ( 2 - 2 2 ) 其中，辦= 廠+ g + 三 鳳) + 喪加) ) + 壺 g ， 盯) ) + ” 李變換算符的交換規(guī)則是： c x p c g 卜x 哆型e x p ( ：，f 勰：g 烏 倍2 3 ， = ：) e x p ( ：) 其中，f = e x p ( ：g ：) 廠，g = e x p ( ：- f ：) g e x p ( ：_ 廠：) 是e x p ( ：廠：) 的逆變換。即 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 e x p ( ：- f ：) e x p ( ：i ：) = e x p ( ：f ：) e x p ( ：- f ：) = 1 當(dāng)有常數(shù)項(xiàng)時(shí)，在數(shù)學(xué)處理上會(huì)遇到問題：在這個(gè)條件下，盡管能找出 對(duì)應(yīng)的李變換，但是不能將這個(gè)變換用于c a m p b e l l - b a k e r - h a u s d o r f f 方程和李變 換算符交換規(guī)則。 一個(gè)線性變換= ( 影) 可以表示成一個(gè)矩陣。二階李變換就是一個(gè)線性 變換。假設(shè)以和以為兩個(gè)二階李變換，肘。和托是和這兩個(gè)變換相對(duì)應(yīng)的矩 陣?？梢宰C明，以以的乘積等于帆心的乘積。矩陣相乘的順序與其對(duì)應(yīng)變換 的順序是相反的。 2 4 用李變換方法研究光學(xué)系統(tǒng)的一般步驟 通常，光學(xué)系統(tǒng)包含物平面和像平面。在這兩個(gè)平面上，x , y 為坐標(biāo)，p ，g 分 別為光線傳播方向與x 軸和y 軸之間夾角的余弦，表示光學(xué)方向余弦。假設(shè)光線 從物平面上( x ，y ) 點(diǎn)發(fā)出，光學(xué)方向余弦為p ，g 。經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后，光學(xué)到達(dá)像 平面上( x ，y ) 點(diǎn)，光學(xué)方向余弦為p ，g 。( x , y ，p ，g ) 與( x t ，y ，p ，g ) 之間的關(guān)系 將用李變換來描述。 光線通過整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的過程可分解若干個(gè)單一過程。對(duì)每個(gè)單一過程，都 可以找到變換= ( 影) 并將其轉(zhuǎn)換成李變換的形式。光線通過整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)， 就相當(dāng)于將所以單一過程的變換連接在一起。 爿2 1 = 爿2 1 ( 1 1 ) ，爿習(xí)= 辦3 1 ( 爿2 1 ) ，爿腫1 1 = 爿腫1 1 ( 爿川) ( 2 - 2 4 ) 它們對(duì)應(yīng)的李變換為以，鴿，以。整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的李變換就是將各個(gè)單一 過程的李變換的乘積。 以鴿以( 2 - 2 5 ) 最后把整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的李變換轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式： 擴(kuò)1 】 e x p ( ：紅：) e x p ( ：吃：) e x p ( ：h 4 ：) 爿1 1 ( 2 - 2 6 ) 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 為齊次n 階多項(xiàng)式。二階變換e x p ( ：紅：) 是高斯光學(xué)的效應(yīng)。其余各項(xiàng)代 表像差或像散。在上式中，如果光學(xué)系統(tǒng)為非軸對(duì)稱系統(tǒng)，那么將會(huì)產(chǎn)生三階變 換e x p ( ：?jiǎn)瑁? 。 在處理非軸對(duì)稱系統(tǒng)中，常常會(huì)出現(xiàn)含有常數(shù)項(xiàng)的辛變換。這個(gè)常數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)換 到李變換的形式為e x p ( ：倪：) ，c 是常數(shù)。幸運(yùn)的是，只要選定主光線為坐標(biāo)軸， 就恰好能找到含有e x p ( ：嵋：) 的相鄰辛變換。e x p ( ：a ：) 和e x p ( ：噥：) 相乘即為單 位變換，因此常數(shù)項(xiàng)就可以被消除。去除常數(shù)項(xiàng)后的變換( 影) 就可以用于 c a m p b e l l b a k e r - h a u s d o r f f 方程和李變換算符交換規(guī)則。 1 2 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 第三章超環(huán)面光柵的李變換 3 1 光柵光學(xué)系統(tǒng) 在單光柵的光學(xué)系統(tǒng)中，先確定 入射主光線和衍射主光線，然后分別 在物空間和像空間建立坐標(biāo)系。如圖 2 所示。 以入射到光柵中心的光線為入射 主光線，從光柵中心衍射出的光線為 衍射主光線。選取這兩條主光線所在 的平面為對(duì)稱平面，同時(shí)分別選取它 j 汐備面3 、 砭辯面 光柵 口 t kl r 2 ， ，l i 圖2 光柵光學(xué)系統(tǒng)示意圖 們?yōu)閷?duì)應(yīng)物空間和像空間的z 軸。不失一般性，入射主光線位于x o z 坐標(biāo)系中 x 軸負(fù)值范圍內(nèi)，衍射主光線位于x 軸正值范圍內(nèi)。物空間和像空間的z 軸與光 柵中心的法線方向的夾角分別為口和。根據(jù)x o z 坐標(biāo)系，令口為負(fù)值，為 正值。 在物空間和像空間中，物平面乏和像平面z 分別垂直于各自的主光線。為 了敘述方便，定義包含光柵中心的三個(gè)平面。平面1 垂直于入射主光線；平面2 與光柵曲面相切；平面3 垂直于衍射主光線。規(guī)定物空間和像空間中的y 軸都與 平面2 坐標(biāo)系中的y 軸平行且正方向相同。那么，根據(jù)坐標(biāo)系右手定則，物空間 和像空間x 軸的正方向也就分別確定了。光柵中心到物平面和像平面的距離分別 是，1 ，r 2 。 3 2 描述超環(huán)面光柵成像的五個(gè)李變換 描述光線由物平面?zhèn)鞯较衿矫孢@個(gè)過程可以由五個(gè)李變換的乘積來表示： ( 1 ) 表示光線從物平面?zhèn)鞯狡矫? 的李變換以。， ( 2 ) 表示光線坐標(biāo)從平面1 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到平面2 坐標(biāo)系的李變換以， 1 3 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 ( 3 ) 表示光線在平面2 坐標(biāo)系內(nèi)光柵衍射的李變換心， ( 4 ) 表示光線坐標(biāo)從平面2 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到平面3 坐標(biāo)系的李變換以， ( 5 ) 表示光線從平面3 傳到像平面的李變換以：。 整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)李變換的乘積形式為 餓= 以。以鴝以以： ( 3 1 ) 3 2 1 位移李變換 式， 在折射率為的均勻介質(zhì)中，表示光線傳過直線距離為r 的李變換為 以= e x p ( ：，( 2 一p 2 一9 2 ) ：) ( 3 - 2 ) 在空氣中，= 1 ，光線從物平面?zhèn)鞯狡矫? 的李變換就是上式的冪級(jí)數(shù)展開 3 2 2 轉(zhuǎn)角李變換 e x p ：一2 + q 2 ) ：i c x p ：一2 + q 2 ) 2 ： 仔3 ， 光線坐標(biāo)從平面l 坐標(biāo)系經(jīng)旋轉(zhuǎn)a 角，變換到平面2 坐標(biāo)系的李變換以為 ?。? e 坤 ：n ( c 。s 口) ?。?e x p l ：- - c 粵o s ( z 印2 + 三( s i n 口) 川2 ：l p ：- 裝礦叫 一3 。5 1 4 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 e x p ( ：- x s i n a ：) 提出來以便與后面的e 印( ：x s i n 口：) 相抵消。 3 2 3 光柵衍射李變換 ? ( x y 3 擎 力二仁 y 3 舔| | 、| | 弋 入射光線、 圖3 平面2 坐標(biāo)系中光柵衍射示意圖 在平面2 坐標(biāo)系中，已知光柵的主半徑r 和次半徑為p ，超環(huán)面光柵的面形 方程為 x 2 ，2x 2 y 2 z 4 y 4 弘百+荔+赫+麗+l4p3r 2 o 扣一 2 4 尺2 p8 r 光柵表面的刻槽函數(shù)為【3 5 】 ( 3 - 6 ) t - - - - o - o x + o - i x 2 + c r 2 y 2 + 瑪x 3 + q 砂2 + 吒一+ 吒x 2 少2 + q y 4 + ( 3 - 7 ) 如圖3 所示，入射光線與光柵表面相交l ( 0 點(diǎn)。以l ( 0 點(diǎn)為起點(diǎn)作三個(gè)相互垂 直的單位矢量蜃，0 ，j 。矢量j 垂直于光柵表面，矢量g 與光柵表面和刻槽相 切，矢量j 與矢量蜃、矢量弓共同構(gòu)成符合右手定則的正交系， 二：es-x了vn，j：gs(3-8)ijr x 5 f - 1 ，以2 i s v n l 其中，是刻槽函數(shù)的梯劇3 6 1 。 入射光線的方向余弦為p ，q ，那么衍射光線的方向矢量： q = 口a + g g 4 - s s 其中，口= p 4 + 乎勺+ ( 1 一p 2 一9 2 ) 24 ，g = p g ：+ g g j + ( 1 一p 2 一9 2 ) 2 g ： ( 3 - 9 ) 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 l 口= 口+ m a v 刀l ，g = g ，s = ( 1 - a 2 一g 垃) ： ( 3 - 1 0 ) 朋是光線衍射級(jí)次，a 是光線波長(zhǎng)。衍射光線的方向余弦p ，q 分別對(duì)應(yīng)矢量 g 明x 分重利少分螢。田此日j 知，衍射光線i 均z i 同余鍰就口j 以農(nóng)不廄尤柵衣圓坐 標(biāo)的函數(shù)。為了推導(dǎo)出李變換，將入射光線延長(zhǎng)，與平面2 交于k ( x ，y ) 點(diǎn)。入 射光線投射到光柵表面上的坐標(biāo)可以用k 點(diǎn)的坐標(biāo)來代替。 在平面2 坐標(biāo)系中，衍射光線的方向余弦， p = 乏4 z + 即+ s i n 一 魯( t a n 口+ 2 t a n ) - 3 i n g o t 3 x 2 一( 告t a n 口一聊五吼) y 2 一去( 協(xié)口一伽助x 艿p + 去 三島+ 3 ( t a n 口+ t a n 糾4 + 去( 2 t a n 2 口+ 伽口t a n 一2 伽2 ) 4 一去( c o s 口+ c 。s 盧) + 4 聊見氣 x 3 + 去 馬協(xié)+ 吉( 2 t a n 2 口一t a n 口t a n ) 4 + 籌一歷1 ( c o sc z + c o s 糾 + 三魚t a n 口+ 2 聊兄氣 砂2 + ( 3 - 1 1 ) pj 口一屯墾+ g 一( 等t 觚盧一2 擾兄吒) 砂一古( t a n 口一脅) 腳 惜剛馬+ 字4 + 焉一；1 ( c o s a + c o s , 3 ) + 4 m l o r 7 y 3 +(3-12) 其中， i p = p + s i n o t 衍射光線出射點(diǎn)k 的坐標(biāo)， 凸州叫睜豺 南+ t a 犬n a ( 、t a n 糾豫+ 勢(shì) 一( 案籌姬+ 丟 卻+ ” c m ， y = y + 品( 丟+ 易p 一( 篇) ( 丟+ 丟 g + c 3 州， 類似轉(zhuǎn)角變換，衍射李變換心可以寫成e x p ( ：z s 岫口) 餓ge 印( ：工s i n ：) 的 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 形式。e x p ( zs i 戤) ：是由印中的s i n o c _ 產(chǎn)生的，而e x p ( 了s i 班) ：是由p 。中的 s i n ( f 1 ) 產(chǎn)生的。e x zs m ) 可以與以中e x p ( ：- x s i n a ：) 相抵消。因子 e x p ( ：x s i n f l ：)以中e 沖( ：哨s i n ：) 相抵消。因此，可將印中的s i n ( 口) 和p 中 的s i n ( 夕) 去除。剩下的表達(dá)式就可以轉(zhuǎn)變成李變換餓6 ， 小0 = e x p ( ：9 2 ：) e x p ( ：島：) e x p ( ：9 4 ：) ( 3 - 1 5 ) 其中， 9 2 = - ( a z x 2 + b 2 y 2 ) ( 3 - 1 6 ) g s = 4 x 3 + 馬叫2 + c 3 i x 2 p + q 2 y 2 p ( 3 - 1 7 ) & 2 a 4 x 4 + b 4 x 2 ，tc 4 y 2 + d 4 i x 2 p 2 + d 4 2 y 2 p 2 + e l x 2 9 2 + 巨2 y 2 9 2 ( 3 1 8 ) + e l x s p + f 4 2 x y 2 p + g j i x 2 粥+ g j 2 y q 上述公式中x , y , p ，g 前各個(gè)系數(shù)的具體表達(dá)式見附錄1 。 3 2 4 光柵衍射后轉(zhuǎn)角和位移變換 與以類似，表示光線坐標(biāo)從平面2 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到平面3 坐標(biāo)系的李變換 鴨2 e x p ( ：- x s i n f l ：j 蟬 其中， 忙e x p ：麓訂扣2f 1 ) x p q 2 ： ：篇咖扣舶2 卜 ：嘶。s 跏： 光線從平面3 傳到像平面的李變換以： ：= e x p ：一考( p 2 + 9 2 ) e x p ：一專( p 2 + 9 2 ) 2 1 7 ( 3 - 1 9 ) ( 3 - 2 0 ) ( 3 - 2 1 ) 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 3 3 光學(xué)系統(tǒng)的李變換 推導(dǎo)出五個(gè)變換的具體表達(dá)式后，按照光線傳播的順序，將相應(yīng)的變換依次 連乘，最后的結(jié)果就是描述光線由物平面到像平面的李變換。 胤= 以。鞏此以以：= 以。?。盒? ??；以： ( 3 - 2 2 ) 應(yīng)用李變換的交換合并規(guī)則，將上述5 個(gè)變換中的同階變換函數(shù)合并在一起。 整個(gè)系統(tǒng)的李變換可以寫成： 小= c x p ( ：或：) e x p ( ：莓：) e x p ( ：反：) ( 3 - 2 3 ) 二階因子e x p ( ：磊：) 為： e x p ( ：或：) = e x p ：一蘭( p 2 + 9 2 ) ： e x p ：h ( c 。s 口) ?。?e x p ：一( 4 x 2 + 最y 2 ) c x p ：一h ( c 。s 功?。?e x p ：一( p 2 + 9 2 ) ： c 弛4 ， 由于g ；的具體表達(dá)式由各個(gè)算符合并而成，形式上十分繁瑣。所以，利用 等價(jià)的矩陣表示方法更為簡(jiǎn)潔， 并 y p q 矩陣中各項(xiàng)系數(shù)見表l m l 0 一l c 0 0 m y 0 一l r 6 0 0 m p 0 0 m q 表1g ：中的相關(guān)系數(shù) ( 3 - 2 5 ) l 一 2 4 以：c 。s 魯 蛑2 麗c o s 專= 簍，i + 罱吒專 一= 一 c o s a 量 l只 c o s 口c o s 1 “ 嗚小號(hào)鳩小毒= ，i + 吒專 i 2 z y 從上述矩陣中，可得高斯光學(xué)： x = m + r vp ( 3 - 2 6 )? y = my y + w q q ( 3 - 2 7 ) 1 5 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 = o 或= 0 ，即 c o s 2 口c o s 28c o s 口c o s b 一一= 一 ，i吃c ( 3 - 2 8 ) 或三+ 三1 ( 3 - 2 9 )一+ 一= 一 c ( 3 2 8 ) 和( 3 2 9 ) 分別表示子午和弧矢方向的聚焦條件。 從( 3 2 2 ) 式轉(zhuǎn)換到( 3 2 3 ) 式過程中，需要將一些三階和四階的變換從相鄰的二 階變換的左側(cè)移到右側(cè)。為了保持二階變換函數(shù)不變，那么相關(guān)的三階和四階變 換函數(shù)要按照李變換算符的交換規(guī)則進(jìn)行相應(yīng)的算符運(yùn)算。值得注意的是，使用 c a m p b e l l b a k e r - h a u s d o r f f 方程將兩個(gè)三階李變換合并的時(shí)候，會(huì)產(chǎn)生四階李變 換。因此，可以寫出合并后的g ；和g ：。 或= 西+ 爵+ 爵( 3 - 3 0 )g ：= g ；o + g ：，( 3 - 3 1 ) 在g ；的定義式中，g ；i ，爵和爵分別來自以，眠和鵠中三階變換部分。 在g ：的定義式中，g ：，就是由為1 ，爵和g ；合并后產(chǎn)生的項(xiàng)。g ：o 來自以。，鐫， 他，以和以：的四階變換部分。 將盯中x l y 7 p q 7 ( f + _ ，+ 七+ ，= 3 ) 前的系數(shù)表示為鋁 缸= 舔+ 舔+ ( 3 - 3 2 ) 由于平面對(duì)稱，共有l(wèi) o 個(gè)非零鋁( i + j + k + l = 3 ) ，具體表達(dá)式詳見附錄2 。 在g ：中共有1 9 個(gè)非零項(xiàng)。用上面類似的方法，用缸來表示g ：。中一y p q ( i + j + k + l = 4 ) 前的系數(shù)，具體表達(dá)式詳見附錄2 。 1 9 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 第四章成像公式及其驗(yàn)證 4 1 成像公式 利用第三章中定義的g ：，g ；，g ：，根據(jù)物平面光源點(diǎn)的坐標(biāo)和光線的方向 余弦通過李變換( 3 2 3 ) ，就能求出像平面上成像點(diǎn)的坐標(biāo)， z = e x p ( g ：) e x p ( 西) e x p ( g ：) z ) = e x p ( g ：) x + 矗 西，工 + 1 e g ；， 西，工 + 矗 g ：，石 _ 怍1 類似地，y 。，p 和g 也有其對(duì)應(yīng)的表達(dá)式。 為了計(jì)算方便，將g ：中的g ：，項(xiàng)與擊 童， 西，工 合并， 拈e 沖( 磊) 件黔x h 若島 西， 小x 聰1 【彬】) ( 4 - 2 ) y 的表達(dá)式， y = 唧( 反) y + 撼y h l 吾既 西， 小y 聰【】) c 4 固 在光柵光譜儀設(shè)計(jì)中，子午聚焦平面上的像差分析十分重要。在= 0 時(shí)， ( 4 - 2 ) 和( 4 - 3 ) 的展開式， x 2 誓：+ 瓦- 。鼉，勺y ：，耳- 。p + 瓦z 。p 2 + 9 2 + 碥- 。y 2 p) + 反l l l y p q + 磙3 0 p 3 + 月品1 2 p q 2 、 y _ 哆y + g + g - - 。即+ 矗朋+ g 砂+ 一明+ 吒y 3 + 氏，9 3 ( 4 5 ) + c 乏o l y 。g + q 1 2 0 y p 2 + c 缸1 p 2 9 + q l 眈y q 2 在( 4 4 ) 并g i ( 4 - 5 ) 式中，一階系數(shù)心、鴨代表了放大率。在x ，y , p , q p f i 組成的 二次方項(xiàng)和三次方項(xiàng)中，只包含p ，g 的項(xiàng)前面的系數(shù)表示軸上點(diǎn)的像差，其余 的則為軸外點(diǎn)的像差。用西，g ：中的缸和矩陣元素( 3 - 2 5 ) 標(biāo)b 和c ；x 中 二次方項(xiàng)的系數(shù)與k g o t o 一致口1 1 ，詳見附錄3 ：y 中各項(xiàng)的系數(shù)c 知表達(dá)式 見附錄4 ；如。表示慧差，表示像散慧差，醞。表示球差，利用附錄1 和附 上海大學(xué)碩士學(xué)位論文 錄2 中的公式可得它們?cè)谧游缇劢箺l件下的具體形式，如附錄5 所示。當(dāng)0 時(shí)，和c 的表達(dá)式會(huì)有所不同，參見附錄3 和附錄6 。對(duì)于衍射光線的方向 余弦p ，g 來說也有與成像公式類似的結(jié)果，參見附錄7 。 4 2 成像公式的驗(yàn)證 利用成像公式( 4 4 ) 和( 4 5 ) ，可以求出光源點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后在像 平面上的分布( 光線點(diǎn)列圖) 。光學(xué)系統(tǒng)( 超環(huán)面鏡) 參數(shù)如表2 所示，光源為 點(diǎn)光源。 表2 超環(huán)面鏡參數(shù) 物距子午焦距 入射角口反射角 主半徑r 次半徑p = 2 0 0 c m，_ = 1 0 0 c ma = p = 8 6 r = 1 9 1 1 4 c m p = 9 3 c m 應(yīng)用光線追