2013年北京市高級中等學校招生考試

2013 年北京市高級中等學校招生考試 數(shù)學試卷 一、選擇題（本題共 32 分，每小題 4 分） 下面各題均有四個選項，其中只有 一個 是符合題意的。 1. 在關(guān)于促進城市南部地區(qū)加快發(fā)展第二階段行動計劃（ 2013-2015）中，北京市提出了總計約 3 960 億元的投資計劃。將 3 960 用科學計數(shù)法表示應為 A. 39.6 102 B. 3.96 103 C. 3.96 104 D. 3.96 104 答案 ： B 解析 ： 科學記數(shù)法的表示形式為 a10n 的形式，其中 1|a| 10， n 為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定 a 的值以及 n 的值 3 960 3.96 103 2. 43的倒數(shù)是 來源 :zz*st ep.co#%m A. 34 B. 43 C. 43 D. 34 答案 ： D 解析 ： ( 0)aa 的倒數(shù)為 1a，所以，43的倒數(shù)是3 3. 在一個不透明的口袋中裝有 5 個完全相同的小球，把它們分別標號為 1， 2， 3， 4， 5，從中隨機摸出一個小球，其標號大于 2 的概率為 A. 51 B. 52 C. 53 D. 54 答案 ： C 解析 ：大于 2 的有 3、 4、 5，共 3 個，故所求概率為53 4. 如圖，直線 a， b被直線 c所截， a b， 1= 2，若 3=40，則 4 等于 A. 40 B. 50 來源 : %#* C. 70 D. 80 來 源 : 中國教 育 %出版 #網(wǎng) 答案 ： C 解析 ： 1 2 12（ 180 40） 70，由兩直線平行，內(nèi)錯相等，得 4 70。 5. 如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標點 A，在近岸取點 B， C， D，使得 AB BC， CD BC，點 E 在 BC 上，并且點 A， E， D 在同一條直線上。若測得 BE=20m， EC=10m， CD=20m，則河的寬度 AB 等于 A. 60m B. 40m C. 30m D. 20m 答案 ： B 解析 ：由 EAB EDC，得： CE CDBE AB，即 10 2020 AB，解得： AB 40 6. 下列圖形中，是中心對稱 圖形但不是軸對稱圖形的是 來 &源 :*zzstep.c%om 答案 ： A 解析 ： B 既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形； C 只是軸對稱圖形； D 既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，只有 A 符合。 7. 某中學隨機地調(diào)查了 50 名學生，了解他們一周在校的體育鍛煉時間，結(jié)果如下表所示： 時間（小時） 5 6 7 8 人數(shù) 10 15 20 5 則這 50 名學生這一周在校的平均體育鍛煉時間是 A. 6.2 小時 B. 6.4 小時 C. 6.5 小時 D. 7 小時 答案 ： B 解析 ：平均體育鍛煉時間是 5 0 9 0 1 4 0 4 050 6.4 小時。 來源 %:中 #教 & 網(wǎng) 8. 如圖，點 P 是以 O 為圓心， AB 為直徑的半圓上的動點， AB=2，設弦 AP的長為 x， APO 的面積為y，則下列圖象中，能表示y與 x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是 答案 ： A 解析 ： 很顯然，并非二次函數(shù)，排除 B ； 采用特殊位置法； HOPBA當 P 點與 A 點重合時，此時 0xAP ， 0PAOS； 當 P 點與 B 點重合時，此時 2xAP ， 0PAOS； 本題最重要的為當 1xAP 時，此時 APO 為等邊三角形，4143 PAOS； 排除 B 、 C 、 D .選擇 A . 【點評】動點函數(shù)圖象問題選取合適的特殊位置，然后去解答是最 為直接有效的方法 二、填空題（本題共 16 分，每小題 4 分） 9. 分解因式：aabab 442 =_ 答案 ： 2( 2)ab 解析 ：原式 2( 4 4)a b a 2( 2)ab 10. 請寫出一個開口向上，并且與 y 軸交于點（ 0， 1）的拋物線的解析式 _ 答案 ： y x2 1 解析 ：此題答案不唯一，只要二次項系數(shù)大于 0，經(jīng)過點（ 0,1）即可。 11. 如圖， O 是矩形 ABCD 的對角線 AC 的中點， M 是 AD 的中點，若 AB=5， AD=12，則四邊形 ABOM 的周長為 _ 答案 ： 20 解析 ：由勾股定理，得 AC 13，因為 BO 為直角三角形斜邊上的中線，所以， BO 6.5，由中位線，得 MO 2.5，所以，四邊形 ABOM的周長為： 6.5 2.5 6 5 20 12. 如圖，在平面直角坐標系 xOy中，已知直線： 1 xt，雙曲線xy 1。在上取點 A1，過點 A1 作 軸的垂線交雙曲線于點 B1，過點 B1 作y軸的垂線交于點 A2，請繼續(xù)操作并探究：過點 A2作 x軸的垂線交雙曲線于點 B2，過點 B2 作y軸的垂線交于點 A3，這樣依次得到上的點 A1， A2， A3， An，。記點 An 的橫坐標為 na，若21a，則 2a=_，2013a=_；若要 將上述操作無限次地進行下去，則 1不能取 的值是 _ 答案 ： 解析 ： 根據(jù) 3,21 A 求出 21,21B ；根據(jù) 21,21B 求出 21,232A ； 根據(jù) 21,232A 求出 32,232B ； 根據(jù) 32,232B 求出 32,313A ； 根據(jù) 32,313A 求出 3,313B ； 根據(jù) 3,313B 求出 3,24 A ； 至此可以發(fā)現(xiàn)本題為循環(huán)規(guī)律， 3 次一循環(huán)， 367032013 ； 來 % #源 : *&中教網(wǎng) 3132013 aa； 重 復 上述 過程 ，可 求出 1,111 aaA、 111 1, aaB、 1112 1,1 aaaA、 1,1 1 1112 a aaaB、 1,11 1 113 a aaA、 1,11 113 aaB、 1, 114 aaA ； 由上述結(jié)果可知，分母不能為 0 ，故 1a 不能取 0 和 1 . 【點評】找規(guī)律的題目，規(guī)律類型有兩種類型，遞進規(guī)律和循環(huán)規(guī)律，對于循環(huán)規(guī)律類型， 多求幾種特殊情況發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律是最重要的 . 三、解答題（本題共 30 分，每小 題 5 分） 13. 如圖，已知 D 是 AC 上一點， AB=DA， DE AB， B= DAE。 求證： BC=AE。 解析 ： 14. 計算：10 )41(45cos22)31( 。 解析 ： 16、 解不等式組：xxxx23123 解析 ： 16. 已知0142 xx，求代數(shù)式22 )()32( yyxyx 的值。 解析 ： 17. 列方程或方程組解應用題： 某園林隊計劃由 6 名工人對 180 平方米的區(qū)域進行綠化，由于施工時增加了 2 名工人，結(jié)果比計劃提前 3 小時完成任務。若每人每小時綠化面積相同，求每人每小時的綠化面積。 解析 ： 18已知關(guān)于 x的一元二次方程04222 kxx有兩個不相等的實數(shù)根 （ 1）求 k的取值范圍； （ 2）若 為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求 k的值。 解析 ： 四、解答題（本題共 20 分，每小題 5 分） 19如圖，在 ABCD 中， F 是 AD 的中點，延長 BC 到點 E，使 CE=21BC，連結(jié) DE， CF。 （ 1）求證：四邊形 CEDF 是平行四邊形； （ 2）若 AB=4， AD=6， B=60，求 DE 的長。 解析 ： 20如圖， AB 是 O 的直徑， PA， PC 分別與 O 相切于點A， C， PC 交 AB 的延長線于點 D， DE PO 交 PO 的延長線于點 E。 （ 1）求證： EPD= EDO （ 2）若 PC=6， tan PDA=43，求 OE 的長。 中國教育出 &版 *#網(wǎng) 解析 ： 21第九屆中國國際園林博覽會（園博會）已于 2013 年 5 月 18 日在北京開幕，以下是根據(jù)近幾屆園博會的相關(guān)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計圖的一部分： （ 1）第九屆園博會的植物花園區(qū)由五個花園組成，其中月季園面積為 0.04 平方千米，牡丹園面積為 _平方千米； （ 2）第九屆園博會園區(qū)陸地面積是植物花園區(qū)總面積的 18 倍，水面面積是第七、八兩屆園博會的水面面積之和，請根據(jù)上述信息補全條形統(tǒng)計圖，并標明相應數(shù)據(jù)； （ 3）小娜收集了幾屆園博會的相關(guān)信息（ 如下表），發(fā)現(xiàn)園博會園區(qū)周邊設置的停車位數(shù)量與日接待游客量和單日最多接待游客量中的某個量近似成正比例關(guān)系，根據(jù)小娜的發(fā)現(xiàn)，請估計將于 2015 年舉辦的第十屆園博會大約需要設置的停車位數(shù)量（直接寫出結(jié)果，精確到百位）。 第七屆至第十屆園博會游客量與停車位數(shù)量統(tǒng)計表 中國教 &*%育 出版網(wǎng) 日均接待游客量 （萬人次） 單日最多接待游客量 （萬人次） 停車位數(shù)量 （個） 第七屆 0.8 6 約 3 000 第八屆 2.3 8.2 約 4 000 第九屆 8（預計） 20（預計） 約 10 500 第十屆 1.9（預計） 7.4（預計） 約 _ 解析 ： 22閱讀下面材料： 小明遇到這樣一個問題：如圖 1，在邊長為)2( aa的正方形 ABCD 各邊上分別截取 AE=BF=CG=DH=1，當 AFQ= BGM= CHN= DEP=45時，求正方形 MNPQ的面積。 小明發(fā)現(xiàn)：分別延長 QE， MF， NG， PH，交 FA， GB， HC， ED 的延長線于點 R，S， T， W，可得 RQF， SMG， TNH， WPE 是四個全等的等腰直角三角形（如圖 2） 請回答： （ 1）若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形（無縫隙， 不重 疊） ，則 這個 新的 正方形 的邊 長為_； （ 2）求正方形 MNPQ 的面積。 中國教 *育 &#出版網(wǎng) 參考小明思考問題的方法，解決問題： 如圖 3，在等邊 ABC 各邊上分別截取 AD=BE=CF，再分別過點 D， E， F 作 BC，AC， AB 的垂線，得到等邊 RPQ，若33RPQS，則 AD 的長為 _。 解析 ： 五、解答題（本題共 22 分，第 23 題 7 分，第 24 題 7 分，第 25 題 8分） 23在平面直角坐標系 xOy中，拋物線 222 mxmxy（ 0m）與y軸交于點 A，其對稱軸與 x軸交于點 B。 （ 1）求點 A， B 的坐標 ； （ 2）設直線與直線 AB 關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，求直線的解析式； （ 3）若該拋物線在 12 x這一段位于直線的上方，并且在 32 x這一段位于直線 AB的下方，求該拋物線的解析式。 解析 ： 【解析】（ 1）當 0x 時， 2y . (0 2)A ， 拋物線對稱軸為 2 12 mx m (1 0)B ， （ 2）易得 A 點關(guān)于對稱軸的對稱點為 (2 2)A ， 則直線 l 經(jīng)過 A 、 B . 沒直線的解析式為 y kx b 則 220kbkb ，解得 22kb來源 : #zzste*p.%co&m 直線的解析式為 22yx （ 3） 拋物線對稱軸為 1x 拋物體在 23x這一段與在 10x 這一段關(guān)于對稱軸對稱 結(jié)合圖象可以觀察到拋物線在 21x 這一段位于直線 l 的上方 在 10x 這一段位于直線 l 的下方； 拋物線與直線 l 的交點橫坐標為 1 ； 當 1x 時， 2 ( 1 ) 2 4yx 則拋物線過點（ -1， 4） 當 1x 時， 2 2 4mm ， 2m 拋物線解析為 22 4 2y x x . 【點評】 本題第 (3)問主要難點在于對數(shù)形結(jié)合的認識和了解，要能夠觀察到直線 l 與直線 AB 關(guān)于對稱軸對稱， 拋物線在 23x 這一段位于直線 AB 的下方， 關(guān)于對稱軸對稱后 拋物線在 10x 這一段位于直線 l 的下方； 再結(jié)合 拋物線在 21x 這一段位于直線 l 的上方 ； 從而拋物線必過點 4,1 .來源 :中 %#&教網(wǎng) 24在 ABC 中， AB=AC， BAC=（ 600 ），將線段 BC 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn)60得到 線段 BD。 （ 1）如圖 1，直接寫出 ABD 的大小（用含 的式子表示）； （ 2）如圖 2， BCE=150， ABE=60，判斷 ABE 的形狀并加以證明； （ 3）在（ 2）的條件下，連結(jié) DE，若 DEC=45，求 的值。 解析 ： 【解析】（ 1） 1302 （ 2） ABE 為等邊三角形 證明連接 AD 、 CD 、 ED 線段 BC 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn) 60 得到線段 BD 則 BC BD ， 60DBC 又 60ABE 16 0 3 02A B D D B E E B C 且 BCD 為等邊三角形 . 在 ABD 與 ACO 中 AB ACAD ADBD CD ABD ACD （ SSS） 1122B A D C A D B A C 150BCE 111 8 0 ( 3 0 ) 1 5 022BEC 在 ABD 與 EBC 中 BEC BADEBC ABDBC BD ABD EBC （ AAS） AB BE ABE 為等邊三角形 （ 3） 60BCD ， 150BCE 1 5 0 6 0 9 0D C E 又 45DEC DCE 為等腰直角三角形 DC CE BC 150BCE ( 1 8 0 1 5 0 ) 152EBC 而 13 0 1 52EBC 30 【點評】本題是初中數(shù)學重要模型“手拉手”模型的應用，從本題可以看出積累掌握常見模 型、常用輔助線對于平面幾何的學習是非常有幫助的 . 25對于平面直角坐標系 xOy中的點 P 和 C，給出如下定義：若 C 上存在兩個點 A， B，使得 APB=60，則稱 P 為 C 的關(guān)聯(lián)點。 已知點 D（21， ）， E（ 0， -2）， F（32， 0） （ 1）當 O 的半徑為 1 時， 在點 D， E， F 中， O 的關(guān)聯(lián)點是 _； EAB CD 過點 F 作直線交y軸正半軸于點 G，使 GFO=30，若直線上的點 P（ m， n）是 O 的關(guān)聯(lián)點，求 m的取值范圍； （ 2）若線段 EF 上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，求這個圓的半徑 r的取值范圍。 解析 ： 【解析】 (1) ED、 ； 由題意可知，若 P 點要剛好是圓 C 的關(guān)聯(lián)點； 需要點 P 到圓 C 的兩條切線 PA 和 PB 之間所夾 的角度為 60 ； 由圖 1 可知 60APB ，則 30CPB ， 連接 BC ，則 rBCCPBBCPC 22s in ； 若 P 點為圓 C 的關(guān)聯(lián)點；則需點 P 到圓心的距離 d 滿足 rd 20 ； 由上述證明可知，考慮臨界位置的 P 點，如圖 2； 點 P 到原點的距離 212 OP ； 過 O 作 x 軸的垂線 OH ，垂足為 H ； 32 32t a n OGOFO G F ； 60OGF ； 360si n OGOH ； 23s in OPOHOPH； 60OPH ； 易得點 1P 與點 G 重合，過 2P 作 xMP 2 軸于點 M ； 易得 302OMP ； 330c o s2 OPOM ； 從而若點 P 為圓 O 的關(guān)聯(lián)點，則 P 點必在線段 21PP 上； 圖 1CBAPxyMP 2G (P 1 )圖 2HO F 30 m ； (2) 若線段 EF 上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，欲使這個圓的半徑最小， 則這個圓的圓心應在線段 EF 的中點； 考慮臨界情況，如圖 3； 即恰好 FE、 點為圓 K 的關(guān)聯(lián)時，則 2212 EFKNKF； 此時 1r ； 故若線段 EF 上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點， 這個圓的半徑 r 的取值范圍為 1r . 【點評】 “新定義 ”問題最關(guān)鍵的是要能夠把 “新定義 ”轉(zhuǎn)化為自己熟悉的知識，通過第 (2)問開 頭部分的解析，可以看出本 題的 “關(guān)聯(lián)點 ”本質(zhì)就是到圓心的距離小于或等于 2 倍半 徑的點 . 了解了這一點，在結(jié)合平面直角坐標系和圓的知識去解答就事半功倍了 . 2013 年北京市中考數(shù)學試題難點解析 2013 年 北 京 市 中 考試 卷 數(shù) 學 試 題 整 體 難 度 較 2012 年有 所 下 降 。從 近 四 年（ 2009-2012） 北 京 中 考 數(shù) 學 試題 的 難 易 程度 可 以 看出 北京 市 中 考數(shù) 學整 體 大 小 年 的 規(guī)律 。 2013 年 北 京 中 考 數(shù) 學 平 均 分 預計 將 較 去 年 有 所 提 升。 本套 試 卷 在 保 持 對 基 礎 知 識的 考 察 力 度 上 ，更 加 重視 對數(shù) 學 思 想 方 法 和 學 生 綜 合素 質(zhì)能 力的 考察 ， 體 現(xiàn) 了 “ 實踐 與操 作 ， 綜 合 與 探 究 ， 創(chuàng) 新與 應 用 ” 的 命 題 特點 ， 與中 考 考 試說明 中 C 級 要 求 相 呼 應。 一、試題的基本結(jié)構(gòu)： 整個試卷五道大題、 25 個題目，總分 120 分。 其中包括 選擇題 （共 8 個題目，共 32 分）、 xy圖 3NKEF填空題 （共 4 個題目，共 16 分）、 解答題 （包括計算題，證明題、應用題和綜合題；共 13 個題目，共 72 分）。 1. 題型與題量 選擇題 填空題 解答題 題數(shù) 分值 題數(shù) 分值 題數(shù) 分值 8 32 4 16 13 72 2. 考查的內(nèi)容及分布 中 國教育 *出 &版 %網(wǎng) 從試卷考查的內(nèi)容來看，幾乎覆蓋了數(shù)學課程標準所 列的主要知識點，并且對初中數(shù)學的主要內(nèi)容都作了重點考查。 內(nèi)容 數(shù)與代數(shù) 圖形與空間 統(tǒng)計與概率 分值 60 47 13 3. 每道題目所考查的知識點 題型 題號 考查知識點 選 擇 題 1 科學記數(shù)法 2 有理數(shù)的概念（倒數(shù)） 3 概率 4 平行線的性質(zhì) 5 相似三角形 6 軸對稱、中心對稱 7 平均數(shù) 8 圓中的動點的函數(shù)圖像 填 空 題 9 因式分解（提公因式法、公式法） 10 拋物線的解析式 11 矩形、中位線 12 函數(shù)綜合找規(guī)律（循環(huán)規(guī)律） 解 答 題 一 13 三角形全等證明 14 實數(shù)運算（ 0 次冪、 -1 次冪、絕對值、特殊角三角函數(shù)） 15 解一元一次不等式組 16 代數(shù)式化簡求值（整體代入） 17 列分式方程解應用題 18 一元二次方程（判別式、整數(shù)解） 解 答 題 二 19 梯形中的計算（平行四邊形判定、梯形常用輔助線作法、特殊三角形的性質(zhì)） 20 圓中的證明與計算（三角形相似、三角函數(shù)、切線的性質(zhì)） 21 統(tǒng)計圖表（折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、統(tǒng)計表） 22 操作與探究（旋轉(zhuǎn)、從正方形到等邊三角形的變式、 全等三角形） 解 答 23 代數(shù)綜合（二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖像對稱、二次函數(shù)的圖像對稱、數(shù)形結(jié)合思想、二次函數(shù)解析式的確定） 題 三 24 幾何綜合（ 等邊三角形、等腰直角三角形、旋轉(zhuǎn)全等、對稱全等、倒角 ） 25 代幾綜合（“新定義”、特殊直角三角形的性質(zhì)、圓、特殊角三角形函數(shù)、數(shù)形結(jié)合） 二、命題主要特點： 第 8、 12、 22、 23、 24、 25 題 依 舊 是比 較 難 的 題 型 ， 其 他 題 型屬 于 基礎或 者 中 檔 題 。近 四 年 北 京 中 考 數(shù) 學 試 題這 幾 道 題 考 查 分 布 ： 題型 年份 2010 2011 2012 2013 第 8 題 （創(chuàng) 新 題） 立體 圖 形 展 開圖 動點 函 數(shù) 圖 象 動點 函 數(shù) 圖 象 動點 函 數(shù) 圖 象 第 22 題 （操 作 與 探 究） 軸對 稱 、 正 方形 平移 、 等 積 變換 幾何 坐 標 化 、 方 程與 方 程組 正方 形 、 等 邊三 角形 、 全 等 三角 形 第 23 題 （綜 合 題） （代 數(shù) 綜 合 ） 反比 例 函 數(shù) 、旋 轉(zhuǎn)、 恒 等 變 形 （代 數(shù) 綜 合 ） 二次 函 數(shù) 、 一次 函數(shù) 、 等 腰 直角 三角 形 、 數(shù) 形結(jié) 合 （代 數(shù) 綜 合 ） 二次 函 數(shù) 、 一次 函數(shù) 、 一 元 二次 方程 、 函 數(shù) 圖象 平移 、 數(shù) 形 結(jié)合 （代 數(shù) 綜 合 ） 一次 函 數(shù) 、 二次 函 數(shù) 、 圖 形 對 稱 數(shù)形 結(jié) 合 第 24 題 （綜 合 題） （代 幾 綜 合 ） 二次 函 數(shù) 、 等腰 直角 三 角 形 、分 類討 論 、 數(shù) 形結(jié) 合 （幾 何 綜 合 ） 旋轉(zhuǎn) 、 等 腰 直角 三角 形 、 等 邊三 角形 、 直 角 三角 形、 平 行 四 邊形 （幾 何 綜 合 ） 軸對 稱 、 等 腰三 角形 、 倒角 （幾 何 綜 合 ） 等邊 三 角 形 、等 腰直 角 三 角 形、 旋轉(zhuǎn) 、 倒角 第 25 題 （綜 合 題） （幾 何 綜 合 ） 等腰 三 角 形 、軸 對稱 、 倒角 （代 幾 綜 合 ） 一次 函 數(shù) 、 圓、 平行 四 邊 形 、分 類討論 （代 幾 綜 合 ） “新 定 義 ”、 一次 函數(shù) 、 圓 、 相似 （代 幾 綜 合 ） 一次 函 數(shù) 、 圓、 特殊 直 角 三 角形 特點一、 題目總體難度降低， 23 題代數(shù)綜合和 25 題代