圓內接四邊形的性質與判定定理ppt課件.ppt

2 2圓內接四邊形的性質與判定定理 1 圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù) 同弧或等弧所對的圓周角相等 同圓或等圓中 相等的圓周角所對的弧也相等 半圓 或直徑 所對的圓周角是直角 90 的圓周角所對的弦是直徑 圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半 圓周角定理 圓心角定理 推論1 推論2 溫故知新 2 如果多邊形所有頂點都在一個圓上 那么這個多邊形叫做圓的內接多邊形 這個圓叫做多邊形的外接圓 思考 任意三角形都有外接圓 那么任意正方形有外接圓嗎 為什么 任意矩形有外接圓嗎 為什么 等腰梯形呢 為什么 一般地 任意四邊形都有外接圓嗎 為什么 需要具備什么樣的條件呢 1 圓內接四邊形的性質 3 直接研究較困難 那么我們可以先從問題的反面思考 如果一個四邊形內接于圓 那么這樣的四邊形有什么特征 我們應該從哪些角度來思考呢 1 圓內接四邊形的性質 4 如圖 1 連接OA OC 則 B D 性質定理1圓內接四邊形的對角互補 將線段AB延長到點E 得到圖 2 1 性質定理2圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角 1 圓內接四邊形的性質 5 6 性質定理1的逆命題 如果一個四邊形的對角互補 那么它的四個頂點共圓 性質定理1的逆命題 如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角 那么這個四邊形的四個頂點共圓 性質定理1圓內接四邊形的對角互補 性質定理2圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角 1 圓內接四邊形的性質 7 假設 四邊形ABCD中 B D 180 求證 A B C D在同一圓周上 簡稱四點共圓 分析 不共線的三點確定一個圓 經過A B C三點可以做一個圓O 如果能由條件得出圓O過D就證明了 1 顯然 點D與圓有且只有三種位置關系 1 點D在圓外 2 點D在圓內 3 點D在圓上 2 圓內接四邊形的判斷定理 8 假設 四邊形ABCD中 B D 180 求證 A B C D在同一圓周上 簡稱四點共圓 證明 1 如果點D在 O外部 1 AEC B 180 得 AEC D 這與 三角形外角大于任意不相鄰的內角 矛盾 故點D不可能在圓外 E 因 D B 180 設E是AD與圓周的交點 連接EC 則有 點D在內部怎么證明 2 圓內接四邊形的判斷定理 9 假設 四邊形ABCD中 B D 180 求證 A B C D在同一圓周上 簡稱四點共圓 2 如果點D在 O內部 B ADC 180 E ADC 綜上所述 點D只能在圓周上 即A B C D四點共圓 點D不可能在 O內 延長AD交圓于點E 連接CE 則 B E 180 這同樣與 三角形外角大于任意不相鄰的內角 矛盾 2 圓內接四邊形的判斷定理 10 圓內接四邊形判定定理 如果一個四邊形的對角互補 那么它的四個頂點共圓 當問題的結論存在多種情形時 通過對每一種情形分別論證 最后獲證結論的方法 窮舉法 推論 如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角 那么它的四個頂點共圓 2 圓內接四邊形的判斷定理 11 悟一法 判定四點共圓的方法常有 1 如果四個點與一定點的距離相等 那么這四個點共圓 2 如果一個四邊形的一組對角互補 那么這個四邊形的四個頂點共圓 3 如果一個四邊形的一個外角等于它的內對角 那么這個四邊形的四個頂點共圓 4 如果兩個三角形有公共邊 公共邊所對的角相等且在公共邊的同側 那么這兩個三角形的四個頂點共圓 12 思維拓展 圓內接平行四邊形一定是 形圓內接梯形一定是 形圓形內接菱形一定是 形 矩形 等腰梯形 正方形 13 證明 連接PQ 在四邊形QFPC中 FP BCFQ AC FQA FPC 90 Q F P C四點共圓 QFC QPC 又 CF AB QFC與 QFA互余 而 A與 QFA也互余 A QFC A QPC A B P Q四點共圓 14 習題2 2 1 AD BE是 ABC的兩條高 求證 CED ABC 2 求證 對角線互相垂直的四邊形中 各邊中點在同一個圓周上 3 如圖 已知四邊形ABCD內接于圓 延長AB和DC相交于E EG平分 E 且與BC AD分別相交于F G 求證 CFG DGF 15 性質定理1圓內接四邊形的對角互補 性質定理2圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角 圓內接四邊形判定定理 如果一個四邊形的對角互補 那么它的四個頂點共圓 推論 如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角 那么它的四個頂點共圓 本節(jié)收獲 16 悟一法 1 圓內接四邊形性質定理為幾何論證中角的相等或互補提供了一個理論依據(jù) 因而也為論證角邊關系提供了一種新的途徑 2 在解有關圓內接四邊形的幾何問題時 既要注意性質定理的運用 也要注意判定定理的運用 又要注意兩者的綜合運用 3 構造全等或相似三角形 以達到證明線段相等 角相等或線段成比例等目的 17 5 如圖 已知四邊形是圓內接四邊形 是 的直徑 且EB AD AD與BC得延長線相交于F 求證 證明 連結AC ACB DAB 弧AB