（數(shù)學專業(yè)論文）高中數(shù)學向量教學研究.pdf

摘要 新一輪數(shù)學課程改革從理念 內容到實施 都發(fā)生了較大的變化 其中 尤 其值得注意的是 直到1 9 世紀末2 0 世紀初才發(fā)展起來的 向量教學 以其在現(xiàn) 代數(shù)學 物理學 工程學 空間物質結構中的廣泛應用 而備受人們的關注 向量知識在許多國家的中學數(shù)學教材中 早就成了一個基本的教學內容 但 是在我國 各方面的研究還都處于一個起始階段 向量是近代數(shù)學最基本的概念 之一 它具有代數(shù)形式和幾何形式的 雙重身份 是溝通幾何 代數(shù) 三角等 內容的橋梁 向量引入中學數(shù)學是必要的也是可行的 但是教師如何開展向量教學工作 這是筆者在本文中著重探討的問題 在研究過程中 筆者采用文獻法 對向量相 關文獻做出綜述 了解關于向量教學最前沿的科研成果 利用調查法掌握了向量 教學中存在的問題 向量教學并不是教師想象的那么容易 學生對向量工具解題 的意識不強 學習方法有待改進 針對這些問題 筆者充分運用現(xiàn)代教育理念進 行教學實踐 對如何開展向量教學提出了自己的建議 強化向量概念教學 夯實 基礎 挖掘向量幾何背景 加強運算教學 注重向量應用教學 充分發(fā)揮向量的 工具作用 在教學方法上 要加強向量與現(xiàn)實的聯(lián)系 并重視滲透數(shù)學思想方法 培養(yǎng)和發(fā)展學生的思維能力 倡導向量的探究性學習 在探究性學習中培養(yǎng)學生 的創(chuàng)造能力 關鍵詞 向量向量教學研究 a b s t r a c t t h en e w r o u n dm a t h e m a t i c sc u r r i c u l u mr e f o r m f r o mt h ei d e a s c o n t e n t sa n d i m p l e m e n t a t i o n s h a s b e e n c h a n g e dg r e a t y a m o n gt h e m t h e v e c t o r m a t h e m a t i c s w h i c hd e v e l o p e da n da p p f i e da tt h et u r no ft h e1 9 山c e n t u r yt ot h e2 0 t h w i t hi t sw i d ea p p f i c a f i o ni nm o d e mm a t h e m a t i c s p h y s i c s e n g i n e e r i n ga n ds p a t i a l m a t t e rs t r u c t u r e h a sb e e nn o t i c e dg r e a t l y i nm a n yc o u n t r i e s v e c t o ra sab a s i cc o u r s ec o n t e n t h a sa l r e a d yb e e ni n c l u d e di n t h em a t h e m a t i c sc o u r s ef o rm i d d l es c h o o ls t u d e n t s h o w e v e r i no u rc o u n t r ya si tj u s t h a sb e e na p p l i e di nt h em i d d l es c h o o lm a t h e m a t i c sc u r r i c u l u m t h es t u d yo fv e c t o ri s s t i l li ni t ss t a r ts t a g e t h ev e c t o ri so n eo ft h em o s tb a s i cc o n c e p t si nm o d e m m a t h e m a t i c s i th a sa d u a ls t a t u s a l g e b r af o r m a n d g e o m e t r yf o r m i ti sa b r i d g et ol i n ku pt h ec o n t e n t so fg e o m e t r y a l g e b r aa n dt r i g o n o m e t r y i ti sn e c e s s a r yt ob r i n gv e c t o ri n t om i d d l es c h o o lm a t h e m a t i c sc o u r s e h o w e v e r h o wat e a c h e ra d v a n c e sm sv e c t o rt e a c h i n gu n d e rah e we d u c a t i o ni d e ai sw h a t1w a n t t og of u l t h e ri nt h i sp a p e ra t t e n t i v e l y d u r i n gt h er e s e a r c h t h ew r i t eu s e sd o c u m e n t a l m e t h o d a n dd e s c r i b e st h er e l a t i v ed a t a a n da l s ou s e si n v e s t i g a t i o nm e t h o dt os u r v e y t h eq u e s t i o n sa b o u tt h ev e c t o ri nt h em i d d l es c h o o lt e a c h i n g w h i c hi sn o ta se a s ya s t h et e a c h e r si m a g i n e s t u d e n t sd o n th a v et h eh a b i to fd e a l i n gw i t ht h eq u e s t i o nw i t h v e c t o ra n d t h e yh a v et oi m p r o v et h e i rs t u d ym e t h o d t os o l v et h e s ep r o b l e m s if u l l y u s em o d e me d u c a t i o n a lc o n c e p t si nt e a c h i n gp r a c t i c e ig i v em a n ys u g g e s t i o n so n h o w1 0a d v a n c ev e c t o rt e a c h i n gi nt h i sp a p e nw es h o u l ds t r e n g t h e nv e c t o rc o n c e p t s t h eb a s i ck n o w l e d g ea n do p e r a t i o ni nt e a c h i n g d or e s e a r c ho nt h ev e c t o ro ft h e g e o m e t r yb a c k g r o u n d s p a ya t t e n t i o nt ot h ea p p l y i n ga n db r i n gt h ei n i t i a t i v eo fv e c t o r s k i l l s w i t ht h i st e a c h i n gm e t h o d w es h o u l ds t r e n g t h e nt h er e l a t i o n sb e t w e e nv e c t o r a n di t sa p p l i c a t i o n a t t a c ht h ei m p o r t a n c et oi n f i l t r a t em a t h e m a t i c si d e a sa n dm e t h o d s i n t oi t i m p r o v es t u d e n t s t h i n k i n ga b i l i t y d e c l a r et h er e s e a r c hs t u d yo fv e c t o rt o d e v e l o pt h es t u d e n t s c r e a t i v i t y k e y w o r d v e c t o r v e c t o rt e a c h i n gr e s e a r c h 獨創(chuàng)性申明 本人申明所呈交的論文是我個人在導師指導下進行的研究工作 及取得的研究成果 盡我所知 除了文中特別加以標注和致謝的地方 外 論文中不包括其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究成果 也不包括為獲 得西北師范大學或其他教育機構的學位或證書而使用過的材料 與我 一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均已在論文中作了明確的 說明并表示了謝意 簽名缸整 日期如 t 關于論文使用授權的說明 本人完全了解西北師范大學有關保留 使用學位論文的規(guī)定 即 學校有權保留送交論文的復印件 允許論文被查閱和借閱 學?？梢?公布論文的全部或部分內容 可以采用影印 縮印或其他復制手段保 存論文 保密的論文在解密后應遵守此規(guī)定 簽名 鑫鎏 導師簽名 趟整日期 皇堡i 出 第一部分問題的提出 作為具有幾何形式和代數(shù)形式 雙重身份 的向量 1 9 9 8 年在江西 山西兩 省和天津市首次作為實驗教材的重要內容進入中學數(shù)學 甘肅省也于2 0 0 1 年首次 使用人民教育出版社發(fā)行的新版實驗教材 向量是其中的重要內容 在 普通中 學數(shù)學課程標準 實驗 中 也明確把平面向量作為必修課程數(shù)學4 的內容 空 間向量作為選修2 1 的內容 至此 向量以其在現(xiàn)代數(shù)學 物理學 工程學 物 質結構中的廣泛應用而備受人們關注 1 1 選題的背景 幾何課程內容的改革歷來是國內外數(shù)學改革的一個極為重要的問題 在文 2 0 中 將聲先生已說明了利用向量的長度 向量的內積 可以把有關長度 垂直 交角等定理從平面幾何推廣到空間以至于n 維空間 呂世虎先生也在文 8 中提到 高等代數(shù)及近世代數(shù)中最典型的思想方法是研究某些運算的抽象集合的 代數(shù)結構 其中最簡單并且具有代表性的一種 代數(shù)結構 是數(shù)域f 上的n 維向 量空間 研究它的結構和性質的恩想幾乎全部自然地來自人們熟悉的三維空間 r 3 一些立體幾何中嚴密的論證過程和計算方法采用向量處理是國內外數(shù)學改 革的一些做法 吳文俊先生在1 9 9 5 年2 月的 數(shù)學教育的現(xiàn)代化問題 中 明確 指出 數(shù)學教育的現(xiàn)代化問題就是機械化問題 還說 對歐幾里得幾何該怎么 看 我說明 下我的看法 我有一點傾向于恩格斯的數(shù)學關系 數(shù)學研究的是數(shù) 量關系與空間形式 簡單的說就是數(shù)與形 對于幾何 對于研究空間形式 你要騰飛 不通過數(shù)量關系 我想不出有什么好辦法 吳文俊在此明確指出要 騰 飛 必須采取 數(shù)量化 的方法 嚴士健 北京師范大學數(shù)學系教授 說 高中 可以用向量的方法處理立體幾何 綜觀各國幾何課程的開設 美國 沒有綜合性的幾何學 但有向量矩陣表示的變換幾何 英國 沒有綜合法的立體幾何 用向量方法處理線面關系 法國 少量的綜合平面幾何 用向量的方法處理立體幾何 重視圖形變換及 其矩陣表示 德國 內容非常艱深 超過我國大學的 高等數(shù)學 但只有不多向量幾何 重視變換幾何 日本 高中有平面幾何選修 高三有少量的向量幾何 俄國 所有國家中綜合幾何要求晟高 6 個國家中唯 n 有 三垂線定理 同時要求向量幾何 變換幾何 這次數(shù)學課程改革的基本理念之一是體現(xiàn)數(shù)學的基礎性和發(fā)展性 面向全體 學生 人入學有用的數(shù)學 人人都能學好數(shù)學 不同的人學不同的數(shù)學 高中課 程還體現(xiàn)了多樣性和選擇性 課程內容繼承了我國數(shù)學教育的優(yōu)良傳統(tǒng) 重視學 生對必要的基礎知識和基本技能的熟練掌握 并力圖改變目前數(shù)學課程及實施過 程中的某些繁 難 偏 舊狀況 重視數(shù)學與其他領域的聯(lián)系 重視對數(shù)學的理 解 重視借助現(xiàn)代數(shù)學中的基本思想方法改造傳統(tǒng)教學內容 向量由于其代數(shù)和 幾何的雙重性 與物理學發(fā)展的密切聯(lián)系 對傳統(tǒng)幾何改造的強有力工具性特點 以及現(xiàn)代數(shù)學與初等數(shù)學的銜接上所具有的特殊地位 使向量進入中學數(shù)學是非 常必要的 另外 從筆者的教學來說 筆者對其他章節(jié)內容教過多遍 內容較熟 但向 量這部分內容只教過一遍 在教學中 我深深體會到 這一部分內容看起來不難 但一旦操作 具體實施起來 卻倍感棘手 有些地方總覺得把握不好 教過之后 有很多遺憾 由于每一位高中數(shù)學教師的知識結構 教學經(jīng)歷 擅長的教學模塊都不盡相 同 致使每位教師對向量的理解 認識都不盡相同 尤其是對向量引入中學教材 后 它在中學數(shù)學中的地位和作用不甚了解 再者 由于數(shù)學教師自身知識經(jīng)驗 與知識儲備有限 表現(xiàn)在進行向量的教學時 確立教學目標 確定教學內容選擇 教學方法都有所不同 另外 因為向量內容本身又在深度和難度的把握上有較大 的彈性 因而在高中數(shù)學教學實踐中如何正確 有效的處理向量這部分教學內容 成為 個不可回避的課題 高二開設的立體幾何中 用空間向量解決處理線面關系 從2 0 0 5 年江蘇省高 考考生答卷為例 三道立體幾何題 選擇 填空 解答題各一道 共2 4 分 但根 據(jù)統(tǒng)計 立體幾何大題的平均得分為5 7 2 分 得分率僅為4 1 說明學生在應用 向量方法解決立體幾何問題的學習中還存在一些問題 今年上半年 第二輪教向 量 為了提高自身教學水平 準確把握向量教學 有必要對向量進行進一步研究 基于以上情況 筆者認為 對新 標準 下引入向量的背景 意義及其作用 向量在高中數(shù)學教學實踐中難度的把握 內容安排 教學方法的選擇進行全面細 致地發(fā)現(xiàn)和研究是非常必要的 為此 筆者確定本文研究的課題是 1 探求在向量教學方面存在什么問題 2 2 怎樣結合實際進行向量教學 1 2 研究的目的和意義 一 目的 本文旨在研究新 標準 下向量進入中學數(shù)學課程后 它在中學數(shù)學教材中 所起的作用和地位 探求向量對促進學生全面發(fā)展的作用 為開展行之有效的向 量教學 結合自己的教學實踐做一些探索 進而為向量教學中如何把握好深度和 難度 怎樣教等提供參考 使這一部分教學更加生動多彩 二 意義 進行向量教學研究需要豐富的教育教學理論作指導 為此 本人盡可能多閱 讀教育家的論著 強化自己的理論修養(yǎng) 以求站在一個新的高度 對向量教學的 目的 內容 重難點等問題能夠基于我校的實際進行安排 對提高學生的學習興 趣 減少學生對立體幾何的畏懼心理有 定幫助 由于向量進入中學教材 給中學數(shù)學知識體系注入了新鮮血液 成為新教材 改革的一丈亮點 但從向量的教學研究來看 多的只是利用向量的工具解題研究 所以本人的研究對中學數(shù)學教師準確把握新 標準 的課程理念 正確把握其深 度 難度 吃透教材的精神實質有一定的幫助 對其他部分的教學有一定的啟發(fā) 其他教育工作者可以類似地進行模仿或進行更深入的研究 從而將我國的普高教 育進一步發(fā)展提高 真正將我國數(shù)學教育的改革落到實處 真正提高我國高中學 生的數(shù)學素質和數(shù)學品質 1 3 研究的思路和方法 一 研究的思路 為了使中學數(shù)學教師更清楚地認識向量 筆者首先對我國現(xiàn)行中學數(shù)學課程 中 向量 內容的設置進行了分析 熟悉向量教學的目標 然后對向量相關文獻 作一簡述 了解向量進入中學數(shù)學課程以后 向量以及向量教學的實際情況 接 著利用問卷調查發(fā)對中學生進行問卷調查 分析了他們在向量學習中存在的問題 和空間想象能力方面存在的問題 通過對全日制普通高級中學 實驗修訂本l j 必 修 數(shù)學第二冊 下a 下b 中第九章的比較 以下簡稱為9 a 9 b 同時 結合自己的教學實際設置了向量教學中培養(yǎng)空間想象能力的策略 對向量教學進 行了教學設計 二 研究的方法 3 在本論文的研究過程中 筆者采用了比較研究法 文獻分析法 調查法 比較研究法 比較就是根據(jù)一定的標準 把彼此相關的事物聯(lián)系起來進行考 察 確定其異同找出其內在聯(lián)系和共同規(guī)律 把握研究對象所特有的質的規(guī)定性 我在研究教材時主要采用這種方法 通過比較教材的變化 尋求解決問題的策略 和方法 通過對9 a 9 b 的比較研究 為教學提供可行的教學策略 2 文獻法 在寫作過程中 我一直保持不定期地查閱相關文獻 積累了一些有關向量的 論述資料 從中了解關于向量的教學研究和立體幾何教學的相關文章 搜集了許 多典型的教學例題 同時結合自己的教學實際 設計了關于向量教學的教學策略 3 調查法 為了掌握學生對向量的學習情況以及空間想象能力的狀況 我主要采用了調 查法 調查法主要分為問卷調查法和訪談調查法 首先制定了較為科學的調查問 卷 調查所涉及的內容學生的回答真實可靠 可信度比較高 在研究過程中 我 還采用了訪談調查法 與同一教研組的老師共同探討了怎樣進行行之有效的教學 對他們的教學意見進行了借鑒 并用訪談法的形式了解個別學生對向量的學習情 況 第二部分文獻綜述 2 1 向量教學的相關研究 為了使自己的教學活動適應新教材課程改革的需要 我一邊教學一邊不斷的 學習 查閱資料 對其進行歸納總結 有關向量教學的研究資料大致可以分為以 下幾類 一 對向量進入中學的可行性和必要性 做了一些必要的研究和探討 具有代表性的論文有吳洪生 徐 冰 黃寧生三人共同撰寫的 試論 向量 在中學數(shù)學教學中的必要性和可行性 一文 具體指出了向量在中學數(shù)學教學中 的必要性和可行性 1 增加向量是為了適應現(xiàn)代化科技發(fā)展的需要 2 實踐證明中學生學習向量是可行的 3 向量有利于新教材的構建 4 向量能促進學生認知結構的優(yōu)化組合 吳洪生徐一冰黃寧生 試論向量在中學數(shù)學教學中的必要性和可行性 j 數(shù)學通報 1 9 9 6 6 4 另外 還有很多類似文章 提及向量進入中學數(shù)學教材的必要性和可行性 提法大致相同 如在廖輝和梁文華合著的 高中數(shù)學引入向量的作用 一文中提 到 1 引進向量 革新了高中部分傳統(tǒng)內容的處理方法 能夠降低教學難度 為新增教學內容騰出了時間 2 引進向量 可以更新學生對空間形式的思維方式 為學生建立一種符合 現(xiàn)代教學發(fā)展要求的思維模式 3 引進向量 進一步強化了高中數(shù)學對應用科學的基礎性作用 向量是解決實際問題的工具 引入向量 能更好的為研究高中物理問題服務 向量理論是學習很多應用科學必要的基礎 在各類雜志上 發(fā)表的這一類文章很多 為我們中學數(shù)學教師正確理解在新 一輪教材改革中 向量作為改革的標志性內容進入中學數(shù)學教材有很大幫助 一 對向量的工具作用與應用價值的研究 在眾多的文獻中 對于向量的工具作用與應用價值的論述也是比較多的 主 要是向量在數(shù)學各分支中的實際應用 包括在平面幾何 立體幾何 解析幾何 代數(shù) 三角和物理中的應用 許多論文都是以舉例的形式說明了向量的具體應用 二 關于怎樣開展向量教學的論述 向量知識在許多國家的中學數(shù)學教材中 早就是一個基本的教學內容 在我 國全面實施新課程后 向量雖然也已經(jīng)進入中學 但仍然處于起步階段 在教學 過程中 為了吸取別人的長處 指導自己的教學工作 我查找了一些有關向量教 學的文章 著一方面的文章不是很多 多的是向量工具的應用方面的文章 我查 到的文章很有限 由衢洲職業(yè)學院數(shù)理信息系的盛志榮發(fā)表在 麗水師范專科學校學報 第2 5 卷第2 期的 篇文章 對中學向量教學的幾點建議 中 對于在中學數(shù)學中如何 進行向量教學提出了很好的建議 其中有很多論述值得我借鑒 由曹金明老師寫 的 高中數(shù)學課程中向量教學研究 劉兆輝老師的 中學數(shù)學課程中的向量教學 研究 都給了我一些啟發(fā) 他們結合自己的教學實際談了一些自己的做法 另外 由徐元根老師寫的論文 關于中學向量教學的若干思考 中學向量教學內容和 體系初探 中 也談及了一些向量內容和教學的想法 但具體怎樣開展教學談及 廖輝粱文華高中數(shù)學引入向量的作用 町 川i 貝教育學報 1 9 9 8 4 5 甚少 由西昌市第四中學的巫明芬老師撰寫的論文 高中新教材平面向量教學體 會 給我很大啟發(fā) 文章具體說明了對一些基本概念的教學和新舊教材的區(qū)別 另外由江蘇省蘇州市陸慕高級中學的汪曉華和朱青鋒合寫的 關于平面向量教學 的幾點構想與嘗試 也給我一些啟示 由人民教育出版社的蔡上鶴撰寫的論文 高 中數(shù)學 空間向量 部分教學問答 對我的寫作幫助很大 文章闡述了空間向量 在高中數(shù)學中的地位和作用 具體安排以及高考對于這部分的要求等五個方面的 內容 但未涉及到怎樣教學 李得明的 中學數(shù)學中的向量教學研究 文章主要 闡述了向量進入中學的必要性和可行性 向量的發(fā)展前景 并且通過一節(jié)課 開 放式 的教學案例 總結和反思課堂教學中出現(xiàn)的問題 總而言之 在各類期刊雜志上 關于向量工具作用的論述的文章很多 具體 教學的文章較少 筆者想結合自己的教學實際 談一談自己的一些親身感受 2 2 高中數(shù)學課程中向量內容分析 2 2 1 向量在中學數(shù)學教學中的地位和作用 平面向量這部分內容本身很重要 它作為工具性知識而廣泛應用于三角 解 析幾何 立體幾何的教學中 如在三角中利用向量證明正弦定理 余弦定理既簡 便又容易接受 平面向量是數(shù)形結合的橋梁 它可以將形的內容轉化為數(shù)的運算 通過本章的學習 可以使學生體會到數(shù)形結合的主要思想 建立有向線段 向量 坐標表示之間的聯(lián)系 使平行 垂直 投影 兩點間距離 線段的定比分點 圖 形的平移等問題代數(shù)化 同時 平面向量的觀點 方法在物理和其他學科中也有廣泛的應用 如在位 移 三角形法則 力的合成與分解 平行四邊形法則 平面向量基本定理 作 功 向量的點積 等的應用 用空間向量處理某些立體幾何問題 可以為學生提供新的視角 在空間特別 是空間直角坐標系中引入空間向量 可以為解決三維圖形的形狀 大小及位置關 系的幾何問題增加一種理想的代數(shù)工具 從而提高學生的空間想象能力和學習效 率 向量法在證明角度相等 線段平行 直線 線段 垂直 求直線的夾角 求 三角形的面積等方面都有廣泛的應用 由于幾何發(fā)展的出路是代數(shù)化 引入向量研究幾何是幾何代數(shù)化的重要手段 在立體幾何教學中要特別注意向量法的應用 一方面有助于學生鞏固所學的向量 知識 另 方面強化了學生的思維結構 降低了立體幾何學習的難度 向量法在 6 解決立體幾何中的距離 夾角 平行 垂直等問題上的應用很方便 在解析幾何中 用向量法推導點到直線的距離公式 求直線的點法式方程 點向式方程 參數(shù)方程都用到了向量知識 并且能化難為易 在代數(shù)中 包括向量與三角函數(shù)的整合 與數(shù)列整合 與不等式整合 與復 數(shù)整合 在物理中 向量的最初起源于物理中提到的一些物理量 力 位移和速度等 它為學生理解向量概念提供了豐富 具體的模型 反過來 運用向量的知識可以 解決物理學中的諸多問題 如教材上安排了一節(jié)研究性課題 向量在物理中的應 用 教學時讓學生在親自動手實驗過程中感受向量在物理中的應用 2 2 2 向量教材分析 一 向量教學內容及知識結構 1 平面向量 內容分析 高中數(shù)學教材中講述 平面向量 部分約占1 2 課時 具體內容是這樣安排 的 1 平面向量 的第一大節(jié)是 向量及其運算 包括向量的概念及其表示 向量的加法 減法 數(shù)乘運算 向量的坐標表示 向量的數(shù)量積等 這一章一開始 從帆船航行的距離和方向兩個要素入手 從位移 力等物理 量出發(fā) 抽象出既有大小又有方向的量 向量 并說明向量與數(shù)量的區(qū)別 然 后介紹了向量的幾何表示 有向線段 向量的長度 模 零向量 單位向量 平 行向量 相等向量 共線向量等基本概念 2 第二大節(jié)有向量加法運算及其幾何意義 向量的減法運算及其幾何意義 向量數(shù)乘運算及其幾何意義等內容 教科書先講了向量的加法 加法的幾何意義 加法的運算律 再用相反向量 與向量的加法定義了向量的減法 把向量的減法與加法統(tǒng)一起來 并給出向量減 法的幾何意義 向量的加法與減法 實數(shù)與向量的積實際上是屬于向量的線性運 算知識 然后通過向量的加法引入了實數(shù)與向量積的定義 給出了實數(shù)與向量積 的運算律 最后 介紹了兩個向量共線的條件和向量線性運算的運算法則 隨后 介紹了向量共線的充要條件與平面向量基本定理 這樣為后面介紹平面向量的坐 標表示奠定了基礎 3 第三大節(jié)包括平面向量基本定理 平面向量的分解及坐標表示 平面向 量的坐標運算 平面向量共線的坐標表示 7 平面向量基本定理是平面向量的分解及坐標表示的基礎 教科書首先通過一 個具體的例子給出了平面向量基本定理 同時介紹了基底 夾角 兩個向量垂直 的概念 然后在平面向量基本定理的基礎上 給出了平面向量的分解及坐標表示 向量加 減 數(shù)乘的坐標運算和向量坐標的概念 最后給出了平面向量共線的坐 標表示 坐標表示使平面中的向量與它的坐標建立起了對應關系 這為通過 數(shù) 的運算處理 形 的問題搭起了橋梁 4 第四大節(jié)包括平面向量數(shù)量積的實際背景及其含義 平面向量數(shù)量積的 坐標表示 模 夾角 教科書從學生熟知的功的概念出發(fā) 引出了平面向量數(shù)量積的概念及其幾何 意義 接著介紹了平面向量數(shù)量積的性質 運算律及坐標表示 向量的數(shù)量積體現(xiàn)了向量的長度和三角函數(shù)之間的一種關系 特別是用向量 的數(shù)量積能有效地解決線段垂直的問題 把向量的數(shù)量積應用到三角形中 還能 解決三角形邊角之間的有關問題 將傳統(tǒng)教材研究正弦定理和余弦定理的方法用 向量法來研究 即用向量的數(shù)量積把三角形的邊與角聯(lián)系起來推導 證明了這兩 個定理 正弦定理 余弦定理是關于任意三角形的邊角之間關系的兩個重要定理 應用這兩個能夠解決測量 工業(yè) 幾何等方面的實際問題 向量數(shù)量積把向量的 長度和三角函數(shù)聯(lián)系了起來 這樣為解決有關的幾何問題提供了方便 特別是能 有效地解決線段的垂直與夾角問題 5 第五大節(jié)將傳統(tǒng)教材 解析幾何 中 線段的定比分點 這一知識前移 到這一章中學習 并且采用向量的方法來研究 線段的定比分點 定比分點坐 標公式 中點坐標公式 以及 平移公式 6 另外 為了真正體現(xiàn)新課改的特色 讓學生成為學習的主體 充分把 探 究 合作 小組學習 新課改理念應用于課堂教學 教材特意安排了兩個閱讀材 料 還增加了一個實習作業(yè) 用來培養(yǎng) 提高學生的動手操作能力和應用意識 提高學生將實際問題抽象為數(shù)學問題的能力以及建模 解模的水平 從而提高學 生的數(shù)學素養(yǎng) 本章知識結構大致如下 8 有向線段 向量 長度 模 零向量 單位 概念 向量 向量的概念 表示a b a x y 關系平行向量 相等向量 共線向量 加法運算律 平行四邊形法則 三角形法則 加 作法 減相反向量 減法 作法 向量的運算 數(shù)乘乘積 共線的充要條件 夾角 垂直 投影 垂直的充要條件 運算律 數(shù)量積 性質 加法 向量運算的坐標減法 表示數(shù)乘向量 向量的基本定 數(shù)量積 兩點間距離公式 理 平行向量 相等向量 共線向量 關系的坐標表示共線 垂直 共線 兩個充要條件 垂直 平移平移 平移公式 三個應用 定比分點定比分點 定比分點公式 解斜三角形正 余弦定理證明及其應用 本章的熏點是向量的概念 平面向量基本定理 向量的幾何表示和坐標表示 形式 向量的線性運算 平面向量的數(shù)量積 線段的定比分點和坐標表示形式 平移公式 解斜三角形 本章的難點是向量的概念 平面向量基本定理 向量的 運算法則和運算律等 o 向量是近代數(shù)學中最為重要和基本的數(shù)學概念之一 有其深刻的幾何背景 是解決幾何問題的有力工具 向量概念引入后 全等和平行 平移 相似 垂直 人民教育出舨社壘日制普通高級中學教科書數(shù)學第一冊 下 教師教學用書 9 勾股定理等就可以轉化為向量的加 減 法 數(shù)乘向量 平面向量數(shù)量積運算 從而把圖形的基本性質轉化為向量的運算體系 2 空間向量 的知識結構及內容分析 空間向量 被編排在人教版全日制普通高級中學 試驗修訂本 數(shù)學第二 冊 下b 中的第九章 直線 平面 簡單幾何體 簡稱 9 b 中 含有 空間向量的高二下學期的數(shù)學教科書簡稱為 第二冊 下b 與它平行且仍用 傳統(tǒng)方法來闡述高中立體幾何內容的教科書簡稱為 第二冊 下a 兩本教科 書第九章的章名一樣 并且都用3 6 課時進行教學 空問向量 這部分內容具有 必學 和 選學 兩重性 按照大綱第1 0 頁的腳注規(guī)定 直線 平面 簡單幾 何體的教學內容和教學目標在9 a 和9 b 兩個版本中只選擇一個執(zhí)行 9 b 具有選學的性質 但大綱把 直線 平面 簡單幾何體 作為必修內容 如果學生不按 第二冊 下a 教科書來學習 那么空問向量他們就是必學內容 所以 空間向量 這部分內容具有 必學 和 選學 兩重性 為了初步培養(yǎng)學生的空間想象能力 第一大節(jié) 空間的直線和平面 中先使 用綜合推理方法學習空間圖形的一些基本性質 但是 與人教版的教科書相比 綜合推理訓練的要求更弱 些 這是因為有些問題將來用空間向量來處理更為簡 便 相應地 在第一大節(jié)中 三垂線定理及其逆定理的解題訓練也安排的較少 雖然 標準 中未提到空間向量的 平移 但由于我們把空間向量看作空間的 一 個平移 所以在學習空問直線平行關系傳遞性的基礎上 引入了平移概念 此外 還更新了傳統(tǒng)教材中的一些例題 習題 目的也是為了學生理解空間向量的內容 空間向量 的第一小節(jié) 是本章的重點 本小節(jié)首先把平面向量及其性質 運算推廣到空間 有了平面向量以及第一大節(jié)中 空間向量 概念的基礎 這種 推廣對學生已不算是困難 但仍然要 步步地進行 例如 要一步步地驗證空間 向量的運算法則及運算律 這樣做 既可以溫故知新 又可以進一步培養(yǎng)學生的 空間想象能力 將平面向量推廣到空問向量后 必須探究共線向量和平面向量定 理能否推廣到空間 在得出肯定的結論后 再由這兩個定理推出空間與平面的向 量表達式 有了這兩個表達式 學生就可以方便解決空間的某些共線與共面問題 在學習共線向量定理和共面向量定理后 學生將進一步學習空間最重要的定 理 空間向量基今定理 此定理是將空間幾何研究數(shù)量化的基礎 它使空間的 結構變得簡單明了 整個空間被三個不共面的基本定理所確定 空間的點或向量 與三維實數(shù)組 x y z 之間建立了對應關系 1 0 本小節(jié)最后安排向量的數(shù)量積 將平面內兩個向量的數(shù)量積推廣到空間 最 重要的是讓學生建立起向量在軸上的投影的概念 為了減輕學生學習負擔 教科 書沒有證明數(shù)量積的幾個運算性質 留給學有余力的學生自己去探究完成 空間向量 的第 4 節(jié)中 首先引入空間直角坐標系 使向量運算完全坐 標化 在去掉基底后 空間向量與三維實數(shù)組進行了對應 這樣就使運算更加方 便 然后教科書給出空間兩個最基本的公式一夾角公式與距離公式 教材的第三大節(jié) 夾角和距離 也分為兩個小節(jié) 夾角 包括 直線與平面 所成的角 與 二面角 距離 包括 直線到平面的距離 點到平面的距離 與 異面直線的距離 第一小節(jié)中還含有兩平面垂直的判定和性質 這一大節(jié)不 僅要求學生掌握上述關于夾角 距離的概念 以及兩平面垂直的判定和性質 還 要求學生能夠靈活應用勾股定理 正弦 余弦定理以及向量的代數(shù)方法進行應該 的計算與證明 教科書在處理具體問題時 采取了實事求是的態(tài)度 凡是用向量 比較容易解決的問題 就以向量為 通法 來解決 而對有些直接使用勾股定理 和三角形知識比較容易解決的問題 仍用傳統(tǒng)方法解決 教材的第四大節(jié)是 簡單多面體與球 這一大節(jié)既是對簡單多面體基礎知識 的重點討論 又是對前面空間圖形基本性質與空間向量等相關知識的綜合應用 所以說 學生如果用空間向量知識去處理在這一大節(jié)中遇到的問題 也是應該甚 至提倡 綜上 空間向量 這部分內容 大致可以分為 空間向量及其運算 與 空 間向量的應用 這兩個模塊 空間向量及其運算 包括 1 經(jīng)歷向量及其運算由平平面向空間推廣的過程 2 理解空間向量的概念 掌握空間向量的加法 減法 數(shù)乘及其坐標表 示 了解空間向量基本定理及其意義 掌握空問坐標系 能將空間向 量用坐標軸上的單位向量線性表示 3 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示 能運用向量的數(shù)量積判斷向量 的共線或垂直 空問向量的應用 包括 1 理解直線的方向向量 平面的法向量 向量在平面的射影等概念 2 能用向量語言表述線線 線面 面面的垂直 平行關系 3 能用向量法證明有關線 面位置關系的一些定理 4 能用空間坐標系與向量方法解決夾角與距離的計算問題 體會向量法 在研究幾何問題的作用 要特別注意的是 在數(shù)學中 要引導學生運用類比的方法 經(jīng)歷向量及 其運算由平面向空間推廣的過程 并注意由于維數(shù)的增加給學生帶來的不利 影響 第三部分向量教學現(xiàn)狀反思 3 1 向量教學現(xiàn)狀調查 從2 0 0 1 年我省首次使用人民教育出版社發(fā)行的新版實驗教材至今己有五年 那么學生在高一平面向量 和高二空間向量的學習狀況如何 還存在些什么問 題 人教版立體幾何內容編排了a b 兩種版本 我們學校一直都用b 版 在使 用的過程中也有什么問題 我校是一所普通中學 學生主要來自于我市周邊農(nóng)村地區(qū)和本市個體私營企 業(yè)的子女 由于家庭 環(huán)境 教育多方面的原因 我校的學生基本狀況是 底子 差 基礎不牢固 我校的師資狀況 高中共有數(shù)學教師1 1 人 兩人是從本學校初 中部選拔的優(yōu)秀教師 9 人是從外校選拔調入的教師 高中部剛成立4 年時間 其中1 人沒有教過向量 其他教師有教過 遍或二遍的經(jīng)歷 筆者有1 5 年的教學 經(jīng)驗 并完整地帶過一輪 從高一到高三 新教材 今年又兼任高一 高二兩個 年級的教學 回顧筆者進行第一輪向量教學時的情景 跟現(xiàn)在大部分數(shù)學教師一 樣 由于對教材挖掘不夠 致使在進行課堂教學時 對教材的處理有些稀里糊涂 今年在進行第二遍向量教學時有很多感觸 但還是有不盡人意的地方 如 向量 的數(shù)量積這一節(jié) 一個課時的時間需要掌握向量夾角的定義 向量b 在a 上的投 影 向量的數(shù)量積的概念以及向量數(shù)量積的5 條性質和所滿足的運算律 還要進 行練習 一節(jié)課下來是匆匆茫茫甚至手忙腳亂 學生忙于應付 感覺稀里糊涂 高二開設的立體幾何中 用空間向量解決處理線面關系 從2 0 0 5 年江蘇省高 考考生答卷為例 三道立體幾何題 選擇 填空 解答題各一道 共2 4 分 但根 據(jù)統(tǒng)計 立體幾何大題的平均得分為5 7 2 分 得分率僅為4 1 說明學生在應用 空間向量解決立體幾何問題中還存在一些問題 為了了解學生對向量的學習情況 筆者在2 0 0 5 年1 月對本校高二學生發(fā)放問 卷2 0 0 份 回收1 8 7 通過問卷調查和訪談調研結果如下 問卷調查情況 表內數(shù)據(jù)是選a b c d 人數(shù)占總人數(shù)的百分比 精確到 1 2 0 1 學生向量學習情況問卷調查 題號 1234567891 01 1 選a6 8 6 8 35 6 4 8 2 9 84 5 87 7 13 9 66 4 68 32 9 2 人數(shù) 選b23 1 0 44 7 64 0 25 5 43 3 31 6 74 8 82 7 18 1 26 4 6 人數(shù) 選c2 1 6 6 74 6 81 1 63 4 81 6 76 31 1 6 4 24 1 4 2 人數(shù) 選d6 3 1 4 64 21 04 16 42 0 人數(shù) 3 2 存在的問題及原因 對調查結果的分析 1 教材并不是教師想象的那么容易 很多教師都認為向量內容安排思路清晰 簡單易學 可事實上并非如此 從 調查中發(fā)現(xiàn) 學生對向量的有關概念和定理的學習都感到較抽象或抽象 如認為 向量 線段的定比分點 向量的基本定理 向量的坐標表示 向量的數(shù)量積 向 量的投影 平移等比較抽象的學生分別占1 2 6 1 8 8 2 6 8 1 3 4 1 7 0 5 1 8 2 9 5 有4 0 2 的學生認為向量的學習偏抽象 有1 1 6 的學生認 為抽象 由此可見 向量的學習值得教師認真分析和處理 就從有利于學生學習 這一角度講 教師應充分了解學生的實際 因材旌教 2 運用向量工具解題的意識不強 高二教學中有很多內容可以利用向量知識簡便求解 高三教學中更應看到向 量的工具性作用 從多角度處理問題 不僅能提高學生的解題的能力 更有利于 學生思維的發(fā)展 從調查中看出 絕大多數(shù)同學都認為學習向量是有用的 但在 第3 題選擇時卻有4 7 6 的同學只是 偶爾 用到向量的方法 還有5 6 的同學 幾乎就沒有 用向量解題 在回答第8 題時 只有1 1 6 的學生選擇c 這足 以說明學生在學習時 只是用向量解題 而沒有使用向量的意識 3 學習向量的方法有待改進 調查顯示 有3 9 6 的同學是以 背概念 記公式 再練習 的學習方式學 習向量 而能自覺把向量與生活相結合 并處理有關問題的只占8 9 回答 您 是否讀過關于向量的兩篇閱讀材料 時更是讓人吃驚 竟有7 4 1 選a 在對待 實習作業(yè) 的態(tài)度上回答 沒有用處 也沒有做過 的同學占5 0 o 在看待研 究性學習課題上 有4 7 3 的同學回答 老師沒有上過 也無關緊要 可以看出 很多學生是采用死記硬背 機械記憶的學習方式學習 所以他們感到向量的學習 是平淡 占3 7 5 或枯燥的 占5 3 6 同時 學數(shù)學就是為了升學考試 這 一思想長期影響著數(shù)學教育 要考的就學 不考的就不學 很多學生忽視對所學 知識的進一步拓寬 不能自覺地把知識與實際相結合 這將嚴重影響學生實踐能 力和創(chuàng)新精神的培養(yǎng) 3 2 1 用向量方法解決立體幾何問題的調查分析 采取調查測試卷和訪談相結合的方法 2 0 0 5 年5 月讓高二學生在規(guī)定的時間 內完成筆者所設計的調查測試卷 見附錄2 共發(fā)放樣卷2 0 0 份 全部回收 發(fā) 放樣卷調查結果與分析如下 1 基本作圖能力薄弱 在調查中發(fā)現(xiàn) 學習空間向量較傳統(tǒng)綜合幾何容易 如問卷中的第1 題 4 0 7 的學生選a 4 1 2 的學生選b 墻 1 的學生選c 由于學生在高一已學習了 平面向量 稍加推廣就得到了空閫運算體系 所以學生學習起來感覺不太抽象 但是還發(fā)現(xiàn)不少學生隨手畫圖 不用直尺 有的學生畫出來的圖形線條不簡潔 虛實線不分 缺乏立體感 而把平面畫成三角形或不規(guī)則四邊形 把表示平面的 字母標錯位置的也大有人在 此外 學生的認知結構中沒有儲存足夠的基本立體 幾何模型 從而想不到借助基本圖形來判斷復雜的位置關系 如第2 題 只有9 名同學想到借助正方形 以正方形的棱和面來代表題中的有關元素 2 數(shù)學語言轉換能力不強 立體幾何要求學生能借助圖形來反映用文字語言或符號語言所表達的空間圖 形或位置關系 即從語言或式子中提取關鍵信息 在頭腦中形成空間圖形的 表 象 再畫出其直觀圖 就是說先想圖 后畫圖 這里進行了兩次轉化 一是文字 語言或符號語言轉化為圖形語言 二是空間向平面的轉化 而大部分學生是在轉 化的過程中出現(xiàn)問題 如第2 題中 命題的反例圖形有1 3 8 人做錯 3 識圖 用圖及計算能力欠缺 學好立體幾何要求學生具有熟練的識圖用圖能力 即從復雜的圖形中區(qū)分出 基本圖形 并通過對基本圖形的分析 識別出基本元素之間的基本關系 學生往 往對圖形仔細觀察不夠 推理分析不深 不能克服由空間到平面所產(chǎn)生的錯覺 1 4 從而不能正確認識各元素的空間位置和圖形的空間結構 如第4 題 不少學生無 法識別出連結正方體六條棱中點 可以構造出與直線a 垂直的正六邊形 只須判 斷p m n 是否是它的頂點即可 本題只有3 6 人全對 僅選 3 的有1 17 人 選 1 的有5 4 人 選 4 的有2 4 人 用向量解決立體幾何問題需要合理地分析空間 圖形的位置關系和數(shù)量關系 恰當?shù)亟⒖臻g直角坐標系 選擇合理的基本向量 準確表示出相關向量才能有效解決問題 而第3 題有7 的學生試圖用定義作出 所求二面角的平面角 但是沒有成功 4 4 的學生用法向量做對了 但是其他學 生用向量方法在解決問題時 由于計算和對法向量方法解決問題掌握得不好 導 致失敗 3 2 4 立體幾何 a 本與 b 本的比較 在新教材的各部分內容只有第九章的內容是按不同的要求寫的 筆者仔細研 究了教學大綱和教材關于這兩部分的全部文字 發(fā)現(xiàn)他們之間在內容 結構 要 求都有許多不同 1 教學內容的差異 b 本比 a 本增加了空間向量及其運算 空間向量的坐標運算教學內容 a 本中的定理證明 例題的處理是采用演繹推理的方法進行的 b 本中的定 理證明 例題的處理是采用空間向量運算方法進行的 2 相同內容結構的差異 應該說這兩種版本的大部分內容是相同的 只不過有些內容在教材中的位置 不同 由此產(chǎn)生的知識結構不同 首先是劃分單元的不同 a 本劃分為兩個單 元 即 空問直線和平面 與 簡單幾何體 由于 b 增加了 空間向量 這個 單元 于是將 夾角和距離 從直線和平面的位置關系中分離出來 建立了一個 新的單元 所以 b 劃分為四個單元 即 空間直線和平面 空間向量 夾 角和距離 簡單多面體和球 3 展開主線的差異 a 本以圖形位置關系為主線展開 教材在給出平面的概念與畫法以后 依 次研究空間兩條直線的位置關系 直線和平面的位置關系 從位置關系的角度揭 示了圖形的性質 b 本以圖形的性質為主線展開 教材在研究完平面的基本性 質以后 以平行公理為基礎 依次討論直線和直線的平行 直線和平面的平行 平面和平面的平行 然后通過異面直線及其夾角 垂直的研究 由空間的平行 垂直性質轉化討論直線與平面垂直的性質 深刻揭示空間圖形的性質及性質之間 的內在聯(lián)系 4 對學生能力要求的差異 c a 本主要使用有關的定義 定理 感受 法則來研究立體圖形的性質 重 點培養(yǎng)學生的空間想象能力 邏輯推理能力 綜合推理能力以及表述能力 b 本雖然也訓練學生的空間想象能力 但更多的是著眼于幾何與代數(shù)的融合 重點 培養(yǎng)學生使用向量代數(shù)方法解決立體幾何問題 從而培養(yǎng)學生數(shù)形結合的能力 具體分析如下 平面性質部分 a 本與b 本都是3 個課時 能力要求一致 但是b 本在這一節(jié) 中安排有水平放置的空間圖形的直觀圖的畫法 而a 本把這部分內容放在 9 7 4 棱柱的第四課時才講 筆者認為b 本的編排更為合理 因為立體幾何中的畫圖至 關重要 正確的畫圖 對理解空間圖形的問題很有幫助 圖畫得好 能把各線 面的關系表達得很清晰 有利于學生正確想象 判斷 反之 圖畫得不好 有些 位置關系不能一目了然 b 本在第一章的第3 課時就介紹了斜二測畫法更有利于 培養(yǎng)學生的圖形觀 重視圖形的畫法 有利于培養(yǎng)學生的空間想象能力 由于a 本和b 本的總課時量 3 9 課時 一樣 而且b 本還增加了9 課時的向 量及運算 b 本要包含a 本的全部內容 顯然在教學時要減弱綜合推理的訓練 對學生空間想象能力的培養(yǎng)訓練的例題習題也必然減少 空間的平行直線與異面直線部分 a 本的能力要求是 了解空間兩直線的位置 關系 理解異面直線的概念 培養(yǎng)學生的空間想象能力 理解并掌握公理4 了 解并掌握等角定理及推論 通過對等角定理證明思路的分析 引導學生運用轉化 思想化陌生為熟悉 盡可能地化立體幾何問題為平面問題 這對于培養(yǎng)學生分析 問題和空間想象能力有很重要的意義 這一部分用5 課時的時間通過訓練 培養(yǎng) 學生的識圖 繪圖能力 鞏固異面直線的概念 由于