站隊(duì)問題.doc

站隊(duì)問題例：現(xiàn)有7名學(xué)生按照下列條件站隊(duì)，問各有不同的站法多少種？條件1：全部站成一列；【解析】條件1屬于全排列問題，無任何條件限制，故總的站法有：種。條件2：站成兩列，前排3名學(xué)生，后排4名學(xué)生；【解析】常規(guī)方法：先站好前排3名學(xué)生，故從7名學(xué)生中選3名，共有種站法，然后再將剩下4名學(xué)生安排在后排，共有種站法，故共有：種站法。 條件3：學(xué)生甲必須站中間；【解析】（特殊元素優(yōu)先考慮）此問題分為兩步：第一步先安排甲站在正中間，1種站法；第二步安排無條件限制的其他6名學(xué)生站剩下的六個(gè)位置，有種站法。故共有種站法?！狙a(bǔ)充】本條件中的“中間”是指正中間的一個(gè)位置，如果理解為除了旁邊兩個(gè)位置外,中間的其余5個(gè)位置，則總的站法有：種。條件4：學(xué)生甲和乙站兩端；【解析】此時(shí)需要優(yōu)先考慮的元素有兩個(gè)，故第一步先將甲、乙安排在兩端的兩個(gè)位置，共有種站法，第二步安排無條件限制的其他5名學(xué)生站剩下的五個(gè)位置，有種站法。故共有：=240種站法。條件5：學(xué)生甲和乙不能站兩端；【解析】此條件是在條件4的基礎(chǔ)上改進(jìn)的，此時(shí)需要優(yōu)先考慮的元素仍有兩個(gè)，故第一步先將甲、乙安排在除兩端外的五個(gè)位置，共有種站法，第二步安排無條件限制的其他5名學(xué)生站剩下的五個(gè)位置，有種站法。故共有：=2400種站法。條件6：學(xué)生甲和乙至少有一人站兩端；（排除法）：7人站隊(duì)總的站法為種。其中甲和乙都不站兩端的站法為：種。故甲和乙至少一人站兩端的站法為：=2640種。條件7：學(xué)生甲和乙必須相鄰；【解析】本題屬于相鄰問題，故采用捆綁法。先將甲和乙捆綁在一起，然后將他們看成一個(gè)人與剩下的5個(gè)人進(jìn)行全排列，這樣可以保證甲和乙始終在一起，而二者又有先后順序，故捆法有種，總的站法有：=1440種。條件8：學(xué)生甲和乙不能相鄰；【解析】本題屬于間隔問題，故采用插空法。先將剩下的5個(gè)人進(jìn)行全排列，然后將甲和乙插入5個(gè)人所形成的6個(gè)空，這樣可以保證甲和乙始終不相鄰，總的站法有：=3600種。條件9：學(xué)生甲和乙之間有1人相隔；【解析】本題屬于相鄰問題與間隔問題的綜合應(yīng)用，可以分三步來解決此問題，第一步先將甲和乙捆綁，共有種站法，第二步從余下5人中選一人插入甲和乙之間，只有種站法，第三步將有一人相隔的甲和乙這個(gè)組合看成一個(gè)人與剩下的4人進(jìn)行全排列，共有種站法，故總共的站法為：種。條件10：學(xué)生甲在乙的左邊；【解析】不妨從整體來認(rèn)識(shí)這道題，當(dāng)甲和乙參與排隊(duì)時(shí)，甲如果不在乙的左邊就會(huì)在乙的右邊，而且在左或在右機(jī)會(huì)均等，故甲在乙左邊的站法占總共站法的一半，共有種。條件11：其中的4個(gè)女生要互不相鄰；【解析】本題的條件發(fā)生變化，特殊元素由兩個(gè)變成四個(gè)，但仍然屬于間隔問題，采用插空法：先將3個(gè)男生排隊(duì)，共有種站法，然后將4個(gè)女生插入6個(gè)空隙中，共有種站法，故總共有：種站法。條件12：其中的4個(gè)女生只能有2人相鄰；【解析】本題又是屬于相鄰問題與間隔問題的綜合應(yīng)用，先從4個(gè)女生中選2人捆綁，站法共有種，然后將3名男生全排的站法為種，最后將捆綁的兩女生和另兩個(gè)女生當(dāng)成3個(gè)人插入3個(gè)男生形成的4個(gè)空位，有種站法，所以最后又種站法。條件13：其中的4個(gè)女生至少有2人相鄰；【解析】本題屬于解決“至少”問題，故可以用排除法，“4個(gè)女生至少有2人相鄰”的反面是“4個(gè)女生都不相鄰”，故總的站法為：種。條件14：其中的4個(gè)女生，3個(gè)男生也相鄰； 【解析】本題實(shí)際上是應(yīng)用兩次捆綁法后在排序，先將男生和女生各自捆綁，共有種站法，然后再視其為一個(gè)男生和一個(gè)女生排隊(duì)，有種站法，故共有種站法。條件15：其中的4個(gè)女生的順序唯一；【解析】本題屬于定序問題，通常用除法，所以總共有種站法。另外，可以這樣理解：有7個(gè)空位，先將3個(gè)男生任意安排在其中3個(gè)位置，共有種站法。條件16：現(xiàn)有3名老師要站入7名學(xué)生已經(jīng)站好的隊(duì)伍中；【解析】本題屬于逐步插空問題，首先將第一名老師插入7名學(xué)生形