（試題 試卷 真題）全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案（2003年）

2003年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽決賽試題一、選擇題（每小題7分，共42分）1、2。A54 B41C5D12、在凸10邊形的所有內(nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)最多是個(gè)。A0B1C3D53、若函數(shù)ykx(k0)與函數(shù)yx1的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，AB垂直x軸于B，則ABC的面積為。A1B2Ck Dk24、滿足等式x2003的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是。A1B2C3D45、設(shè)ABC的面積為1，D是邊AB上一點(diǎn)，且ADAB13。若在邊AC上取一點(diǎn)E，使四邊形DECB的面積為，則的值為。A B C D6、如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓交AD于E，且與CD相切，若AB4，BE5，則ED的長(zhǎng)為。A3B4C D二、填空題（每小題7分，共28分）1、 拋物線yaxbxc與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C。若ABC是直角三角形，則ac。2、 設(shè)m是整數(shù)，且方程3x2mx2=0的兩根都大于而小于，則m=_。3、 如圖，AA1、BB1分別是EAB、DBC的平分線，若AA1BB1AB，則BAC的度數(shù)為。4、 已知正整數(shù)a、b之差為120，它們的最小公倍數(shù)是其最大公約數(shù)的105倍，那么a、b中較大的數(shù)是。三、（本題滿分20分）在ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)CA、CB到點(diǎn)E、F，使DEDF；過(guò)E，F(xiàn)分別作CA、CB的垂線，相交于P，設(shè)線段PA、PB的中點(diǎn)分別為M、N。求證：DEMDFN；PAEPBF。四、（本題滿分20分）已知實(shí)數(shù)a、b、c、d互不相等，且abcd+x，試求x的值。五、已知：四邊形ABCD的面積為32，AB、CD、AC的長(zhǎng)都是整數(shù)，且它們的和為16。這樣的四邊形有幾個(gè)？求這樣的四邊形邊長(zhǎng)的平方和的最小值。試題說(shuō)明：這是2004年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題(決賽)試題，今天把它錄入進(jìn)電腦，希望能夠給假期需要研究的老師和學(xué)生們提供方便。還將陸續(xù)上傳我自己錄入電腦的前幾年的聯(lián)賽試題，請(qǐng)關(guān)注。2003年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽答案：第一試一、1、(D)；2、(C)；由于任何凸多邊形的外角之和都是360，故外角中鈍角的個(gè)數(shù)不超過(guò)3個(gè)，即內(nèi)角中銳角最多不超過(guò)3個(gè)。3、(A)；設(shè)A()，則，故。又因?yàn)锳BO與CBO同底等高，因此，4、(B)；由已知等式可得而，所以，。故又因?yàn)?003為質(zhì)數(shù)，必有或5、(B)；如圖3，連結(jié)BE，設(shè)，則。故6、(D)；如圖4，連結(jié)AC、CE。由AEBC，知四邊形ABCE是等腰梯形。故ACBE5。又因?yàn)镈cAB，DC與圓相切，所以，BACACDABC。則ACBCAD5，DCAB4因?yàn)?，故二?、1；設(shè)A。由ABC是直角三角形可知必異號(hào)。則由射影定理知，即；故2、4；由題設(shè)可知，解得。故3、12；設(shè)BAC的度數(shù)為因，故又，則CBD。因?yàn)楣?，解?、225；設(shè)()，且，其中，與互質(zhì)。于是的最小公倍數(shù)為。依題意有，即又，據(jù)式(2)可得根據(jù)式(1)，只能取，可求得故兩個(gè)數(shù)中較大的數(shù)是。第二試A卷一、解：設(shè)前后兩個(gè)二位數(shù)分別為，有；即當(dāng)即，則時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解由于必為完全平方數(shù)，而完全平方數(shù)的未位數(shù)字僅可能為0，1，4，5，6，9，故僅可取25；此時(shí)，或故所求四位數(shù)為2025或3025二、(1)如圖，據(jù)題設(shè)可知，DMBN，DMBN，DNAM，DNAM故AMDBND因?yàn)镸、N分別是RtAEP和RtBFP斜邊的中點(diǎn)，所以，EMAMDN，F(xiàn)NBNDM又已知DEDF，故DEMFDN(2)由上述三角形全等可知EMDFND，則AMEBNF而AME、BNF均為等腰三角形，所以，PAEPBF三、解：由已知有 ； ； ； 由式解出 式代入式得 將式代入得即 由式得，代入式得由已知，故若，則由式可得，矛盾。故有B卷一、同(A卷)第一題的解答。二、如圖，分別取AP、BP的中點(diǎn)M、N。連結(jié)EM、DM、FN、DN。由D是AB的中點(diǎn)，則DMBN，DMBN，DNAM，DNAM。故AMDBND。又因?yàn)镸、N分別是RtAEP、RtBFP斜邊的中點(diǎn)，所以，EMAMDN，F(xiàn)NBNDM。因?yàn)镈EDF，則DEMFDN故EMDFND，從而，AMEBNF而AME、BNF均為等腰三角形，故PAEPBF三、(1)如圖，記ABa，CDb，AC，并設(shè)ABC的邊AB上的高為，ADC的邊DC上的高為。則僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。即在四邊形ABCD中，當(dāng)ACAB，ACCD時(shí)等號(hào)成立。由已知可得又由題設(shè)，可得于是，且這時(shí)ACAB，ACCD因此，這樣的四邊形有如下4下：，它們都是以AC為高的梯形或平行四邊形。(2)