【步步高】高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 雙曲線學(xué)案 理 新人教A版 .doc

學(xué)案52雙曲線導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.理解數(shù)形結(jié)合的思想自主梳理1雙曲線的概念平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)p與兩個(gè)定點(diǎn)f1、f2(|f1f2|2c0)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a(2a0，c0；(1)當(dāng)_時(shí)，p點(diǎn)的軌跡是_；(2)當(dāng)_時(shí)，p點(diǎn)的軌跡是_；(3)當(dāng)_時(shí)，p點(diǎn)不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yrxr，ya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：a1(a,0)，a2(a,0)頂點(diǎn)坐標(biāo)：a1(0，a)，a2(0，a)漸近線yxyx離心率e，e(1，)，其中c實(shí)虛軸線段a1a2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|a1a2|2a；線段b1b2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|b1b2|2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a、b、c的關(guān)系c2a2b2 (ca0，cb0)3.實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線為_，其漸近線方程為_，離心率為_自我檢測(cè)1(2011安徽)雙曲線2x2y28的實(shí)軸長(zhǎng)是()a2 b2c4 d42已知雙曲線1 (b0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，其中一條漸近線方程為yx，點(diǎn)p(，y0)在該雙曲線上，則等于()a12 b2c0 d43(2011課標(biāo)全國(guó))設(shè)直線l過雙曲線c的一個(gè)焦點(diǎn)，且與c的一條對(duì)稱軸垂直，l與c交于a，b兩點(diǎn)，|ab|為c的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則c的離心率為()a. b.c2 d34(2011武漢調(diào)研)已知點(diǎn)(m，n)在雙曲線8x23y224上，則2m4的范圍是_5已知a(1,4)，f是雙曲線1的左焦點(diǎn)，p是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，求|pf|pa|的最小值探究點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用例1已知定點(diǎn)a(0,7)，b(0，7)，c(12,2)，以c為一個(gè)焦點(diǎn)作過a，b的橢圓，求另一焦點(diǎn)f的軌跡方程變式遷移1已知?jiǎng)訄Am與圓c1：(x4)2y22外切，與圓c2：(x4)2y22內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心m的軌跡方程探究點(diǎn)二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2已知雙曲線的一條漸近線方程是x2y0，且過點(diǎn)p(4,3)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程變式遷移2(2011安慶模擬)已知雙曲線與橢圓1的焦點(diǎn)相同，且它們的離心率之和等于，則雙曲線的方程為_探究點(diǎn)三雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用例3已知雙曲線的方程是16x29y2144.(1)求此雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；(2)設(shè)f1和f2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在雙曲線上，且|pf1|pf2|32，求f1pf2的大小變式遷移3已知雙曲線c：y21.(1)求雙曲線c的漸近線方程；(2)已知m點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，設(shè)p是雙曲線c上的點(diǎn)，q是點(diǎn)p關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)記，求的取值范圍方程思想的應(yīng)用例(12分)過雙曲線1的右焦點(diǎn)f2且傾斜角為30的直線交雙曲線于a、b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，f1為左焦點(diǎn)(1)求|ab|；(2)求aob的面積；(3)求證：|af2|bf2|af1|bf1|.多角度審題(1)要求弦長(zhǎng)|ab|需要a、b兩點(diǎn)坐標(biāo)或設(shè)而不求利用弦長(zhǎng)公式，這就需要先求直線ab；(2)在(1)的基礎(chǔ)上只要求點(diǎn)到直線的距離；(3)要充分聯(lián)想到a、b兩點(diǎn)在雙曲線上這個(gè)條件【答題模板】(1)解由雙曲線的方程得a，b，c3，f1(3,0)，f2(3,0)直線ab的方程為y(x3)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，由，得5x26x270.2分x1x2，x1x2，|ab|x1x2|.4分(2)解直線ab的方程變形為x3y30.原點(diǎn)o到直線ab的距離為d.6分saob|ab|d.8分(3)證明如圖，由雙曲線的定義得|af2|af1|2，|bf1|bf2|2，10分|af2|af1|bf1|bf2|，即|af2|bf2|af1|bf1|.12分【突破思維障礙】寫出直線方程，聯(lián)立直線方程、雙曲線方程，消元得關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式求|ab|，再求點(diǎn)o到直線ab的距離從而求面積，最后利用雙曲線的定義求證等式成立【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】在直線和雙曲線相交的情況下解題時(shí)易忽視消元后的一元二次方程的判別式0，而導(dǎo)致錯(cuò)解1區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中a，b，c的大小關(guān)系，在橢圓中a2b2c2，而在雙曲線中c2a2b2；雙曲線的離心率大于1，而橢圓的離心率e(0,1)2雙曲線1 (a0，b0)的漸近線方程是yx，1 (a0，b0)的漸近線方程是yx.3雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法：(1)定義法，根據(jù)題目的條件，判斷是否滿足雙曲線的定義，若滿足，求出相應(yīng)的a、b、c，即可求得方程(2)待定系數(shù)法，其步驟是：定位：確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上；設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線方程；定值：根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù)(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1已知m(2,0)、n(2,0)，|pm|pn|3，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是()a雙曲線 b雙曲線左邊一支c雙曲線右邊一支 d一條射線2設(shè)點(diǎn)p在雙曲線1上，若f1、f2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且|pf1|pf2|13，則f1pf2的周長(zhǎng)等于()a22 b16 c14 d123(2011寧波高三調(diào)研)過雙曲線1 (a0，b0)的右焦點(diǎn)f作圓x2y2a2的切線fm(切點(diǎn)為m)，交y軸于點(diǎn)p.若m為線段fp的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為()a. b. c2 d.4雙曲線1的左焦點(diǎn)為f1，左、右頂點(diǎn)分別為a1、a2，p是雙曲線右支上的一點(diǎn)，則分別以pf1和a1a2為直徑的兩圓的位置關(guān)系是()a相交 b相離 c相切 d內(nèi)含5(2011山東)已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線均和圓c：x2y26x50相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓c的圓心，則該雙曲線的方程為()a.1 b.1c.1 d.1二、填空題(每小題4分，共12分)6(2011上海)設(shè)m是常數(shù)，若點(diǎn)f(0,5)是雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)，則m_.7設(shè)圓過雙曲線1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心在此雙曲線上，則此圓心到雙曲線中心的距離為_8(2011銅陵期末)已知以雙曲線c的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60，則雙曲線c的離心率為_三、解答題(共38分)9(12分)根據(jù)下列條件，求雙曲線方程：(1)與雙曲線1有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)(3，2)；(2)與雙曲線1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3，2)10(12分)(2011廣東)設(shè)圓c與兩圓(x)2y24，(x)2y24中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切(1)求圓c的圓心軌跡l的方程；(2)已知點(diǎn)m(，)，f(，0)，且p為l上動(dòng)點(diǎn)，求|mp|fp|的最大值及此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)11(14分)(2010四川)已知定點(diǎn)a(1,0)，f(2,0)，定直線l：x，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)p與點(diǎn)f的距離是它到直線l的距離的2倍設(shè)點(diǎn)p的軌跡為e，過點(diǎn)f的直線交e于b、c兩點(diǎn)，直線ab、ac分別交l于點(diǎn)m、n.(1)求e的方程；(2)試判斷以線段mn為直徑的圓是否過點(diǎn)f，并說明理由學(xué)案52雙曲線自主梳理1雙曲線焦點(diǎn)焦距(1)ac3.等軸雙曲線yxe自我檢測(cè)1c2x2y28，1，a2，2a4.2c3b設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，由于直線l過雙曲線的焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直，因此直線l的方程為l：xc或xc，代入1得y2b2(1)，y，故|ab|，依題意4a，2，e212，e.4(，4242，)5解設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為f1，則由雙曲線的定義可知|pf|2a|pf1|4|pf1|，|pf|pa|4|pf1|pa|.當(dāng)滿足|pf1|pa|最小時(shí)，|pf|pa|最小由雙曲線的圖象可知當(dāng)點(diǎn)a、p、f1共線時(shí)，滿足|pf1|pa|最小，易求得最小值為|af1|5，故所求最小值為9.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引求曲線的軌跡方程時(shí)，應(yīng)盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線類型，從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程，這樣可以減少運(yùn)算量，提高解題速度與質(zhì)量在運(yùn)用雙曲線的定義時(shí)，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對(duì)值”，弄清所求軌跡是整條雙曲線，還是雙曲線的一支，若是一支，是哪一支，以確保軌跡的純粹性和完備性解設(shè)f(x，y)為軌跡上的任意一點(diǎn)，因?yàn)閍，b兩點(diǎn)在以c，f為焦點(diǎn)的橢圓上，所以|fa|ca|2a，|fb|cb|2a(其中a表示橢圓的長(zhǎng)半軸)所以|fa|ca|fb|cb|.所以|fa|fb|cb|ca|2.所以|fa|fb|2.由雙曲線的定義知，f點(diǎn)在以a，b為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的下半支上所以點(diǎn)f的軌跡方程是y21 (y1)變式遷移1解設(shè)動(dòng)圓m的半徑為r，則由已知得，|mc1|r，|mc2|r，|mc1|mc2|2，又c1(4,0)，c2(4,0)，|c1c2|8.20時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上解方法一雙曲線的一條漸近線方程為x2y0，當(dāng)x4時(shí)，y20，b0)，且c4，所以ac2，a24，b2c2a212，于是雙曲線的方程為1.例3解題導(dǎo)引雙曲線問題與橢圓問題類似，因而研究方法也有許多相似之處，如利用“定義”“方程觀點(diǎn)”“直接法或待定系數(shù)法求曲線方程”“數(shù)形結(jié)合”等解(1)由16x29y2144，得1，a3，b4，c5.焦點(diǎn)坐標(biāo)f1(5,0)，f2(5,0)，離心率e，漸近線方程為yx.(2)|pf1|pf2|6，cosf1pf20，f1pf290.變式遷移3解(1)因?yàn)閍，b1，且焦點(diǎn)在x軸上，所以漸近線方程為yx0，yx0.(2)設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則q的坐標(biāo)為(x0，y0)，(x0，y01)(x0，y01)xy1x2.|x0|，的取值范圍是(，1課后練習(xí)區(qū)1c2.a3.a4.c5a雙曲線1的漸近線方程為yx，圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y24，圓心為c(3,0)又漸近線方程與圓c相切，即直線bxay0與圓c相切，2，5b24a2.又1的右焦點(diǎn)f2(，0)為圓心c(3,0)，a2b29.由得a25，b24.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.616解析由已知條件有52m9，所以m16.7.8.9解(1)方法一由題意可知所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，(2分)設(shè)雙曲線的方程為1，由題意，得解得a2，b24.(4分)所以雙曲線的方程為x21.(6分)方法二設(shè)所求雙曲線方程 (0)，(2分)將點(diǎn)(3,2)代入得，(4分)所以雙曲線方程為，即x21.(6分)(2)設(shè)雙曲線方程為1.由題意c2.(8分)又雙曲線過點(diǎn)(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.(10分)故所求雙曲線的方程為1.(12分)10解(1)設(shè)圓c的圓心坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r.圓(x)2y24的圓心為f1(，0)，半徑為2，圓(x)2y24的圓心為f(，0)，半徑為2.由題意得或|cf1|cf|4.(4分)|f1f|24.圓c的圓心軌跡是以f1(，0)，f(，0)為焦點(diǎn)的雙曲線，其方程為y21.(6分)(2)由圖知，|mp|fp|mf|，當(dāng)m，p，f三點(diǎn)共線，且點(diǎn)p在mf延長(zhǎng)線上時(shí)，|mp|fp|取得最大值|mf|，(8分)且|mf|2.(9分)直線mf的方程為y2x2，與雙曲線方程聯(lián)立得整理得15x232x840.解得x1(舍去)，x2.此時(shí)y.(11分)當(dāng)|mp|fp|取得最大值2時(shí)，點(diǎn)p的坐標(biāo)為(，)(12分)11解(1)設(shè)p(x，y)，則2，化簡(jiǎn)得x21(y0)(5分)(2)當(dāng)直線bc與x軸不垂直時(shí)，設(shè)bc的方程為yk(x2) (k0)，與雙曲線方