高三數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 第九節(jié) 直線與圓錐曲線的位置關系課件 理.pptVIP

理數(shù)課標版 第九節(jié)直線與圓錐曲線的位置關系 1 直線與圓錐曲線的位置關系的判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立 消去一個變量得到關于x 或y 的一元方程 ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 1 當a 0時 可考慮一元二次方程的判別式 有 i 0 直線與圓錐曲線 相交 ii 0 直線與圓錐曲線 相切 iii 0 直線與圓錐曲線 相離 教材研讀 2 當a 0 b 0時 得到一個一元一次方程 則直線與圓錐曲線相交 且只有一個交點 i 若圓錐曲線為雙曲線 則直線與雙曲線的漸近線的位置關系是 平行 ii 若圓錐曲線為拋物線 則直線與拋物線的對稱軸的位置關系是 平行或 重合 2 圓錐曲線的弦長設斜率為k k 0 的直線l與圓錐曲線c相交于a b兩點 a x1 y1 b x2 y2 則 ab x2 x1 y2 y1 1 直線y kx k 1與橢圓 1的位置關系為 a 相交b 相切c 相離d 不確定答案a由于直線y kx k 1 k x 1 1過定點 1 1 又 1 1 在橢圓內(nèi) 故直線與橢圓相交 2 直線y x 3與雙曲線 1 a 0 b 0 的交點個數(shù)是 a 1b 2c 1或2d 0答案a因為直線y x 3與雙曲線的漸近線y x平行 所以它與雙曲線只有1個交點 3 橢圓ax2 by2 1與直線y 1 x交于a b兩點 過原點與線段ab中點的直線的斜率為 則的值為 a b c d 答案a設a x1 y1 b x2 y2 ab的中點為m x0 y0 結合題意 由點差法得 1 4 已知橢圓c 1 a b 0 f 0 為其右焦點 過點f且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2 則橢圓c的方程為 答案 1解析由題意得解得所以橢圓c的方程為 1 5 過拋物線y2 8x的焦點f作傾斜角為135 的直線 交拋物線于a b兩點 則弦ab的長為 答案16 解析設a x1 y1 b x2 y2 因為拋物線y2 8x的焦點為f 2 0 直線ab的傾斜角為135 故直線ab的方程為y x 2 代入拋物線方程y2 8x 得x2 12x 4 0 則x1 x2 12 x1x2 4 則 ab x1 x2 4 12 4 16 考點一直線與圓錐曲線的位置關系典例1 2016課標全國 20 12分 在直角坐標系xoy中 直線l y t t 0 交y軸于點m 交拋物線c y2 2px p 0 于點p m關于點p的對稱點為n 連接on并延長交c于點h 1 求 2 除h以外 直線mh與c是否有其他公共點 說明理由 解析 1 由已知得m 0 t p 1分 又n為m關于點p的對稱點 故n on的方程為y x 代入y2 2px整理得px2 2t2x 0 解得x1 0 x2 考點突破 因此h 4分 所以n為oh的中點 即 2 6分 2 直線mh與c除h以外沒有其他公共點 7分 理由如下 直線mh的方程為y t x 即x y t 9分 代入y2 2px得y2 4ty 4t2 0 解得y1 y2 2t 即直線mh與c只有一個公共點 所以除h以外直線mh與c沒有其他公共點 12分 方法技巧直線與圓錐曲線位置關系問題的求解策略 1 直線與圓錐曲線相交或相離時 可直接聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程 結合消元后的一元二次方程求解 2 直線與圓錐曲線相切時 尤其是拋物線與雙曲線 要數(shù)形結合求解 1 1在平面直角坐標系xoy中 已知橢圓c1 1 a b 0 的左焦點為f1 1 0 且點p 0 1 在c1上 1 求橢圓c1的方程 2 設直線l同時與橢圓c1和拋物線c2 y2 4x相切 求直線l的方程 解析 1 由題意得a2 b2 1 b 1 則a 橢圓c1的方程為 y2 1 2 易得直線l的斜率存在且不為零 則可設l的方程為y kx m k 0 由消去y 整理得 1 2k2 x2 4kmx 2m2 2 0 1 16k2m2 8 m2 1 2k2 1 16k2 8 8m2 0 即m2 2k2 1 由消去y 整理得k2x2 2km 4 x m2 0 2 2km 4 2 4k2m2 16 16km 0 即km 1 由 得m 代入 得 2k2 1 即2k4 k2 1 0 令t k2 則2t2 t 1 0 解得t1 t2 1 舍 或 直線l的方程為y x 或y x 考點二弦長問題典例2已知橢圓c 1 a b 0 的一個頂點為a 2 0 離心率為 直線y k x 1 與橢圓c交于不同的兩點m n 1 求橢圓c的方程 2 當 amn的面積為時 求k的值 解析 1 由題意得解得 所以橢圓c的方程為 1 2 由得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 4 0 4k2 2 4 1 2k2 2k2 4 24k2 16 0 設點m n的坐標分別為 x1 y1 x2 y2 則y1 k x1 1 y2 k x2 1 x1 x2 x1x2 所以 mn 又因為點a 2 0 到直線y k x 1 的距離d 所以 amn的面積s mn d 由 解得k 1 方法技巧弦長的計算方法與技巧求弦長時可利用弦長公式 根據(jù)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程 利用根與系數(shù)的關系得到兩根之和 兩根之積的代數(shù)式 然后整體代入弦長公式求解 注意兩種特殊情況 1 直線與圓錐曲線的對稱軸平行或垂直 2 直線過圓錐曲線的焦點 2 1設f1 f2分別是橢圓e x2 1 0 b 1 的左 右焦點 過f1的直線l與e相交于a b兩點 且 af2 ab bf2 成等差數(shù)列 1 求 ab 2 若直線l的斜率為1 求b的值 解析 1 由橢圓定義知 af2 ab bf2 4 又2 ab af2 bf2 所以 ab 2 l的方程為y x c 其中c 設a x1 y1 b x2 y2 則a b兩點坐標滿足方程組 化簡得 1 b2 x2 2cx 1 2b2 0 則x1 x2 x1x2 因為直線ab的斜率為1 所以 ab x2 x1 即 x2 x1 則 x1 x2 2 4x1x2 因為0 b 1 所以b 考點三中點弦問題典例3 1 在橢圓 1內(nèi) 通過點m 1 1 且被這點平分的弦所在的直線方程為 a x 4y 5 0b x 4y 5 0c 4x y 5 0d 4x y 5 0 2 若橢圓的中心在原點 一個焦點為 0 2 直線y 3x 7與橢圓相交所得弦的中點的縱坐標為1 則這個橢圓的方程為 a 1b 1c 1d 1 答案 1 a 2 d解析 1 設直線與橢圓的交點為a x1 y1 b x2 y2 則由 得 0 因為所以 所以所求直線方程為y 1 x 1 即x 4y 5 0 2 因為橢圓的中心在原點 一個焦點為 0 2 則a2 b2 4 所以可設橢圓方程為 1 聯(lián)立 得 10b2 4 y2 14 b2 4 y 9b4 13b2 196 0 設直線y 3x 7與橢圓相交所得弦的端點的坐標為 x1 y1 x2 y2 由一元二次方程根與系數(shù)的關系及題意得y1 y2 2 解得b2 8 所以a2 12 則橢圓的方程為 1 方法技巧處理中點弦問題的常用方法 1 點差法 即設出弦的兩端點坐標后 代入圓錐曲線方程 并將兩式相減 式中含有x1 x2 y1 y2 三個未知量 這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率 借用中點公式即可求得斜率 2 根與系數(shù)的關系 即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程 將其轉化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關系求解 3 1拋物線c的頂點為原