勾股定理的探索 (3).doc

：從形與數兩方面加深對勾股定理內容的認識，應用定理分析解決問題；了解空間的直角問題。教學目標能力目標：能正確使用勾股定理求解直角三角形中的未知邊，會通過觀察分析應用知識解決問題。體會數形結合的思想方法。 情感價值觀目標：通過解決問題過程，感受數學的應用價值，培養(yǎng)勇于挑戰(zhàn)，積極思考的探索意識及合作意識，感受數學美。 教學重點、難點、關鍵點。重點：勾股定理的靈活應用。難點：將問題抽象成解直角三角形問題的過程；在空間發(fā)現直角并應用定理。關鍵點：作輔助線，然后發(fā)現或構建直角三角形是應用定理的關鍵。（考慮到學生空間感尚不高，自制教具長方體模型，幫助學生克服思維障礙。）教法設計：采用“啟發(fā)引導式教學法”，“發(fā)現式教學法”來組織課堂教學。學生在老師引導之下，獨立或通過合作完成由易至難的三個問題。充分體驗觀察分析應用解決問題的過程。教學過程：一、復習導入師生：（問答形式，以國際數學家大會會徽圖引入課題內容。）師：勾股定理的內容是什么？生：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方師：用符號語言簡潔的概述為生：a2+b2=c2師：有了勾股定理，我們對直角三角形的認識更加全面。從圖形上生：有一個角為直角的三角形叫直角三角形。師：從邊的數量關系上生：三邊滿足a2+b2=c2的三角形是直角三角形。師：下面我們通過應用來體會勾股定理在解決直角三角形問題方面的威力。二、定理應用師：（讀題，要求學生獨立完成并口答結果）*例1 練一練計算直角三角形未知邊的長度。題目(略)生：齊答計算結果。師：除了單純計算，勾股定理的價值更在于能幫助我們解決生活中的問題。下面看例二。（出示幻燈片4）*例2 身邊數學寧晉縣城某超市為方便顧客購物想建一傳送電梯，已知樓高AC是5米，電梯底部與樓底距離BC是12米，請問傳送電梯的履帶AB需多長？生：（計算后回答結果）師：結果很正確。這道題目使我們重新體會解決數學應用題的過程。結果是怎樣得到的？生：由勾股定理得到。師：既然用勾股定理，那么必有直角三角形。直角三角形在哪里？生：由題意，地面BC樓高CA履帶AB構成直角三角形ABC，C=90師：很好，這樣我們把一個生活問題抽象成了一個解直角三角形問題，并用勾股定理解決。大家口述一下，應用題的步驟怎么規(guī)范書寫?師生共同完成口述過程（教師出示相應的幻燈片）師：同學們，前兩個問題解決的都非常出色，如果說前兩個例題我們把它看作思維上的電梯，那么現在咱們一起乘 “電梯”向高處走一走吧！下面看：*例3 “挑戰(zhàn)思維”（師出示題目）如圖所示：長方體的長寬高分別為a、b、c，你能表示出線段AC1的長度嗎？（圖略）師：（展示教具，解釋題目要求。分發(fā)長方體立體圖形卡片）生：（分小組討論）師：（巡視幾分鐘后）下面小組甲、乙分別說一下你們的想法。生甲組：敘述求AC1的過程。生乙組：敘述求AC1的過程。師：（補充學生分析不完善的地方，并引導學生說出規(guī)范分析過程；出示分析過程幻燈片，黑板內板書結果。）師：剛才同學們分析出的這個題目結論是高中二年級立體幾何部分的一個結論。同學們能得出正確結論非常了不起！其實數學知識之間都是盤根錯節(jié)，相互聯系的，只要同學們勤于思考，就會有了不起的發(fā)現，就像古代數學家發(fā)現這個非常有用的勾股定理一樣。下面拿著這個結論，我們和另一個結論作一下對比，長方形對角線的平方等于什么？（黑板內畫圖并標出長與寬）生：a2+b2師：我們對比一下這兩個結論可以感受到兩維平面與三維空間有什么不同（出示幻燈片5中的 “探索成果”）。師：下面我們給大家留了這樣的思考題。大家看看有沒有思路（出示幻燈片6并讀題）？生：只要求出長方體對角線，然后和7作比較就行了。師：大家的應用意識很強，看來數學定理的確能為我們的生活服務，所以說數學是一門很有用的學科。我們今天的討論就到這里了，同學們說一說你有什么收獲吧？三、課時小結。生：（小結內容）師：（出示幻燈片6中的“今天的收獲”。）四、布置作業(yè)：規(guī)范的解答思考題。師：（出示幻燈片7宣布下課）板書設計品味數學經典勾股定理復習一、定理內容。二、定理應用例1練一練計算直角三角形未知邊的長度。例2身邊數學寧晉縣某超市安裝電梯問題。例3挑戰(zhàn)思維 求長方體體對角線長度。*思考題：劉謙的魔術箱問題。三、課時小結四、作業(yè)布置圖(2)是在北京召開的2002年國際數學家大會(TCM-2002)的會標,其圖案正是弦圖,它標志著中國古代的數學成就. 你能用不同方法表示大正方形的面積嗎? 一、學前準備: 1、閱讀課本第54頁到第57頁,完成下列問題: (1)我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾,較長的稱為股,斜邊稱為弦。圖(1)稱為弦圖,最早是由三國時期的數學家趙爽在為周髀算經作法時給出的。圖(2)是在北京召開的2002年國際數學家大會(TCM-2002)的會標,其圖案正是弦圖,它標志著中國古代的數學成就. 你能用不同方法表示大正方形的面積嗎? 2、剪四個完全相同的直角三角形,然后將它們拼成如圖所示的圖形。大正方形的面積可以表示為_,又可以表示為_.對比兩種表示方法,看看能不能得到勾股定理的結論。用上面得到的完全相同的四個直角三角形,還可以拼成如下圖所示的圖形,與上面的方法類似,也能說明勾股定理是正確的方法(請逐一說明) 。 歸納其共有的證明思路:利用圖形的割補,借助前后的面積相等形成關于三邊的數量關系。一、教材分析（一）教材所處的地位這節(jié)課是九年制義務教育初級中學教材北師大版八年級第一章第1節(jié)探索勾股定理第一課時，勾股定理是幾何中幾個重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三邊的數量關系。它在數學的發(fā)展中起過重要的作用，在現時世界中也有著廣泛的作用。學生通過對勾股定理的學習，可以在原有的基礎上對直角三角形有進一步的認識和理解。（二）根據課程標準，本課的教學目標是：1、經歷用數格子的辦法探索勾股定理的過程，進一步發(fā)展學生的合情推理意識，主動探究的習慣，進一步體會數學與現實生活的緊密聯系。2、探索并理解直角三角形的三邊之間的數量關系，進一步發(fā)展學生的說理和簡單的推理的意識及能力。3、在探索勾股定理的過程中，讓學生經歷“觀察猜想歸納驗證”的數學思想，并體會數形結合和特殊到一般的思想方法。4、通過介紹勾股定理在中國古代的研究，激發(fā)學生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想，激勵學生發(fā)奮學習。（三）本課的教學重點：了解勾股定理的由來，并能用它來解決一些簡單的問題。本課的教學難點：用面積法（拼圖法）發(fā)現勾股定理。 二、教法與學法分析：教法分析：針對八年級學生的知識結構和心理特征，本節(jié)課可選擇引導探索法，由淺入深，由特殊到一般地提出問題。引導學生自主探索，合作交流，這種教學理念反映了時代精神，有利于提高學生的思維能力，能有效地激發(fā)學生的思維積極性，基本教學流程是：提出問題實驗操作歸納驗證問題解決課堂小結布置作業(yè)六部分。學法分析：在教師的組織引導下，采用自主探索、合作交流的研討式學習方式，讓學生思考問題，獲取知識，掌握方法，借此培養(yǎng)學生動手、動腦、動口的能力，使學生真正成為學習的主體。 三、教學過程設計（一）提出問題：1、首先創(chuàng)設這樣一個情境：人類一直想要弄清楚其他星球上是否存在著“人”，并試圖與“他們”取得聯系。那么我們怎么樣才能與“外星人”接觸呢？我國數學家華羅庚曾建議向宇宙發(fā)射勾股定理的圖形與外星人聯系。介紹勾股定理，進行點題：（1）介紹周髀算經中西周的商高（公元一千多年前）發(fā)現了勾三股四弦五這個規(guī)律（2）介紹西方畢達哥拉斯于公元前582493時期發(fā)現了勾股定理； （3）康熙數學專著勾股圖解有五種求解直角三角形的方法,積求勾股法是其獨創(chuàng)； （4）對比以上事實對學生進行愛國主義教育，激勵他們奮發(fā)向上 2、問題：某樓房三樓失火，消防隊員趕來救火，了解到每層樓高h=3米，消防隊員取來6.5米長的云梯,如果梯子的底部離墻基的距離x=2.5米,請問消防隊員能否進入三樓滅火?問題設計具有一定的挑戰(zhàn)性,目的是激發(fā)學生的探究欲望,教師引導學生將實際問題轉化成數學問題,也就是“已知一直角三角形的兩邊，如何求第三邊？”的問題。學生會感到困難，從而教師指出學習了今天這一課后就有辦法解決了。這種以實際問題為切入點引入新課，不僅自然，而且反映了數學來源于實際生活，數學是從人的需要中產生這一認識的基本觀點，同時也體現了知識的發(fā)生過程，而且解決問題的過程也是一個“數學化”的過程。（二）、勾股定理的探索，發(fā)現過程1、實驗操作（探索-猜想）：（1）、投影課本圖1-1，圖1-2的有關直角三角形問題，讓學生計算正方形A、B、C的面積，學生可能有不同的方法，不管是通過直接數小方格的個數，還是將C劃為4個全等的等腰直角三角形來求等等，各種方法都應給予肯定，并鼓勵學生用語言進行表達，引導學生發(fā)現正方形A、B、C的面積之間的關系容易發(fā)現對于等腰三角形而言滿足此關系。這樣做有利于學生參與探索，感受學習的過程，也有利于培養(yǎng)學生的語言表達能力，體會數形結合的思想。（2）接著讓學生思考：如果是其它的一般直角三角形，是否也具備這一結論呢？于是投影圖1-3，1-4，同樣讓學生計算正方形的面積，但正方形C的面積不易求出，可先讓學生思考、小組合作再利用計算機演示處理過程（割補法）。這樣設計不僅有利于突破難點，而且為歸納結論打下基礎，讓學生體會到觀察、猜想、歸納的思路，也讓學生的分析問題解決問題的能力在無形中得到提高，這對以后的學習有幫助。2、歸納驗證：（1）引導學生議一議，通過小組間合作交流學習，充分調動學生觀察、思考、歸納的積極性從而得出勾股定理的雛形。讓學生用數學語言概括出一般結論，盡管學生可能講的不完全正確，但對于培養(yǎng)學生用數學語言進行抽象、概括的能力是有益的，同時發(fā)揮了學生的主體作用，也便于記憶和理解，這比教師直接給學生一個結論要好的多。（2）教師又問：是不是所有的直角三角形都具有這種性質呢？是不是所有的三角形都具有這種性質呢？教師用計算機（幾何畫板動態(tài)顯示）的優(yōu)越條件，提供足夠充分的典型材料形狀、大小、位置發(fā)生變化的各種直角三角形，讓學生觀察分析，歸納概括，探索出直角三角形三邊之間的關系式。并通過與銳角、鈍角三角形的對比，強調直角三角形的這個特有性質，啟發(fā)學生獨立分析問題，發(fā)現問題、總結規(guī)律。（3）引導學生用符號語言表示，因為將文字語言轉化為數學語言是學習數學學習的一項基本能.接著教師向學生介紹“勾，股，弦”的含義.強調只有直角三角形才具備。這樣通過從特殊一般更一般的過程可有利于學生接受。（三）解決問題：1、讓學生解決開頭的實際問題，前呼后應，學生從中能體會到成功的喜悅。完成課本“想一想”進一步體會勾股定理在實際生活中的應用，數學是與實際生活緊密相連的。2、課堂練習1.錯例辨析：（1）ABC的兩邊為3和4，求第三邊解：由于三角形的兩邊為3、4所以它的第三邊c=5（2）若告訴ABC是直角三角形，第三邊C也不一定是滿足，題目中并為交待C是斜邊綜上所述這個題目條件不足，第三邊無法求得。進一步體會勾股定理成立的前題直角三角形。2.練習P61.11（四）課堂小結主要通過學生回憶本節(jié)課所學內容，從內容、應用、數學思想方法，獲取新知的途徑方面先進行小結，后由教師總結。（五）布置作業(yè)：課本P6習題1.12，3，4一方面鞏固勾股定理，另一方面進一步體會定理與實際生活的聯系 四、設計說明1、本節(jié)課是公式課，根據學生的知識結構，我采用的教學流程是：提出問題實驗操作歸納驗證問題解決課堂小結布置作業(yè)等部