三角形常見輔助線的作法.docx

三角形中作輔助線的常用方法舉例常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”2) 遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，若直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1：已知如圖1-1：D、E為ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:ABACBDDECE.證明：（法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC 于M、N，在AMN中，AMAN MDDENE;（1） 在BDM中，MBMDBD； （2） 在CEN中，CNNECE； （3） 由（1）（2）（3）得： AMANMBMDCNNEMDDENEBDCE ABACBDDEEC （法二：）如圖1-2， 延長(zhǎng)BD交 AC于F，延長(zhǎng)CE交BF于G，在ABF和GFC和GDE中有： ABAF BDDGGF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1） GFFCGECE（同上）（2） DGGEDE（同上）（3） 由（1）（2）（3）得： ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDE ABACBDDEEC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：BDCBAC。分析：因?yàn)锽DC與BAC不在同一個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使BDC處于在外角的位置，BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)BDC是EDC的外角， BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC證法二：連接AD，并延長(zhǎng)交BC于FBDF是ABD的外角BDFBAD，同理，CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知AD為ABC的中線，且12,34,求證：BECFEF。分析：要證BECFEF ，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知12，34，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同一個(gè)三角形中。證明：在DA上截取DNDB，連接NE，NF，則DNDC，在DBE和DNE中：DBEDNE （SAS）BENE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CFNF在EFN中ENFNEF（三角形兩邊之和大于第三邊）BECFEF。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)元素相等。四、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖4-1：AD為ABC的中線，且12，34，求證：BECFEF證明：延長(zhǎng)ED至M，使DM=DE，連接 CM，MF。在BDE和CDM中， BDECDM （SAS） 又12，34 （已知） 1234180（平角的定義） 32=90即：EDF90 FDMEDF 90在EDF和MDF中 EDFMDF （SAS） EFMF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在CMF中，CFCMMF（三角形兩邊之和大于第三邊） BECFEF注：上題也可加倍FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖5-1：AD為 ABC的中線，求證：ABAC2AD。分析：要證ABAC2AD，由圖想到： ABBDAD,ACCDAD，所以有ABAC BDCDADAD2AD，左邊比要證結(jié)論多BDCD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。 證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE2AD AD為ABC的中線 （已知） BDCD （中線定義） 在ACD和EBD中 ACDEBD （SAS） BECA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在ABE中有：ABBEAE（三角形兩邊之和大于第三邊） ABAC2AD。（常延長(zhǎng)中線加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí)：已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2， 求證EF2AD。 六、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在ABC中，ABAC，12，P為AD上任一點(diǎn)。求證：ABACPBPC。分析：要證：ABACPBPC，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之，因?yàn)橛C的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊ABAC，故可在AB上截取AN等于AC，得ABACBN， 再連接PN，則PCPN，又在PNB中，PBPNBN，即：ABACPBPC。證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取ANAC連接PN , 在APN和APC中 APNAPC （SAS） PCPN （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在BPN中，有 PBPNBN （三角形兩邊之差小于第三邊） BPPCABAC證明：（補(bǔ)短法） 延長(zhǎng)AC至M，使AMAB，連接PM， 在ABP和AMP中 ABPAMP （SAS） PBPM （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 又在PCM中有：CMPMPC(三角形兩邊之差小于第三邊) ABACPBPC。七、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖7-1：已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B， 求證：ADBC分析：欲證 ADBC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：ADC與BCD，AOD與BOC，ABD與BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng)DA，CB，它們的延長(zhǎng)交于E點(diǎn)， ADAC BCBD （已知） CAEDBE 90 （垂直的定義） 在DBE與CAE中 DBECAE （AAS） EDEC EBEA （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） EDEAECEB 即：ADBC。（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八 、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖8-1：ABCD，ADBC 求證：AB=CD。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明：連接AC（或BD） ABCD ADBC （已知） 12，34 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）在ABC與CDA中 ABCCDA （ASA） ABCD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例如：如圖9-1：在RtABC中，ABAC，BAC90，12，CEBD的延長(zhǎng)于E 。求證：BD2CE 分析：要證BD2CE，想到要構(gòu)造線段2CE，同時(shí)CE與ABC的平分線垂直，想到 要將其延長(zhǎng)。 證明：分別延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F。 BECF （已知） BEFBEC90 （垂直的定義）在BEF與BEC中， BEFBEC（ASA）CE=FE=CF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） BAC=90 BECF （已知） BACCAF90 1BDA901BFC90 BDABFC在ABD與ACF中 ABDACF （AAS）BDCF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） BD2CE十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點(diǎn)，且ABDC，ACBD，求證：AD。分析：要證AD，可證它們所在的三角形ABO和DCO全等，而只有ABDC和對(duì)頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由ABDC，ACBD，若連接BC，則ABC和DCB全等，所以，證得AD。證明：連接BC，在ABC和DCB中 ABCDCB (SSS) AD (全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)十一、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1：ABDC，AD 求證：ABCDCB。分析：由ABDC，AD，想到如取AD的中點(diǎn)N，連接NB，NC，再由SAS公理有ABNDCN，故BNCN，ABNDCN。下面只需證NBCNCB，再取BC的中點(diǎn)M，連接MN，則由SSS公理有NBMNCM，所以NBCNCB。問題得證。證明：取AD，BC的中點(diǎn)N、M，連接NB，NM，NC。則AN=DN，BM=CM，在ABN和DCN中 ABNDCN （SAS） ABNDCN NBNC （全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）在NBM與NCM中 NMBNCM，(SSS) NBCNCB （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）NBCABN NCBDCN即ABCDCB。與圓有關(guān)的輔助線常規(guī)作法解析與圓有關(guān)的幾何問題，幾乎涵蓋了初中幾何的各種基本圖形與基本性質(zhì)，題型的復(fù)雜程度可想而知。為此，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形，從而方便求解。為幫助大家正確理解并掌握?qǐng)A中有關(guān)計(jì)算或證明題的一般解法，現(xiàn)就圓中輔助線的常規(guī)作法分類總結(jié)如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考一、圓中有弦，常作弦心距（或者作垂直于弦的半徑或直徑，有時(shí)還要連結(jié)過弦端點(diǎn)的半徑）例1.如圖，以RtABC的直角頂點(diǎn)A為圓心，直角邊AB為半徑的A分別交BC、AC于點(diǎn)D、E, 若BD=10cm，DC=6cm，求A的半徑。解：過A作AHBD于H，則。BAAC，CAB=AHB=90。又ABH=CBA，ABHCBA，。 例2.如圖，AB是O的直徑,POAB交O于點(diǎn)P，弦PN與AB相交于點(diǎn)M，求證：。證明：過O作OCNP于點(diǎn)C，則。OCNP，POAB，POM=PCO=90。又OPM=CPO，OPMCPO，即。評(píng)析：求解圓中與弦有關(guān)的問題，常需作弦心距（即垂直于弦的直徑或半徑），其目的是構(gòu)造以半徑、弦心距、弦為邊的直角三角形，并利用垂徑定理來溝通弦、弧、弦心距之間的聯(lián)系。二、圓中有直徑，常作直徑所對(duì)的圓周角（在半圓中，同樣可作直徑所對(duì)的圓周角）例3.如圖，AB為半圓的直徑，OHAC于H，BH與OC交于E，若BH=12，求BE的長(zhǎng)。解：連結(jié)BC。 AB為直徑， ACBC。又OHAC，AO=BO， OHBC， OHE=CBE，HOE=BCE，OHECBE，。例4.如圖,AB是半圓的直徑, C為圓上的一點(diǎn), CDAB于D, 求證:。證明：連結(jié)AC、BC。 AB為直徑， ACB=90，1+2=90。又CDAB，ADC=CDB=90，1+3=90，3=2，BCDCAD，即。評(píng)析：由于直徑所對(duì)的圓周角為直角，所以在有關(guān)圓的證明或計(jì)算問題中，利用該性質(zhì)極易構(gòu)造出直角三角形，從而可以很方便地將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中進(jìn)行解決。三、圓中有切線，常作過切點(diǎn)的半徑（若無切點(diǎn)，則過圓心作切線的垂線）例5.如圖，已知MN為O的直徑，AP是O的切線，P為切點(diǎn)，點(diǎn)A在MN的延長(zhǎng)線上，若 PA=PM，求A的度數(shù)。解：連結(jié)OP，設(shè)A的度數(shù)為x。PA=PM，M=A，同理可得OPM=M，POA=OPM+M=2M=2A=2x。又AP切O于點(diǎn)P，APOP，A+POA=90，即x+2x=90，解之得x=30，A=30。例6.如圖,AB為O的直徑,C為O上的一點(diǎn),AD和過C點(diǎn)的切線垂直,垂足為D，求證1=2。證明：連結(jié)OC。DC切O于點(diǎn)C，OCDC。又ADDC，OCAD，1=3。OA=OC,2=3，1=2。評(píng)析：當(dāng)欲求解的問題中含有圓的切線時(shí)，常常需要作出過切點(diǎn)的半徑，利用該半徑與切線的垂直關(guān)系來溝通題設(shè)與結(jié)論之間的聯(lián)系。四、圓中有特殊角，常作直徑構(gòu)造直角三角形（若題中有三角函數(shù)但無直角三角形，則也需作直徑構(gòu)造直角三角形）例7.如圖, 點(diǎn)A、B、C在O上（AC不過O點(diǎn)），若ACB=60,AB=6，求O半徑的長(zhǎng)。解：作直徑AD，連結(jié)BD。ACB與D都是所對(duì)的圓周角，D=ACB=60。又AD是直徑，ABD=90，。例8.如圖，在銳角ABC中，若BC=a，CA=b，AB=c，ABC的外接圓半徑為R，求證：。證明：作直徑CD，連結(jié)BD。CD為直徑，CBD=90，。又A=D，即，同理可得，。評(píng)析：當(dāng)題設(shè)中未告訴有直角三角形但卻含有30、45、60、90等特殊角或某個(gè)角的三角函數(shù)值時(shí)，通常需要作直徑構(gòu)造直角三角形來幫助求解。五、兩圓相切，常作公切線（或者作兩圓的連心線）例9.如圖，O1和O2外切于點(diǎn)A，BC是O1和O2外公切線，B、C為切點(diǎn)，求證：ABAC。證明：過點(diǎn)A作O1與O2的公切線AM交BC于點(diǎn)M。MA和MB分別切O1于點(diǎn)A、B，MA=MB，同理可得MA=MC，MA=MB=MC，即點(diǎn)A、B、C同在以M為圓心，BC為直徑的圓周上，ABAC。例10.如圖，A和B外切于點(diǎn)P，CD為A、B的外公切線，C、D為切點(diǎn)，若A與B的半徑分別為r和3r,求：CD的長(zhǎng)；B的度數(shù)。解：連結(jié)AB，連結(jié)AC、BD，過點(diǎn)A作AEBD于E。、CD是A和B的外公切線，C、D為切點(diǎn)，ACCD，BDCD。又AEBD，四邊形ACDE為矩形，CD=AE，DE=AC=r，BE=BD-DE=3r-r=2r。AB=r+3r=4r，。、在RtAEB中，B=60。評(píng)析：在解決有關(guān)兩圓相切的問題時(shí)，常常需作出兩圓的公切線或連心線，利用公切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑、切線長(zhǎng)相等、連心線長(zhǎng)等于兩圓半徑之和（或差）等性質(zhì)來溝通兩圓間的聯(lián)系。六、兩圓相交，常作公共弦（或者作兩圓的連心線）例11.如圖，O1和O2相交于A、B兩點(diǎn)，AD是O1的直徑，且圓心O1在O2上，連結(jié)DB并延長(zhǎng)交O2于點(diǎn)C，求證：CO1AD。證明：連結(jié)AB。 AD為O1的直徑，ABD=90，D+BAD=90。又C和BAO1都是O2中所對(duì)的圓周角，C=BAO1，即C=BAD，D+C=90，CO1AD。例12.如圖，O1和O2相交于A、B兩點(diǎn)，兩圓半徑分別為和，公共弦AB的長(zhǎng)為12，求O1AO2的度數(shù)。解：連結(jié)AB、O1O2，使之交于H點(diǎn)。AB為O1與O2的公共弦，連心線O1O2垂直平分AB，O1AH=45，O2AH=30，O1AO2=O1AH+O2AH=75。評(píng)析：在解決有關(guān)兩圓相交的問題時(shí)，最常見的輔助線是兩圓的公共弦或連心線，公共弦可以聯(lián)通兩圓中的弦、角關(guān)系，而連心線則垂直平分公共弦。梯形問題中的輔助線1、連結(jié)對(duì)角線例1如圖1，梯形ABCD中，ABCD，ADBC，延長(zhǎng)AB到E，使BECD，試說明ACCE.解：如圖1，連結(jié)BD，由BDCE可證得BDCE，由等腰梯形ABCD性質(zhì)得ACBD，所以ACCE.2、平移一腰，即從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化為一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形 例2如圖2，梯形ADCB中，ABCD，AB2cm，CD8cm，AD4cm，求BC的取值范圍.解析：過點(diǎn)B作BEAD，交CD于點(diǎn)E，則四邊形ADEB是平行四邊形，可知BEAD4cm，DEAB2cm.于是ECCDDE826cm. 在ABC中，ECBEBCECBE，所以2cmBC10cm.3、平移兩腰，將兩腰轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中例3如圖3，在梯形ABCD中，ADBC，BC90，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，BC8，AD4，試求EF. 解：過點(diǎn)E分別作EMAB，ENCD，交BC于M、N，則EMFB，ENFC，所以MEN90，AEBM，DECN，所以MF