第二章第5講二次函數(shù)與冪函數(shù).DOCVIP

第5講二次函數(shù)與冪函數(shù)1冪函數(shù)的圖象與性質(1)所有冪函數(shù)在(0，)上都有定義，并且圖象都通過點(1,1)(2)如果0，則冪函數(shù)圖象過原點，并且在區(qū)間(0，)上為增函數(shù)(3)如果0，則冪函數(shù)圖象在區(qū)間(0，)上為減函數(shù)在第一象限內，當x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸當x趨向于時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸(4)當為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)只要求掌握冪函數(shù)yx，yx2，yx3，yx，y的圖象與性質做一做1已知函數(shù)f(x)(2mm2)xm2m，當m為何值時，f(x)是二次函數(shù)？這時是冪函數(shù)嗎？解：若f(x)為二次函數(shù)，則m2m2，解得m1或m2.當m1時，f(x)x2；當m2時，f(x)8x2.因此當m1時，f(x)既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)2二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式f(x)ax2bxc(a0)；(2)頂點式f(x)a(xh)2k(a0)；(3)零點式f(x)a(xx1)(xx2)(a0)做一做2已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc對任意實數(shù)x都有f(x)f8，且f(2)1，求二次函數(shù)f(x)的解析式解：因為對任意實數(shù)x都有f(x)f8，所以二次函數(shù)f(x)ax2bxc，當x時，f(x)max8，即二次函數(shù)的圖象開口向下，且頂點的坐標為.所以令f(x)a28，又f(2)1，所以a281，解之得a4，所以f(x)4(x)284x24x7.3閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間p，q上的最值只能在x處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下：當a0時，若xp，q，則f(x)minf，f(x)maxmaxf(p)，f(q)；若xp，q，f(x)maxmaxf(p)，f(q)，f(x)minminf(p)，f(q)當a0時，若xp，q，則f(x)maxf，f(x)minminf(p)，f(q)；若xp，q，則f(x)maxmaxf(p)，f(q)，f(x)minminf(p)，f(q)做一做3已知函數(shù)f(x)4x24axa22a2在區(qū)間0,2上有最小值3，求a的值解：f(x)4(x)22a2，當0，即a0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(x)minf(0)a22a2.由a22a23，得a1，又a0，所以a1.當02，即0a4時，f(x)minf2a2，由2a23，得a(0,4)，故舍去當2，即a4時，函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上是減函數(shù)，所以f(x)minf(2)a210a18，由a210a183，解得a5，因為a4，所以a5.綜上所述，a1或a5.1必明辨的1個易錯點對于二次函數(shù)單調性、最值等研究沒有注意自變量的限制條件練一練1已知函數(shù)f(x)x22ax1a在x0,1時有最大值2，則a的值為_解析：f(x)(xa)2a2a1，當a1時，ymaxa；當0a1時，ymaxa2a1；當a0時，ymax1a.根據(jù)已知條件或或解得a2或a1.答案：2或12必會的2種方法(1)結合二次函數(shù)圖象，利用數(shù)形結合思想解題(2)與二次方程緊密結合，利用函數(shù)與方程思想解題練一練2設二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調遞減，且f(m)f(0)，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調遞減，則a0，f(x)2a(x1)0，x0,1，所以a0，即函數(shù)圖象的開口向上，對稱軸是直線x1.所以f(0)f(2)，則當f(m)f(0)時，有0m2.答案：0,23已知二次函數(shù)f(x)滿足條件f(0)0，f(x5)f(x3)，且方程f(x)x有等根(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在實數(shù)m，n，使f(x)的定義域和值域分別為m，n和3m,3n？如果存在，求出m，n的值，如果不存在，說明理由解：(1)因為f(x)是二次函數(shù)，故可設f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)0，所以c0，即f(x)ax2bx.又f(x5)f(x3)，所以函數(shù)f(x)的對稱軸方程為x1，即1.又方程f(x)x有等根，所以在方程ax2bxx中，(b1)20，即b1；所以a，即f(x)x2x.(2)假設存在實數(shù)m，n，使f(x)的定義域和值域分別為m，n和3m,3n，因為f(x)(x1)2，所以3nn，故f(x)在m，n上為增函數(shù)，所以又mg(x)；f(x)g(x)；f(x)g(x)；當x1時，f(x)g(x)；當x(0,1)時，f(x)f(a1)的實數(shù)a的取值范圍解：(1)m2mm(m1)，mN*，而m與m1中必有一個為偶數(shù)，所以m(m1)為偶數(shù)所以函數(shù)f(x)x(m2m)1(mN*)的定義域為0，)，并且在定義域上為增函數(shù)(2)因為函數(shù)f(x)經(jīng)過點(2，)，所以2(m2m)1，即22.所以m2m2.解得m1或m2.又mN*，所以m1.由f(2a)f(a1)得解得1a，所以實數(shù)a的取值范圍為1，)考點二二次函數(shù)的圖象與性質(高頻考點)已知函數(shù)f(x)x22ax1，求f(x)在區(qū)間0,2上的最值解函數(shù)f(x)x22ax1(xa)21a2的對稱軸是直線xa，(1)若a0，f(x)在區(qū)間0,2上單調遞增，當x0時，f(x)minf(0)1；當x2時，f(x)maxf(2)54a；(2)若0a1，則當xa時，f(x)minf(a)1a2；當x2時，f(x)maxf(2)54a；(3)若1a2，則當xa時，f(x)minf(a)1a2；當x0時，f(x)maxf(0)1；(4)若a2，則f(x)在區(qū)間0,2上單調遞減，當x0時，f(x)maxf(0)1；當x2時，f(x)minf(2)54a.綜上，當a0時，f(x)min1，f(x)max54a；當0a1時，f(x)min1a2，f(x)max54a；當1a2時，f(x)min1a2，f(x)max1；當a2時，f(x)min54a，f(x)max1.方法歸納解決二次函數(shù)求最值問題，首先采用配方法，將二次函數(shù)化為ya(xm)2n(a0)的形式，得頂點(m，n)或對稱軸方程xm，分三個類型：頂點固定，區(qū)間固定；頂點含參數(shù)，區(qū)間固定；頂點固定，區(qū)間變動已知二次函數(shù)f(x)有兩個零點0和2，且它有最小值1.(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)與f(x)圖象關于原點對稱，求g(x)的解析式解(1)由于f(x)有兩個零點0和2，所以可設f(x)ax(x2)(a0)，這時f(x)ax(x2)a(x1)2a，由于f(x)有最小值1，所以必有解得a1.因此f(x)的解析式是f(x)x(x2)x22x.(2)設點P(x，y)是函數(shù)g(x)圖象上任一點，它關于原點對稱的點P(x，y)必在f(x)圖象上，所以y(x)22(x)，即yx22x，yx22x，故g(x)x22x.方法歸納求二次函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法合理選擇解析式的形式，并根據(jù)已知條件正確地列出含有待定系數(shù)的等式，把問題轉化為方程(組)求解是解決此類問題的基本方法2.設函數(shù)f(x)x22x2，xt，t1，tR的最小值為g(t)(1)求g(t)的解析式；(2)求g(t)的最小值解：(1)f(x)x22x2(x1)21，頂點坐標為(1,1)當t11，即t0時，函數(shù)在t，t1上為減函數(shù)，g(t)f(t1)t21；當t11且t1，即0t2xm恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解(1)由f(0)1，得c1.所以f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，所以a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，所以所以因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等價于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函數(shù)g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可因為g(x)x23x1m在1,1上單調遞減，所以g(x)ming(1)m1，由m10得，m2x的解集為(1,3)，且方程f(x)6a0有兩個相等實數(shù)根，求f(x)的解析式解：設f(x)ax2bxc(a0)因為f(x)2x，所以ax2(b2)xc0的解集為(1,3)所以13，13.又ax2bxc6a0有兩個相等實根，所以b24a(c6a)0.易知a0，由組成方程組，解得所以f(x)x2x.5已知函數(shù)f(x)x2mxn的圖象過點(1,3)，且f(1x)f(1x)對任意實數(shù)都成立，函數(shù)yg(x)與yf(x)的圖象關于原點對稱(1)求f(x)與g(x)的解析式；(2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍解： (1)因為f(x)x2mxn，所以f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1.又f(1x)f(1x)，所以m22m，即m2.又f(x)的圖象過點(1,3)，所以312mn，即mn2，所以n0，所以f(x)x22x.又yg(x)與yf(x)的圖象關于原點對稱，所以g(x)(x)2 2(x)，所以g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x.當10時，F(xiàn)(x)的對稱軸為x，又因為F(x)在(1,1上是增函數(shù)，所以或所以1或10.當10，即1時，F(xiàn)(x)4x顯然在(1,1上是增函數(shù)綜上所述，的取值范圍為(，0方法思想二次函數(shù)區(qū)間最值問題已知函數(shù)f(x)ax2|x|2a1(a為實常數(shù))(1)若a1，作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)設f(x)在區(qū)間1,2上的最小值為g(a)，求g(a)的表達式解(1)當a1時，f(x)x2|x|1作圖(如圖所示) (2)當x1,2時，f(x)ax2x2a1.若a0，則f(x)x1在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，g(a)f(2)3.若a0，則f(x)a(x)22a1，f(x)圖象的對稱軸是直線x.當a0時，f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，g(a)f(2)6a3.當01，即a時，f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，g(a)f(1)3a2.當12，即a時，g(a)f()2a1，當2，即0a時，f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，g(a)f(2)6a3.綜上可得g(a)感悟提高在研究有關二次函數(shù)區(qū)間最值時一般用到分類討論思想：一是對二次項系數(shù)a進行討論；二是要對對稱軸進行討論在分類討論時要遵循分類的原則：一是分類的標準要一致；二是分類時要做到不重不漏；三是能不分類的要盡量避免分類，絕不無原則的分類討論具體運用時一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系、做好轉化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線6.設函數(shù)yx22x，x2，a，則函數(shù)的最小值g(a)_.解析：因為函數(shù)yx22x(x1)21，所以對稱軸為直線x1，而x1不一定在區(qū)間2，a內，應進行討論當2a1時，函數(shù)在2，a上單調遞減，則當xa時，ymina22a；當a1時，函數(shù)在2,1上單調遞減，在1，a上單調遞增，則當x1時，ymin1.綜上，g(a)答案：7已知函數(shù)f(x)4x24ax4aa2(a0)在區(qū)間0,1內有一個最大值5，則a的值為_解析：f(x)424a，對稱軸為x，頂點為.當1，即a2時，f(x)在區(qū)間0,1上遞增所以ymaxf(1)4a2.令4a25，所以a12(舍去)當01，即0a2時，ymaxf4a，令4a5，所以a(0,2)答案：1已知點M在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)的表達式為_解析：設冪函數(shù)的解析式為f(x)x，則3，得2.故f(x)x2.答案：f(x)x22對于函數(shù)yx2，yx有下列說法：兩個函數(shù)都是冪函數(shù)；兩個函數(shù)在第一象限內都單調遞增；它們的圖象關于直線yx對稱；兩個函數(shù)都是偶函數(shù)；兩個函數(shù)都經(jīng)過點(0,0)、(1,1)；其中正確的有_解析：從兩個函數(shù)的定義域、奇偶性、單調性等性質進行比較答案：3比較0.20.5,0.40.3的大小，結果為_解析：先比較0.20.5與0.20.3，再比較0.20.3與0.40.3，y0.2x是減函數(shù)，故0.20.50.20.3；yx0.3在(0，)上是增函數(shù)，故0.20.30.40.3.則0.20.50.40.3.答案：0.20.5.答案：(，)8已知二次函數(shù)yf(x)的頂點坐標為，且方程f(x)0的兩個實根之差等于7，則此二次函數(shù)的解析式是_解析：設二次函數(shù)的解析式為f(x)a249(a0時，f(x)ax22x圖象的開口方向向上，且對稱軸為x.當1，即a1時，f(x)ax22x圖象的對稱軸在0,1內，所以f(x)在上遞減，在上遞增所以f(x)minf.當1，即0a1時，f(x)ax22x圖象的對稱軸在0,1的右側，所以f(x)在0,1上遞減所以f(x)minf(1)a2.(3)當a0時，f(x)ax22x的圖象的開口方向向下，且對稱軸x0，在y軸的左側，所以f(x)ax22x在0,1上遞減所以f(x)minf(1)a2.綜上所述f(x)min1已知函數(shù)g(x)ax22ax1b(a0，b0時，g(x)在2,3上為增函數(shù)，故當a0時，g(x)在2,3上為減函數(shù)，故因為b0時，f(x)(x1)2，若當x時，nf(x)m恒成立，則mn的最小值為_解析：當x0，f(x)f(x)(x1)2，因為x，所以f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，所以m1，n0，mn1.答案：13若函數(shù)f(x)x2ax在(，)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_解析：由題意知f(x)0對任意的x(，)恒成立，又f(x)2xa，所以2xa0對任意的x(，)恒成立，分離參數(shù)得a2x，若滿足題意，需a(2x)max.令h(x)2x，x(，)因為h(x)2，所以當x(，)時，h(x)0，即h(x)在(，)上單調遞減，所以h(x)0，bR，cR)(1)若函