關(guān)于圓的定理.doc

圓冪定理圓冪的定義:一點P對半徑R的圓O的冪定義如下： 所以圓內(nèi)的點的冪為負數(shù)，圓外的點的冪為正數(shù)，圓上的點的冪為零。圓冪定理是相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)及他們推論的統(tǒng)稱。相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。如圖，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點P，連接AD、BC，則D=B，A=C。所以APDBPC。所以切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓焦點的兩條線段長的比例中項。如圖，PT為圓切線，PAB為割線。連接TA，TB，則PTA=B（弦切角等于同弧圓周角）所以PTAPBT，所以割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有 PAPB=PCPD。這個證明就比較簡單了?？梢赃^P做圓的切線，也可以連接CB和AD。證相似。存在：進一步升華（推論）：過任意在圓O外的一點P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PAPB=PCPD。若圓半徑為r，則（一定要加絕對值，原因見下）為定值。這個值稱為點P到圓O的冪。（事實上所有的過P點與圓相交的直線都滿足這個值）若點P在圓內(nèi)，類似可得定值為 故平面上任意一點對于圓的冪為這個點到圓心的距離與圓的半徑的平方差的絕對值。（這就是“圓冪”的由來）切線判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)：（1）經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。（3）圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，這一點到兩切點的線段相等，它與圓心的連線平分兩切線的夾角；（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長相等；（2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個切點的連線為直徑；（3）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，連結(jié)兩個切點可得到一個等腰三角形；（4）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點的兩個半徑的夾角互補；（5）圓外一點與圓心的連線，平分過這點向圓引的兩條切線所夾的角。弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角。定理圖形已知結(jié)論證法相交弦定理 O中，AB、CD為弦，交于P.PAPBPCPD.連結(jié)AC、BD，證：APCDPB.相交弦定理的推論 O中，AB為直徑，CDAB于P.PC2PAPB.用相交弦定理.切割線定理 O中，PT切O于T，割線PB交O于APT2PAPB連結(jié)TA、TB，證：PTBPAT切割線定理的推論 PB、PD為O的兩條割線，交O于A、CPAPBPCPD過P作PT切O于T，用兩次切割線定理圓冪定理 O中，割線PB交O于A，CD為弦PCPDr2OP2PAPBOP2r2r為O的半徑延長PO交O于M，延長OP交O于N，用相交弦定理證；過P作切線用切割線定理勾股定理證【圓的解析幾何性質(zhì)和定理】圓的解析幾何方程 圓的標(biāo)準方程：在平面直角坐標(biāo)系中，以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準方程是（x-a）2+（y-b）2=r2。 圓的一般方程：把圓的標(biāo)準方程展開，移項，合并同類項后，可得圓的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0。和標(biāo)準方程對比，其實D=-2a，E=-2b，F(xiàn)=a2+b2。 圓的離心率e=0，在圓上任意一點的曲率半徑都是r。圓與直線的位置關(guān)系判斷平面內(nèi)，直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系判斷一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成為一個關(guān)于x的一元二次方程f（x）=0。利用判別式b2-4ac的符號可確定圓與直線的位置關(guān)系如下： 如果b2-4ac0，則圓與直線有2交點，即圓與直線相交。 如果b2-4ac=0，則圓與直線有1交點，即圓與直線相切。 如果b2-4ac0，則圓與直線有0交點，即圓與直線相離。2.如果B=0即直線為Ax+C=0，即x=-CA，它平行于y軸（或垂直于x軸），將x2+y2+Dx+Ey+F=0