北京高考近5年三角、數(shù)列考題.doc

2017數(shù)列（2017年文科數(shù)列1道大題）（2017年理科數(shù)列1小題、1大題）2017年北京高考文科第15題15. 已知等差數(shù)列 和等比數(shù)列 滿足 ，（1）求 的通項(xiàng)公式；（2）求和：15. （1） 等差數(shù)列 ，可得：，解得 ，所以 的通項(xiàng)公式：（2） 由（） 可得 ，等比數(shù)列 滿足 ，可得 （等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同），所以 ， 是等比數(shù)列，公比為 ，首項(xiàng)為 ， 2017年北京高考理科第10題（10）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1，a4=b4=8，則=_.【答案】1【解析】2017年北京高考理科第20題20. 設(shè) 和 是兩個(gè)等差數(shù)列，記 ，其中 表示 ， 這 個(gè)數(shù)中最大的數(shù)（1）若 ，求 ， 的值，并證明 是等差數(shù)列；（2）證明：或者對(duì)任意正數(shù) ，存在正整數(shù) ，當(dāng) 時(shí)，；或者存在正整數(shù) ，使得 ， 是等差數(shù)列20. （1） ，當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，下面證明：對(duì) ，且 ，都有 ，當(dāng) ，且 時(shí)，則 由 ，且 ，則 ，則 ，因此，對(duì) ，且 ，又 ，所以 對(duì) 均成立，所以數(shù)列 是等差數(shù)列（2） 設(shè)數(shù)列 和 的公差分別為 ，下面考慮 的取值，由 ，考慮其中任意 （，且 ），則 下面分 ， 三種情況進(jìn)行討論，若 ，則 ，當(dāng) ，則對(duì)于給定的正整數(shù) 而言，此時(shí) ，所以數(shù)列 是等差數(shù)列；當(dāng) ，則對(duì)于給定的正整數(shù) 而言，此時(shí) ，所以數(shù)列 是等差數(shù)列；此時(shí)取 ，則 ，是等差數(shù)列，命題成立；若 ，則此時(shí) 為一個(gè)關(guān)于 的一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的一次函數(shù)，故必存在 ，使得 時(shí)，則當(dāng) 時(shí)， 因此當(dāng) 時(shí)，此時(shí) ，故數(shù)列 從第 項(xiàng)開(kāi)始為等差數(shù)列，命題成立；若 ，此時(shí) 為一個(gè)關(guān)于 的一次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù)，故必存在 ，使得 時(shí)，則當(dāng) 時(shí)， 因此，當(dāng) 時(shí)，此時(shí) 令 ，下面證明： 對(duì)任意正整數(shù) ，存在正整數(shù) ，使得 ，若 ，取 ， 表示不大于 的最大整數(shù)，當(dāng) 時(shí)， 此時(shí)命題成立；若 ，取 ，當(dāng) 時(shí)， 此時(shí)命題成立，因此對(duì)任意正數(shù) ，存在正整數(shù) ，使得當(dāng) 時(shí)，；綜合以上三種情況，命題得證2017三角（2017文科一小題一大題）（2017理科一小題一大題）2017年北京高考文科第9題9. 在平面直角坐標(biāo)系 中，角 與角 均以 為始邊，它們的終邊關(guān)于 軸對(duì)稱，若 ，則 9. 2017年北京高考文科第16題16. 已知函數(shù) （1）求 的最小正周期；（2）求證：當(dāng) 時(shí)，16. （1） 所以 ，所以 的最小正周期為 （2） 因?yàn)?， 所以 ，所以 ，所以 2017年北京高考理科第12題（12）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若，=_.【答案】【解析】2017年北京高考理科第15題（15）（本小題13分）在ABC中， =60，c=a.（）求sinC的值；（）若a=7，求ABC的面積.【答案】（1）根據(jù)正弦定理（2）當(dāng)時(shí)，ABC中 2016數(shù)列（2016文科一大題）（2016理科一小題一大題）2016年北京高考文科第15題15. 已知 是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，且 ，（1）求 的通項(xiàng)公式；（2）設(shè) ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和15. （1） 等比數(shù)列 的公比 ，所以 ，設(shè)等差數(shù)列 的公差為 因?yàn)?，所以 ，即 所以 （2） 由（1）知，因此 從而數(shù)列 的前 項(xiàng)和 2016年北京高考理科第12題12. 已知 為等差數(shù)列， 為其前 項(xiàng)和，若 ，則 12. 【解析】 為等差數(shù)列，所以 ，解得 所以 2016年北京高考理科第20題20. 設(shè)數(shù)列 ：，如果對(duì)小于 的每個(gè)正整數(shù) 都有 ，則稱 是數(shù)列 的一個(gè)“ 時(shí)刻”記 是數(shù)列 的所有“ 時(shí)刻”組成的集合（1）對(duì)數(shù)列 ：，寫(xiě)出 的所有元素；（2）證明：若數(shù)列 中存在 使得 ，則 ；（3）證明：若數(shù)列 滿足 ，則 的元素個(gè)數(shù)不小于 20. （1） 的元素為 和 （2） 因?yàn)榇嬖?使得 ，所以 記 ，則 ，且對(duì)任意正整數(shù) ，因此 從而 （3） 當(dāng) 時(shí)，結(jié)論成立以下設(shè) 由（2）知 設(shè) ，記 ，則 對(duì) ，記 如果 ，取 ，則對(duì)任何 ，從而 且 又因?yàn)?是 中的最大元素，所以 從而對(duì)任意 ，特別地，對(duì) ，因此 所以 因此 的元素個(gè)數(shù) 不小于 2016三角（2016文科一小題一大題）（2016理科一小題一大題）2016年北京高考文科第13題13. 在 中，則 13. 【解析】在 中，由正弦定理知 ，又 ，所以 ，解得 ，又 為銳角，所以 ，所以 2016年北京高考文科第16題16. 已知函數(shù) 的最小正周期為 （1）求 的值；（2）求 的單調(diào)遞增區(qū)間16. （1） 因?yàn)?， .所以 （2） 由 可知 ， ， ， 所以單調(diào)遞增區(qū)間是 2016年北京高考理科第7題7. 將函數(shù) 圖象上的點(diǎn) 向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn) 若 位于函數(shù) 的圖象上，則 A. ， 的最小值為 B. ， 的最小值為 C. ， 的最小值為 D. ， 的最小值為 7. A【解析】因?yàn)辄c(diǎn) 在 的圖象上，所以 點(diǎn) 向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到 因?yàn)?在 的圖象上，所以 所以 ，所以 又 ，所以 2016年北京高考理科第15題15. 在 中，（1）求 的大?。唬?）求 的最大值15. （1） 因?yàn)?，所以 ，所以 （2） 在 中， 所以當(dāng) 時(shí)， 的最大值為 2015數(shù)列（2015文科一大題）（2015理科一小題一大題）2015年北京高考文科第16題16. 已知等差數(shù)列 滿足 ，（1）求 的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列 滿足 ，問(wèn)： 與數(shù)列 的第幾項(xiàng)相等?16. （1） 設(shè)等差數(shù)列 的公差為 因?yàn)?，所以 又因?yàn)?，所以 ，故 所以 （）（2） 設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ，因?yàn)?，所以 ，所以 由 得 ，所以 與數(shù)列 的第 項(xiàng)相等2015年北京高考理科第6題6. 設(shè) 是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是 A. 若 ，則 B. 若 ，則 C. 若 ，則 D. 若 ，則 6. C【解析】數(shù)列 是等差數(shù)列，如數(shù)列 ，滿足 ，則 ；如數(shù)列 ，滿足 ，則 ；所以A，B不正確；對(duì)于等差數(shù)列 ，所以D不正確；等差數(shù)列若 ，則數(shù)列 是單調(diào)遞增數(shù)列，有 ，所以C正確2015年北京高考理科第20題20. 已知數(shù)列 滿足：，且 記集合 （1）若 ，寫(xiě)出集合 的所有元素；（2）若集合 存在一個(gè)元素是 的倍數(shù)，證明： 的所有元素都是 的倍數(shù)；（3）求集合 的元素個(gè)數(shù)的最大值20. （1） ，（2） 因?yàn)榧?存在一個(gè)元素是 的倍數(shù)，所以不妨設(shè) 是 的倍數(shù)由 可歸納證明對(duì)任意 ， 是 的倍數(shù)如果 ，則 的所有元素都是 的倍數(shù)如果 ，因?yàn)?或 ，所以 是 的倍數(shù)，于是 是 的倍數(shù)類似可得 ， 都是 的倍數(shù)從而對(duì)任意 ， 是 的倍數(shù)，因此 的所有元素都是 的倍數(shù)綜上，若集合 存在一個(gè)元素是 的倍數(shù)，則 的所有元素都是 的倍數(shù)（3） 由 ， 可歸納證明 （）因?yàn)?是正整數(shù)， 所以 是 的倍數(shù)從而當(dāng) 時(shí)， 是 的倍數(shù)如果 是 的倍數(shù)，由（2）知對(duì)所有正整數(shù) ， 是 的倍數(shù)因此當(dāng) 時(shí)，這時(shí) 的元素個(gè)數(shù)不超過(guò) 如果 不是 的倍數(shù)，由（2）知對(duì)所有正整數(shù) ， 不是 的倍數(shù)因此當(dāng) 時(shí)，這時(shí) 的元素個(gè)數(shù)不超過(guò) 當(dāng) 時(shí)， 有 個(gè)元素綜上可知，集合 的元素個(gè)數(shù)的最大值為 2015三角（2015文科一小題一大題）（2015理科一小題一大題）2015年北京高考文科第11題11. 在 中，則 11. 2015年北京高考文科第15題15. 已知函數(shù) （1）求 的最小正周期；（2）求 在區(qū)間 上的最小值15. （1） 因?yàn)?，所以 的最小正周期為 （2） 因?yàn)?，所以 當(dāng) ，即 時(shí)， 取得最小值所以 在區(qū)間 上的最小值為 2015年北京高考理科第12題12. 在 中，則 12. 【解析】因?yàn)?中，所以 ，所以 ，所以 2015年北京高考理科第15題15. 已知函數(shù) （1）求 的最小正周期；（2）求 在區(qū)間 上的最小值15. （1） 由題意得 ，所以 的最小正周期為 （2） 因?yàn)?，所以 當(dāng) ，即 時(shí)， 取得最小值所以 在區(qū)間 上的最小值為 2014數(shù)列（2014文科一大題）（2015理科兩小題一大題）2014年北京高考文科第15題15. 已知 是等差數(shù)列，滿足 ， ，數(shù)列 滿足 ， ，且 是等比數(shù)列（1）求數(shù)列 和 的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列 的前 項(xiàng)和15. （1） 設(shè)等差數(shù)列 的公差為 ，由題意得： 所以 設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ，由題意得： 解得 所以 從而 （2） 由（1）知， 數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 所以數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 2014年北京高考理科第5題5. 設(shè) 是公比為 的等比數(shù)列，則 “ ” 是 為遞增數(shù)列的 A. 充分且不必要條件B. 必要且不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件5. D2014年北京高考理科第12題12. 若等差數(shù)列 滿足 ，則當(dāng) 時(shí)， 的前 項(xiàng)和最大12. 【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得 ，于是 ，即 ，故 為 的前 項(xiàng)和中的最大值2014年北京高考理科第20題20. 對(duì)于數(shù)對(duì)序列 ，記 ，其中 表示 和 兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù)（1）對(duì)于數(shù)對(duì)序列 ，求 ， 的值；（2）記 為 四個(gè)數(shù)中最小值，對(duì)于由兩個(gè)數(shù)對(duì) ， 組成的數(shù)對(duì)序列 ， 和 ，試分別對(duì) 和 時(shí)兩種情況比較 和 的大??；（3）在由 個(gè)數(shù)對(duì) ， 組成的所有數(shù)對(duì)序列中，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)對(duì)序列 使 最小，并寫(xiě)出 的值（只需寫(xiě)出結(jié)論）20. （1） （2） 當(dāng) 時(shí)，因?yàn)?是 中最小的數(shù)，所以 ，從而當(dāng) 時(shí)，因?yàn)?是 中最小的數(shù)，所以 ，從而綜上，這兩種情況下都有 （3） 數(shù)對(duì)序列 （不唯一）對(duì)應(yīng)的 最小，此時(shí) 2014三角（2014文科一小題一大題）（2014理科一小題一大題）2014年北京高考文科第12題12. 在 中，則 ； 12. ，2014年北京高考文科第16題16. 函數(shù) 的部分圖象如圖所示（1）寫(xiě)出 的最小正周期及圖中 ， 的值；（2）求 在區(qū)間 上的最大值和最小值16. （1） 的最小正周期為 ，（2） 因?yàn)?，所以于是，當(dāng) ，即 時(shí)， 取得最大值 ；當(dāng) ，即 時(shí)， 取得最小值 2014年北京高考理科第14題14. 設(shè)函數(shù) （ ， 是常數(shù)， ）若 在區(qū)間 上具有單調(diào)性，且 ，則 的最小正周期為 14. 【解析】記 的最小正周期為 由題意知 ，又 ，且 ，可作出示意圖如圖所示（一種情況）： 所以 ， ，所以 ，所以 2014年北京高考理科第15題15. 如圖，在 中， ， ，點(diǎn) 在 上，且 ， （1）求 ；（2）求 的長(zhǎng)15. （1） 因?yàn)?所以（2） 在 中 ， 即 解得 在 中， 所以 2013數(shù)列（2013文科一小題一大題）（2013理科一小題一大題）2013年北京高考文科第11題11. 若等比數(shù)列 滿足 ，則公比 ；前 項(xiàng)和 11. ，2013年北京高考文科第20題20. 給定數(shù)列 ，對(duì) ，該數(shù)列前 項(xiàng)的最大值記為 ，后 項(xiàng) ， 的最小值記為 ，（1）設(shè)數(shù)列 為 ，寫(xiě)出 ， 的值；（2）設(shè) ， 是公比大于 的等比數(shù)列，且 ，證明：， 是等比數(shù)列；（3）設(shè) ， 是公差大于 的等差數(shù)列，且 ，證明：， 是等差數(shù)列20. （1） ，（2） 因?yàn)?，公比 ，所以 ， 是遞增數(shù)列因此，對(duì) ，故 ，因此， 且 ，即 ， 是等比數(shù)列（3） 設(shè) 為 ， 的公差對(duì) ，因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以從而 ， 是遞增數(shù)列因此又因?yàn)樗砸虼?，所以所以因此對(duì) ， 都有即 ， 是等差數(shù)列2013年北京高考理科第10題10. 若等比數(shù)列 滿足 ，則公比 ；前 項(xiàng)和 10. ，2013年北京高考理科第20題20. 已知 是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前 項(xiàng)的最大值記為 ，第 項(xiàng)之后各項(xiàng) 的最小值記為 ，（1）若 為 ，是一個(gè)周期為 的數(shù)列（即對(duì)任意 ），寫(xiě)出 的值；（2）設(shè) 是非負(fù)整數(shù)，證明： 的充分必要條件為 是公差為 的等差數(shù)列；（3）證明：若 ，則 的項(xiàng)只能是 或者 ，且有無(wú)窮多項(xiàng)為 20. （1） （2） （充分性）因?yàn)?是公差為 的等差數(shù)列，且 ，所以因此（必要性）因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以于是，因此即 是公差為 的等差數(shù)列（3） 因?yàn)?，所以故對(duì)任意 假設(shè) 中存在大于 的項(xiàng)設(shè) ，并且對(duì)任意 又因?yàn)?，所以于是，故與 矛盾所以對(duì)于任意 ，有 ，即非負(fù)整數(shù)列 的各項(xiàng)只能為 或 因?yàn)閷?duì)任意 ，所以 故因此對(duì)于任意正整數(shù) ，存在 滿足 ，且 ，即數(shù)列 有無(wú)窮多項(xiàng)為 2013三角（2013文科一小題一大題）（2013理科一小題一大題）2013年北京高考文科第5題5. 在 中，則 A. B. C. D. 5. B【解析】由正弦定理： 及已知得 所以 2013年北京