自動控制原理 第七章課件.ppt

控制原理 II 王晶jwang 信息學(xué)院 學(xué)時 48 包含上機4學(xué)時 自動控制原理厲玉鳴等主編 化學(xué)工業(yè)出版社 2005年 自動控制原理 第四版 胡壽松主編 國防工業(yè)出版社 2002年自動控制原理孫亮等主編 北京工業(yè)大學(xué)出版社1999年 控制原理例題習(xí)題集 周春暉 厲玉鳴主編 化工出版社 歸納總結(jié) 例題分析 自動控制原理實驗指導(dǎo)書 本校自動化系編 學(xué)習(xí)方式 教材 參考書 習(xí)題集 實驗指導(dǎo)書 授課 習(xí)題 實驗 考試 第7章狀態(tài)空間分析設(shè)計方法 線性系統(tǒng)理論的兩大分支 本章主要內(nèi)容 現(xiàn)代控制論的重要分支 狀態(tài)空間設(shè)計方法 系統(tǒng)模型狀態(tài)空間模型的建立 與傳遞函數(shù)描述之間的相互轉(zhuǎn)化 系統(tǒng)分析狀態(tài)空間運動分析 能控性和能觀性的基本概念與判據(jù) 能控 能觀標(biāo)準(zhǔn)形及結(jié)構(gòu)分解 系統(tǒng)綜合基于狀態(tài)空間模型的控制系統(tǒng)設(shè)計方法 極點配置和觀測器設(shè)計 第一節(jié)線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型 7 1 1系統(tǒng)狀態(tài)空間表達的基本概念7 1 2線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7 1 3由機理分析建立狀態(tài)空間表達式7 1 4由微分方程建立狀態(tài)空間表達式7 1 5由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式7 1 6狀態(tài)空間表達式與傳遞函數(shù)矩陣 7 1 1系統(tǒng)狀態(tài)空間表達的基本概念 表示系統(tǒng)在過去 現(xiàn)在和未來時刻的狀況 狀態(tài) 能夠完全描述系統(tǒng)行為的最小一組變量 只要給定了當(dāng)前時刻的這組變量以及未來時刻作用在系統(tǒng)上的輸入 那么系統(tǒng)在未來任意時刻的行為就可以完全確定 狀態(tài)變量 選取的不唯一性 以完全表征系統(tǒng)的狀態(tài)變量為元構(gòu)成的向量就是狀態(tài)向量 狀態(tài)向量 以n個狀態(tài)變量為基底所構(gòu)成的n維空間就稱為狀態(tài)空間 狀態(tài)空間中的一點就代表系統(tǒng)在某一特定時刻的狀態(tài) 狀態(tài)空間 7 1 2線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 外部描述 傳遞函數(shù) 不表征系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)部變量 只反映外部變量組輸入與輸出間的因果關(guān)系 內(nèi)部描述 狀態(tài)空間 能夠完全表征系統(tǒng)的一切動力學(xué)特征 不完全描述 完全描述 1 狀態(tài)方程 輸入作用引起系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化 通常為動態(tài)過程 可以采用微分方程來表示 2 輸出方程 狀態(tài)和輸入的改變決定了輸出的變化 通常屬于變量之間的相互轉(zhuǎn)換 可用一般的代數(shù)方程表示 系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的結(jié)構(gòu)示意圖 問題 1什么是狀態(tài) 2狀態(tài)是否唯一 1 兩種描述方式的比較 例1 考慮傳遞函數(shù) 系統(tǒng)不穩(wěn)定 欲使其穩(wěn)定 可在H s 前面串聯(lián)一個補償器得 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 理論上 零極點對消 系統(tǒng)穩(wěn)定 實際中 系統(tǒng)往往會出現(xiàn)失效或達到飽和 從狀態(tài)空間的角度分析上述實現(xiàn)中主要變量的演變過程 系統(tǒng)狀態(tài)方程為 求解可得 7 1 3由機理分析建立狀態(tài)空間表達式 建立狀態(tài)空間表達式的方法 一是機理分析 選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量 建立其狀態(tài)空間表達式 二是由其他已知的系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述轉(zhuǎn)化得到狀態(tài)空間表達式 例 試列寫下面兩種簡單系統(tǒng) 電路系統(tǒng)和力學(xué)系統(tǒng)的機理方程 選擇適當(dāng)?shù)淖兞孔鳛闋顟B(tài)變量 并建立相應(yīng)的狀態(tài)空間表達式 解 1 彈簧 質(zhì)量 阻尼器系統(tǒng) 外加拉力Fi為輸入 質(zhì)量單元的位移y為輸出 根據(jù)牛頓第二定律可得 其中合力 整理得 選定變量 得到狀態(tài)方程 2 RLC電路 設(shè)ei為輸入 電壓ec為輸出 根據(jù)基本電路定律有 選擇狀態(tài)變量為 可推導(dǎo)出2個一階微分方程組 寫成狀態(tài)方程 再根據(jù)輸出 可得相應(yīng)的輸出方程為 值得注意的是 狀態(tài)變量選擇的不同 得到的狀態(tài)空間表達式也是不同的 這點與傳遞函數(shù)所代表的外部描述不同 對于一個系統(tǒng) 如果輸入和輸出確定 那么傳遞函數(shù)就是唯一確定的 而狀態(tài)空間描述則根據(jù)狀態(tài)變量選擇的不同而不同 同一個系統(tǒng)可以具有不同的狀態(tài)空間表達式 問題 例如上面例題中提到的RLC電路 如果以作為一組狀態(tài)變量 則狀態(tài)空間表達為 代數(shù)等價 給定一線性定常系統(tǒng) 如果引入一非奇異變換 其中P是非奇異矩陣 經(jīng)過狀態(tài)變換后 系統(tǒng)可以寫成 系統(tǒng)的不同的狀態(tài)空間描述就是同一個系統(tǒng)在不同的坐標(biāo)系下的表征 由于坐標(biāo)系的選擇帶有人為的性質(zhì) 而系統(tǒng)的特性卻帶有客觀性 因此系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的不變性和不變屬性就反映出系統(tǒng)的固有特征 那么就稱這兩個狀態(tài)空間描述是代數(shù)等價的 2 7 1 4由微分方程建立狀態(tài)空間表達式 僅限于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng) 引入微分算子 則系統(tǒng)可以寫成 分情況討論 Case1 當(dāng)m n時 則系統(tǒng)方程可以改寫為 引入中間變量 選取狀態(tài) 可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 Case2 當(dāng)m n時 首先將系統(tǒng)方程有理分式嚴(yán)格真化 按照上面的算法可以轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間形式 經(jīng)過中間變量的作用 上式可以寫成下面的形式 選擇與m n情況下相同的狀態(tài)變量 上述嚴(yán)格真有理分式按照上面的算法可以轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間形式 狀態(tài)是一樣的 得到的狀態(tài)方程表達形式也是一樣的 唯一不同的就是輸出方程中比m n情況多了一項 狀態(tài)方程為 優(yōu)點 利用控制系統(tǒng)的微分方程系數(shù)直接列寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 舉例 寫出下列系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達 解 上述兩個系統(tǒng)分屬于m n和m n兩種情況 按照上面的算法可以直接轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間形式如下 7 1 5由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式 傳遞函數(shù)是描述線性定常系統(tǒng)動力學(xué)特性的一種重要頻域模型 如何將其化為系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 稱為 實現(xiàn) 應(yīng)該特別重視 方法 首先將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進行反拉氏變換 得到輸入 輸出微分方程表達式 然后利用上節(jié)介紹方法將微分方程表達式轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間表達式對于單輸入 單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 可能存在這樣的情況 傳遞函數(shù)分子和分母多項式有可約去的因子 即零點 極點可以對消 那么此傳遞函數(shù)的實現(xiàn)可以選取不同維數(shù)的狀態(tài)變量 把系統(tǒng)狀態(tài)變量數(shù)目最少的實現(xiàn)稱為 最小實現(xiàn) 例 求狀態(tài)空間實現(xiàn) 傳遞函數(shù) 微分方程 狀態(tài)方程 能控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)能控 不能觀 消去傳遞函數(shù)中的可約因子 s 3 得 最小實現(xiàn) 傳遞函數(shù) 微分方程 狀態(tài)方程 最小實現(xiàn)能控 能觀 3 7 1 6狀態(tài)空間表達式與傳遞函數(shù)矩陣 傳遞函數(shù)只能用來描述單輸入 單輸出線性定常系統(tǒng)的動態(tài)特性 而實際的控制系統(tǒng)可能是多輸入 多輸出的線性定常系統(tǒng) 若不考慮內(nèi)部狀態(tài)信息 其動態(tài)特性通常采用傳遞矩陣來進行描述 Y1 Yp 在初始條件為零的情況下 系統(tǒng)狀態(tài)矩陣 A B C D 與傳遞函數(shù)矩陣之間的關(guān)系為 原因 多輸入 多輸出線性定常系統(tǒng) 在初始條件為零時 對系統(tǒng)方程進行拉氏變換為 對狀態(tài)方程進行整理得 帶入輸出方程得 例考慮多輸入多輸出系統(tǒng) entersystemmatricesA B C DA 01 25 4 B 11 01 C 10 01 D 00 00 obtaintransferfunctionfromu1toy1andy2 num1 den1 ss2tf A B C D 1 obtaintransferfunctionfromu2toy1andy2 num2 den2 ss2tf A B C D 2 num1 014num2 01 00005 000000 2501 0000 25 0000den1 1425den2 1425 以下就是4個傳遞函數(shù)的MATLAB表達式 7 2系統(tǒng)的狀態(tài)空間運動分析 分析系統(tǒng)運動的目的就在于從數(shù)學(xué)模型出發(fā) 定量地或是精確地給出系統(tǒng)運動的變化規(guī)律 以便為系統(tǒng)的實際運動過程作出估計 對于線性定常系統(tǒng) 其運動分析就是要在初始狀態(tài)x0和外加輸入u的作用下 對狀態(tài)方程求解 為保證狀態(tài)方程解的存在和唯一性 系統(tǒng)矩陣A和B中的所有元必須是有界的 一般來說 在實際工程中 這個條件都是滿足的 線性系統(tǒng)滿足疊加原理系統(tǒng)在初始狀態(tài)及輸入向量作用下的運動分解成兩個獨立的分運動 一個是無輸入作用 單純由初始狀態(tài)引起的系統(tǒng)狀態(tài)的自由運動 稱為零輸入響應(yīng) 另外一個是初始狀態(tài)為零的條件下 單純由輸入作用引起的狀態(tài)強迫運動 稱為零狀態(tài)響應(yīng) 系統(tǒng)由初始狀態(tài)和輸入共同作用而引起的整個響應(yīng)是二者的疊加 即系統(tǒng)狀態(tài)運動 零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng) 7 2 1線性定常系統(tǒng)狀態(tài)運動分析 自由運動 無輸入即u 0 就是系統(tǒng)在初始條件x0下的解 稱為零輸入響應(yīng) 強迫運動是系統(tǒng)在初始條件為零的情況下 單純由輸入u作用產(chǎn)生的 即強迫方程的解 稱為零狀態(tài)響應(yīng) 兩種狀態(tài)運動都是狀態(tài)的轉(zhuǎn)移 其形態(tài)可以通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來表征 利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以對線性系統(tǒng)的運動規(guī)律 包括定常的 時變的 離散的都建立起一個統(tǒng)一的表達形式 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定義 給定線性時變系統(tǒng) 它的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣就是滿足下述矩陣微分方程及初始條件的n維方陣 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣物理意義 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣就是將t0時刻的初始狀態(tài)x t0 映射到t時刻狀態(tài)x t 的一個線性變換 它在規(guī)定的時間區(qū)間內(nèi)決定了狀態(tài)向量的自由運動 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的重要性質(zhì) 4 當(dāng)A t 給定后 是唯一的 5 當(dāng)A t 給定后 的表達式為 4 求導(dǎo)可得 假設(shè)狀態(tài)x t 由兩部分組成 一部分是初始狀態(tài)的轉(zhuǎn)移 代表自由運動 另一部分是待定向量的轉(zhuǎn)移 代表受迫運動 為了找到運動規(guī)律的表達式 就是要確定上式中的待定向量 與狀態(tài)方程比較得 利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫出系統(tǒng)狀態(tài)運動規(guī)律 將積分 就可以求出待定向量 則狀態(tài)運動規(guī)律為 根據(jù)初始條件x0 就可以定出待定向量的初始位置為 則系統(tǒng)運動規(guī)律表達式為 狀態(tài)x t 分解成兩個分運動 一個是單純由初始條件x0作用引起的零輸入響應(yīng) 另外一個就是在初始條件為零時 單純由輸入作用引起的零狀態(tài)響應(yīng) 利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫出系統(tǒng)狀態(tài)運動規(guī)律 續(xù) 在定常系統(tǒng)中 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣完全可以由系統(tǒng)矩陣 A B C D 來確定 即 注意 時變系統(tǒng)中狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 其物理意義就是依賴于初始時刻t0 而在定常系統(tǒng)中通常采用的方法來表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 這說明了在定常系統(tǒng)中 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是依賴于時間的差值t t0 而與初始時刻t0沒有直接關(guān)系 線性定常系統(tǒng)的運動規(guī)律 如果將時間t取成某個固定的值 那么零輸入響應(yīng) 就是狀態(tài)空間中由初始狀態(tài)x0經(jīng)過線性變換導(dǎo)出的一個變換點 而整個系統(tǒng)的自由運動就應(yīng)該是由初始狀態(tài)x0出發(fā) 并由各個時刻的變換點所組成的一條軌跡 這條自由運動軌跡的形態(tài)可以說是由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣唯一確定的 它包括了自由運動性質(zhì)的全部信息 換句話說就是系統(tǒng)矩陣A決定了系統(tǒng)的自由運動形態(tài) 初始時刻t0取為零 則 零輸入響應(yīng) 自由運動軌跡 零狀態(tài)響應(yīng) 受迫運動軌跡 7 2 2矩陣指數(shù)函數(shù) 線性定常系統(tǒng)中 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣又稱作是矩陣指數(shù)函數(shù) 幾種典型矩陣A的 1 A為對角線矩陣 即 2 A為對角線分塊矩陣 注 矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是冪零矩陣 它的左下角次對角線元為1 其余元均為零 它的矩陣指數(shù)函數(shù)具有如下性質(zhì) 3 A是具有如下形式的冪零矩陣 矩陣A僅右上方次對角線上元為1 其余元均為零 則矩陣指數(shù)函數(shù)為 4 約當(dāng)矩陣其矩陣指數(shù)函數(shù)為 的計算方法 1 利用矩陣指數(shù)函數(shù)的表達式 舉例 說明 通常這種方法只能求出的數(shù)值結(jié)果 難以寫出具體的數(shù)學(xué)表達式 當(dāng)采用計算機進行計算時 這種方法具有編程方便 計算簡單等特點 2 利用典型約當(dāng)形矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)例如 A陣特征值是n個兩兩相異的 那么必存在一個非奇異變換矩陣P 使得 的計算方法 續(xù) 3 把表示成Ak k 0 1 n 1 的多項式形式 即 其中系數(shù)a可由以下方法來確定 Case1 A的特征根兩兩相異 的計算方法 續(xù) 5 Case2 A的特征根存在重根 例如特征值為 4 利用Laplace反變換求 對定義式進行Laplace變換得 然后在對上式兩邊求Laplace反變換 可得 舉例 的計算方法 續(xù) 舉例 給定線性定常系統(tǒng)的自治方程為試采用上述4種方法來求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 解 1 利用矩陣指數(shù)函數(shù)的表達式 返回 2 先求出A的特征值為 1 2 再求出使A實現(xiàn)對角線化的非奇異變換陣P及其逆P 1 使得 則矩陣指數(shù)函數(shù)為 3 因為矩陣A的特征值是兩兩相異的 則有 從而可以定出 4 先求出預(yù)解矩陣 對上式進行Laplace反變換 即可定出 能控性和能觀性是系統(tǒng)的兩個基本結(jié)構(gòu)特性 對于系統(tǒng)的控制和估計問題具有重要的意義 能控性反應(yīng)的是輸入對狀態(tài)的控制能力能觀性反應(yīng)的是輸出對狀態(tài)的估計能力 7 3線性定常系統(tǒng)的能控性與能觀測性 所謂能控性就是研究系統(tǒng)的全部狀態(tài)是否都會受到輸入的影響 從而實現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)的控制 對應(yīng)地 如果系統(tǒng)狀態(tài)變量的任何運動完全可以由輸出來反映 那么就稱系統(tǒng)是能觀測的 簡稱為能觀性 不完全能控電路不完全能觀測電路 例一 給定系統(tǒng)如下 狀態(tài)變量x1和x2可以通過選擇輸入u而使得他從初始點轉(zhuǎn)移到原點 因而系統(tǒng)是完全能控的 但輸出只反應(yīng)出狀態(tài)x2 狀態(tài)x1與輸出既無直接關(guān)系也無間接關(guān)系 所以是不完全能觀測的 能控性 能觀性分析舉例 例二 實際電路 兩個電容的端電壓x1和x2是狀態(tài)變量 輸入u可以使?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)移到任意目標(biāo)值 但是不能將狀態(tài)分別轉(zhuǎn)移到不同的目標(biāo)值 也就是說無論輸入取為何種形式 對所有的t 0都有x1 x2 這就表明該電路系統(tǒng)是不完全能控的 例三由的聯(lián)系判斷能觀性 輸出y t x1 t 且x1與x2完全解耦 x2到y(tǒng)的通道被切斷 所以x1能觀測 x2不能觀測 輸出y t x1 t 注意x1受x2影響 所以不能簡單判定x1能觀測 x2不能觀測 例四兩聯(lián)系通道的作用可能抵消 左圖中 輸入為電壓 兩個電感流過的電流是狀態(tài)變量 輸出是電流i 如果外加電壓u 0 對任意兩個相等的非零初始狀態(tài) 都會有電流i 0 也就是說從輸出根本無法判斷系統(tǒng)的初始狀態(tài)是什么 說明該電路是不完全能觀的 6 能控性定義 對于線性時變系統(tǒng)如果對于非零初始狀態(tài)x0 都存在某一時刻和一個無約束的容許控制 使得狀態(tài)由初始點轉(zhuǎn)移到t1時刻的原點 則稱此初始狀態(tài)x0是能控的 如果狀態(tài)空間中所有的非零初始狀態(tài)都是能控的 那么就稱系統(tǒng)是完全能控的 無約束容許控制中無約束表示的是輸入分量的幅值無限制 可以任意大到所要求的值 容許控制就是說控制作用要滿足狀態(tài)方程解存在且唯一的條件 具體的說就是要保證輸入u的每個分量在J上是平方可積的 7 3 1基本概念 1 上述定義中 只要求能夠找到這樣的控制輸入u 使得t0時刻的非零狀態(tài)經(jīng)過一段時間之后轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間中的坐標(biāo)系原點 而對狀態(tài)轉(zhuǎn)移的軌跡不作任何要求和限制 這就是說能控性是表征系統(tǒng)狀態(tài)運動的一個定性的特性2 上述定義中規(guī)定從非零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài) 如果改成由零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到非零狀態(tài) 就稱之為系統(tǒng)狀態(tài)是能達的 對于線性連續(xù)定常系統(tǒng) 其能控性和能達性是等價的 而對于離散系統(tǒng)和時變系統(tǒng) 二者嚴(yán)格來講是不等價的 說明 能觀測性定義 對給定的零輸入方程 在初始時刻t0存在非零的初始狀態(tài)x t0 x0 未知 如果存在這樣一個有限時刻t1 0 通過 t0 t1 段有限時間區(qū)間內(nèi)所測得的輸出y t 可以確定出系統(tǒng)的初始狀態(tài)x t0 那么就把x0稱作是可觀測狀態(tài) 如果狀態(tài)空間中所有的非零狀態(tài)都是可觀測的 那么就稱系統(tǒng)是完全能觀測的 線性定常系統(tǒng)的能控性判定 1 格拉姆矩陣判據(jù)線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是存在這樣一個時刻t1 0 使得格拉姆矩陣是非奇異的 7 3 2能控性與能觀測性判據(jù) 注意 格拉姆矩陣判據(jù)主要應(yīng)用于理論分析 這是因為在實際應(yīng)用中 首先要計算出矩陣指數(shù)函數(shù)e At 而當(dāng)A的維數(shù)較大時并非易事 利用格拉姆矩陣判據(jù)可以推出一個較為實用的能控性判據(jù) 即秩判據(jù) 由格拉姆矩陣求將狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點所需的控制輸入 根據(jù)運動分析 系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)為對于能控系統(tǒng)總可以找到t1時刻及作用在 t0 t1 上的容許控制u t 使得系統(tǒng)在t1時刻轉(zhuǎn)移到零點 即 根據(jù)格拉姆矩陣判據(jù) 格拉姆矩陣的逆必定存在 于是就可以這樣選取控制輸入 解釋 無論系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0位于狀態(tài)空間中的何處 都可以按照上述公式中控制作用的選取方法 使得在t1時刻能夠?qū)⑾到y(tǒng)狀態(tài)從初始點轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間零點 這種控制的選擇又稱為按能控性格拉姆矩陣方式選取 一般來說 如果系統(tǒng)是能控的 能夠把系統(tǒng)由初始狀態(tài)x0轉(zhuǎn)移到原點的輸入控制有很多種 這是因為能控性對狀態(tài)轉(zhuǎn)移的軌跡沒有任何要求 但相比較而言 在所有可以完成同一狀態(tài)轉(zhuǎn)移目的的控制輸入中 按格拉姆矩陣方式選取的控制輸入最好 它的耗能是最小的 2 秩判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是稱矩陣為系統(tǒng)的能控性判別陣 3 PBH秩判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是對矩陣A的所有特征值 均有下式成立 即是左互質(zhì)的 7 4 PBH特征向量判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是A不能有與B的所有列相正交的非零左特征向量 即對A的任一特征值使同時滿足的特征向量 5 約當(dāng)規(guī)范型判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是Case1 當(dāng)A矩陣的特征根兩兩相異時 在導(dǎo)出的對角線規(guī)范型中 矩陣不包含元素全為零的行 Case2 A的特征值為時 導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型那么矩陣中對應(yīng)每個約當(dāng)塊的最后一行行向量是線性無關(guān)的 換句話說 矩陣中對應(yīng)每個約當(dāng)塊的最后一行行向量中無零行 且對應(yīng)同一特征根的這些行分別是線性無關(guān)的 舉例 給出了約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 標(biāo)準(zhǔn)型中一共有三個約當(dāng)塊 系統(tǒng)是完全能控的 必須保證B矩陣中對應(yīng)每個約當(dāng)塊的最后一行非零 即是b3 b5 b6是非零的行向量 對應(yīng)同一特征根的這些行b3 b5分別是線性無關(guān)的 例1 若 則系統(tǒng)是能控的若 則x1 x2 x4不能控 x3能控 例2 給出線性定常系統(tǒng) 判斷其能控性 解 1 秩判據(jù) 因此系統(tǒng)是完全能控的 2 PBH判據(jù) 首先計算出特征值 分別計算是否都等于n 線性定常系統(tǒng)的能觀測性判定 1 格拉姆矩陣判據(jù)線性定常系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是存在這樣一個時刻t1 0 使得格拉姆矩陣是非奇異的 和時變系統(tǒng)一樣 定常系統(tǒng)的格拉姆矩陣判據(jù)主要應(yīng)用于理論分析 這是因為在實際應(yīng)用中 首先要計算出矩陣指數(shù)函數(shù)eAt 而當(dāng)A的維數(shù)較大時并不容易 2 秩判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是我們稱矩陣Qo為系統(tǒng)的能觀測性判別陣 這個結(jié)論完全是由線性定常系統(tǒng)能觀測性的格拉姆矩陣的非奇異性推導(dǎo)而來 與格拉姆矩陣判據(jù)是完全等價的 3 PBH秩判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是對矩陣A的所有特征值 均有下式成立 即sI A和C是右互質(zhì)的 4 PBH特征向量判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是A不能有與C的所有行相正交的非零右特征向量 即對A的任一特征值使同時滿足的特征向量 5 約當(dāng)規(guī)范型判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是Case1當(dāng)A矩陣的特征根兩兩相異時 在導(dǎo)出的對角線規(guī)范型中 矩陣不包含元素全為零的列 Case2 A的特征值為時 導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型那么由矩陣中對應(yīng)每個約當(dāng)塊的第一列列向量是線性無關(guān)的 換句話說 矩陣中對應(yīng)每個約當(dāng)塊的第一列列向量中無零列 且對應(yīng)同一特征根的這些列分別是線性無關(guān)的 舉例 給出了約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 標(biāo)準(zhǔn)型中共有三個約當(dāng)塊 要保證系統(tǒng)是完全能觀測的 則C矩陣中對應(yīng)每個約當(dāng)塊的第一列非零 即c1 c4 c6是非零的列向量 對應(yīng)同一特征根的這些列分別是線性無關(guān)的 即對應(yīng)特征根的列c1 c4是線性無關(guān)的 例 給出線性定常系統(tǒng) 試用上述判據(jù)來判定給定系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性 解 秩判據(jù) 系統(tǒng)是完全能觀測的 PBH判據(jù) 首先計算出特征值 分別計算是否都等于n 8 給定線性定常系統(tǒng) 則它的對偶系統(tǒng)為 對偶原理 能控性和能觀測性無論是從概念上還是從判據(jù)的形式上都是對偶的 這種對偶關(guān)系反映了系統(tǒng)的能控問題與估計問題之間的對偶性 對偶系統(tǒng)定義 給定系統(tǒng)和對偶系統(tǒng)的方塊圖是對偶的 對偶系統(tǒng)又稱為伴隨系統(tǒng) 可以看出給定系統(tǒng)和對偶系統(tǒng)之間的狀態(tài)維數(shù)一致 而給定系統(tǒng)的輸入 輸出維數(shù)分別等于對偶系統(tǒng)的輸出和輸入維數(shù) 給定系統(tǒng)的運動是狀態(tài)點在狀態(tài)空間中由t0到t的正時向轉(zhuǎn)移 而對偶系統(tǒng)的運動是協(xié)狀態(tài)點在狀態(tài)空間中由t到t0的反時向轉(zhuǎn)移 設(shè)和是給定系統(tǒng)和對偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 則必成立 對偶原理 給定系統(tǒng)和對偶系統(tǒng)在能控性和能觀測性上具有以下對應(yīng)關(guān)系 給定系統(tǒng)的完全能控性等價于對偶系統(tǒng)的完全能觀測性 給定系統(tǒng)的完全能觀測性等價于對偶系統(tǒng)的完全能控性 可根據(jù)能控性和能觀測性的秩判據(jù)對上述對偶原理進行證明 驗證 給定系統(tǒng)的能控性判別矩陣對偶系統(tǒng)的能觀測性判別矩陣 二者秩完全相同 給定系統(tǒng)的能觀測性判別矩陣對偶系統(tǒng)的能控性判別矩陣 二者秩完全相同 7 3 3單輸入單輸出系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型 對于完全能控或是完全能觀測的線性定常系統(tǒng) 如果單從能控性或是能觀測性這兩個基本特性出發(fā)構(gòu)造出一個非奇異變換 那么就可以把系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述在這一線性變換下 轉(zhuǎn)化成只有能控系統(tǒng)或能觀測系統(tǒng)才具有的標(biāo)準(zhǔn)形式 通常把這種標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)空間描述稱為能控規(guī)范型 能觀測規(guī)范型 能控性規(guī)范型 給定系統(tǒng) 且系統(tǒng)是完全能控的 有特征多項式為 定義常數(shù) 構(gòu)造變換矩陣 在變換下 可以導(dǎo)出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型 其中 舉例 給定系統(tǒng) 特征多項式為 非奇異變換矩陣 以及構(gòu)造常數(shù) 得到系統(tǒng)的能控性標(biāo)準(zhǔn)型 能觀測規(guī)范型 對上述給定系統(tǒng) 矩陣A的特征多項式及常數(shù)定義不變 利用能觀測性與能控性的對偶關(guān)系 可以定義非奇異變換矩陣 則利用變換關(guān)系 導(dǎo)出系統(tǒng)的能觀測規(guī)范型 其中 討論 1 能控性規(guī)范型和能觀測規(guī)范型是通過一種簡單的 明顯的方式把系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述與反應(yīng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性的特征多項式聯(lián)系起來 這對于討論系統(tǒng)的綜合控制及觀測器設(shè)計問題給予了很大的方便 如討論極點配置問題上 利用規(guī)范型中系統(tǒng)矩陣與特征多項式之間的關(guān)系可以輕易的寫出經(jīng)過配置后的能控規(guī)范型 與原始系統(tǒng)加以比較就可以很容易的找到相應(yīng)的控制輸入u 其他一些控制問題 如鎮(zhèn)定 跟蹤等都可以轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)臉O點配置問題 另外觀測器的設(shè)計也是基于能觀規(guī)范型提出的 2 代數(shù)等價系統(tǒng)的能控性與能觀測性保持不變 此外 對于完全能控 觀測 的兩個等價系統(tǒng)來講 雖然自身的狀態(tài)空間表達不一樣 但是他們的能控 觀測 規(guī)范型完全一樣 9 7 3 4結(jié)構(gòu)分解 本節(jié)從系統(tǒng)動態(tài)方程角度來討論不完全能控或不完全能觀測系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性 即把狀態(tài)方程按照能控性或能觀測性或同時按照二者進行結(jié)構(gòu)分解 把系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)以明顯的方式區(qū)分成能控的 不能控的 或是能觀測 不能觀測 或者分解成能控且能觀測部分 能控但不能觀測部分 不能控但能觀測部分以及不能控又不能觀測四部分 研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解 一方面是為了了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性 另一方面可以看出狀態(tài)空間描述與輸入輸出描述之間的本質(zhì)差別 對線性系統(tǒng)加以結(jié)構(gòu)分解是基于結(jié)論 兩個代數(shù)等價系統(tǒng)或是說對系統(tǒng)進行線性非奇異變換 并不會改變系統(tǒng)的能控性與能觀測性 也不改變系統(tǒng)的不完全能控及不完全能觀測程度 按能控性分解 不完全能控系統(tǒng) 在n個狀態(tài)中只有k個是能控的 其余n k個狀態(tài)是不能控的 按能控性進行結(jié)構(gòu)分解就是找到這k個能控的狀態(tài) 并寫出能控子系統(tǒng)與不能控子系統(tǒng)分別對應(yīng)的狀態(tài)方程 采用的方法就是線性非奇異變換 非奇異變換矩陣的構(gòu)造 從中任意選取k個線性無關(guān)列 記作 此外在從n維實數(shù)空間中任意選取n k個線性無關(guān)列向量 并保證這n k個列向量與原來的k個列向量都是線性無關(guān)的 這樣就組成了非奇異變換矩陣 通過非奇異變換 就可以把原系統(tǒng)按能控性進行結(jié)構(gòu)分解 注意 非奇異變換矩陣P任意的 所以結(jié)構(gòu)分解后得到的系統(tǒng)總體形式上雖然都一樣 但矩陣中具體的元素值是不同的 唯一確定不變的是 能控部分系統(tǒng)矩陣 是k維的 不能控部分系統(tǒng)矩陣 是n k維的 在這樣的分解規(guī)范表達式中 系統(tǒng)被明顯的分解成能控部分和不能控部分 能控部分的k維方程為 n k維不能控子系統(tǒng) 方塊圖 舉例 重新排序 討論 不能控部分是系統(tǒng)內(nèi)部完全不受外加作用控制的 經(jīng)線性非奇異變換后 系統(tǒng)特征值不變 即 系統(tǒng)特征值被分成兩部分 能控振型 不能控振型 經(jīng)非奇異變換后 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)保持不變 即 可見系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是一種不完全的描述 只能反應(yīng)出系統(tǒng)能控部分的特征值 10 按能觀測性分解 不完全能觀測系統(tǒng) 在n個狀態(tài)中只有k個是能觀測的 其余n k個狀態(tài)是不能觀測的 按能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解就是找到這k個能觀測的狀態(tài) 并寫出能觀測子系統(tǒng)與不能觀測子系統(tǒng)分別對應(yīng)的狀態(tài)方程 采用的方法就是線性非奇異變換 非奇異變換矩陣的構(gòu)造 從中任意選取k個線性無關(guān)行 記作 再從n維實數(shù)空間中任選n k個線性無關(guān)行向量并保證這n k個行向量與原來的k個行向量都是線性無關(guān)的 這樣就組成了非奇異變換矩陣 通過非奇異變換 就可以把原系統(tǒng)按能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解 注意 非奇異變換矩陣Q是任意的 所以結(jié)構(gòu)分解后得到的系統(tǒng)總體形式上雖然都一樣 但矩陣中具體的元素值是不同的 唯一確定不變的是 能觀測子系統(tǒng)矩陣 是k維的 不能觀測子系統(tǒng)矩陣 是n k維的 在這樣的分解規(guī)范表達式中 系統(tǒng)被明顯的分解成能觀測部分和不能觀測部分 其中能觀測部分的k維方程為 n k維不能觀測子系統(tǒng) 討論 系統(tǒng)的輸出完全體現(xiàn)了可測狀態(tài) 而不能觀測部分沒有輸出與之對應(yīng) 經(jīng)線性非奇異變換后 系統(tǒng)特征值不變 即 系統(tǒng)特征值被分成兩部分 能觀測和不能觀測特征值 經(jīng)非奇異變換后 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)保持不變 即 可見系統(tǒng)的傳遞函數(shù)只能反應(yīng)出系統(tǒng)能觀測部分的特征值 是一種不完全的描述 規(guī)范分解 如果系統(tǒng)是不完全能控且不完全能觀測的 那么單純對系統(tǒng)進行一次分解 按能控性或是能觀測性 并不可能對整個系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有完全的了解 這時必須進行二次分解 在能觀測性分解的基礎(chǔ)上進行能控性分解 這樣才可能對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有更好的了解 把同時按照能控性和能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解稱為規(guī)范分解 注意 規(guī)范分解時必須先按能觀測性進行分解 然后再進行能控性分解 而不能先對系統(tǒng)按能控性進行分解 然后再分別對能控子系統(tǒng)和不能控子系統(tǒng)按能觀測性分解 其原因就在于按能控性分解后得到的能控性子系統(tǒng)的輸出和不能控子系統(tǒng)的輸出之和才是整個系統(tǒng)真正的輸出 系統(tǒng)的能觀測性反映的是輸出對狀態(tài)的觀測能力 它與子系統(tǒng)的輸出和對狀態(tài)的觀測能力是不同的 所以分別對能控子系統(tǒng)和不能控子系統(tǒng)再按能觀測進行結(jié)構(gòu)分解 得到的結(jié)果可能是錯誤的 首先進行能觀測性分解得 能觀測和不能觀測狀態(tài)中同時都包括能控和不能控的兩部分 為此要對能觀測子系統(tǒng)和不能觀測子系統(tǒng)再按照能控性進行分解 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為只反應(yīng)出能控且能觀測那部分的特征值 而不能控或是不能觀測那部分的特征值模態(tài)再傳遞函數(shù)中并沒有體現(xiàn) 這些不能控或是不能觀測的模態(tài)代表了系統(tǒng)的內(nèi)部特征 在有關(guān)文獻中被稱為隱藏模態(tài) 所以說狀態(tài)空間描述要比輸入輸出描述全面 它不光能夠反應(yīng)出系統(tǒng)的外部特征 同時也可以體現(xiàn)系統(tǒng)的內(nèi)部特征 信息傳遞 不可控 不可觀 進 由不可控來 出 去不可觀 可控 不可觀 只進不出 有從u及可控來的 不可控 可觀 只出不進 有去y及可觀的 可控 可觀 進 出 卡爾曼 吉伯特定理 傳遞函數(shù)矩陣只反映系統(tǒng)即可控又可觀部分 11 本節(jié)開始討論線性系統(tǒng)的綜合問題 其研究內(nèi)容是已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) 參數(shù)以及所期望得到的系統(tǒng)運動形式或是其他某些特征 需要確定施加于系統(tǒng)的外加輸入作用 也就是控制律 反饋是系統(tǒng)綜合設(shè)計的主要方法 由于在經(jīng)典控制論中系統(tǒng)采用傳遞函數(shù)描述 只能是采用輸出量作為反饋變量 而現(xiàn)代控制理論由于采用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量來描述系統(tǒng) 因此除了輸出反饋形式以外 還常常采用狀態(tài)反饋 7 4線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋與極點配置 問題的提法性能指標(biāo)的類型綜合問題的研究步驟工程實現(xiàn)中的一些問題 7 4 1綜合問題簡介 1 問題的提法 綜合問題就是尋找一個適當(dāng)?shù)目刂谱饔胾 使得系統(tǒng)在其作用下的運動行為滿足所給出的期望性能指標(biāo) 這個性能指標(biāo)即可能是對其運動過程所給定的某種期望形式 也可能是對系統(tǒng)運動狀態(tài)期望形式所規(guī)定的某些特征向量 再或者就是某個需要去極小和極大值的一個性能函數(shù) 2 性能指標(biāo)的類型 綜合問題中的期望性能指標(biāo)可以區(qū)分成非優(yōu)化型性能指標(biāo)和優(yōu)化型性能指標(biāo)兩種 這兩者之間的差別就在于非優(yōu)化型性能指標(biāo)是一類不等式型的指標(biāo) 也就是說只有性能值達到或者好于性能指標(biāo) 就算實現(xiàn)了綜合控制目標(biāo) 而優(yōu)化型指標(biāo)是一類極值型指標(biāo) 就是要求性能指標(biāo)在所有值中取為最小或是最大值 非優(yōu)化型性能指標(biāo) 鎮(zhèn)定問題 以系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性為性能指標(biāo)極點配置問題 以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點作為性能指標(biāo)解耦控制 以多輸入多輸出系統(tǒng)實現(xiàn) 一個輸入只控制一個輸出 作為性能指標(biāo)跟蹤問題 把系統(tǒng)輸出y無靜差地跟蹤一個外部信號作為性能指標(biāo) 這個外部信號可以是直接給定的某個非零時間函數(shù) 也可以使由某個動態(tài)系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生 再或者是給定參考信號恒為零 相應(yīng)的綜合問題就可以稱為跟蹤 匹配 調(diào)節(jié) 優(yōu)化型性能指標(biāo) 通常取成相對于狀態(tài)x和控制u的二次型積分函數(shù) 其中 R是正定對稱常陣 Q是對稱正定常陣或是滿足 A Q1 2 能觀測的半正定對稱常陣對于不同的綜合問題 需要確定出合適的加權(quán)矩陣Q和R 而綜合的任務(wù)就是要找到一個控制u 使得相應(yīng)的性能指標(biāo)J u 取為極小值 這就是最優(yōu)控制問題 確切地說是線性二次型最優(yōu)控制問題 即LQ調(diào)節(jié)器問題 3 綜合問題的研究步驟 第一步建立可綜合條件 就是相對于給定的受控系統(tǒng)和給定的期望性能指標(biāo) 找到使相應(yīng)控制存在并且能實現(xiàn)綜合目標(biāo)所應(yīng)滿足的條件第二步建立相應(yīng)的綜合控制規(guī)律算法 利用這些算法對滿足可綜合條件的問題 確定出滿足要求的控制律 4 工程實現(xiàn)中的一些問題 狀態(tài)反饋的構(gòu)成問題系統(tǒng)模型的不準(zhǔn)確和參數(shù)攝動問題對外部擾動的影響和抑制問題 7 4 2狀態(tài)反饋與輸出反饋 控制作用u一般是依賴于系統(tǒng)的實際響應(yīng) 也就是說控制作用u可以表示成系統(tǒng)狀態(tài)或輸出的一個線性向量函數(shù) 簡稱狀態(tài)反饋或輸出反饋 其結(jié)構(gòu)圖如下 狀態(tài)反饋與輸出反饋的構(gòu)成 顯然兩種反饋都改變了系統(tǒng)的系數(shù)矩陣 但并不能說這兩種反饋形式在改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)屬性和實現(xiàn)性能指標(biāo)方面具有相同的功效 事實上 在改善系統(tǒng)性能方面 狀態(tài)反饋的效果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于輸出反饋 而輸出反饋的作用要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于狀態(tài)反饋 狀態(tài) 輸出反饋對系統(tǒng)性能的影響 結(jié)論1 狀態(tài)反饋的引入不改變系統(tǒng)的能控性 但可能改變系統(tǒng)的能觀測性 結(jié)論2 輸出反饋的引入能夠同時不改變系統(tǒng)的能控性和能觀測性注意 系統(tǒng)經(jīng)過反饋之后 能控性 或能觀測性 不發(fā)生改變 包含兩部分的意義 對于完全能控 或完全能觀測 的系統(tǒng)來講 反饋系統(tǒng)仍舊是完全能控的 或完全能觀測的 另外對于不完全能控 或不完全能觀測 的系統(tǒng)來講 反饋后系統(tǒng)能控 或能觀測 子空間及不能控 或不能觀測 子空間的維數(shù)保持不變 結(jié)論1證明 PBH特征向量方法 對A的任一特征值使同時滿足的特征向量對于反饋控制系統(tǒng)有 反饋系統(tǒng)與被控系統(tǒng)的能控性判別條件相同 例 給定系統(tǒng) 1 判斷能控性和能觀測性 完全能控 完全能觀 2 引入反饋 K 04 可得反饋系統(tǒng) 判斷反饋系統(tǒng)能控性和能觀測性 完全能控 不完全能觀測 3 引入反饋 K 05 可得反饋系統(tǒng) 判斷反饋系統(tǒng)能控性和能觀測性 完全能控 完全能觀測 狀態(tài)反饋與輸出反饋的比較 從反饋信息性質(zhì)的角度比較 狀態(tài)反饋所反饋的信息是系統(tǒng)的狀態(tài) 是一種可以完全表征系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的信息 所以狀態(tài)反饋又稱為完全的系統(tǒng)信息反饋 而輸出反饋所反饋的信息是系統(tǒng)輸出 這是一種不完全的系統(tǒng)信息反饋 一般來說要想是系統(tǒng)獲得良好的動態(tài)性能 必須采用完全的信息反饋 也就是狀態(tài)反饋 從改善系統(tǒng)性能上比較 狀態(tài)反饋要比輸出反饋強 但也不是說就不再用輸出反饋 要想使輸出反饋也能達到滿意的性能 就應(yīng)該引入串聯(lián)補償器和并聯(lián)補償器 構(gòu)成一個動態(tài)的輸出反饋系統(tǒng) 通常情況下 補償器是階次較低的線性系統(tǒng) 它的引入提高了整個反饋系統(tǒng)的階次 這也是它的一個主要缺點 從反饋系統(tǒng)的工程實現(xiàn)角度比較 因為輸出變量是可以直接測量的 因此輸出反饋顯然要比狀態(tài)反饋更容易在工程中實現(xiàn) 從這一點上來看 輸出反饋要優(yōu)于狀態(tài)反饋 要想解決狀態(tài)反饋的實現(xiàn)問題 就必須引入一個附加的狀態(tài)觀測器 帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)也存在著一個明顯的缺點 大大地提高整個反饋系統(tǒng)的階次 7 4 3狀態(tài)反饋極點配置 狀態(tài)反饋極點配置問題就是找到這樣一個反饋控制 使得所導(dǎo)出的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點達到期望極點 進行極點配置的主要原因就在于通常情況下 期望的閉環(huán)極點體現(xiàn)了綜合問題中的一些性能指標(biāo) 如時域中的過渡過程時間 超調(diào)量 調(diào)整時間以及頻域中的增益穩(wěn)定裕度 相位穩(wěn)定裕度等這些直觀的系統(tǒng)性能指標(biāo)經(jīng)過轉(zhuǎn)換 經(jīng)驗估計 可以對應(yīng)系統(tǒng)的極點位置 進行極點配置實際上就是讓系統(tǒng)達到所要求的性能指標(biāo) 極點配置條件 定理 線性定常系統(tǒng)可以通過線性狀態(tài)反饋在S平面上任意配置其全部極點和特征頻率的充要條件是系統(tǒng)是 A B 完全能控的 理解 如果系統(tǒng)不完全能控 通過結(jié)構(gòu)分解 系統(tǒng)可以分解成兩個小子系統(tǒng) 能控與不能控的 取狀態(tài)反饋顯然狀態(tài)反饋只能改變能控子系統(tǒng)的特征頻率 而對不能控部分卻絲毫不起作用 因此只有當(dāng)系統(tǒng)完全能控時 才可以在S平面上任意配置其特征頻率 12 單變量系統(tǒng) SI 的極點配置算法 判斷系統(tǒng)是否能控 如果是 則系統(tǒng)可以進行極點任意配置 繼續(xù)第二步 否則停止 計算A矩陣的特征多項式 確定閉環(huán)系統(tǒng)的期望特征多項式 計算增益矩陣 計算非奇異變換矩陣P 將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型 反饋增益矩陣 算法思路 能控標(biāo)準(zhǔn)型是將狀態(tài)空間表達形式與系統(tǒng)特征根或特征多項式聯(lián)系的最簡形式 而任意給定的系統(tǒng)通常不具有能控標(biāo)準(zhǔn)型的形式 首先采用非奇異變換 把系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)型 要想將此標(biāo)準(zhǔn)型的極點配置到期望值所采用的反饋為 即 因為所需狀態(tài)反饋是針對初始狀態(tài)x 而不是變換后的 所以對上述反饋增益矩陣要再經(jīng)過一次變換才可以 即其中就是所需要的狀態(tài)反饋增益矩陣 注意 如果是低階系統(tǒng) n 3 則將線性反饋增益矩陣K直接代入期望的特征多項式 可能更為簡便 例如 若n 3 則可將狀態(tài)反饋增益矩陣K寫為將該陣K代入期望特征多項式 并使令方程兩端s同次冪系數(shù)相等可以確定k1 k2 k3的值 例1 考慮如下線性定常系統(tǒng) 式中希望該系統(tǒng)閉環(huán)極點為s 2 j4和s 10 試確定狀態(tài)反饋增益矩陣K 解 首先需檢驗該系統(tǒng)的能控性矩陣 系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的 可任意配置極點 下面用前面介紹的2種方法分別求解 方法1 采用單變量系統(tǒng)的極點配置算法 該系統(tǒng)的特征方程為 期望的特征方程為參照式 且系統(tǒng)表達本身就是能控標(biāo)準(zhǔn)形 即P為單位陣 可得 方法2 設(shè)期望的狀態(tài)反饋增益為 并使和期望的特征多項式相等 可得 因此從中可得顯然 這兩種方法所得到的反饋增益矩陣K是相同的 使用狀態(tài)反饋方法 正如所期望的那樣 可將閉環(huán)極點配置在s 2 j4和s 10處 注意 對于單輸入單輸出系統(tǒng)而言 狀態(tài)反饋并不會改變系統(tǒng)的零點 但是可能會出現(xiàn)這種情況 引入狀態(tài)反饋后 恰好把某些極點配置到與零點相同的位置上 從而產(chǎn)生了零極點對消 造成了被抵消的極點變成不可觀測 這就是狀態(tài)反饋可能引起系統(tǒng)能觀測性發(fā)生改變的直觀解釋 從極點配置條件可知 只要系統(tǒng)是完全能控的 那么無論系統(tǒng)開環(huán)矩陣是否穩(wěn)定 都可以通過適當(dāng)選擇的反饋矩陣使得系統(tǒng)變成穩(wěn)定 而且控制作用的大小與閉環(huán)極點的位置有關(guān) 開環(huán)極點經(jīng)反饋后被移動的幅度越大 那么反饋的控制作用越劇烈 反饋增益也就越大 對于給定系統(tǒng)和期望性能指標(biāo) 狀態(tài)反饋矩陣K不唯一 而是依賴于期望閉環(huán)極點的位置 首先工程上要求系統(tǒng)都是穩(wěn)定的 所以閉環(huán)極點一定選在左半平面上 另外如果系統(tǒng)是2階的 那么系統(tǒng)的動態(tài)特性 響應(yīng)特性 正好與系統(tǒng)期望的閉環(huán)極點和零點的位置聯(lián)系起來 對于更高階的系統(tǒng) 通?？梢愿鶕?jù)上升時間 超調(diào)量 回復(fù)時間等性能指標(biāo) 按照主導(dǎo)極點的原則來選取所期望的閉環(huán)極點位置 在確定K時 最好通過計算機仿真來檢驗系統(tǒng)在幾種不同矩陣 基于幾種不同的所期望的特征方程 下的響應(yīng)特性 并且選出使系統(tǒng)總體性能最好的矩陣K 輸出反饋的極點配置問題 給定SISO系統(tǒng) 取輸出反饋為閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為其中輸出反饋的閉環(huán)特征方程為 輸出反饋閉環(huán)極點分布在當(dāng)時 從開環(huán)極點出發(fā)到開環(huán)零點中止的這樣一條軌線上 這就體現(xiàn)了輸出反饋的局限性 即它不能任意配置系統(tǒng)的極點 如果在引入輸出反饋的同時 適當(dāng)?shù)剡x取補償器的結(jié)構(gòu)和特性 那么就可以實現(xiàn)輸出反饋系統(tǒng)的全部極點任意配置 13 鎮(zhèn)定問題 狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定就是找到這樣一個狀態(tài)反饋u kx v 使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的 也就是它的系統(tǒng)矩陣 A Bk 的特征值都具有負(fù)實部 實際上 鎮(zhèn)定問題可以看作狀態(tài)反饋極點配置問題中的一個特例 只不過不是把極點配置到任意指定的位置上 而是把它配置在s復(fù)平面的左半開平面內(nèi) 所以通常這類問題又稱為區(qū)域型極點配置問題 線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的充要條件是該系統(tǒng)的不能控部分是漸近穩(wěn)定的 可鎮(zhèn)定條件 鎮(zhèn)定算法 將系統(tǒng) A B 按能控性進行分解 導(dǎo)出能控 不能控子系統(tǒng)方程及變換矩陣P 求出不能控部分的特征根 判定其是否穩(wěn)定 如果是 則繼續(xù) 否則 停止算法 對于能控部分的鎮(zhèn)定問題 可選取具有負(fù)實部的極點 按照極點配置算法將其極點配置到期望值 從而實現(xiàn)系統(tǒng)鎮(zhèn)定 例 給定系統(tǒng) a 問系統(tǒng)是否能控 若完全能控 則化成能控標(biāo)準(zhǔn)形 若不完全能控 則分別寫出能控 不能控子系統(tǒng)表達式 b 問能否設(shè)計狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點為 2 3 4 請說明原因 解 能控性判別矩陣秩 2 所以系統(tǒng)不完全能控 按照能控性進行結(jié)構(gòu)分解 選擇變換矩陣通過坐標(biāo)變換 結(jié)構(gòu)分解得 可見系統(tǒng)不能控的特征根為 2 是穩(wěn)定的 所以可以將極點配置到 2 3 4 例 已知被控系統(tǒng)由以下3個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成 如圖所示 試以圖中標(biāo)出狀態(tài)為狀態(tài)變量 列寫狀態(tài)方程 并設(shè)計狀態(tài)反饋矩陣K 使閉環(huán)極點為 3 并畫出閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 解 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達為 判定能控性系統(tǒng)能控 故可以進行極點任意配置 極點配置 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 7 5 1全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計 考慮如下線性定常系統(tǒng)在有關(guān)狀態(tài)觀測器的討論中 用表示被觀測狀態(tài) 設(shè)計思路 利用系數(shù)矩陣 A B C 來對被估計系統(tǒng)進行直接復(fù)制 即可達到狀態(tài)重構(gòu)的目的 如果保證觀測器的初始狀態(tài)和輸入與給定系統(tǒng)的完全相同 那么就可以實現(xiàn)在整個時間區(qū)域上的狀態(tài)復(fù)制 這是一種完全的狀態(tài)重構(gòu) 一般來講 這種開環(huán)型的觀測器本身沒有任何的實際價值 上述開環(huán)型的觀測器很難應(yīng)用 主要缺點有 一要使用此觀測器必須計算出系統(tǒng)的初始狀態(tài) 并設(shè)置觀測器的初始狀態(tài)與給定系統(tǒng)相同 二是如果系數(shù)矩陣A中包含了不穩(wěn)定特征根的話 那么即使觀測器和給定系統(tǒng)的初始狀態(tài)存在微小的差異 也會隨著時間的增加而無限放大 誤差方程為 引入一個修正項 這時就利用給定系統(tǒng)的輸入和輸出構(gòu)成了反饋型觀測器 觀測器增益矩陣起到加權(quán)矩陣的作用 修正項監(jiān)控狀態(tài)變量 使其漸近跟蹤系統(tǒng)的真實狀態(tài) 誤差動態(tài)由A LC特征值決定 選擇適當(dāng)L使得誤差動態(tài)特性漸近穩(wěn)定且足夠快 則任意誤差向量e t 都將以足夠快的速度趨近于零 原點 稱為x t 的漸近估計或重構(gòu) 觀測器誤差方程 可觀測條件 全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計問題 是確定觀測器增益矩陣L 使得誤差動態(tài)方程以足夠快的響應(yīng)速度漸近穩(wěn)定 漸近穩(wěn)定性和誤差動態(tài)方程的響應(yīng)速度由矩陣A LC的特征值決定 因此 全維觀測器的設(shè)計就歸結(jié)為如何確定適當(dāng)?shù)腖 使得A LC具有期望的特征值 此時 全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計問題實際上就變成了與極點配置相同的問題 觀測條件 系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器存在的充要條件是對偶系統(tǒng)完全能控或給定系統(tǒng)是完全能觀測的 在設(shè)計全維狀態(tài)觀測器時 求解如下對偶系統(tǒng)的極點配置問題 如果對偶系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的 則可確定狀態(tài)反饋增益矩陣K 使得反饋閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣得到一組期望的特征值 注意到與觀測器系統(tǒng)矩陣的特征多項式相比較 可找出L和K的關(guān)系為因此 觀測器問題與極點配置問題具有對偶關(guān)系 即 SISO 全維狀態(tài)觀測器的B G算法 能觀標(biāo)準(zhǔn)型是將狀態(tài)空間表達形式與系統(tǒng)特征根聯(lián)系的最簡形式 而任意給定的系統(tǒng)通常不具有能觀標(biāo)準(zhǔn)型的形式 所以首先采用非奇異變換 把系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)型 要想將此標(biāo)準(zhǔn)型對偶系統(tǒng)的極點配置到期望值所采用的增益矩陣為 即 上述觀測器增益是針對變換后的狀態(tài) 而不是初始狀態(tài)空間x 所以需對其進行變換回到原空間 即觀測器的方程為 求觀測器增益矩陣L的直接代入法 與極點配置算法的情況類似 如果系統(tǒng)是低階的 n 3 可將矩陣L直接代入期望的特征多項式進行計算 例如 若x是一個3維向量 則觀測器增益矩陣L可寫為 將L代入期望的特征多項式通過使上式兩端s的同次冪系數(shù)相等 即可確定出l1 l2和l3的值 如果n 1 2或3 其中n是狀態(tài)向量x的維數(shù) 則該方法十分簡便 雖然該方法可應(yīng)用于n 4 5 6 的情況 但計算有可能非常繁瑣 Luenberger曾經(jīng)指出 當(dāng)觀測器期望極點的實部太負(fù) 使衰減太快 將導(dǎo)致觀測器的作用接近于一個微分器 從而使頻帶加寬 不能避免地將高頻噪聲分量放大 而且也存在觀測器的可實現(xiàn)性問題 因為衰減速度太快 則矩陣較大 因此進行觀測器本身的極點配置時 只需使觀測器的期望極點比由此組成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)的特征值稍大一些即可 一般地 選擇的期望特征值 應(yīng)使?fàn)顟B(tài)觀測器的響應(yīng)速度至少比所考慮的閉環(huán)系統(tǒng)快2 5倍 迄今為止 我們假設(shè)觀測器中的矩陣A B C與實際系統(tǒng)中的嚴(yán)格相同 實際上 這做不到 因此 誤差動態(tài)方程不可能由給出 這意味著誤差不可能趨于零 因此 應(yīng)盡量建立觀測器的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型 以使相應(yīng)的誤差小到令人滿意的程度 幾點說明 3 作為對觀測器動態(tài)方程修正的觀測器增益矩陣L 通過反饋信號來考慮系統(tǒng)中的未知因素 如果含有明顯的未知因素 那么利用矩陣L的反饋信號也應(yīng)該比較大 然而另一方面 如果由于干擾和測量噪聲使輸出信號受到嚴(yán)重干擾 則輸出y是不可靠的 因此 由矩陣L引起的反饋信號應(yīng)該比較小 在決定矩陣時 應(yīng)該仔細(xì)檢查包含在輸出y中的干擾和噪聲的影響 4 應(yīng)強調(diào)的是觀測器增益矩陣L依賴于期望的特征根 在許多情況中 1 2 n的選取不是唯一的 在設(shè)計狀態(tài)觀測器時 最好在幾個不同的期望特征方程的基礎(chǔ)上決定L 對不同的矩陣L必須進行仿真驗證 以評估系統(tǒng)的最終性能 應(yīng)從系統(tǒng)總體性能的觀點來選取最好的 在許多實際問題中 最優(yōu)矩陣的選取 歸結(jié)為對快速響應(yīng)及對干擾和噪聲靈敏性之間的一種折衷 幾點說明 14 例 考慮如下的線性定常系統(tǒng) 式中設(shè)計一個全維狀態(tài)觀測器 期望特征值為 解 先檢驗系統(tǒng)的能觀測性 即秩為2 系統(tǒng)是完全能觀測的 并且可確定期望的觀測器增益矩陣 將用2種方法來求解該問題 方法1 由于該狀態(tài)空間表達式已是能觀測標(biāo)準(zhǔn)形 因此變換矩陣Q I 由于給定系統(tǒng)的特征方程為觀測器的期望特征方程為 故觀測器增益矩陣可求得如下則觀測器方程為 方法2 直接代入法 定義 則此時特征方程為 期望的特征方程為二者比較可得即無論采用什么方法 所得的都是相同的 7 5 2最小階觀測器 全維觀測器是重構(gòu)所有的系統(tǒng)狀態(tài)變量 實際上 有一些狀態(tài)變量是可以準(zhǔn)確量測的 對此類狀態(tài)變量就不必估計了 假設(shè)狀態(tài)x為n維向量 輸出量y為可