高考數(shù)學一輪復習 第十四章 系列4選講 14.3 課時1 坐標系課件 理.ppt

14 3坐標系與參數(shù)方程 課時1坐標系 內容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 1 平面直角坐標系設點p x y 是平面直角坐標系中的任意一點 在變換 的作用下 點p x y 對應到點p x y 稱 為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換 簡稱伸縮變換 知識梳理 1 答案 2 極坐標系 1 極坐標與極坐標系的概念在平面上取一個定點o 自點o引一條射線ox 同時確定一個長度單位和計算角度的正方向 通常取逆時針方向為正方向 這樣就建立了一個極坐標系 點o稱為極點 射線ox稱為極軸 平面內任一點m的位置可以由線段om的長度 和從射線ox到射線om的角度 來刻畫 如圖所示 這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對 稱為點m的極坐標 稱為點m的 稱為點m的 由極徑的意義可知 0 當極角 的取值范圍是 0 2 時 平面上的點 除去極點 就與極坐標 0 建立一一對應的關系 我們設定 極點的極坐標中 極徑 0 極角 可取任意角 極徑 極角 答案 2 極坐標與直角坐標的互化設m為平面內的一點 它的直角坐標為 x y 極坐標為 由圖可知下面關系式成立 這就是極坐標與直角坐標的互化公式 或 答案 3 常見曲線的極坐標方程 r 0 2 2rcos 2rsin 0 答案 cos a sin a 0 答案 過點 0 2 且與x軸平行的直線方程為y 2 即為 sin 2 考點自測 2 解析答案 1 2 3 解析答案 1 2 3 3 在以o為極點的極坐標系中 圓 4sin 和直線 sin a相交于a b兩點 當 aob是等邊三角形時 求a的值 解析答案 1 2 3 返回 解由 4sin 可得x2 y2 4y 即x2 y 2 2 4 由 sin a可得y a 設圓的圓心為o y a與x2 y 2 2 4的兩交點a b與o構成等邊三角形 如圖所示 由對稱性知 o ob 30 od a 1 2 3 返回 題型分類深度剖析 例1 1 以直角坐標系的原點為極點 x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系 求線段y 1 x 0 x 1 的極坐標方程 y 1 x化成極坐標方程為 cos sin 1 0 x 1 線段在第一象限內 含端點 題型一極坐標與直角坐標的互化 解析答案 2 在極坐標系中 曲線c1和c2的方程分別為 sin2 cos 和 sin 1 以極點為平面直角坐標系的原點 極軸為x軸的正半軸 建立平面直角坐標系 求曲線c1和c2交點的直角坐標 解因為x cos y sin 由 sin2 cos 得 2sin2 cos 所以曲線c1的直角坐標方程為y2 x 由 sin 1 得曲線c2的直角坐標方程為y 1 解析答案 思維升華 1 極坐標與直角坐標互化的前提條件 極點與原點重合 極軸與x軸的正半軸重合 取相同的單位長度 2 直角坐標方程化為極坐標方程比較容易 只要運用公式x cos 及y sin 直接代入并化簡即可 而極坐標方程化為直角坐標方程則相對困難一些 解此類問題常通過變形 構造形如 cos sin 2的形式 進行整體代換 思維升華 1 曲線c的直角坐標方程為x2 y2 2x 0 以原點為極點 x軸的正半軸為極軸建立極坐標系 求曲線c的極坐標方程 解將x2 y2 2 x cos 代入x2 y2 2x 0 得 2 2 cos 0 整理得 2cos 跟蹤訓練1 解析答案 2 求在極坐標系中 圓 2cos 垂直于極軸的兩條切線方程 解由 2cos 得 2 2 cos 化為直角坐標方程為x2 y2 2x 0 即 x 1 2 y2 1 其垂直于x軸的兩條切線方程為x 0和x 2 解析答案 例2將圓x2 y2 1上每一點的橫坐標保持不變 縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍 得曲線c 1 寫出曲線c的方程 解設 x1 y1 為圓上的點 在已知變換下變?yōu)榍€c上的點 x y 題型二求曲線的極坐標方程 解析答案 2 設直線l 2x y 2 0與c的交點為p1 p2 以坐標原點為極點 x軸正半軸為極軸建立極坐標系 求過線段p1p2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程 化為極坐標方程 并整理得2 cos 4 sin 3 解析答案 思維升華 求曲線的極坐標方程的步驟 1 建立適當?shù)臉O坐標系 設p 是曲線上任意一點 2 由曲線上的點所適合的條件 列出曲線上任意一點的極徑 和極角 之間的關系式 3 將列出的關系式進行整理 化簡 得出曲線的極坐標方程 思維升華 令 0 得 1 所以圓c的圓心坐標為 1 0 于是圓c過極點 所以圓c的極坐標方程為 2cos 跟蹤訓練2 解析答案 例3 2015 課標全國 在直角坐標系xoy中 直線c1 x 2 圓c2 x 1 2 y 2 2 1 以坐標原點為極點 x軸的正半軸為極軸建立極坐標系 1 求c1 c2的極坐標方程 解因為x cos y sin 所以c1的極坐標方程為 cos 2 c2的極坐標方程為 2 2 cos 4 sin 4 0 題型三極坐標方程的應用 解析答案 由于c2的半徑為1 所以 c2mn為等腰直角三角形 解析答案 思維升華 1 已知極坐標系方程討論位置關系時 可以先化為直角坐標方程 2 在曲線的方程進行互化時 一定要注意變量的范圍 注意轉化的等價性 思維升華 圓 4可化為x2 y2 16 跟蹤訓練3 解析答案 返回 思想方法感悟提高 在用方程解決直線 圓和圓錐曲線的有關問題時 將極坐標方程化為直角坐標方程 有助于對方程所表示的曲線的認識 從而達到化陌生為熟悉的目的 這是轉化與化歸思想的應用 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 2 在極坐標系 0 2 中 求曲線 cos sin 1與 sin cos 1的交點的極坐標 解曲線 cos sin 1化為直角坐標方程為x y 1 sin cos 1化為直角坐標方程為y x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 3 在極坐標系中 已知圓 3cos 與直線2 cos 4 sin a 0相切 求實數(shù)a的值 解圓 3cos 的直角坐標方程為x2 y2 3x 直線2 cos 4 sin a 0的直角坐標方程為2x 4y a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 解以極點為坐標原點 極軸為x軸建立直角坐標系 則曲線 2cos 的直角坐標方程為 x 1 2 y2 1 且圓心為 1 0 因為圓心 1 0 關于y x的對稱點為 0 1 所以圓 x 1 2 y2 1關于y x的對稱曲線為x2 y 1 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解對曲線c1的極坐標方程進行轉化 12sin 2 12 sin x2 y2 12y 0 即x2 y 6 2 36 對曲線c2的極坐標方程進行轉化 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 解設p 點的極坐標為 pop 為正三角形 如圖所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 8 在極坐標系中 判斷直線 cos sin 1 0與圓 2sin 的位置關系 解直線 cos sin 1 0可化成x y 1 0 圓 2sin 可化為x2 y2 2y 即x2 y 1 2 1 故直線與圓相交 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 1 將m n p三點的極坐標化為直角坐標 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 2 判斷m n p三點是否在一條直線上 kmn knp m n p三點在一條直線上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析答案 10 在直角坐標系xoy中 以o為極點 x軸正半軸為極軸建立極