高中導(dǎo)數(shù)題的解題技巧.doc

選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬(wàn)張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫(kù)導(dǎo)數(shù)題的解題技巧【命題趨向】導(dǎo)數(shù)命題趨勢(shì)：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)函數(shù)單調(diào)性函數(shù)極值函數(shù)最值導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【考點(diǎn)透視】1了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念2熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)）；會(huì)求一些實(shí)際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值【例題解析】考點(diǎn)1 導(dǎo)數(shù)的概念對(duì)概念的要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，掌握導(dǎo)數(shù)在一點(diǎn)處的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念. 例1（2006年遼寧卷）與方程的曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線的方程為A. B. C. D. 考查目的本題考查了方程和函數(shù)的關(guān)系以及反函數(shù)的求解.同時(shí)還考查了轉(zhuǎn)化能力解答過程，即：，所以.故選A.例2. ( 2006年湖南卷）設(shè)函數(shù),集合M=,P=,若MP,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( ) A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和集合等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力.解答過程由綜上可得MP時(shí), 考點(diǎn)2 曲線的切線（1）關(guān)于曲線在某一點(diǎn)的切線求曲線y=f(x)在某一點(diǎn)P（x,y）的切線，即求出函數(shù)y=f(x)在P點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)的切線的斜率.（2）關(guān)于兩曲線的公切線 若一直線同時(shí)與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.典型例題例3.（2004年重慶卷）已知曲線y=x3+，則過點(diǎn)P（2，4）的切線方程是_.思路啟迪：求導(dǎo)來(lái)求得切線斜率.解答過程：y=x2，當(dāng)x=2時(shí)，y=4.切線的斜率為4.切線的方程為y4=4（x2），即y=4x4.答案：4xy4=0.例4.（2006年安徽卷）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）A B C D考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力.解答過程與直線垂直的直線為，即在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為.故選A.例5 ( 2006年重慶卷)過坐標(biāo)原點(diǎn)且與x2+y2 -4x+2y+=0相切的直線的方程為 ( )A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x 考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和圓的方程、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力.解答過程解法1：設(shè)切線的方程為又故選A.解法2:由解法1知切點(diǎn)坐標(biāo)為由故選A.例6.已知兩拋物線, 取何值時(shí)，有且只有一條公切線，求出此時(shí)公切線的方程.思路啟迪：先對(duì)求導(dǎo)數(shù).解答過程：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點(diǎn)P()處的切線方程為，即 曲線在點(diǎn)Q的切線方程是即 若直線是過點(diǎn)P點(diǎn)和Q點(diǎn)的公切線，則式和式都是的方程，故得，消去得方程， 若=，即時(shí)，解得，此時(shí)點(diǎn)P、Q重合.當(dāng)時(shí)，和有且只有一條公切線，由式得公切線方程為 .考點(diǎn)3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中學(xué)階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而有力的工具，特別是對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性，以“導(dǎo)數(shù)”為工具，能對(duì)其進(jìn)行全面的分析，為我們解決求函數(shù)的極值、最值提供了一種簡(jiǎn)明易行的方法，進(jìn)而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結(jié)合起來(lái)，極大地豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法.復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)高度重視以下問題:1. 求函數(shù)的解析式; 2. 求函數(shù)的值域; 3.解決單調(diào)性問題; 4.求函數(shù)的極值（最值）;5.構(gòu)造函數(shù)證明不等式.典型例題例7（2006年天津卷）函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè)D 4個(gè)考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖象性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力.解答過程由圖象可見,在區(qū)間內(nèi)的圖象上有一個(gè)極小值點(diǎn).故選A.例8. 設(shè)為三次函數(shù)，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，的極小值為，求出函數(shù)的解析式.思路啟迪：先設(shè)，再利用圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱確定系數(shù).解答過程：設(shè)，因?yàn)槠鋱D象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即，得由，依題意，解之，得.故所求函數(shù)的解析式為. 例9.函數(shù)的值域是_.思路啟迪：求函數(shù)的值域，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解，也可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值。此例的形式結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，采用導(dǎo)數(shù)法求解較為容易。解答過程：由得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，又，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，而，的值域是.例10（2006年天津卷）已知函數(shù)，其中為參數(shù)，且（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)是否有極值；（2）要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)（2）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍考查目的本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.解答過程（）當(dāng)時(shí)，則在內(nèi)是增函數(shù)，故無(wú)極值.（），令，得.由（），只需分下面兩種情況討論. 當(dāng)時(shí)，隨x的變化的符號(hào)及的變化情況如下表：x0+0-0+極大值極小值因此，函數(shù)在處取得極小值，且.要使，必有，可得.由于，故.當(dāng)時(shí)，隨x的變化，的符號(hào)及的變化情況如下表：+0-0+極大值極小值因此，函數(shù)處取得極小值，且若，則.矛盾.所以當(dāng)時(shí)，的極小值不會(huì)大于零.綜上，要使函數(shù)在內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)的取值范圍為.（III）解：由（II）知，函數(shù)在區(qū)間與內(nèi)都是增函數(shù)。由題設(shè)，函數(shù)內(nèi)是增函數(shù)，則a須滿足不等式組 或 由（II），參數(shù)時(shí)時(shí)，.要使不等式關(guān)于參數(shù)恒成立，必有，即.綜上，解得或.所以的取值范圍是.例11(2006年山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.考查目的本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法,函數(shù)的極值的判定,考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力解答過程由已知得函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，（2）當(dāng)時(shí)，由解得、隨的變化情況如下表0+極小值從上表可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增.例12（2006年北京卷）已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，如圖所示.求：（）的值；（）的值.考查目的本小題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)的極值的判定,閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值, 函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用,考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力解答過程解法一：（）由圖像可知，在上，在上，在上,故在上遞增，在上遞減，因此在處取得極大值，所以（）由得解得解法二：（）同解法一（）設(shè)又所以由即得所以例13（2006年湖北卷）設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).（）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，.若存在使得成立，求的取值范圍.考查目的本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.解答過程（）f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a，則 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是極值點(diǎn)，所以x+a+10，那么a4.當(dāng)a3x1，則在區(qū)間（，3）上，f (x)0，f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（a1，）上，f (x)4時(shí)，x23x1，則在區(qū)間（，a1）上，f (x)0，f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（3，）上，f (x)0時(shí)，f (x)在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，那么f (x)在區(qū)間0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e30，f (3)a6，那么f (x)在區(qū)間0，4上的值域是（2a3）e3，a6.又在區(qū)間0，4上是增函數(shù)，且它在區(qū)間0，4上的值域是a2，（a2）e4，由于（a2）（a6）a2a（）20，所以只須僅須（a2）（a6）0，解得0a0時(shí)，f(0)為極大值C、b=0 D、當(dāng)a0時(shí)，f(0)為極小值11、已知函數(shù)y=2x3+ax2+36x-24在x=2處有極值，則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是( )A、（2，3） B、（3，+）C、（2，+）D、（-，3）12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的實(shí)數(shù)解的集合中( )A、至少有2個(gè)元素 B、至少有3個(gè)元素 C、至多有1個(gè)元素 D、恰好有5個(gè)元素二、填空題13.若f(x0)=2, =_.14.設(shè)f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),則f(0)=_.15.函數(shù)f(x)=loga(3x2+5x2)(a0且a1)的單調(diào)區(qū)間_.16.在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽開時(shí)它的面積最大.三、解答題17.已知曲線C：y=x33x2+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(diǎn)(x0,y0)(x00)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).18.求函數(shù)f(x)=p2x2(1-x)p(pN+)，在0，1內(nèi)的最大值.19.證明雙曲線xy=a2上任意一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸組成的三角形面積等于常數(shù).20.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=(x22x+3)e2x;(2)y=.21.有一個(gè)長(zhǎng)度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3 m/s的速度離開墻腳滑動(dòng)，求當(dāng)其下端離開墻腳1.4 m時(shí)，梯子上端下滑的速度.22.求和Sn=12+22x+32x2+n2xn1,(x0,nN*).23.設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間.24.設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x的兩個(gè)極值點(diǎn).(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)試判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值，并說明理由.25.已知a、b為實(shí)數(shù)，且bae,其中e為自然對(duì)數(shù)的底，求證：abba.26.設(shè)關(guān)于x的方程2x2ax2=0的兩根為、(),函數(shù)f(x)=.(1)求f()f()的值；(2)證明f(x)是，上的增函數(shù)；(3)當(dāng)a為何值時(shí)，f(x)在區(qū)間，上的最大值與最小值之差最??？【參考答案】一、1.解析：y=esinxcosxcos(sinx)cosxsin(sinx),y(0)=e0(10)=1.答案：B2.解析：設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則切線的斜率為k=,另一方面，y=()=,故y(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=3,y0(2)=15,對(duì)應(yīng)有y0(1)=3,y0(2)=,因此得兩個(gè)切點(diǎn)A(3，3)或B(15,),從而得y(A)= =1及y(B)= ,由于切線過原點(diǎn)，故得切線：lA:y=x或lB:y=.答案：A3.解析：由=1,故存在含有0的區(qū)間(a,b)使當(dāng)x(a,b),x0時(shí)0,于是當(dāng)x(a,0)時(shí)f(0)0,當(dāng)x(0,b)時(shí)，f(0)0,這樣f(x)在(a,0)上單增，在(0,b)上單減.答案：B4.解析：fn(x)=2xn2(1x)nn3x2(1x)n-1=n2x(1x)n-12(1x)nx,令fn(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=時(shí)取得最大值，最大值fn()=n2()2(1)n=4()n+1.答案：D5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C二、13.解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：f(x0)=(這時(shí))答案：114.解析：設(shè)g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),則f(x)=xg(x),于是f(x)=g(x)+xg(x),f(0)=g(0)+0g(0)=g(0)=12n=n！答案：n!15.解析：函數(shù)的定義域是x或x2,f(x)=.(3x2+5x2)=,若a1,則當(dāng)x時(shí)，logae0,6x+50,(3x1)(x+2)0,f(x)0,函數(shù)f(x)在(,+)上是增函數(shù)，x2時(shí)，f(x)0.函數(shù)f(x)在(,2)上是減函數(shù).若0a1,則當(dāng)x時(shí)，f(x)0,f(x)在(,+)上是減函數(shù)，當(dāng)x2時(shí)，f(x)0,f(x)在(,2)上是增函數(shù).答案：(,2)16.解析：設(shè)圓內(nèi)接等腰三角形的底邊長(zhǎng)為2x,高為h，那么h=AO+BO=R+,解得x2=h(2Rh),于是內(nèi)接三角形的面積為S=xh=從而.令S=0,解得h=R,由于不考慮不存在的情況，所在區(qū)間(0,2R)上列表如下：h(0, R)R(,2R)S+0S增函數(shù)最大值減函數(shù)由此表可知，當(dāng)x=R時(shí)，等腰三角形面積最大.答案：R三、17. 解：由l過原點(diǎn)，知k=(x00),點(diǎn)(x0,y0)在曲線C上，y0=x033x02+2x0,=x023x0+2,y=3x26x+2,k=3x026x0+2又k=,3x026x0+2=x023x0+2,2x023x0=0,x0=0或x0=.由x0,知x0=,y0=()33()2+2=.k=.l方程y=x 切點(diǎn)(，).18. ,令f(x)=0得，x=0，x=1，x= ,在0，1上，f(0)=0，f(1)=0， . .19.設(shè)雙曲線上任一點(diǎn)P（x0，y0）, , 切線方程 ,令y=0，則x=2x0 令x=0，則 . .20.解：(1)注意到y(tǒng)0,兩端取對(duì)數(shù)，得lny=ln(x22x+3)+lne2x=ln(x22x+3)+2x, (2)兩端取對(duì)數(shù)，得ln|y|=(ln|x|ln|1x|),兩邊解x求導(dǎo)，得21.解：設(shè)經(jīng)時(shí)間t秒梯子上端下滑s米,則s=5,當(dāng)下端移開1.4 m時(shí)，t0=,又s= (259t2)(92t)=9t,所以s(t0)=9=0.875(m/s).22.解：(1)當(dāng)x=1時(shí)，Sn=12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1),當(dāng)x1時(shí)，1+2x+3x2+nxn-1=,兩邊同乘以x,得x+2x2+3x2+nxn=兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得Sn=12+22x2+32x2+n2xn-1=.23.解：f(x)=3ax2+1.若a0,f(x)0對(duì)x(,+)恒成立，此時(shí)f(x)只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，矛盾.若a=0,f(x)=10,x(,+),f(x)也只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，矛盾.若a0,f(x)=3a(x+)(x),此時(shí)f(x)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間.a0且單調(diào)減區(qū)間為(,)和(,+)，單調(diào)增區(qū)間為(, ).24.解：f(x)=+2bx+1,(1) 由極值點(diǎn)的必要條件可知：f(1)