八年級數(shù)學(xué)上冊 暑期同步提高課程 第六講 角平分線的性質(zhì)講義 新人教版.doc

第六講角平分線的性質(zhì)教學(xué)目標：1.學(xué)會用尺規(guī)作圖，作一個角等于已知角，作已知角的角平分線2.能利用角平分線的性質(zhì)解決簡單問題3.角平分線的性質(zhì)及判定定理的運用重點難點：1.角平分線的性質(zhì)的運用與逆用。2.利用角平分線構(gòu)造全等三角形。3.繼續(xù)學(xué)習(xí)證明及綜合法證明的格式。知識導(dǎo)航：1.角平分線的畫法AM CO N B（1）已知AOB，求作AOB 的角平分線：以 O 為圓心，適當長為半徑畫弧，交 OA 于 M，交 OB 于 N。分別以 M，N 為圓心，以大于 MN 長為半徑作弧，在AOB 的內(nèi)部兩弧交于點 C。過 O、C 兩點作射線 OC，射線 OC 就是所求角的角平分線。2角平分線的性質(zhì)及判定（1）角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。（2）角平分線的判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的角平分線上。3三角形的角平分線的性質(zhì)（1）三角形的三條角平分線交于一點，這點到三邊的距離相等。（2）三角形兩個外角的角平分線也交于一點，這點到三邊所在的直線的距離相等。（3）三角形外角平分線交點共有三個，所以到三角形三遍所在直線距離相等的點有 4 個?？键c/易錯點 1角平分線是一種對稱模型，一般情況下，有下列三種作輔助線的方式：1 由角平分線上的一點向角的兩邊作垂線；2 過角平分線上的一點作角平分線的垂線，從而形成等腰三角形；3 OA=OB，這種對稱的圖形應(yīng)用得也較為普遍。典型例題：【例 1】尺規(guī)作圖：請在圖上作一個AOC，使其是已知AOB 的 倍（要求：寫出已知、求作，保留作圖痕跡，在所作圖中標上必要的字母，不寫作法和結(jié)論)已知： 求作：【答案】已知： AOB 求作： AOC ，使 AOC = AOB 作圖如右上所示：【解析】首先畫出AOB 的角平分線，再以 OB 為邊，畫BOC=BOF【例 2】如圖，在 RtABC 中，C=90，BD 平分ABC 交 AC 于點 D，DEAB 于 E，若 AC=3cm，則 AD+DE 為（）A 3cmB 4cmC 2cmD 無法確定【答案】A【解析】BD 平分ABC，C=90，DEAB，DE=DC，AD+DE=AD+DC=AC，AC=3cm，AD+DE=3cm【例 3】如圖，已知四邊形 ABCD 中，ADBC，若DAB 的平分線 AE 交 CD 于 E，連接 BE，且 BE 恰好平 分ABC，則 AB 的長與 AD+BC 的大小關(guān)系是（）A ABAD+BCB ABAD+BCC AB=AD+BCD 無法確定【答案】C【解析】解法 1：在 AB 上截取 AF=AD，連接 EF，易證 AEBE， ADEAFE（SAS），所以1=2，又2+4=90，1+3=90，所以3=4，所以可證 BCEBFE，所以 BC=BF，所以 AB=AF+BF=AD+BC；解法 2：如圖，延長 AE 交 BC 延長線于 F，ADCB，CBA+BAD=180，BE 平分CBA，AE 平分BAD，EBA+BAE=90，BEA=18090=90，BEAF，由 ABEFBE（ASA），可得 BA=BF，AE=FE，于是可證 ADEFCE（ASA），所以 AD=CF，所以 AB=BC+CF=BC+AD【例 4】如圖，在ABC 中，C=90，AC=14，BD 平分ABC，交 AC 于 D，AD=10，則點 D 到 AB 的距離 為（）A10B4C7D6【答案】B【解析】解：如圖，過點 D 作 DEAB 于 E，AC=14，AD=10，CD=ACAD=1410=4，BD 平分ABC，C=90，DE=CD=4【例 5】如圖，在ABC 中，AC=CB，C=90，AD 是BAC 的平分線，E=90，那么 AD 與 BE 的長度 關(guān)系為 ?！敬鸢浮緼D=2BE【解析】理由是：延長 AC，BE 交于 O，C=AEB=90，CDA=EDB，由三角形內(nèi)角和定理得：1=3，ACD=BCO=90，1 = 3在ACD 和BCO 中， AC = BCACD = BCO，ACDBCO（ASA），AD=BO，AD 平分CAB，1=2，AEB=AEO=90，1 = 2在AEO 和AEB 中， AE = AEAEO = AEB，AEOAEB（ASA），OE=BE，BO=2BE，AD=2BE，【例 6】為了加快災(zāi)后重建的步伐，我市某鎮(zhèn)要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個砂 石場，如圖，要使這個砂石場到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址（）A 僅有一處 B 有四處C 有七處 D 有無數(shù)處【答案】 A【解析】利用角平分線性質(zhì)定理：角的平分線上的點，到這個角的兩邊的距離相等又要求砂石場建在三條 公路圍成的一塊平地上，所以是三個內(nèi)角平分線的交點一個，外角的平分線的交點三個滿足條件的點有一 個，三角形內(nèi)部：三個內(nèi)角平分線交點一個三角形外部，外角的角平分線三個（不合題意）課堂檢測：1. 下列結(jié)論錯誤的是（） A到已知角兩邊距離相等的點在同一直線上 B一射線上有一點到已知角兩邊的距離相等這條射線平分已知角 C到角兩邊距離相等的一個點與這個角的頂點的連線不平分這個角D角內(nèi)有兩點各自到角的兩邊的距離相等，經(jīng)過這兩點的直線平分這個角2.如圖，AOB 和一條定長線段 a，在AOB 內(nèi)找一點 P，使 P 到 OA，OB 的距離都等于 a，作法如下：（1）作 OB 的垂線段 NH，使 NH=a，H 為垂足（2）過 N 作 NMOB（3）作AOB 的平分線 OP，與 NM 交于 P（4）點 P 即為所求 其中（3）的依據(jù)是（）A 平行線之間的距離處處相等B 到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上C 角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等D 到線段的兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上3.如圖， ABC 的三邊 AB，BC，CA 長分別是 20，30，40，其三條角平分線將 ABC 分為三個三角形，則 S ABO：S BCO：S CAO 等于（）A1：1：1B1：2：3C2：3：4D3：4：54. 如圖，AD、AE 分別是ABC 中A 內(nèi)角的平分線和外角平分線，則DAE= 度5.已知線段 a 和直角：（1）用尺規(guī)作 ABC，使得C=，BC=a，AB=2a（保留作圖痕跡，不寫畫法）；（2）用尺規(guī)作 ABC 的中線 CD 和角平分線 CE（保留作圖痕跡，不寫畫法）；課后作業(yè)：1.如圖，已知點 P 到 AE、AD、BC 的距離相等，下列說法：點 P 在BAC 的平分 線上；點 P 在CBE 的平分線上；點 P 在BCD 的平分線上；點 P 在BAC，CBE，BCD 的平分線的交點上其中正確的是（ ）A B C D2.兩條平行線 a、b 被第三條直線 c 所截得的同旁內(nèi)角的平分線的交點到直線 c 的距離是 2cm，則 a、b 之間 的距離是（）A3cm B4cm C5cm D6cm3.如圖，AD 是 ABC 的角平分線，若 AB=10，AC=8，則 S ABD：S ADC=（ ）A1：1 B4：5C5：4 D16：254.已知 ABCD，ADDC，AEBC 于點 E，DAC=35，AD=AE，B 為（）A50 B60C70 D805如圖，G 是線段 AB 上一點，AC 和 DG 相交于點 E請先作出ABC 的平分線 BF，交 AC 于點 F；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法與證明）然后證明當： ADBC，AD=BC，ABC=2ADG 時，DE=BF6.如圖，OP 是AOB 的平分線，請你利用該圖形畫一對以 OP 所在直線為對稱軸的全等三角形請你參考 這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分別是BAC、BCA 的平分線，AD、CE相交于點 F請你判斷并寫出 FE 與 FD 之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由7.如圖， ABC