[理學(xué)]數(shù)學(xué)系畢業(yè)論文1.doc

論文題目：關(guān)于高等幾何方法解決初等幾何問題的研究 所在單位： 完 成 人： 指導(dǎo)教師： 起止時(shí)間： 年 月 日摘要及關(guān)鍵詞（Abstract and Keyword）摘要 高等幾何是利用克萊因的變換群的觀點(diǎn)定義幾何學(xué)，在此觀點(diǎn)下把歐氏幾何看成是射影幾何的子幾何，它對(duì)初等幾何具有指導(dǎo)作用。本文闡明了高等幾何和初等幾何的關(guān)系，并利用高等幾何的思想方法，將已知初等幾何命題進(jìn)行變換，以實(shí)例說明高等幾何的點(diǎn)線結(jié)合命題對(duì)初等幾何的問題的研究。關(guān)鍵詞 高等幾何；初等幾何；幾何命題；變換Reserch the higher geometry method solution primary geometry question Abstract High wait several is make use of klein.lawrence r.Of the standpoint definition of the transformations geometry, see surname in Europe several under this standpoint project image several of the son is several, it is several to elementary grade have a function of instruction.This text clarified high wait the relation of several and elementary grade several, and make use of high wait several of thought method, will have already known the elementary grade is several set question to carry on transformation, with solid the example explain is high to wait several of order line to combine to set question several to the elementary grade of the research of problem.Keyword higher geometry；elementary geometry；geometry proposition；counterchange目錄 引言1第一章 高等幾何與初等幾何的關(guān)系11.1幾何學(xué)11.2高等幾何與初等幾何的密切關(guān)系1第二章 高等幾何方法變換初等幾何命題22.1利用仿射變換22.2利用射影變換32.3利用交比4第三章 高等幾何的點(diǎn)線接合命題對(duì)初等幾何的指導(dǎo)作用4結(jié)論6參考文獻(xiàn)7致謝7 前言初等幾何是一種可測(cè)量的幾何，比較直觀、易懂，而高等幾何較抽象、難理解. 但高等幾何是初等幾何的延深課程，二者之間有很深的淵源.高等幾何作為一門幾何課程，有著自身的特殊作用，高等幾何知識(shí)與初等幾何知識(shí)的溝通，為我們提供了解決初等幾何的一些方法.學(xué)好高等幾何，就能在更高層面上認(rèn)識(shí)幾何學(xué)的基本特性，研究方法，內(nèi)在聯(lián)系，可以認(rèn)識(shí)到幾何學(xué)的本質(zhì)，深化和發(fā)展幾何空間概念，以便更深入地駕馭和掌握初等幾何的內(nèi)涵和外延。1 高等幾何與初等幾何的關(guān)系1 1 幾何學(xué)數(shù)學(xué)史家認(rèn)為:幾何學(xué)是從丈量土地，測(cè)量容積和制造器皿等生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)中產(chǎn)生和總結(jié)出來的.根據(jù)歷史記載幾何論證大體上開始于古希臘時(shí)代，大約是公元前七世紀(jì)左右，相當(dāng)于我國春秋時(shí)期這時(shí)人類已開始使用鐵器，生產(chǎn)力的發(fā)展促使文化也相應(yīng)地得到發(fā)展.社會(huì)出現(xiàn)了從事腦力勞動(dòng)的知識(shí)階層，其中有一些人開始嘗試把人類祖先從生產(chǎn)實(shí)踐中總結(jié)出來的幾何知識(shí)從理論上加以系統(tǒng)整理，并進(jìn)一步總結(jié)和提高，在這方面最有貢獻(xiàn)的是希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得.他創(chuàng)造性地把全部的幾何內(nèi)容總結(jié)起來，這就是公理化思想的開始.他的幾何原本成為傳播幾何知識(shí)的標(biāo)準(zhǔn)范本，因而人們把大家熟悉的幾何稱為歐氏幾何.但歐幾里得幾何原本的邏輯缺點(diǎn)是公理不夠，直到1899年德國數(shù)學(xué)家希爾伯特著幾何基礎(chǔ)一書，提出了歐氏幾何的完整的公理系統(tǒng).不同 的 公 理體系可以建立不同的幾何學(xué).如將歐氏幾何的希爾伯特公理體系的平行公理換成羅巴切夫斯基平行公理(即過已知直線外任一點(diǎn)可引兩條直線與已知直線平行)其余公理保持不變，便得到羅氏幾何.在黎曼公理體系下(即過已知直線外一點(diǎn)沒有任何直線與已知直線平行)就得到黎曼幾何.也就是說任何幾何學(xué)和幾何定理都是相對(duì)于某種公理系統(tǒng)而言的.我們把羅氏幾何與黎曼幾何統(tǒng)稱為非歐幾何.在 19 世紀(jì) 初期還產(chǎn)生了幾何學(xué)的又一分支:射影幾何(高等幾何).1872年克萊因在愛耳蘭根大學(xué)宣讀了現(xiàn)在大家叫做“愛耳蘭根綱領(lǐng)”的演說，在這篇演說中，給出了歐氏幾何、羅氏幾何和黎曼幾何在射影幾何基礎(chǔ)上的新的解釋.這三種幾何表面上互相矛盾，相互排斥，但它們?cè)谏溆皫缀沃械玫浇y(tǒng)一，都是射影幾何的子幾何.這樣一來射影幾何和初等幾何研究相互聯(lián)系起來了.1 2 高等幾何與初等幾何的密切關(guān)系由上面知道高等幾何與初等幾何是有關(guān)系的.下面從四個(gè)方面來說明它們之間的關(guān)系.1.可居高臨下地看待初等幾何幾何學(xué)的研究，除了由歐幾里得創(chuàng)建的公理化觀點(diǎn)外還有克萊因的群論觀點(diǎn).在群論觀點(diǎn)下，幾何學(xué)是研究在相應(yīng)的變換群下圖形保持不變的性質(zhì)和量的科學(xué)。即每一種幾何學(xué)對(duì)應(yīng)著一個(gè)變換群，圖形在該變換群下保持不變的那些性質(zhì)和量，就是這幾何學(xué)研究的對(duì)象.我們知道初等幾何是以歐氏幾何為其學(xué)習(xí)內(nèi)容的.用變換群的觀點(diǎn)看，歐氏幾何學(xué)就是研究正交變換下的圖形不變性質(zhì)和不變量的幾何學(xué).由于正交變換群是相似變換群的子群，相似變換群是仿射變換群的子群，而仿射變換群又是射影變換群的子群.因而所對(duì)應(yīng)的幾何學(xué)從研究的范圍講是:射影幾何（仿射幾何。相似度量幾何）歐氏幾何.而從研究的內(nèi)容來看，歐氏幾何研究的對(duì)象不僅包括度量性質(zhì)和度量不變量，而且包括相似性質(zhì)和相似不變量，仿射性質(zhì)和仿射不變量，射影性質(zhì)和射影不變量.即射影幾何，仿射幾何，相似度量幾何，歐氏幾何.我們了解了這些關(guān)系才能全面地正確地掌握歐氏幾何的內(nèi)容，同時(shí)在研究歐氏幾何許多具體問題時(shí)，我們才可以居高臨下的看待這些問題.2.初等幾何部分內(nèi)容的理論依據(jù)如立體幾何直觀圖的畫法、截面圖的作法分別是以透視仿射對(duì)應(yīng)性質(zhì)及笛沙格定理的理論為依據(jù)的，著名的“九樹十行”問題是以巴卜斯定理為基礎(chǔ)的.還有些在中學(xué)難以講透的問題在高等幾何中得到徹底講清楚，如:非退化二次曲線需每三點(diǎn)不共線的五點(diǎn)才能唯一確定，為什么圓只要不共線的三點(diǎn)就能確定，就是這樣一個(gè)問題.3.用高等幾何的方法可給出初等幾何的簡(jiǎn)捷證明我們知道在高等幾何中，經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆律渥儞Q，任意一個(gè)三角形(平行四邊形、梯形、橢圓)可變?yōu)檎切?正方形、等腰梯形、圓)，那么對(duì)有關(guān)仿射性質(zhì)的一些命題，將命題中的一般圖形用仿射變換變?yōu)樘厥鈭D形，如果所給命題在特殊圖形中成立，則根據(jù)仿射變換保持同素性、結(jié)合性、平行性、共線三點(diǎn)的單比不變、封閉圖形的面積之比不變等即可推出該命題在原圖形中也成立.在證 明 一 些共點(diǎn)或共線問題時(shí)，可以利用“投影到無窮遠(yuǎn)”的方法，把相交直線投影成平行直線，在投影后的圖形中，容易證明共點(diǎn)或共線問題，再利用中心投影保持結(jié)合性不變的性質(zhì)，使原命題得證.還有利用笛沙格定理及其逆定理證明共線點(diǎn)和共點(diǎn)線的問題;利用交比證明有關(guān)圓的問題;利用調(diào)和比的性質(zhì)證明有關(guān)平分線段、平分角以及比例線段的問題等等.4.為初等幾何構(gòu)造新的命題許多初等幾何是以高等幾何為其背景的.掌握了高等幾何知識(shí)并摸透它與初等幾何知識(shí)之間的聯(lián)系，就能構(gòu)造出形式多樣、內(nèi)容豐富的初等幾何新問題，如1978年全國中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽第二試的第一題“四邊形兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后分別相交，且交點(diǎn)的連線與四邊形的一條對(duì)角線平行，證明:另一條對(duì)角線的延長(zhǎng)線平分對(duì)邊交點(diǎn)連成的線段”.以及另一題目“已知與一直線L平行的一條線段AC,今要求只用直尺，不用圓規(guī)平分線段AC，熟悉高等幾何的人立即可以看到，這二題都是以完全四點(diǎn)形的調(diào)和性質(zhì)為背景的.2 用高等幾何方法變換初等幾何命題利用高等幾何的觀點(diǎn)和思想方法，將已知初等幾何命題進(jìn)行變換，獲得相關(guān)的其他初等幾何命題，具有重要的意義。2 1 利用仿射變換例1. 命題：“正方形ABCD的一組鄰邊上有E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且EF/AC。則AED和CFD面積相等“（見圖1）圖1 將此命題作一仿射對(duì)應(yīng)，若經(jīng)仿射對(duì)應(yīng)后的記號(hào)不變，使正方形ABCD對(duì)應(yīng)平行四邊形ABCD,E對(duì)應(yīng)E,F 對(duì)應(yīng)F。在正方ABCD中(見圖1)，顯然有AED CFD，由于兩個(gè)多邊形面積之比為仿射不變量，所以在平行四邊形ABCD中，AED和CFD面積相等。于是可得另一命題“平行四邊形ABCD的一組鄰邊上有E,F 兩點(diǎn)，且EF / AC，則AED和CFD面積相等”(見圖2).例 2. 命 題:“從圓上一點(diǎn)E作EP垂直于自己直徑AB,P 為垂足，圓在E處的切線與在A,B處切線分別交于C,D，則AD,BC,EP共點(diǎn)，且EP被交點(diǎn)平分，(見圖3)。此命題顯然為真，令A(yù)D,BC交于T，因?yàn)锽DT ACT，于是DT/TA=CA/DB，又CE = CA, BD = DE，所以DT/TA = DE/EC，從而ET/BD/CA。又EP土AB,EP / B D/ /CA即共點(diǎn)得證明。EP被交點(diǎn)平分亦易證。作一仿射對(duì)應(yīng)，若經(jīng)仿射對(duì)應(yīng)后的記號(hào)不變，于是可得另一命題“從橢圓上一點(diǎn)E作直徑AB的共扼弦EP與AB交于P，圓在E處的切線分別與在A,B處的切線分別交于C,D ，則AD,B C,E P共點(diǎn)，且EP被交點(diǎn)平分。，(見圖4)，根據(jù)仿射性質(zhì)，此命題亦為真。 22 利用射影變換例 3命 題 :“平行三直線分別交兩平行的直線得三平行四邊形，這三平行四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)共線且所在直線平行于一組對(duì)邊”(見圖5)。此命題顯然為真。在圖6中，設(shè)過點(diǎn)S的三直線分別交過點(diǎn)T的二直線兩與于Al,B 1,C 1;A 2,B 2,C2。作一中心射影，使直線ST成為無窮遠(yuǎn)直線，若各點(diǎn)在中心射影后的記號(hào)不變經(jīng)過中心射后AlCl/A2C2; AIA2/BlB2/CIC2;這樣O,P ,Q成為三平行四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)，故有O,P,Q共線且所在直線與AlC1,A2C2平行，即O,P,Q與AIC1,A2C2的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)共線，(見圖5)。由于射影對(duì)應(yīng)保持結(jié)合不變，所以中心射影前的四點(diǎn)T,O,P,Q也共線。于是可得另一命題共點(diǎn)三直線分別交共點(diǎn)兩直線得三四邊形這三四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)與相交兩直線交點(diǎn)共線(見圖6), 例4命題:“已知BE/ C F,BC 交BE,C F分別于B,C，圓與BE,B C,C F分別相切于E,D ,F ,B F交EC于T，DT/BE/CF,(見圖7)。此命題顯然為真，因?yàn)锽ET FCT，于是CT/TE= C F/BE，CD=CF,BD=BCT/TE=CD/DB,從而DT/BE/CF。即得證明。將 圖 8所 示，ABC的旁切圓切邊BC于D,切邊AB和AC的延長(zhǎng)線于E和F,B F交EC于T，作一射影變換，若各點(diǎn)在射影變換后的記號(hào)不變，使射影變換后，ABC的旁切圓為一圓，EF變?yōu)閳A的直徑，A為垂直于直徑EF的直線相對(duì)應(yīng)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。(見圖7)。于是可得另一命題“ABC的旁切圓切邊BC于D，切邊AB和AC的延長(zhǎng)線于E和F，設(shè)T是直線BF與CE的交點(diǎn)，則點(diǎn)A,D,T共線。”由原命題得此命題亦為真。 23 利用交比例 5. 命 題:“一個(gè)角的兩邊與這個(gè)角的內(nèi)外角平分線調(diào)和共扼”。在圖9中，c,d順次為 (a,b)的內(nèi)外角平分線，作直線1與d平行，則1c。，若1交a,b, c。于A,B,T，于是OAB為等腰三角形，因此AT = TB令1與d的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為P 故(AB,T P) =一1所以(ab,cd)=一1。圖10所示，c,d順次為(a,b)的內(nèi)外角平分線，直線1與a,b,c, d 分別交于A,B ,T ,P .由于(ab,cd)=(AB,T P)，而BP= -PB，所以AT P B= BTAP，即AT/BT = AP/PB。于是可得初等幾何中的角平分線性質(zhì)定理。 3 高等幾何的點(diǎn)線接合命題對(duì)初等幾何的指導(dǎo)作用眾所周知，無論是在教學(xué)實(shí)踐中，還是在測(cè)繪、筑路、架橋、通訊等工程實(shí)踐中，不可回避地常遇到不可及點(diǎn)等實(shí)際問題。要解決此類問題就牽涉到幾何學(xué)中共線點(diǎn)和共點(diǎn)線問題，這類問題的證明，對(duì)于初等幾何乃至平面或空間解析幾何來說是比較難的，有時(shí)甚至是不可能的。但是如果用高等幾何的方法證明這類命題，就要方便得多，簡(jiǎn)單得多，下面通過實(shí)例加以印證。例1 如圖1 所示，設(shè)三直線A1A2，B1B2，C1C2共點(diǎn)于S，A1A2，B1B2，C1C2分別交兩直線OX，OY 于A1，B1，C1與A2，B2C2。設(shè)B1C2 B2C1 = L，C1A2 C2A1 = M，A1B2 A2B1 = N. 求證：L，M，N，O 四點(diǎn)共線。證明：將直線OS 投影到無窮遠(yuǎn)直線，并作出圖11 的對(duì)應(yīng)圖形，用帶“”的字母示原字母的象。 A1A2，B1B2，C1C2交于S，OX，OY 共點(diǎn)O A1A2B1B2C1C2，OXOY且A1，B1，C1在OX上A2，B2，C2在OY上。由平面幾何易知L，M，N三點(diǎn)共線，且所在直線平行于A1，B1，C1所在直線，所以O(shè)是L，M，N所在直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。又由于中心射影保同素性和接合性，所以L，M，N，O 四點(diǎn)共線。 圖11 圖此例實(shí)際上也是巴卜斯定理的特例，這里不再贅證。例2 試證三角形的三條中線共點(diǎn)。證明：此題若用初等幾何的方法來證是相當(dāng)費(fèi)力的，現(xiàn)在用高等幾何的方法來證明，同時(shí)為例3 做一個(gè)鋪墊。如圖12 所示，AD，BE，CF 分別為ABC 的三邊BC，CA，AB 上的中線，所以EFBC，DEAB，DFAC設(shè)EF BC = P，DE AB = Q，DF AC = R在ABC 與DEF 中，對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)P，Q，R共線于無窮遠(yuǎn)直線，則由代沙格定理的逆定理可知，對(duì)應(yīng)定點(diǎn)的聯(lián)線AD，BE，CF 共點(diǎn)。 圖12 圖13例3 如圖13 所示，直線交ABC 的三邊或其延長(zhǎng)線于L，M，N，若直線AM，BN，CL 交成一個(gè)三角形PQR，求證：AQ，BR，CP 三直線共點(diǎn)。證明：利用中心射影將L，M，N 所在的直線投射到無窮遠(yuǎn)直線并作圖3 的對(duì)應(yīng)圖形。 L，M，N是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)， ABQR，BCPR，CAPQ四邊形ABCR與BCAP都是平行四邊形 PA = BC = AR A是PR的中點(diǎn)同理，B 是P Q的中點(diǎn)，C是QR的中點(diǎn)，即AQ，BR，CP是PQR三邊上的中線。由例2 可知，它們必交于一點(diǎn)S。由于中心射影保同素性和接合性，故AQ，BR，CP 交于一點(diǎn)S。 圖結(jié)論高等幾何是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課。高等幾何的涵義較為廣泛。我國現(xiàn)在開設(shè)的高等幾何課內(nèi)容上以射影幾何為主，兼顧其他，方法上采用代數(shù)法兼綜合法而側(cè)重代數(shù)法。目的旨在使學(xué)生系統(tǒng)接受射影幾何而主要又是實(shí)射影平面幾何的基本知識(shí)，認(rèn)識(shí)射影空間的基本特性，研究方法和幾何學(xué)的本質(zhì)，深化幾何空間的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)近代數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。從理論和實(shí)踐的結(jié)合上學(xué)好高等幾何，就能在更高層面上認(rèn)識(shí)幾何學(xué)的基本特性，研究方法，內(nèi)在聯(lián)系，確認(rèn)幾何學(xué)的本質(zhì)，深化和發(fā)展幾何空間概念，以便更深入地駕馭和掌握初等幾何的內(nèi)涵和外延。,我們明白了高等幾何與初等幾何的內(nèi)在聯(lián)系，擴(kuò)大了關(guān)于幾何學(xué)的眼界，了解到初等幾何在幾何學(xué)中所處的地位，就有助于我們從幾何學(xué)的全局與整體來理解和分析初等幾何教材，就能對(duì)初等幾何中的許多問題作透徹的理解，使我們獲得駕馭教材的本領(lǐng)，減少教學(xué)中的盲目