函數(shù)單調性教學設計.doc

函數(shù)單調性教學設計2004級教育碩士 林 浩基于函數(shù)單調性概念是高中教材中形式化程度較強，學生較難理解以及要讓學生充分了解概念后面所蘊涵的數(shù)學思想的主張，筆者以“數(shù)學本原性問題驅動”數(shù)學概念教學為指導理念，在對函數(shù)單調性概念在高中教材中的地位和作用進行詳細分析的基礎上進行了新的教學設計及課堂實錄。教材分析教材的地位和作用函數(shù)的單調性是高中數(shù)學人教A版（必修1）第一章1.31節(jié)的內容。它既是在學生學過函數(shù)概念等知識后的延續(xù)和拓展，又是后面研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等各類函數(shù)的單調性的基礎，在整個高中數(shù)學中起著承上啟下的作用。研究函數(shù)單調性的過程體現(xiàn)了數(shù)學的數(shù)形結合和歸納轉化的思想方法，反映了從特殊到一般的數(shù)學歸納思維形式，這對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、發(fā)展學生的思維能力，掌握數(shù)學的思想方法具有重大意義。函數(shù)的單調性是函數(shù)的四個基本性質之一,在比較幾個數(shù)的大小、對函數(shù)作定性分析（求函數(shù)的值域、最值，求函數(shù)解析式的參數(shù)范圍、繪函數(shù)圖象）以及與不等式等其它知識的綜合應用上都有廣泛的應用；同時在這一節(jié)中利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質的數(shù)形結合的思想將貫穿于我們整個高中數(shù)學教學。教材的重點與難點教學重點：（1）領會函數(shù)單調性概念，體驗函數(shù)單調性的形式化過程，深刻理解函數(shù)單調性的本質，并明確單調性是一個局部概念；（2）函數(shù)單調性概念的應用教學難點：突破抽象，深刻理解函數(shù)單調性形式化的概念。教學目標分析根據(jù)新課標的要求和教學內容的結構特征，依據(jù)學生學習認知的心理規(guī)律和素質教育的要求，結合學生的實際水平，本節(jié)課教學目標如下：知識目標：（1）從本質上理解函數(shù)單調性概念；（2）運用形式化的函數(shù)單調性概念進行判斷與應用。能力目標：（1）培養(yǎng)學生的觀察能力，分析歸納能力，領會歸納轉化的思想方法。（2）使學生體驗和理解從特殊到一般的數(shù)學歸納推理思維方式。（3）培養(yǎng)學生從具體到抽象的能力。情感目標：（1）培養(yǎng)學生主動探索、不畏困難、敢于創(chuàng)新的意識和精神。（2）通過本課的學習，使學生能理性地思考生活中的增長、遞減現(xiàn)象。設計理念本教學設計是基于用數(shù)學本原性問題來驅動數(shù)學概念的理念進行設計的。主要目的是為了突破函數(shù)單調性這個概念的抽象性，能讓學生體驗概念的形成過程，形成對概念的正確理解。因此教學設計在課堂教學中的概念引入的情景設計、概念形成的過程分析、概念運用的問題強化、原發(fā)性問題的價值挖掘這四方面應用了“用數(shù)學本原性問題驅動數(shù)學概念教學”這一理念，突破傳統(tǒng)的教學設計，從一個新的角度對教學進行了設計：第一階段函數(shù)單調性概念由實際背景轉化為文字語言的敘述；第二階段函數(shù)單調性概念由文字語言的敘述轉化為數(shù)學敘述；第三階段函數(shù)單調性概念由數(shù)學敘述轉化為數(shù)學符號敘述；第四階段函數(shù)單調性概念由數(shù)學符號敘述抽象到了形式化。這一設計符合新課程標準強調的加強對數(shù)學概念本質的認識，并且能適度地進行形式化的表達這一理念。教學過程設計概念情景創(chuàng)設與導入師：一個月前，我們共同經(jīng)歷了一起令人恐怖且終身難忘的自然災害，大家還記得嗎？生：（異口同聲）“桑美”臺風師：從小到大我們對臺風的了解也不少，臺風是不是一生成就17級呢？生眾：（笑）不是。（教師多媒體展示“桑美”臺風強度變化的直方圖，圖7）x 時間（h）12）24）36）4860）012）14）10）17）8y 強度(級)y=x2(x0)x 123-10941y 圖7 圖8師：如果我們以臺風生成后的時間為自變量，臺風的強度為函數(shù)值建立一個函數(shù)關系，能否得到以下結論臺風的強度隨時間的增大而增強呢？（學生有的說對，有的說不對，教師不急于揭示答案，而是把學習的目標引向了函數(shù)關系中兩個變量變化大小的相互依賴關系上，學生所熟悉的生活實例是激發(fā)學生學習興趣的手段，也是學生理解函數(shù)單調性概念的現(xiàn)實背景）。師：大家一起來觀察函數(shù)y=x2(x0)圖象中的x 值與f（x）值的動態(tài)變化過程（教師用多媒體展示圖8），x與f(x)之間有什么樣的聯(lián)系？生：隨x取值的增大，相應的f(x)的值也增大。師（總結）：這種隨x的增大，f(x)也越來越大的函數(shù)我們的為增函數(shù)。類似地，再讓學生函數(shù)y=x2(x0)圖象的動態(tài)效果后，得出：這種隨x的增大，f(x)越來越小的函數(shù)我們稱為減函數(shù)。旁白 通過一個生活背景的實例和函數(shù)y=x2圖象的直觀觀察，產(chǎn)生了增、減函數(shù)的生活語言的描述性定義，盡管這種定義不嚴格，但學生初步理解到的是兩個變量之間具有依賴性的增減關系，這是函數(shù)單調性中最為基本和初始的思想，這是根本性的要素，也是從生活中原初思想邁向數(shù)學概念的關鍵性的第一步。事實上，這一階段是對函數(shù)單調性的概念進行了第一次歸納由實際背景轉化為文字語言的敘述。概念的生成師（追問）：那么函數(shù)y=x2究竟是增函數(shù)還減函數(shù)呢？生1：是增函數(shù)。生2：是減涵數(shù)。生眾（議論紛紛）：（有的說）有時增，有時減（有的說）既增又減（有的說）要分情況考慮。師：好，有同學說：要分情況考慮，那么大家再仔細看看y=x2的圖象，哪種情況下增，哪種情況下減呢？生：函數(shù)y=x2在（，0上為減函數(shù)，在0，+）為增函數(shù)。師（總結）：由上面的討論可知，函數(shù)的單調性與自變量的范圍有關，一個函數(shù)并不一定在整個正義域內是單調函數(shù)，但在定義城的某個子集上可以是單調函數(shù)。于是教師再次定義：如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上滿足：隨自變量x的增大，f(x)也越來越，我們說函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù)；該區(qū)間叫函數(shù)f(x)的增區(qū)間，如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上滿足：隨自變量x的增大，f(x)越來越小，我們說函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為減函數(shù)；該區(qū)間叫函數(shù)f(x)的增區(qū)間?；仡欔P于“桑美臺風”的話題，有學生指出臺風的強度不可能隨著時間的增大而不斷地增強下去，因為一登陸后臺風的強度自然會逐漸減弱。因此，嚴格地說是：臺風的強度在登陸之前隨時間的增大而增強，而在登陸之后，隨時間的增大而減弱。旁白 這一階段，教師抓住“分情況討論”，使學生認識到函數(shù)的單調性與其定義域密切相關，因此，在描述函數(shù)單調性時，應該說清楚x在哪個范圍內，從而使學生對單調性的理解從圖象的直觀體驗向數(shù)學化的嚴格性邁進了一步。事實上，這一階段是對函數(shù)單調性的概念進行了第二次歸納由文字語言的敘述轉化為數(shù)學敘述。概念的符號化師：剛才我們通過觀察圖象得出了函數(shù)y=x2(x0)在區(qū)間0，+）上為單調遞增函數(shù)，那么如何用代數(shù)方法證明這個結論呢？生1：因 為21，而2212，所以函數(shù)y=x2在區(qū)間0，+）上為單調遞增函數(shù)。生2：他的證明不對，僅僅兩個數(shù)的大小關系不能說明函數(shù)y=x2在區(qū)間0，+）上為單調遞增函數(shù)，應該舉出無數(shù)個（如表2） 表2:自變量x與函數(shù)值y的取值 表3:自變量x與函數(shù)值y的取值x012x-12345y014y1491625由于很多學生不能分清“無數(shù)”和“所有”的區(qū)別，所以許多學生對學生2的說法表示贊同，因為表格中的數(shù)據(jù)直觀顯示出隨x的增大f(x)越來越大。生3（有些猶豫）：這樣證明乎還有些不妥吧！比如：函數(shù))，我取下列的無數(shù)個實數(shù)（如表3）。顯然f(x)也隨x的增大而增大，那我是不是也可以說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)？可這與圖象矛盾??？（眾學生一臉茫然，感覺學生3說的沒錯，于是用期待的目光瞧著教師）師：“無數(shù)個”能不能代表“所有”呢？比如：2、3、4、5有無數(shù)個自然數(shù)都比大，那我們能不能說所有的自然數(shù)都比大呢？生眾：（恍然大悟）生4：那我們總不能把所有的數(shù)都列舉出來吧！那一輩子都做不完哦！師（笑）：的確如此，那你有沒有什么好的辦法解決這個問題呢？（大家都看著學生4，學生4低下了頭沒辦法解決）師：我國召開全國人民代表大會的時候，是不是全國所有的老百姓都去北京開會呢？生：不是師：那人民如何行使權力呢？生：通過人民代表生5（搶白）：我們也可以在區(qū)間上選兩個代表?。煟耗窃撊绾芜x代表呢？選1和2怎么樣？生5：不行，因為1和2僅僅代表了它們自己，并不能代表區(qū)間上的所有實數(shù)，應該用字母來代替具體數(shù)字，比如設x1,x2，為區(qū)間上的兩個任意實數(shù)，當x1x2時，只要證明就能說明它在區(qū)間是增函數(shù)了。師：很好。賦予x1,x2為區(qū)間上“代表”的身份，那么當x1x2時，怎么證明即呢？生6（迫不及待地說）：作差比較，只要證明即可。，因為所以，所以。師：剛才的證明關鍵是選取了是上的“任意”兩個實數(shù)，這里“任意”二字使得代表了上的所有的實數(shù)，也就是說這條不等式對于區(qū)間上的任意實數(shù)都是恒成立的，通過這種方式我們解決了“一輩子”都做不完的工作，教師再次給出增函數(shù)和減函數(shù)的定義。函數(shù)y=f(x)如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1,x2,當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上為增函數(shù)，當x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上為減函數(shù)。旁白 這一階段是學生概念形成并真正理解的關鍵過程，教師通過一系列的本原性問題使學生突破了思維的瓶頸，讓學生感受到：通過用任意的點x1和x2,的大小關系來判斷f(x1)和(x2)的大小關系，可以得到函數(shù)單調性的整體性質，這既讓學生理解了教師最終給出的嚴格的單調性定義的含義，也讓學生體驗到了如何用局部的點的任意性推演到函數(shù)的整體單調的性質這一數(shù)學思想方法。事實上，這一階段是對函數(shù)單調性的概念進行了第三次歸納由數(shù)學敘述轉化為數(shù)學符號敘述。概念的形式化師：我們來比較一下增函數(shù)與減函數(shù)定義中兩個不等式中不等號的方向，你有什么發(fā)現(xiàn)沒有？生：增函數(shù)不等號方向一致，減函數(shù)方向相反。師：如果將增函數(shù)中的“當時，都有”改為當時，都有結論是否一樣呢？生：一樣師：如果改為當時，都有”是否還是一樣呢？生：一樣師：改為當時，都有”是否還是一樣呢？生：還是一樣師：減函數(shù)的定義是否也可以進行這樣修改？生：可以。師：根據(jù)剛才的分析，你們有沒有發(fā)現(xiàn)自變量的差量與函數(shù)值的差量之間的關系？生7：自變量的差量與相應的函數(shù)值的差量如果保持同號就可以說明其是單調遞增函數(shù)，如果是異號則是單調遞減函數(shù)。師：那你能否將定義修改地更為簡潔呢？生7（思考并能快給出）：如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1,x2,若，則函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)，若，則函數(shù)y=f(x)為減函數(shù)。師：很好，事實上的符號決定了函數(shù)f(x)的單調性，我們不僅要能從圖象上直觀判斷函數(shù)的單調性，更應該要從單調性的本質上來理解這個概念。能用這種表達形式來描述函數(shù)單調性，說明大家對單調性概念的理解還是比較非常深刻的。旁白 這一階段教師領導學生對函數(shù)單調性的概念進行了剖析，帶領學生深入定義的表達形式，探索概念的本質。實現(xiàn)學生將概念從具體的圖形表達形式化到一般的數(shù)學表達形式，實現(xiàn)了從具體到抽象的轉化。事實上，這一階段是對函數(shù)單調性的概念進行了第四次歸納由數(shù)學符號敘述抽象到了形式化。概念的理解例1 判斷下列命題的真假： （1）定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上也是增函數(shù)，則函數(shù)在R上是增函數(shù)。（2）定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上也是增函數(shù)，則函數(shù)在R上是增函數(shù)。旁白 此問題設計目的，通過上述兩個命題的真假判定，促進理解，旨在使學生能借助圖形直觀，理解連續(xù)函數(shù)、間斷函數(shù)的單調性情況。從而幫助學生建立函數(shù)單調性概念的正確理解。概念的運用例2 物理學中的玻意耳定律（k為正常數(shù)），告訴我們，對于一定量的氣體，為其體積V減小時，壓強P將增大，試用函數(shù)的單調性知識說明其原因。例3 設集合A=1，3，5，集合B=1，2，3，4