高中數學 1.3.2 函數的極值與導數課件 新人教A版選修22.ppt

1 3 2函數的極值與導數 1 掌握極值的概念 了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件 2 會用導數求一些函數的極大值和極小值 本節(jié)重點 函數極值的概念與求法 本節(jié)難點 函數極值的求法 1 曲線在極值點處切線的斜率為0 曲線在極大值點左側切線的斜率為正 右側為負 曲線在極小值點左側切線的斜率為負 右側為正 據此得到可導函數極值的概念 對此概念的幾點說明如下 1 函數f x 在點x0及其附近有定義 是指在點x0及其左右鄰域都有意義 2 極值是一個局部概念 是僅對某一點的左右兩側鄰域而言的 3 極值總是函數f x 定義域的某個開區(qū)間內的點 因而端點絕不是函數的極值點 4 連續(xù)函數f x 在其定義域上的極值點可能不止一個 也可能沒有 函數的極大值與極小值沒有必然的大小關系 函數的一個極小值也不一定比極大值小 2 求可導函數極值的步驟 1 確定函數的定義域 2 求導數f x 3 求方程f x 0的全部實根 4 檢查f x 在f x 0的根左 右兩側值的符號 如果左正右負 或左負右正 那么f x 在這個根處取得極大值 或極小值 3 極值點與導數為0的點的關系 1 導數為0的點不一定是極值點 如函數f x x3在x 0處的導數是0 但它不是極值點 對于可導函數 極值點的導數必為0 因此對于可導函數 導數為0是點為極值點的必要而不充分條件 2 函數的導數不存在的點也可能是極值點 如函數f x x 在x 0處 左側 x 0時 f x 1 0 右側 x 0時 f x 1 0 當x 0時f x 0是f x 的極小值點 但f 0 不存在 1 極值點與極值 1 極小值與極小值點 對可導函數 如圖 若a為極小值點 f a 為極小值 則必須滿足 f a f x0 f x0 表示f x 在x a附近的函數值 f a 在x a附近的左側f x 0 函數單調遞 在x a附近的右側f x 0 函數單調遞 0 減 增 2 極大值與極大值點 對可導函數 如圖 若b為極大值點 f b 為極大值 則必須滿足 f b f x0 f x0 表示f x 在x b附近的函數值 f b 在x b附近的左側 f x 0 函數單調增 在x b附近的右側 f x 0 函數單調 極小值點 極大值點統(tǒng)稱為極值點 極大值和極小值統(tǒng)稱為極值 極值反映了函數在某一點附近的大小情況 刻畫的是函數的局部性質 0 減 2 求可導函數y f x 的極值的方法是 解方程f x 0 當f x0 0時 1 如果在x0附近的左側 右側 那么f x0 是極大值 2 如果在x0附近的左側 右側 那么f x0 是極小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 例1 判斷函數y x3在x 0處能否取得極值 分析 可由極值的定義來判斷 也可由導數來判斷 解析 解法1 當x 0時 f x 0 在x 0的附近區(qū)域內 f x 有正有負 不存在f 0 f x 或f 0 0 當y 0時 f x 0 因此y x3在 上是增函數 因為單調函數沒有極值 所以y x3在x 0處取不到極值 點評 1 f x0 0是函數y f x 在x x0處有極值的必要條件而不是充分條件 如果再加上x0附近導數的符號相反 才能判定在x x0處取得極值 2 在區(qū)間上的單調函數是沒有極值的 像這樣的重點結論可記熟 判斷函數y ax b a 0 在其定義域內是否存在極值 例2 求下列函數的極值 1 y x2 7x 6 2 y x3 27x 分析 求函數極值需求f x 0的解及f x f x 的變化情況 當x 3時 y有極大值 且y極大值 54 當x 3時 y有極小值 且y極小值 54 點評 1 判斷可導函數極值的基本方法 設函數y f x 在點x0及其附近可導 且f x0 0 1 如果f x 的符號在點x0的左右由正變負 則f x0 為函數f x 的極大值 2 如果f x 的符號在點x0的左右由負變正 則f x0 為函數f x 的極小值 3 如果f x 的符號在點x0的左右不變號 則f x0 不為函數f x 的極值 2 求可導函數極值的基本步驟 1 確定函數的定義域 2 求導數f x 3 求方程f x 0的全部實根 4 檢查f x 在方程f x 0的根左 右兩側值的符號 如果左正右負 或左負右正 那么f x 在這個根處取得極大值 或極小值 總之 求可導函數的極值的核心是 解方程f x 0 列表 模擬圖象 確定極大值或極小值 求y 4x3 x2 2x的極值點和相應的極值 解析 y 12x2 2x 2 2 6x2 x 1 2 3x 1 2x 1 例3 已知f x ax5 bx3 c在x 1處的極大值為4 極小值為0 試確定a b c的值 分析 本題的關鍵是理解 f x 在x 1處的極大值為4 極小值為0 的含義 即x 1是方程f x 0的兩個根且在根x 1處f x 取值左右異號 解析 f x 5ax4 3bx2 x2 5ax2 3b 由題意 f x 0應有根x 1 故5a 3b 于是f x 5ax2 x2 1 1 當a 0時 點評 緊扣導數與極值的關系對題目語言進行恰當合理的翻譯 轉化是解決這類問題的關鍵 函數f x x3 ax2 bx a2 在x 1時有極值10 則a b的值為 a a 3 b 3 或a 4 b 11b a 4 b 1 或a 4 b 11c a 1 b 5d 以上都不正確 答案 d 解析 f x 3x2 2ax b x 1是函數f x 的極值點 且在x 1處的極值為10 f 1 3 2a b 0 f 1 1 a b a2 10 當a 3 b 3時f x 3x2 6x 3 3 x 1 2當x 1時 f x 0當x 1時 f x 0 當x 1時函數不存在極值 當a 4 b 11時符合題意 故應選d 例4 求函數f x x3 3x2 2在 a 1 a 1 內的極值 a 0 解析 由f x x3 3x2 2得f x 3x x 2 令f x 0得x 0或x 2 當x變化時 f x f x 的變化情況如下表 由此可得 當0 a 1時 f x 在 a 1 a 1 內有極大值f 0 2 無極小值 當a 1時 f x 在 a 1 a 1 內無極值 當1 a 3時 f x 在 a 1 a 1 內有極小值f 2 6 無極大值 當a 3時 f x 在 a 1 a 1 內無極值 綜上得 當0 a 1時 f x 有極大值 2 無極小值 當1 a 3時 f x 有極小值 6 無極大值 當a 1或a 3時 f x 無極值 點評 判斷函數極值點的注意事項 1 函數的極值點一定出現在區(qū)間的內部 區(qū)間的端點不能成為極值點 2 若f x 在 a b 內有極值 那么f x 在 a b 內絕不是單調函數 即在區(qū)間 a b 上的單調函數沒有極值 3 導數不存在的點也有可能是極值點 如f x x 在x 0處不可導 但由圖象結合極小值定義知f x x 在x 0處取極小值 4 在函數的定義區(qū)間內可能有多個極大值點或極小值點 且極大值不一定比極小值大 5 在討論可導函數f x 在定義域內的極值時 若方程f x 0的實數根較多時 應注意使用表格 使極值點的確定一目了然 6 極值情況較復雜時 注意分類討論 1 當cos 0時 判斷函數f x 是否有極值 2 要使函數f x 的極小值大于零 求參數 的取值范圍 3 若對 2 中所求的取值范圍內的任意參數 函數f x 在區(qū)間 2a 1 a 內都是增函數 求實數a的取值范圍 分析 f x 是否有極值 需研究是否存在x0點 使f x0 0且在x0左 右f x 的符號相反 求參變量范圍注意其他條件 當x變化時 f x 的符號及f x 的變化情況如下表 點評 本例主要考查了運用導數研究函數的單調性與極值 解不等式等基本知識 要注意分析題目 培養(yǎng)綜合分析和解決問題的能力 2009 陜西文 20 已知函數f x x3 3ax 1 a 0 1 求f x 的單調區(qū)間 2 若f x 在x 1處取得極大值 直線y m與y f x 的圖象有三個不同的交點 求m的取值范圍 分析 本小題主要考查函數 導數的應用等基礎知識 考查分類整合思想 推理和運算能力 解析 1 f x 3x2 3a 3 x2 a 當a0 當a 0時 f x 的單調增區(qū)間為 f x x3 3x 1 f x 3x2 3 由f x 0解得x1 1 x2 1 由 1 中f x 的單調性可知 f x 在x 1處取得極大值f 1 1 在x 1處取得極小值f 1 3 直線y m與函數y f x 的圖象有三個不同的交點 又f 3 191 結合f x 的單調性可知 m的取值范圍是 3 1 一 選擇題1 若函數y f x 是定義在r上的可導函數 則f x0 0是x0為函數y f x 的極值點的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件c 充要條件d 既不充分也不必要條件 答案 b 解析 如y x3 y 3x2 y x 0 0 但x 0不是函數y x3的極值點 2 函數y x3 1的極大值是 a 1b 0c 2d 不存在 答案 d 解析 y 3x2 0在r上恒成立 函數y x3 1在r上是單調增函數 函數y x3 1無極值 3 三次函數當x 1時 有極大值4 當x 3時 有極小值0 且函數過原點 則此函數是 a y x3 6x2 9xb y x3 6x2 9xc y x3 6x2 9xd y x3 6x2 9x 答案 b 解析 適合題意的函數滿足f 1 4 排除a c d 二 填空題4 若函數f x x3 ax在r上有兩個極值點 則實數a的取值范圍是 答案 a 0 解析 f x 3x2 a由題設條件知f x 0應有兩個不同實數根 a 0 5 若x 2是函數f x x x m 2的極大值點 則函數f x 的極大值為 答案 32 解析 f x x m 2 2x x m 3x2 4mx m2 x m 3x m 三 解答題6 求下列函數的極值 1