高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （教材回扣夯實(shí)雙基+考點(diǎn)探究+把脈高考）第七章第7課時 立體幾何中的向量方法課件.ppt

第7課時立體幾何中的向量方法 基礎(chǔ)梳理1 直線的方向向量與平面的法向量的確定 1 直線的方向向量 在直線上任取一 向量作為它的方向向量 非零 2 平面的法向量可利用方程組求出 設(shè)a b是平面 內(nèi)兩不共線向量 n為平面 的法向量 則求法向量的方程組為 思考探究直線的方向向量和平面的法向量是唯一的嗎 提示 不唯一 凡是在直線l上的非零向量或與l平行的非零向量都可以作為直線的方向向量 凡是與平面垂直的非零向量都可以作為平面的法向量 2 空間向量與空間角的關(guān)系 1 兩條異面直線所成角的求法設(shè)兩條異面直線a b的方向向量分別為a b 其夾角為 則cos cos 其中 為異面直線a b所成的角 2 直線和平面所成角的求法如圖所示 設(shè)直線l的方向向量為e 平面 的法向量為n 直線l與平面 所成的角為 兩向量e與n的夾角為 則有sin cos b 如圖 n1 n2分別是二面角 l 的兩個半平面 的法向量 則二面角的大小 滿足cos cos n1 n2 或 cos n1 n2 課前熱身1 已知平面 內(nèi)有一點(diǎn)m 1 1 2 平面 的一個法向量為n 6 3 6 則下列點(diǎn)p中 在平面 內(nèi)的是 a p 2 3 3 b p 2 0 1 c p 4 4 0 d p 3 3 4 2 若直線l的方向向量與平面 的法向量的夾角等于120 則直線l與平面 所成的角等于 a 120 b 60 c 30 d 60 或30 解析 選c 由題意得直線l與平面 的法向量所在直線的夾角為60 直線l與平面 所成的角為90 60 30 3 從空間一點(diǎn)p向二面角 l 的兩個面 分別作垂線pe pf 垂足分別為e f 若二面角 l 的大小為60 則 epf的大小為 解析 epf實(shí)質(zhì)就是二面角的兩個面的法向量的夾角 它與二面角的平面角相等或互補(bǔ) 答案 60 或120 4 在棱長為2的正方體abcd a1b1c1d1中 o是底面abcd的中點(diǎn) e f分別是cc1 ad的中點(diǎn) 那么異面直線oe和fd1所成的角的余弦值等于 解析 以d為原點(diǎn) 分別以da dc dd1為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示 在四棱錐p abcd中 pc 平面abcd pc 2 在四邊形abcd中 b c 90 ab 4 cd 1 點(diǎn)m在pb上 pb 4pm pb與平面abcd成30 的角 求證 1 cm 平面pad 2 平面pab 平面pad 證明 以c為坐標(biāo)原點(diǎn) cb所在直線為x軸 cd所在直線為y軸 cp所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系c xyz pc 平面abcd pbc為pb與平面abcd所成的角 pbc 30 題后感悟 1 用向量證明線面平行的方法有 證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直 證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行 證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示 2 用向量法證垂直問題 證明線線垂直 只需證明兩直線的方向向量數(shù)量積為0 證明線面垂直 只需證明直線的方向向量與平面的法向量共線 或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直 證明面面垂直 只需證明兩平面的法向量的數(shù)量積為0 或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直 備選例題 教師用書獨(dú)具 如圖所示 平面pad 平面abcd abcd為正方形 pad是直角三角形 且pa ad 2 e f g分別是線段pa pd cd的中點(diǎn) 求證 pb 平面efg 證明 平面pad 平面abcd且abcd為正方形 ab ap ad兩兩垂直 以a為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系a xyz 則a 0 0 0 b 2 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 e 0 0 1 f 0 1 1 g 1 2 0 變式訓(xùn)練1 如圖所示 在四棱錐p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中點(diǎn) 求證 1 ae cd 2 pd 平面abe 證明 ab ad ap兩兩垂直 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 設(shè)pa ab bc 1 則p 0 0 1 1 abc 60 abc為正三角形 2011 高考北京卷 如圖 在四棱錐p abcd中 pa 平面abcd 底面abcd是菱形 ab 2 bad 60 1 求證 bd 平面pac 2 若pa ab 求pb與ac所成角的余弦值 3 當(dāng)平面pbc與平面pdc垂直時 求pa的長 解 1 證明 因?yàn)樗倪呅蝍bcd是菱形 所以ac bd 又因?yàn)閜a 平面abcd 所以pa bd 又pa ac a 所以bd 平面pac 備選例題 教師用書獨(dú)具 如圖 已知正方體abcd a1b1c1d1的棱長為2 點(diǎn)e是正方形bcc1b1的中心 點(diǎn)f g分別是棱c1d1 aa1的中點(diǎn) 設(shè)點(diǎn)e1 g1分別是點(diǎn)e g在平面dcc1d1內(nèi)的正投影 1 證明 直線fg1 平面fee1 2 求異面直線e1g1與ea所成角的正弦值 變式訓(xùn)練2 如圖所示 在棱長為2的正方體abcd a1b1c1d1中 e f分別為a1d1和cc1的中點(diǎn) 1 求證 ef 平面acd1 2 求異面直線ef與ab所成角的余弦值 解 1 證明 如圖所示 分別以da dc dd1所在的直線為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系d xyz 由已知得d 0 0 0 a 2 0 0 b 2 2 0 c 0 2 0 b1 2 2 2 d1 0 0 2 e 1 0 2 f 0 2 1 2011 高考大綱全國卷 如圖 四棱錐s abcd中 ab cd bc cd 側(cè)面sab為等邊三角形 ab bc 2 cd sd 1 1 證明 sd 平面sab 2 求ab與平面sbc所成角的正弦值 解 以c為坐標(biāo)原點(diǎn) 射線cd為x軸正半軸 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系c xyz 設(shè)d 1 0 0 則a 2 2 0 b 0 2 0 又設(shè)s x y z 則x 0 y 0 z 0 題后感悟 利用向量法求線面角的方法 1 分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量 轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角 或其補(bǔ)角 2 通過平面的法向量來求 即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角 取其余角就是斜線和平面所成的角 備選例題 教師用書獨(dú)具 如圖 已知四棱錐p abcd的底面為等腰梯形 ab cd ac bd 垂足為h ph是四棱錐的高 e為ad中點(diǎn) 1 證明 pe bc 2 若 apb adb 60 求直線pa與平面peh所成角的正弦值 解 以h為原點(diǎn) ha hb hp所在直線分別為x y z軸 線段ha的長為單位長度 建立空間直角坐標(biāo)系 如圖 則a 1 0 0 b 0 1 0 2011 高考湖南卷 如圖 在圓錐po中 已知po o的直徑ab 2 c是a的中點(diǎn) d為ac的中點(diǎn) 1 證明 平面pod 平面pac 2 求二面角b pa c的余弦值 題后感悟 求二面角最常用的方法 1 分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量 然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小 但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角 2 分別在二面角的兩個平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足出發(fā)的兩個向量 則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小 以上兩種方法各有利弊 要善于結(jié)合題目的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń忸} 備選例題 教師用書獨(dú)具 如圖 四棱錐p abcd中 底面abcd為平行四邊形 dab 60 ab 2ad pd 底面abcd 1 證明 pa bd 2 若pd ad 求二面角a pb c的余弦值 如圖 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 已知dc dd1 2ad 2ab ad 1 ad dc ab dc 1 設(shè)e是dc的中點(diǎn) 求證 d1e 平面a1bd 2 求二面角a1 bd c1的余弦值 3 求點(diǎn)c1到平面a1bd的距離 解 1 證明 以d為原點(diǎn) da dc dd1所在直線分別為x軸 y軸 z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ad 1 由題意知 d 0 0 0 a 1 0 0 b 1 1 0 c 0 2 0 c1 0 2 2 a1 1 0 2 d1 0 0 2 e 0 1 0 方法小結(jié) 求點(diǎn)到平面的距離的常用方法 1 等體積法 選擇適當(dāng)?shù)娜忮F 用等體積法求高即可 2 向量法 用向量法求點(diǎn)到平面的距離簡便易行 互動探究3 本例中 求直線d1e到平面a1bd的距離 備選例題 教師用書獨(dú)具 解 1 證明 設(shè)正四棱柱的高為h 連接ao1 如圖 aa1 底面a1b1c1d1于a1 ab1與底面a1b1c1d1所成的角為 ab1a1 即 ab1a1 ab1 ad1 o1為b1d1的中點(diǎn) ao1 b1d1 方法技巧若利用向量求角 各類角都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角來運(yùn)算 1 求兩異面直線a b的夾角 須求出它們的方向向量a b的夾角 則cos cos a b 2 求直線l與平面 所成的角 可先求出平面 的法向量n與直線l的方向向量a的夾角 則sin cos n a 3 求二面角 l 的大小 可先求出兩個平面的法向量n1 n2所成的角 則 n1 n2 或 n1 n2 失誤防范利用向量求角 一定要注意將向量夾角轉(zhuǎn)化為各空間角 因?yàn)橄蛄繆A角與各空間角的定義 范圍不同 命題預(yù)測從近幾年的高考試題來看 利用空間向量證明平行與垂直 以及求空間角是高考的熱點(diǎn) 題型主要為解答題 難度屬于中等偏高 主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算 以及向量的平行與垂直的充要條件 如何用向量法解決空間角問題等 同時注重考查學(xué)生的空間想象以及運(yùn)算能力 預(yù)測2013年高考仍將以用向量證明平行與垂直 以及利用向量求空間角為主要考點(diǎn) 重點(diǎn)考查向量的數(shù)量積及學(xué)生的空間想象