高考數(shù)學(xué)一輪 知識點(diǎn)各個(gè)擊破 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用課件 文 新人教A版.ppt

第二章函數(shù) 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一節(jié)函數(shù)及其表示第二節(jié)函數(shù)的定義域和值域第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值第四節(jié)函數(shù)的奇偶性及周期性第五節(jié)函數(shù)的圖象第六節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù) 目錄 第七節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)第八節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)第九節(jié)函數(shù)與方程第十節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用第十一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算第十二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一 第十三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 二 知識能否憶起 1 函數(shù)的概念 1 函數(shù)的定義 一般地 設(shè)a b是兩個(gè)的數(shù)集 如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f 使對于集合a中的任意一個(gè)數(shù)x 在集合b中都有確定的數(shù)f x 和它對應(yīng) 那么就稱f a b為從集合a到集合b的一個(gè)函數(shù) 記作 非空 y f x x a 唯一 2 函數(shù)的定義域 值域 在函數(shù)y f x x a中 x叫做自變量 x的取值范圍a叫做函數(shù)的 與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值 函數(shù)值的集合 f x x a 叫做函數(shù)的 顯然 值域是集合b的子集 3 函數(shù)的三要素 和 4 相等函數(shù) 如果兩個(gè)函數(shù)的和完全一致 則這兩個(gè)函數(shù)相等 這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù) 定義域 定義域 值域 對應(yīng)關(guān)系 定義域 對應(yīng)關(guān)系 值域 2 函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有 3 映射的概念設(shè)a b是兩個(gè)非空的集合 如果按照某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f 使對于集合a中的任意一個(gè)元素x 在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng) 那么稱對應(yīng)f a b為集合a到集合b的一個(gè)映射 4 分段函數(shù) 動漫演示更形象見光盤 若函數(shù)在其定義域內(nèi) 對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間 有著不同的 這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù) 分段函數(shù)雖然由幾部分組成 但它表示的是一個(gè)函數(shù) 解析法 圖象法 列表法 對應(yīng)關(guān)系 超鏈接 小題能否全取 1 教材習(xí)題改編 設(shè)g x 2x 3 g x 2 f x 則f x 等于 a 2x 1b 2x 1c 2x 3d 2x 7解析 f x g x 2 2 x 2 3 2x 7 答案 d 答案 d 3 已知集合a 0 8 集合b 0 4 則下列對應(yīng)關(guān)系中 不能看作從a到b的映射的是 解析 按照對應(yīng)關(guān)系f x y x 對a中某些元素 如x 8 b中不存在元素與之對應(yīng) 答案 d 5 教材習(xí)題改編 若f x x2 bx c 且f 1 0 f 3 0 則f 1 答案 8 1 函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系 1 函數(shù)是特殊的映射 其特殊性在于集合a與集合b只能是非空數(shù)集 即函數(shù)是非空數(shù)集a到非空數(shù)集b的映射 2 映射不一定是函數(shù) 從a到b的一個(gè)映射 a b若不是數(shù)集 則這個(gè)映射便不是函數(shù) 2 定義域與值域相同的函數(shù) 不一定是相同函數(shù)如函數(shù)y x與y x 1 其定義域與值域完全相同 但不是相同函數(shù) 再如函數(shù)y sinx與y cosx 其定義域與值域完全相同 但不是相同函數(shù) 因此判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同 關(guān)鍵是看定義域和對應(yīng)關(guān)系是否相同 3 求分段函數(shù)應(yīng)注意的問題在求分段函數(shù)的值f x0 時(shí) 一定要首先判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集 然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式 分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集 例1 有以下判斷 答案 2 3 兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù) 取決于它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系是否相同 只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同時(shí) 才表示同一函數(shù) 另外 函數(shù)的自變量習(xí)慣上用x表示 但也可用其他字母表示 如 f x 2x 1 g t 2t 1 h m 2m 1均表示同一函數(shù) 1 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù) 函數(shù)解析式的求法 1 配湊法 由已知條件f g x f x 可將f x 改寫成關(guān)于g x 的表達(dá)式 然后以x替代g x 便得f x 的解析式 如例 1 2 待定系數(shù)法 若已知函數(shù)的類型 如一次函數(shù) 二次函數(shù) 可用待定系數(shù)法 如例 3 3 換元法 已知復(fù)合函數(shù)f g x 的解析式 可用換元法 此時(shí)要注意新元的取值范圍 如例 2 2 設(shè)f x ax2 bx c a 0 則f x 2ax b 2x 2 a 1 b 2 f x x2 2x c 又 方程f x 0有兩個(gè)相等實(shí)根 4 4c 0 c 1 故f x x2 2x 1 自主解答 當(dāng)x4 得2 x 4 即x4得x2 4 所以x 2或x2 綜上可得x2 答案 2 2 若本例條件不變 試求f f 2 的值 解 f 2 22 4 f f 2 f 4 16 求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí) 應(yīng)根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應(yīng)的解析式求解 有時(shí)每段交替使用求值 若給出函數(shù)值 或函數(shù)值的范圍 求自變量值 或自變量的取值范圍 應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解 但要注意檢驗(yàn)所求自變量值 或范圍 是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍 3 2012 衡水模擬 已知f x 的圖象如圖 則f x 的解析式為 題后悟道 解答本題利用了分類討論思想 由于f x 為分段函數(shù) 要表示f 1 a 和f 1 a 的值 首先應(yīng)對自變量1 a和1 a的范圍進(jìn)行討論 這樣才能選取不同的關(guān)系式 列出方程 求出a的值 得出結(jié)果后 應(yīng)注意檢驗(yàn) 所謂分類討論思想就是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí) 需要把研究對象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類 然后對每一類分別研究得出結(jié)論 最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答 實(shí)質(zhì)上 分類討論是 化整為零 各個(gè)擊破 再積零為整 的解題策略 a 3b 3c 1d 1 答案 d 教師備選題 給有能力的學(xué)生加餐 答案 2 2 若函數(shù)的定義域?yàn)?x 3 x 6 且x 4 值域?yàn)?y 2 y 4 且y 0 試在下圖中畫出滿足條件的一個(gè)函數(shù)的圖象 解 本題答案不唯一 函數(shù)圖象可畫為如圖所示 3 已知定義域?yàn)閞的函數(shù)f x 滿足f f x x2 x f x x2 x 1 若f 2 3 求f 1 又若f 0 a 求f a 2 設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)x0 使得f x0 x0 求函數(shù)f x 的解析式 解 1 因?yàn)閷θ我鈞 r有f f x x2 x f x x2 x 所以f f 2 22 2 f 2 22 2 又f 2 3 從而f 1 1 若f 0 a 則f a 02 0 a 02 0 即f a a 2 因?yàn)閷θ我鈞 r 有f f x x2 x f x x2 x 又有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)x0 使得f x0 x0 故對任意x r 有f x x2 x x0 在上式中令x x0 有f x0 x x0 x0 又因?yàn)閒 x0 x0 所以x0 x 0 故x0 0或x0 1 若x0 0 則f x x2 x 但方程x2 x x有兩個(gè)不相同實(shí)根 與題設(shè)條件矛盾 故x0 0 若x0 1 則有f x x2 x 1 易證該函數(shù)滿足題設(shè)條件 綜上 所求函數(shù)f x 的解析式為f x x2 x 1 知識能否憶起 1 常見基本初等函數(shù)的定義域 1 分式函數(shù)中分母 2 偶次根式函數(shù)被開方式 3 一次函數(shù) 二次函數(shù)的定義域均為 4 y ax y sinx y cosx 定義域均為 不等于零 大于或等于0 r r 5 y tanx的定義域?yàn)?6 函數(shù)f x x0的定義域?yàn)?7 實(shí)際問題中的函數(shù)定義域 除了使函數(shù)的解析式有意義外 還要考慮實(shí)際問題對函數(shù)自變量的制約 x x 0 2 基本初等函數(shù)的值域 1 y kx b k 0 的值域是 3 y k 0 的值域是 2 y ax2 bx c a 0 的值域是 當(dāng)a 0時(shí) 值域?yàn)?當(dāng)a 0時(shí) 值域?yàn)?y y 0 r 4 y ax a 0且a 1 的值域是 5 y logax a 0且a 1 的值域是 6 y sinx y cosx的值域是 7 y tanx的值域是 y y 0 1 1 r r 小題能否全取 1 教材習(xí)題改編 若f x x2 2x x 2 4 則f x 的值域?yàn)?a 1 8 b 1 16 c 2 8 d 2 4 答案 a 答案 d a 2 0 0 2 b 1 0 0 2 c 2 2 d 1 2 答案 b 答案 x x 4 且x 5 答案 5 函數(shù)的最值與值域的關(guān)系函數(shù)的最值與函數(shù)的值域是關(guān)聯(lián)的 求出了函數(shù)的值域也就能確定函數(shù)的最值情況 但只確定了函數(shù)的最大 小 值 未必能求出函數(shù)的值域 注意 求函數(shù)的值域 不但要重視對應(yīng)關(guān)系的作用 而且還要特別注意函數(shù)定義域 2 已知函數(shù)f 2x 的定義域是 1 1 求f x 的定義域 若本例 2 條件變?yōu)?函數(shù)f x 的定義域是 1 1 求f log2x 的定義域 簡單函數(shù)定義域的類型及求法 1 已知函數(shù)的解析式 則構(gòu)造使解析式有意義的不等式 組 求解 2 對實(shí)際問題 由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式 組 求解 3 對抽象函數(shù) 若已知函數(shù)f x 的定義域?yàn)?a b 則函數(shù)f g x 的定義域由不等式a g x b求出 若已知函數(shù)f g x 的定義域?yàn)?a b 則f x 的定義域?yàn)間 x 在x a b 時(shí)的值域 a 2 3 b 1 3 c 1 4 d 3 5 例2 求下列函數(shù)的值域 1 y x2 2x x 0 3 求函數(shù)值域常用的方法 1 配方法 多適用于二次型或可轉(zhuǎn)化為二次型的函數(shù) 例 1 2 換元法 例 4 3 基本不等式法 例 3 4 單調(diào)性法 例 4 5 分離常數(shù)法 例 2 注意 求值域時(shí)一定要注意定義域的使用 同時(shí)求值域的方法多種多樣 要適當(dāng)選擇 2 2012 ?？谀M 在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算中 我們定義新運(yùn)算 如下 當(dāng)a b時(shí) a b a 當(dāng)a b時(shí) a b b2 設(shè)函數(shù)f x 1 x x 2 x x 2 2 則函數(shù)f x 的值域?yàn)?答案 1 y y r y 1 2 4 6 自主解答 函數(shù)f x 的定義域?yàn)閞 所以2x2 2ax a 1 0對x r恒成立 即 x2 2ax a 0恒成立 因此有 2a 2 4a 0 解得 1 a 0 答案 1 0 求解定義域?yàn)閞或值域?yàn)閞的函數(shù)問題時(shí) 都是依據(jù)題意 對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化 轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題進(jìn)行解決 而解決不等式恒成立問題 一是利用判別式法 二是利用分離參數(shù)法 有時(shí)還可利用數(shù)形結(jié)合法 答案 5 函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全確定 但因函數(shù)千變?nèi)f化 形式各異 值域的求法也各式各樣 因此求函數(shù)的值域就存在一定的困難 解題時(shí) 若方法適當(dāng) 能起到事半功倍的作用 求函數(shù)值域的常用方法有配方法 換元法 分離常數(shù)法 基本不等式法 單調(diào)性法 以上例2都已講解 判別式法 數(shù)形結(jié)合法等 1 數(shù)形結(jié)合法利用函數(shù)所表示的幾何意義 借助于圖象的直觀性來求函數(shù)的值域 是一種常見的方法 如何將給定函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的模型是解答此類問題的關(guān)鍵 答案 10 題后悟道 本題解法二利用了判別式法 利用判別式法首先把函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)系數(shù)含有y的二次方程a y x2 b y x c y 0 則在a y 0時(shí) 若x r 則 0 從而確定函數(shù)的最值 再檢驗(yàn)a y 0時(shí)對應(yīng)的x的值是否在函數(shù)定義域內(nèi) 以決定a y 0時(shí)y的值的取舍 答案 c 求解函數(shù)的值域要根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?準(zhǔn)確記憶常見函數(shù)的值域 熟練掌握各種類型函數(shù)值域的求法 除前面介紹的幾種方法外 還有單調(diào)性法 導(dǎo)數(shù)法 以后還要講解 教師備選題 給有能力的學(xué)生加餐 答案 d 當(dāng)a2 1 0 即a 1 a 1舍去 時(shí) 有1 0 對x r恒成立 故a 1符合題意 知識能否憶起 一 函數(shù)的單調(diào)性1 單調(diào)函數(shù)的定義 f x1 f x2 f x1 f x2 逐漸上升 逐漸 下降 2 單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)y f x 在區(qū)間d上是或 則稱函數(shù)y f x 在這一區(qū)間上具有 嚴(yán)格的 單調(diào)性 叫做y f x 的單調(diào)區(qū)間 增函數(shù) 減函數(shù) 區(qū)間d 二 函數(shù)的最值 f x m f x m f x0 m f x0 m 解析 由函數(shù)的奇偶性排除a 由函數(shù)的單調(diào)性排除b c 由y x x 的圖象可知此函數(shù)為增函數(shù) 又該函數(shù)為奇函數(shù) 故選d 小題能否全取 1 2012 陜西高考 下列函數(shù)中 既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為 答案 d 答案 d 2 函數(shù)y 2k 1 x b在 上是減函數(shù) 則 答案 d 4 教材習(xí)題改編 f x x2 2x x 2 4 的單調(diào)增區(qū)間為 f x max 解析 函數(shù)f x 的對稱軸x 1 單調(diào)增區(qū)間為 1 4 f x max f 2 f 4 8 答案 1 4 8 答案 1 0 0 1 1 函數(shù)的單調(diào)性是局部性質(zhì)從定義上看 函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在定義域的某個(gè)子區(qū)間上的性質(zhì) 是局部的特征 在某個(gè)區(qū)間上單調(diào) 在整個(gè)定義域上不一定單調(diào) 2 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間 所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 必須先求出函數(shù)的定義域 對于基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以直接利用已知結(jié)論求解 如二次函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)等 如果是復(fù)合函數(shù) 應(yīng)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法 首先判斷兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性 再根據(jù) 同則增 異則減 的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 注意 單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示 不能用集合或不等式表示 如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫 不能用并集符號 聯(lián)結(jié) 也不能用 或 聯(lián)結(jié) 對于給出具體解析式的函數(shù) 證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法 1 結(jié)合定義 基本步驟為取值 作差或作商 變形 判斷 證明 2 可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)證明 對于抽象函數(shù)單調(diào)性的證明 一般采用定義法進(jìn)行 a 0 b 0 c 1 d 1 答案 c 若本例中f x 2 x 變?yōu)閒 x log2 x 其他條件不變 則fk x 的單調(diào)增區(qū)間為 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的常用方法 1 利用已知函數(shù)的單調(diào)性 即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和 差或復(fù)合函數(shù) 求單調(diào)區(qū)間 2 定義法 先求定義域 再利用單調(diào)性定義 3 圖象法 如果f x 是以圖象形式給出的 或者f x 的圖象易作出 可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間 4 導(dǎo)數(shù)法 利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 2 函數(shù)f x x 2 x的單調(diào)減區(qū)間是 a 1 2 b 1 0 c 0 2 d 2 答案 a 例3 1 若f x 為r上的增函數(shù) 則滿足f 2 m f m2 的實(shí)數(shù)m的取值范圍是 2 2012 安徽高考 若函數(shù)f x 2x a 的單調(diào)遞增區(qū)間是 3 則a 答案 1 2 1 2 6 單調(diào)性的應(yīng)用主要涉及利用單調(diào)性求最值 進(jìn)行大小比較 解抽象函數(shù)不等式 解題時(shí)要注意 一是函數(shù)定義域的限制 二是函數(shù)單調(diào)性的判定 三是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用 2 解決分段函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí) 應(yīng)注意 1 抓住對變量所在區(qū)間的討論 2 保證各段上同增 減 時(shí) 要注意上 下段間端點(diǎn)值間的大小關(guān)系 3 弄清最終結(jié)果取并還是交 答案 b 教師備選題 給有能力的學(xué)生加餐 2 定義在r上的函數(shù)f x 滿足 對任意實(shí)數(shù)m n 總有f m n f m f n 且當(dāng)x 0時(shí) 0 f x 1 1 試求f 0 的值 2 判斷f x 的單調(diào)性并證明你的結(jié)論 解 1 在f m n f m f n 中 令m 1 n 0 得f 1 f 1 f 0 因?yàn)閒 1 0 所以f 0 1 又f 0 1 所以綜上可知 對于任意的x1 r 均有f x1 0 所以f x2 f x1 f x1 f x2 x1 1 0 所以函數(shù)f x 在r上單調(diào)遞減 知識能否憶起 一 函數(shù)的奇偶性 f x f x f x f x y軸 原點(diǎn) 二 周期性1 周期函數(shù)對于函數(shù)y f x 如果存在一個(gè)非零常數(shù)t 使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí) 都有 那么就稱函數(shù)y f x 為周期函數(shù) 稱t為這個(gè)函數(shù)的周期 2 最小正周期如果在周期函數(shù)f x 的所有周期中存在一個(gè) 那么這個(gè)就叫做f x 的最小正周期 f x t f x 最小的 正數(shù) 最小正數(shù) 小題能否全取 1 2012 廣東高考 下列函數(shù)為偶函數(shù)的是 答案 d 答案 b 2 已知f x ax2 bx是定義在 a 1 2a 上的偶函數(shù) 那么a b的值是 答案 b 3 教材習(xí)題改編 已知定義在r上的奇函數(shù)f x 滿足f x 4 f x 則f 8 的值為 a 1b 0c 1d 2解析 f x 為奇函數(shù)且f x 4 f x f 0 0 t 4 f 8 f 0 0 4 若函數(shù)f x x2 x a 為偶函數(shù) 則實(shí)數(shù)a 解析 法一 f x f x 對于x r恒成立 x a x a 對于x r恒成立 兩邊平方整理得ax 0 對于x r恒成立 故a 0 法二 由f 1 f 1 得 a 1 a 1 故a 0 答案 0 5 2011 廣東高考 設(shè)函數(shù)f x x3cosx 1 若f a 11 則f a 解析 觀察可知 y x3cosx為奇函數(shù) 且f a a3cosa 1 11 故a3cosa 10 則f a a3cosa 1 10 1 9 答案 9 1 奇 偶函數(shù)的有關(guān)性質(zhì) 1 定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱 這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件 2 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱 反之亦然 3 若奇函數(shù)f x 在x 0處有定義 則f 0 0 4 利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱可知 奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同 利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱可知 偶函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反 2 若函數(shù)滿足f x t f x 由函數(shù)周期性的定義可知t是函數(shù)的一個(gè)周期 應(yīng)注意nt n z且n 0 也是函數(shù)的周期 a 是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)b 是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)c 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)d 既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù) 答案 a 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的方法 1 首先求函數(shù)的定義域 定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件 2 如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱 可進(jìn)一步判斷f x f x 或f x f x 是否對定義域內(nèi)的每一個(gè)x恒成立 恒成立要給予證明 否則要舉出反例 注意 判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f x 與f x 的關(guān)系 只有對各段上的x都滿足相同的關(guān)系時(shí) 才能判斷其奇偶性 1 判斷下列函數(shù)的奇偶性 2 f x 的定義域?yàn)閞 f x 3 x 3x 3x 3 x f x 所以f x 為奇函數(shù) 4 f x 的定義域?yàn)閞 關(guān)于原點(diǎn)對稱 當(dāng)x 0時(shí) f x x 2 2 x2 2 f x 當(dāng)x 0時(shí) f x x 2 2 x2 2 f x 當(dāng)x 0時(shí) f 0 0 也滿足f x f x 故該函數(shù)為奇函數(shù) a 2 0 2 b 2 0 2 c 2 2 d 2 0 0 2 例2 1 2012 上海高考 已知y f x x2是奇函數(shù) 且f 1 1 若g x f x 2 則g 1 自主解答 1 y f x x2是奇函數(shù) 且x 1時(shí) y 2 當(dāng)x 1時(shí) y 2 即f 1 1 2 2 得f 1 3 所以g 1 f 1 2 1 答案 1 1 2 b 本例 2 的條件不變 若n 2且n n 試比較f n f 1 n f n 1 f n 1 的大小 解 f x 為偶函數(shù) 所以f n f n f 1 n f n 1 又 函數(shù)y f x 在 0 為減函數(shù) 且0 n 1 n n 1 f n 1 f n f n 1 f n 1 f n f n 1 f 1 n 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 1 已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式 利用奇偶性關(guān)于f x 的方程 從而可得f x 的解析式 2 已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式及奇偶性求參數(shù) 常常采用待定系數(shù)法 利用f x f x 0產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式 由系數(shù)的對等性可得知字母的值 3 奇偶性與單調(diào)性綜合時(shí)要注意奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同 偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反 2 已知定義在r上的奇函數(shù)滿足f x x2 2x x 0 若f 3 a2 f 2a 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析 1 當(dāng)x0 所以f x x2 x f x ax2 bx 而f x f x 即 x2 x ax2 bx 所以a 1 b 1 故a b 0 2 因?yàn)閒 x x2 2x在 0 上是增函數(shù) 又因?yàn)閒 x 是r上的奇函數(shù) 所以函數(shù)f x 是r上的增函數(shù) 要使f 3 a2 f 2a 只需3 a2 2a 解得 3 a 1 答案 1 0 2 3 1 1 周期性常用的結(jié)論 對f x 定義域內(nèi)任一自變量的值x 1 若f x a f x 則t 2a 2 周期性與奇偶性相結(jié)合的綜合問題中 周期性起到轉(zhuǎn)換自變量值的作用 奇偶性起到調(diào)節(jié)符號作用 3 設(shè)f x 是定義在r上的奇函數(shù) 且對任意實(shí)數(shù)x 恒有f x 2 f x 當(dāng)x 0 2 時(shí) f x 2x x2 1 求證 f x 是周期函數(shù) 2 當(dāng)x 2 4 時(shí) 求f x 的解析式 解 1 證明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期為4的周期函數(shù) 2 x 2 4 x 4 2 4 x 0 2 f 4 x 2 4 x 4 x 2 x2 6x 8 又 f 4 x f x f x f x x2 6x 8 即f x x2 6x 8 x 2 4 抽象函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn) 大多數(shù)同學(xué)感覺找不著頭緒 對抽象函數(shù)的研究往往要通過函數(shù)的性質(zhì)來體現(xiàn) 如函數(shù)的奇偶性 單調(diào)性和周期性 利用賦值法將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決抽象函數(shù)問題的重要策略 下面從5個(gè)不同的方面來探尋一些做題的規(guī)律 1 抽象函數(shù)的定義域抽象函數(shù)的定義域是根據(jù)已知函數(shù)的定義域 利用代換法得到不等式 組 進(jìn)行求解 答案 1 3 題后悟道 函數(shù)y f g x 的定義域的求法 常常通過換元設(shè)t g x 根據(jù)函數(shù)y f t 的定義域 得到g x 的范圍 從而解出x的范圍 在求函數(shù)的定義域時(shí)要兼顧函數(shù)的整體結(jié)構(gòu) 使得分式 對數(shù)等都要有意義 2 抽象函數(shù)的函數(shù)值 典例2 定義在r上的函數(shù)f x 滿足f x y f x f y 2xy x y r f 1 2 則f 2 a 2b 3c 6d 9 解析 令x y 0 得f 0 0 令x y 1 得f 2 2f 1 2 6 由0 f 2 2 f 2 f 2 8得f 2 2 答案 a 題后悟道 抽象函數(shù)求函數(shù)值往往要用賦值法 需要結(jié)合已知條件 通過觀察和多次嘗試尋找有用的取值 挖掘出函數(shù)的性質(zhì) 特別是借助函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的周期性來轉(zhuǎn)化解答 3 抽象函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性就是要判斷 x對應(yīng)的函數(shù)值與x對應(yīng)的函數(shù)值之間的關(guān)系 從而得到函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)或y軸對稱 結(jié)合函數(shù)的圖形作出進(jìn)一步的判斷 典例3 已知函數(shù)f x 對任意x y r 都有f x y f x y 2f x f y 且f 0 0 求證 f x 是偶函數(shù) 證明 取x 0 y 0 得2f 0 2f2 0 因?yàn)閒 0 0 所以f 0 1 再取x 0 得f y f y 2f 0 f y 2f y 所以f y f y 所以函數(shù)f x 是偶函數(shù) 題后悟道 在利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷時(shí) 等式中如果還有其他的量未解決 例如本題中的f 0 還需要令x y取特殊值進(jìn)行求解 4 抽象函數(shù)的單調(diào)性與抽象不等式高考對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的考查一直是個(gè)難點(diǎn) 常出現(xiàn)一些綜合性問題 利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷求解 并對所含的參數(shù)進(jìn)行分類討論或者根據(jù)已知條件確定出參數(shù)的范圍 再根據(jù)單調(diào)性求解或證明抽象不等式問題 結(jié)合本節(jié)例2 2 學(xué)習(xí) 5 抽象函數(shù)的周期性有許多抽象函數(shù)都具有周期性 特別是在求自變量值較大的函數(shù)值時(shí) 就要考慮尋找函數(shù)的周期 從而利用周期把函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知求出 題后悟道 判斷抽象函數(shù)的周期性時(shí) 給一個(gè)變量賦值是關(guān)鍵 但由于函數(shù)的周期性是函數(shù)的整體性質(zhì) 因此另一個(gè)變量必須具有任意性 從以上幾種類型來看 解答抽象函數(shù)問題并不是無計(jì)可施 只要我們善于觀察 分析 掌握解題規(guī)律 把抽象問題形象化 具體化 問題就可以化難為易 迎刃而解 教師備選題 給有能力的學(xué)生加餐 答案 f 1 g 0 g 1 2 關(guān)于y f x 給出下列五個(gè)命題 若f 1 x f 1 x 則y f x 是周期函數(shù) 若f 1 x f 1 x 則y f x 為奇函數(shù) 若函數(shù)y f x 1 的圖象關(guān)于x 1對稱 則y f x 為偶函數(shù) 函數(shù)y f 1 x 與函數(shù)y f 1 x 的圖象關(guān)于直線x 1對稱 若f 1 x f 1 x 則y f x 的圖象關(guān)于點(diǎn) 1 0 對稱 填寫所有正確命題的序號 解析 由f 1 x f 1 x 可知 函數(shù)周期為2 正確 由f 1 x f 1 x 可知 y f x 的對稱中心為 1 0 錯(cuò) y f x 1 向左平移1個(gè)單位得y f x 故y f x 關(guān)于y軸對稱 正確 兩個(gè)函數(shù)對稱時(shí) 令1 x 1 x得x 0 故應(yīng)關(guān)于y軸對稱 錯(cuò) 由f 1 x f 1 x 得y f x 關(guān)于x 1對稱 錯(cuò) 故正確的應(yīng)是 答案 知識能否憶起 一 利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象其基本步驟是列表 描點(diǎn) 連線 首先 確定函數(shù)的定義域 化簡函數(shù)解析式 討論函數(shù)的性質(zhì) 奇偶性 單調(diào)性 周期性 其次 列表 尤其注意特殊點(diǎn) 零點(diǎn) 最大值點(diǎn) 最小值點(diǎn) 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn) 最后 描點(diǎn) 連線 二 利用基本函數(shù)的圖象作圖1 平移變換 1 水平平移 y f x a a 0 的圖象 可由y f x 的圖象向 或向 平移單位而得到 2 豎直平移 y f x b b 0 的圖象 可由y f x 的圖象向 或向 平移單位而得到 2 對稱變換 1 y f x 與y f x 的圖象關(guān)于對稱 2 y f x 與y f x 的圖象關(guān)于對稱 左 右 a個(gè) 上 下 b個(gè) y軸 x軸 3 y f x 與y f x 的圖象關(guān)于對稱 4 要得到y(tǒng) f x 的圖象 可將y f x 的圖象在x軸下方的部分以為對稱軸翻折到x軸上方 其余部分不變 5 要得到y(tǒng) f x 的圖象 可將y f x x 0的部分作出 再利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于的對稱性 作出x 0時(shí)的圖象 x軸 原點(diǎn) y軸 3 伸縮變換 1 y af x a 0 的圖象 可將y f x 圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)?不變而得到 2 y f ax a 0 的圖象 可將y f x 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)?不變而得到 縱坐標(biāo) 原來的a倍 橫坐標(biāo) 小題能否全取 1 一次函數(shù)f x 的圖象過點(diǎn)a 0 1 和b 1 2 則下列各點(diǎn)在函數(shù)f x 的圖象上的是 a 2 2 b 1 1 c 3 2 d 2 3 解析 一次函數(shù)f x 的圖象過點(diǎn)a 0 1 b 1 2 則f x x 1 代入驗(yàn)證d滿足條件 答案 d 2 函數(shù)y x x 的圖象大致是 解析 函數(shù)y x x 為奇函數(shù) 圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 答案 a 3 教材習(xí)題改編 在同一平面直角坐標(biāo)系中 函數(shù)f x ax與g x ax的圖象可能是下列四個(gè)圖象中的 解析 因a 0且a 1 再對a分類討論 答案 b 4 教材習(xí)題改編 為了得到函數(shù)y 2x 3的圖象 只需把函數(shù)y 2x的圖象上所有的點(diǎn)向 平移 個(gè)單位長度 答案 右3 5 若關(guān)于x的方程 x a x只有一個(gè)解 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 答案 0 1 作圖一般有兩種方法 直接作圖法 圖象變換法 其中圖象變換法 包括平移變換 伸縮變換和對稱變換 要記住它們的變換規(guī)律 注意 對于左 右平移變換 可熟記口訣 左加右減 但要注意加 減指的是自變量 否則不成立 2 一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn) y軸 對稱與兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn) y軸 對稱不同 前者是自身對稱 且為奇 偶 函數(shù) 后者是兩個(gè)不同的函數(shù)對稱 例1 分別畫出下列函數(shù)的圖象 1 y lgx 2 y 2x 2 3 y x2 2 x 1 2 將y 2x的圖象向左平移2個(gè)單位 圖象如圖2 畫函數(shù)圖象的一般方法 1 直接法 當(dāng)函數(shù)表達(dá)式 或變形后的表達(dá)式 是熟悉的基本函數(shù)時(shí) 就可根據(jù)這些函數(shù)的特征直接作出 2 圖象變換法 若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移 翻折 對稱得到 可利用圖象變換作出 但要注意變換順序 對不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形 并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響 1 作出下列函數(shù)的圖象 其圖象如圖1所示 實(shí)線部分 例2 2012 湖北高考 已知定義在區(qū)間 0 2 上的函數(shù)y f x 的圖象如圖所示 則y f 2 x 的圖象為 法二 當(dāng)x 0時(shí) f 2 x f 2 1 當(dāng)x 1時(shí) f 2 x f 1 1 觀察各選項(xiàng) 可知應(yīng)選b 答案 b 看圖說話 常用的方法 1 定性分析法 通過對問題進(jìn)行定性的分析 從而得出圖象的上升 或下降 的趨勢 利用這一特征分析解決問題 2 定量計(jì)算法 通過定量的計(jì)算來分析解決問題 3 函數(shù)模型法 由所提供的圖象特征 聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型 利用這一函數(shù)模型來分析解決問題 2 2012 東城模擬 已知函數(shù)對任意的x r有f x f x 0 且當(dāng)x 0時(shí) f x ln x 1 則函數(shù)f x 的圖象大致為 答案 1 2 2 d 例3 2011 新課標(biāo)全國卷 已知函數(shù)y f x 的周期為2 當(dāng)x 1 1 時(shí)f x x2 那么函數(shù)y f x 的圖象與函數(shù)y lgx 的圖象的交點(diǎn)共有 a 10個(gè)b 9個(gè)c 8個(gè)d 1個(gè) 自主解答 根據(jù)f x 的性質(zhì)及f x 在 1 1 上的解析式可作圖如下 可驗(yàn)證當(dāng)x 10時(shí) y lg10 1 010時(shí) lgx 1 結(jié)合圖象知y f x 與y lgx 的圖象交點(diǎn)共有10個(gè) 答案 a 若本例中f x 變?yōu)閒 x x 其他條件不變 試確定交點(diǎn)個(gè)數(shù) 解 根據(jù)f x 的性質(zhì)及f x 在 1 1 上的解析式可作圖如下 由圖象知共10個(gè)交點(diǎn) 1 利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)對于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù) 其性質(zhì) 單調(diào)性 奇偶性 周期性 最值 值域 零點(diǎn) 常借助于圖象研究 但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對應(yīng)關(guān)系 2 利用函數(shù)的圖象研究方程根的個(gè)數(shù)當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時(shí) 可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根 方程f x 0的根就是函數(shù)f x 圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 方程f x g x 的根就是函數(shù)f x 與g x 圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 3 已知函數(shù)f x 2 x2 g x x 若f x g x min f x g x 那么f x g x 的最大值是 注意 min表示最小值 答案 1 答案 0 1 1 4 1 2013 長春第二次調(diào)研 設(shè)函數(shù)f x x a g x x 1 對于任意的x r 不等式f x g x 恒成立 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析 如圖作出函數(shù)f x x a 與g x x 1的圖象 觀察圖象可知 當(dāng)且僅當(dāng) a 1 即a 1時(shí) 不等式f x g x 恒成立 因此a的取值范圍是 1 答案 1 a 1 3 b 0 3 c 0 2 d 0 1 答案 d 教師備選題 給有能力的學(xué)生加餐 1 設(shè)d x y x y x y 0 記 平面區(qū)域d夾在直線y 1與y t t 1 1 之間的部分的面積 為s 則函數(shù)s f t 的圖象的大致形狀為 答案 c 2 2012 深圳模擬 已知定義在區(qū)間 0 1 上的函數(shù)y f x 的圖象如圖所示 對于滿足0 x2 x1 x2f x1 x1f x2 其中正確結(jié)論的序號是 把所有正確結(jié)論的序號都填上 答案 一 常用冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) r x x 0 x x 0 r r 知識能否憶起 r r y y 0 y y 0 y y 0 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 1 1 0 減 0 增 0 和 0 減 增 增 二 二次函數(shù)1 二次函數(shù)的定義形如f x ax2 bx c a 0 的函數(shù)叫做二次函數(shù) 2 二次函數(shù)解析式的三種形式 1 一般式 f x 2 頂點(diǎn)式 f x 3 零點(diǎn)式 f x ax2 bx c a 0 a x m 2 n a 0 a x x1 x x2 a 0 3 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) a 0 a 0 圖象 圖象特點(diǎn) 動漫演示更形象 見配套課件 超鏈接 a 0 a 0 性質(zhì) 定義域 x r 值域 奇偶性 b 0時(shí)為偶函數(shù) b 0時(shí)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù) 單調(diào)性 小題能否全取 1 若f x 既是冪函數(shù)又是二次函數(shù) 則f x 可以是 a f x x2 1b f x 5x2c f x x2d f x x2解析 形如f x x 的函數(shù)是冪函數(shù) 其中 是常數(shù) 答案 d a 1 3b 1 1c 1 3d 1 1 3 答案 a 3 教材習(xí)題改編 已知函數(shù)f x ax2 x 5的圖象在x軸上方 則a的取值范圍是 答案 c 5 如果函數(shù)f x x2 a 2 x b x a b 的圖象關(guān)于直線x 1對稱 則函數(shù)f x 的最小值為 答案 5 1 冪函數(shù)圖象的特點(diǎn) 1 冪函數(shù)的圖象一定會經(jīng)過第一象限 一定不會經(jīng)過第四象限 是否經(jīng)過第二 三象限 要看函數(shù)的奇偶性 2 冪函數(shù)的圖象最多只能經(jīng)過兩個(gè)象限內(nèi) 3 如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交 則交點(diǎn)一定是原點(diǎn) 2 與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問題 注意 當(dāng)題目條件中未說明a 0時(shí) 就要討論a 0和a 0兩種情況 例1 已知冪函數(shù)f x m2 m 1 x 5m 3在 0 上是增函數(shù) 則m 自主解答 函數(shù)f x m2 m 1 x 5m 3是冪函數(shù) m2 m 1 1 解得m 2或m 1 當(dāng)m 2時(shí) 5m 3 13 函數(shù)y x 13在 0 上是減函數(shù) 當(dāng)m 1時(shí) 5m 3 2 函數(shù)y x2在 0 上是增函數(shù) m 1 答案 1 1 冪函數(shù)y x 的圖象與性質(zhì)由于 的值不同而比較復(fù)雜 一般從兩個(gè)方面考查 1 的正負(fù) 0時(shí) 圖象過原點(diǎn)和 1 1 在第一象限的圖象上升 1時(shí) 曲線下凸 0 1時(shí) 曲線上凸 0時(shí) 曲線下凸 2 在比較冪值的大小時(shí) 必須結(jié)合冪值的特點(diǎn) 選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù) 借助其單調(diào)性進(jìn)行比較 準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 1 1 如圖給出4個(gè)冪函數(shù)大致的圖象 則圖象與函數(shù)對應(yīng)正確的是 解析 由圖 知 該圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)且定義域?yàn)閞 當(dāng)x 0時(shí) 圖象是向下凸的 結(jié)合選項(xiàng)知選b 答案 b 2 2013 淄博模擬 若a 0 則下列不等式成立的是 答案 b 例2 已知二次函數(shù)f x 有兩個(gè)零點(diǎn)0和 2 且它有最小值 1 1 求f x 解析式 2 若g x 與f x 圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 求g x 解析式 求二次函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法 合理選擇解析式的形式 并根據(jù)已知條件正確地列出含有待定系數(shù)的等式 把問題轉(zhuǎn)化為方程 組 求解是解決此類問題的基本方法 2 設(shè)f x 是定義在r上的偶函數(shù) 當(dāng)0 x 2時(shí) y x 當(dāng)x 2時(shí) y f x 的圖象是頂點(diǎn)為p 3 4 且過點(diǎn)a 2 2 的拋物線的一部分 1 求函數(shù)f x 在 2 上的解析式 2 在下面的直角坐標(biāo)系中直接畫出函數(shù)f x 的草圖 3 寫出函數(shù)f x 的值域 2 函數(shù)f x 的圖象如圖 3 由圖象可知 函數(shù)f x 的值域?yàn)?4 例3 已知函數(shù)f x x2 2ax 3 x 4 6 1 當(dāng)a 2時(shí) 求f x 的最值 2 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 使y f x 在區(qū)間 4 6 上是單調(diào)函數(shù) 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 自主解答 1 當(dāng)a 2時(shí) f x x2 4x 3 x 2 2 1 由于x 4 6 所以f x 在 4 2 上單調(diào)遞減 在 2 6 上單調(diào)遞增 故f x 的最小值是f 2 1 又f 4 35 f 6 15 故f x 的最大值是35 2 由于函數(shù)f x 的圖象開口向上 對稱軸是x a 所以要使f x 在 4 6 上是單調(diào)函數(shù) 應(yīng)有 a 4或 a 6 即a 6或a 4 故a的取值范圍為 6 4 本例條件不變 求當(dāng)a 1時(shí) f x 的單調(diào)區(qū)間 解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時(shí)要注意 1 拋物線的開口 對稱軸位置 定義區(qū)間三者相互制約 常見的題型中這三者有兩定一不定 要注意分類討論 2 要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 尤其是給定區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的求法 3 2013 泰安調(diào)研 已知函數(shù)f x x2 2ax 1 a在x 0 1 時(shí)有最大值2 則a的值為 答案 2或 1 例4 2012 衡水月考 已知函數(shù)f x x2 g x x 1 1 若存在x r使f x b g x 求實(shí)數(shù)b的取值范圍 2 設(shè)f x f x mg x 1 m m2 且 f x 在 0 1 上單調(diào)遞增 求實(shí)數(shù)m的取值范圍 二次函數(shù)與二次方程 二次不等式統(tǒng)稱 三個(gè)二次 它們之間有著密切的聯(lián)系 而二次函數(shù)又是 三個(gè)二次 的核心 通過二次函數(shù)的圖象貫穿為一體 因此 有關(guān) 三個(gè)二次 的問題 數(shù)形結(jié)合 密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法 4 若二次函數(shù)f x ax2 bx c a 0 滿足f x 1 f x 2x 且f 0 1 1 求f x 的解析式 2 若在區(qū)間 1 1 上 不等式f x 2x m恒成立 求實(shí)數(shù)m的取值范圍 典例 設(shè)函數(shù)y x2 2x x 2 a 則函數(shù)的最小值g a 題后悟道 1 求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型 軸定區(qū)間定 見本節(jié)例3 軸動區(qū)間定 軸定區(qū)間動 不論哪種類型 解題的關(guān)鍵是確定對稱軸與區(qū)間的關(guān)系 當(dāng)含有參數(shù)時(shí) 要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論 2 解答本題利用了分類討論思想 由于區(qū)間未確定 不能判定其對稱軸x 1是否在 2 a 內(nèi) 從而要分類討論 分類討論應(yīng)遵循 1 不重不漏 2 標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一 層次要分明 3 能不分類的要盡量避免或盡量推遲 決不無原則地討論 已知函數(shù)g x ax2 2ax 1 b a 0 b 1 在區(qū)間 2 3 上有最大值4 最小值1 則a b 答案 10 教師備選題 給有能力的學(xué)生加餐 1 比較下列各組中數(shù)值的大小 解 1 函數(shù)y 3x是增函數(shù) 故30 8 30 7 2 y x3是增函數(shù) 故0 213 0 233 4 先比較0 20 5與0 20 3 再比較0 20 3與0 40 3 y 0 2x是減函數(shù) 故0 20 5 0 20 3 y x0 3在 0 上是增函數(shù) 故0 20 3 0 40 3 則0 20 5 0 40 3 2 設(shè)abc 0 二次函數(shù)f x ax2 bx c的圖象可能是 答案 d 3 已知函數(shù)f x ax2 2x 1 1 試討論函數(shù)f x 的單調(diào)性 知識能否憶起 一 根式1 根式的概念 xn a 負(fù)數(shù) 兩個(gè) 相反數(shù) 2 兩個(gè)重要公式 a a a a 二 有理數(shù)指數(shù)冪1 冪的有關(guān)概念 3 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 0 沒有意義 2 有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì) 1 aras a 0 r s q 2 ar s a 0 r s q 3 ab r a 0 b 0 r q ar s ars arbr 三 指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 上方 0 1 動漫演示更形象 見配套課件 超鏈接 0 減函數(shù) 增函數(shù) y 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 r a 9b 7c 10d 9 答案 b 小題能否全取 a 0 b 0 c 0 d 解析 1 2x 0 2x 1 x 0 答案 a 3 已知函數(shù)f x 4 ax 1的圖象恒過定點(diǎn)p 則點(diǎn)p的坐標(biāo)是 a 1 5 b 1 4 c 0 4 d 4 0 解析 當(dāng)x 1時(shí) f x 5 答案 a 4 若函數(shù)y a2 3a 3 ax是指數(shù)函數(shù) 則實(shí)數(shù)a的值為 解析 a2 3a 3 1 a 2或a 1 舍 答案 2 5 若函數(shù)y a2 1 x在 上為減函數(shù) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 1 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化 通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義把根式的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為冪的運(yùn)算 從而簡化計(jì)算過程 2 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)a的大小決定的 因此解題時(shí)通常對底數(shù)a按01進(jìn)行分類討論 指數(shù)式的化簡與求值 例1 化簡下列各式 其中各字母均為正數(shù) 指數(shù)式的化簡求值問題 要注意與其他代數(shù)式的化簡規(guī)則相結(jié)合 遇到同底數(shù)冪相乘或相除 可依據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行 一般情況下 宜化負(fù)指數(shù)為正指數(shù) 化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 對于化簡結(jié)果 形式力求統(tǒng)一 例2 2012 四川高考 函數(shù)y ax a a 0 且a 1 的圖象可能是 自主解答 法一 令y ax a 0 得x 1 即函數(shù)圖象必過定點(diǎn) 1 0 符合條件的只有選項(xiàng)c 法二 當(dāng)a 1時(shí) y ax a是由y ax向下平移a個(gè)單位 且過 1 0 排除選項(xiàng)a b 當(dāng)0 a 1時(shí) y ax a是由y ax向下平移a個(gè)單位 因?yàn)? a 1 故排除選項(xiàng)d 答案 c 1 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的研究 往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象 通過平移 對稱變換得到其圖象 2 一些指數(shù)方程 不等式問題的求解 往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解 a 關(guān)于y軸對稱b 關(guān)于x軸對稱c 關(guān)于原點(diǎn)對稱d 關(guān)于直線y x對稱 2 方程2x 2 x的解的個(gè)數(shù)是 2 方程的解可看作函數(shù)y 2x和y 2 x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 分別作出這兩個(gè)函數(shù)圖象 如圖 由圖象得只有一個(gè)交點(diǎn) 因此該方程只有一個(gè)解 答案 1 a 2 1 例3 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 答案 0 0 答案 2 求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題 首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域 值域 單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì) 其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成 涉及值域 單調(diào)區(qū)間 最值等問題時(shí) 都要借助 同增異減 這一性質(zhì)分析判斷 最終將問題歸納為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決 3 1 2012 福州質(zhì)檢 已知a 20 2 b 0 40 2 c 0 40 6 則 a a b cb a c bc c a bd b c a 2 2012 上海高考 已知函數(shù)f x e x a a為常數(shù) 若f x 在區(qū)間 1 上是增函數(shù) 則a的取值范圍是 解析 1 由0 20 40 6 即b c 因?yàn)閍 20 2 1 b 0 40 2b 綜上 a b c 2 結(jié)合函數(shù)圖象求解 因?yàn)閥 eu是r上的增函數(shù) 所以f x 在 1 上單調(diào)遞增 只需u x a 在 1 上單調(diào)遞增 由函數(shù)圖象可知a 1 答案 1 a 2 1 2 對于含ax a2x的表達(dá)式 通?？梢粤顃 ax進(jìn)行換元 但換元過程中一定要注意新元的范圍 換元后轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元二次關(guān)系 若0 a 1 函數(shù)y a2x 2ax 1在 1 1 上的最大值是14 則a的值為 教師備選題 給有能力的學(xué)生加餐 0 b a 其中不可能成立的關(guān)系式有 a 1個(gè)b 2個(gè)c 3個(gè)d 4個(gè) a b 0 0 a b b a 0 a b 答案 b 知識能否憶起 1 對數(shù)的概念 1 對數(shù)的定義 如果 那么數(shù)x叫做以a為底n的對數(shù) 記作 其中叫做對數(shù)的底數(shù) 叫做真數(shù) 當(dāng)a 10時(shí)叫常用對數(shù) 記作x 當(dāng)a e時(shí)叫自然對數(shù) 記作x ax n a 0且a 1 n x logan a lgn lnn 2 對數(shù)的常用關(guān)系式 a b c d均大于0且不等于1 loga1 logaa 對數(shù)恒等式 alogan 換底公式 0 1 n logad 3 對數(shù)的運(yùn)算法則 如果a 0 且a 1 m 0 n 0 那么 loga m n logamn n r logam logan nlogam logam logan 2 對數(shù)函數(shù)的概念 1 把y logax a 0 a 1 叫做對數(shù)函數(shù) 其中x是自變量 函數(shù)的定義域是 2 函數(shù)y logax a 0 a 1 是指數(shù)函數(shù)y ax的反函數(shù) 函數(shù)y ax與y logax a 0 a 1 的圖象關(guān)于對稱 0 y x 3 對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 0 r 1 0 1 0 y 0 y 0 y 0 y 0 增函數(shù) 減函數(shù) 小題能否全取 答案 c 2 函數(shù)y loga 3x 2 a 0 a 1 的圖象經(jīng)過定點(diǎn)a 則a點(diǎn)坐標(biāo)是 解析 當(dāng)x 1時(shí)y 0 答案 c 3 函數(shù)y lg x a 是偶函數(shù) 在區(qū)間 0 上單調(diào)遞增b 是偶函數(shù) 在區(qū)間 0 上單調(diào)遞減c 是奇函數(shù) 在區(qū)間 0 上單調(diào)遞減d 是奇函數(shù) 在區(qū)間 0 上單調(diào)遞增解析 y lg x 是偶函數(shù) 由圖象知在 0 上單調(diào)遞減 在 0 上單調(diào)遞增 答案 b 5 2012 北京高考 已知函數(shù)f x lgx 若f ab 1 則f a2 f b2 解析 由f ab 1得ab 10 于是f a2 f b2 lga2 lgb2 2 lga lgb 2lg ab 2lg10 2 答案 2 1 在運(yùn)用性質(zhì)logamn nlogam時(shí) 要特別注意條件 在無m 0的條件下應(yīng)為logamn nloga m n n 且n為偶數(shù) 2 對數(shù)值取正 負(fù)值的規(guī)律 當(dāng)a 1且b 1 或00 當(dāng)a 1且01時(shí) logab0 對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和a的值有關(guān) 因而 在研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí) 要按01進(jìn)行分類討論 例1 求解下列各題 對數(shù)式的化簡與求值 對數(shù)式的化簡與求值的常用思路 1 先利