初中數(shù)學(xué)定義、定理、公理、公式證明匯編.doc

初中數(shù)學(xué)定義、定理、公理、公式直線、線段、射線 七上p128 1. 過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線.（簡(jiǎn)：兩點(diǎn)決定一條直線）七上p132 2.兩點(diǎn)之間線段最短 七上p142 3.同角或等角的補(bǔ)角相等.同角或等角的余角相等.七下p44. 過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直 七下p65. 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短. （簡(jiǎn)：垂線段最短）平行線的判斷七下p131.平行公理 經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行. 七下p132.如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行（簡(jiǎn)：平行于同一直線的兩直線平行）七下p143.同位角相等，兩直線平行. 七下p144.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行. 七下p155.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行. 平行線的性質(zhì)七下p201.兩直線平行，同位角相等. 2.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等. 3.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ). 三角形三邊的關(guān)系七下p641.三角形兩邊的和大于第三邊、三角形兩邊的差小于第三邊.三角形角的關(guān)系七下p731. 三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180.2.直角三角形的兩個(gè)銳角互余.已知：Rt,C=90求證：A+B=90證明：C=90，A+B+C=180 A+B=90七下p753.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和. 4. 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.全等三角形的性質(zhì)、判定八上p31.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等.八上p92.邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. 八上p113. 角邊角公理( ASA)有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. 八上p124.推論(AAS) 有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.八上p75. 邊邊邊公理(SSS) 有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. 八上p146. 斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等. 角的平分線的性質(zhì)、判定八上p20性質(zhì)：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.八上p21判定：到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.等腰三角形的性質(zhì)八上p501.等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等 (即等邊對(duì)等角).2.推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊 .已知：中，AB=AC,AD是BAC的角平分線求證：AD平分BC,ADBC.證明：AB=AC,AD是BAC的角平分線 AD平分BC,ADBC.（三線合一）八上p503.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合.八上p544.推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60 .等腰三角形判定八上p521等腰三角形的判定定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（等角對(duì)等邊） 八上p542.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形. 八上p543.有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形.線段垂直平分線的性質(zhì)、判定八上p331. 定理： 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 .八上p332.逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上. 3.線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合. 軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)、 平移、旋轉(zhuǎn) 八上p301. 關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形 八上p32八上p322.如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線 八上p333.兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上 八上p324.若兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng). 九上p645.關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等的. 關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且被對(duì)稱(chēng)中心平分.九上p646. 若兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn),并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).九上p57 p62 7.平移或旋轉(zhuǎn)前后的圖形是不變的.中心對(duì)稱(chēng)是旋轉(zhuǎn)的特殊形式。八下p65勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2 .八下p73勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2 ，那么這個(gè)三角形是直角八上p55直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.八下p95直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半.n邊形、四邊形的內(nèi)角和、外角和七下p821.四邊形的內(nèi)角和等于360. 七下p832.四邊形的外角和等于360七下p823.多邊形內(nèi)角和定理 n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）180.七下p83.推論 任意多邊的外角和等于360.平行四邊形性質(zhì)八下p841.平行四邊形的對(duì)角相等. 八下p842.平行四邊形的對(duì)邊相等. 3.夾在兩條平行線間的平行線段相等. 已知：直線ab,線段ABCD.求證：AB=CD.abABCD證明：ab, ABCD，四邊形ABDC是平行四邊形AB=CD八下p854.平行四邊形的對(duì)角線互相平分.平行四邊形判定八下p831.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.八下p872.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形. 八下p873.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形. 八下p874.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形. 八下p885. 一組對(duì)邊平行相等的四邊形是平行四邊形 八下p94矩形性質(zhì)1. 矩形的四個(gè)角都是直角 .2. 矩形的對(duì)角線相等.矩形判定八下p951.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.八下p962.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.八下p963. 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 .八下p98菱形性質(zhì)1、菱形的四條邊都相等.2. 菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角. 3、菱形面積=對(duì)角線乘積的一半，即證明：菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形,且菱形對(duì)角線互相平分 設(shè)菱形對(duì)角線長(zhǎng)為x,y則S菱形=41/2(x/2y/2)=1/2xy 所以菱形的面積等于其對(duì)角線乘積的一半 八下p99菱形判定1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形2.四邊都相等的四邊形是菱形 3.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.八下p100正方形性質(zhì)1.正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等.2.正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角. 正方形判定八下p1001.四個(gè)角都是直角，四條邊都相等的四邊形是正方形2.對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.證明：對(duì)角線互相平分平行四邊形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形菱形；對(duì)角線相等的平行四邊形矩形形；菱形+矩形正方形八下p107等腰梯形性質(zhì)1.等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等.2.等腰梯形的兩條對(duì)角線相等. 等腰梯形判定八下p1081.同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形2.對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形. 已知：梯形ABCD中，ADBC,AC=BD.求證：梯形ABCD是等腰梯形。證明： 經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰. 已知：梯形ABCD中，ADBCEF，其中E是AB中點(diǎn)。求證：F是CD中點(diǎn)證明：連接AC交EF于點(diǎn)GADBCEFAEGABCE是AB中點(diǎn)同理可證F是CD中點(diǎn). 經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊.（證法參照上題）八下p89三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 ，S=Lh 已知：梯形ABCD中，ADBC, EF是梯形的中位線，設(shè)AD=a,BC=b,EF=l,梯形高為h。求證： S=Lh證明：連接AF交BC延長(zhǎng)線與G點(diǎn)九下p36 比例的基本性質(zhì) 如果a:b=c:d ad=bc 相似三角形判定九下p421.定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.九下p462.兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似. 九下p443.兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似 九下p434.三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似九下p475.如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似.已知：RTABC和RTDEF，AC與DF為斜邊，AB：DE=AC：DF求證：RTABCRTDEF證明：由勾股定理得：BC= EF=設(shè)AB：DE=AC：DF=kAB:AC=DE:DF=k（AB:AC）=（DE:DF）=kAB=kAC,DE=kDFBC= = EF= =BC:EF=：=AC:DF=AB：DE三邊對(duì)應(yīng)成比例RTABCRTDEF 相似三角形性質(zhì)九下p521. 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比. 2.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比. 3.相似三角形面積的比等于相似比的平方. 九下p59-604.位似圖形是相似圖形的特殊形式。位似比等于相似比。以三角形為例：已知：與是以O(shè)為位似中心的位似圖形，位似比為1：k求證：與的相似比為1：k與是以O(shè)為位似中心的位似圖形理可得 , ，與的相似比為1：k圓九上p791.圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.九上p902.圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑.的點(diǎn)的集合. 3.圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合.九上p794.同圓或等圓的半徑相等. 九上p925.不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。 垂徑定理 九上p811.垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧 .推論1 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 .弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.已知：AB為圓O的一條弦，CE垂直平分AB，垂足為D求證：CE是過(guò)點(diǎn)O，,證明：假設(shè)CE不過(guò)點(diǎn)O 連接OA,OD,OB過(guò)點(diǎn)D有兩條直線與AB垂直，這與“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)不成立 CE是過(guò)點(diǎn)O，即CE是圓O的直徑根據(jù)推論1，可得,平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧 .已知：O為圓心，CE是直徑，求證：，AOCBOC.OA=OBAOB為等腰三角形，CE平分它的頂角。從“三線合一定理”， ，又AOE180-AOC180-BOCBOE.九上p823.圓是以圓心為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形 .九上p834.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等 .5.在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等. 以下是等弦推出等弦心距的情況，其他的類(lèi)似已知：AB，CD為圓O的兩條等弦,OE AB,OF CD求證：OE=OF證明：九上p85圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓 中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等.半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑. 九上p87如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形 .三角形的外心，三角形外接圓的圓心，它是三邊的中垂線的交點(diǎn)，到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.如圖，三種ABC中，為 AB的垂直平分線，為 BC的垂直平分線，與交于點(diǎn)O，連接OA、OB、OC ，是 AB的垂直平分線， OBOA 又是BC的垂直平分線 OBOC 故OA OB OC O在BC的垂直平分線上，即AC的垂直平分線過(guò)點(diǎn)O。九上p97三角形的內(nèi)心，三角形內(nèi)切圓的圓心，它是三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，到三邊的距離相等.已知，I是三角形ABC中和的角平分線的交點(diǎn)求證：AI平分，I到三邊的距離相等證明：作 I是三角形ABC中和的角平分線的交點(diǎn)點(diǎn)I在的角平分線上，即AI平分且直角三角形三邊為a、b、c，c為斜邊，則外接圓的半徑；內(nèi)切圓的半徑已知例2：如圖，RtABC，C=90，兩直角邊a，b，斜邊為c，它的內(nèi)切圓O分別與BC，AC，AB相切于點(diǎn)D、E、F（1）求這個(gè)三角形外接圓半徑R和內(nèi)切圓的半徑r.解：做出如圖輔助線,C=90為外接圓直徑直角三角形的外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)外接圓半徑R=（2）RtABC的內(nèi)切圓O分別與BC，AC，AB相切于點(diǎn)D、E、F四邊形CDOE是矩形，又OE=OD矩形CDOE是正方形，EC=CD=r由切線長(zhǎng)定理可得：BD=BF=a-rAF=AE=b-rAF+BF=ca-r+ b-r=c九上p94直線和圓的位置關(guān)系 直線L和O相交 dr 直線L和O相切 d=r 直線L和O相離 dr 九上p95切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這切線九上p96切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn) .已知：直線l是圓O切線，A為切點(diǎn)，OBl，垂足為B求證：直線OB不經(jīng)過(guò)A點(diǎn)證明：假設(shè)直線OB不過(guò)A點(diǎn)直線l是圓O切線，A為切點(diǎn)過(guò)點(diǎn)O有兩條直線OA和OB與直線l垂直，這與“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)不成立直線OB過(guò)A點(diǎn) 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.已知：直線l是圓O切線，A為切點(diǎn)，ABl，AB與圓O交于點(diǎn)B求證：直線AB過(guò)圓心O證明：假設(shè)直線AB不經(jīng)過(guò)圓心O直線l是圓O切線，A為切點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A有兩條直線OA和AB與直線l垂直，這與“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)不成立直線AB過(guò)圓心O九上p97切線長(zhǎng)定理. 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.圓和圓的位置關(guān)系如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上 證明：圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，過(guò)圓心的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸，兩圓組成的圖形也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，連心線是它的對(duì)稱(chēng)軸，假設(shè)切點(diǎn)不在連心線上，則它關(guān)于連心線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也不在連心線上，而是兩圓的另一個(gè)公共點(diǎn)，這跟兩圓相切只有一個(gè)公共點(diǎn)矛盾，所以切點(diǎn)一定在連心線上九上p100兩圓外離 dR+r 兩圓外切 d=R+r 兩圓相交 R-rdR+r(Rr) 兩圓內(nèi)切 d=R-r(Rr) 兩圓內(nèi)含dR-r(Rr) 正多邊形和圓依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形 n(n3):以五邊形為例已知：圓O中,求證：五邊形ABCDE是O的內(nèi)接正五邊形又，五邊形ABCDE的頂點(diǎn)都在圓O上，五邊形ABCDE是圓O的內(nèi)接正五邊形。經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形。已五邊形為例，經(jīng)過(guò)圓的五等分點(diǎn)作圓的切線，觀察以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的五邊形是不是正五邊形？已知，PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過(guò)分點(diǎn)A、B、C、D、E的O的切線求證：五邊形PQRST是O的外切正五邊形證明： PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過(guò)分點(diǎn)A、B、C、D、E的O的切線五邊形PQRST是O的外切正五邊形定理 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.以五邊形為例證明：如果正五邊形ABCDE有外接圓，則A、B、C、D、E五點(diǎn)應(yīng)都在同一個(gè)圓上，且它們到圓心的距離相等不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，不妨過(guò)正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A、B、C作O，連結(jié)OA、OB、OC、OD、OE則OA=OB=OC；OABODCABCDE有一個(gè)外接圓O既然正五邊形有一個(gè)外接O，那么正五邊形的五條邊也就應(yīng)是O的五條等弦根據(jù)弦等、弦心距相等，證明參見(jiàn)p4，可知點(diǎn)O到五邊的距離等以該弦心距為半徑作圓，可得該圓與各邊都相切，所以同樣，正n邊形也應(yīng)有一個(gè)內(nèi)切O，且兩圓同心定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形. 以五邊形為例已知：正五邊形ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR,為五邊形各邊的邊心距求證：正五邊形的半徑和邊心距把正五邊形分成十個(gè)全等的直角三角形.證明：正五邊形ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR,為五邊形各邊的邊心距（弦等推出弦心距等證明參見(jiàn)p4）同理其他直角三角形也全等，每條邊和圓心以及對(duì)應(yīng)半徑一共組成5個(gè)三角形，每個(gè)三角形可以分割成兩個(gè)直角三角形，所以一共有10個(gè)全等的直角三角形。正三角形面積， a表示邊長(zhǎng). 已知，正邊長(zhǎng)為a求證：正三角形面積證明：作AD BC于D，正邊長(zhǎng)a九上p110扇形弧長(zhǎng)： 九上p111扇形面積： 圓拄的側(cè)面積圓柱展開(kāi)圖是矩形，長(zhǎng)和寬中其中一條是圓柱的高h(yuǎn)，另一條是圓柱底面周長(zhǎng)，所以面積為圓拄的表面積九上p113圓錐的側(cè)面積圓錐的表面積冪的運(yùn)算：八上p160a0時(shí)a0=1，八下p19a-p=八上142am an= am+n；（am）n= am n 0的0次冪沒(méi)有意義八上p151平方差：a2-b2=(a+b)(a-b)八上p15