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文檔簡介

一元二次方程的定義教學(xué)案例 湛江一中培才學(xué)校 李韶萍一、課前測驗以及數(shù)據(jù)分析.這節(jié)課是在湛江一中培才學(xué)校初二級35個平行班當(dāng)中的一個班進(jìn)行的.初二級學(xué)生歷經(jīng)近2年的課改,自學(xué)能力較成熟;另一方面,在學(xué)習(xí)這個單元之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組、分式方程,這些單元的基本數(shù)學(xué)思想與本單元基本一致,學(xué)生已具備了解一元二次方程知識的能力與思想.筆者根據(jù)學(xué)生的能力,結(jié)合本節(jié)課的知識點,對該班學(xué)生進(jìn)行了課前檢測,并基于solo理論進(jìn)行分析.為對比預(yù)習(xí)產(chǎn)生的效果,筆者還將該班學(xué)生平均分成A、B兩組,兩組學(xué)生當(dāng)中的優(yōu)、中、學(xué)困生人數(shù)比例接近.要求A組學(xué)生用10分鐘自學(xué)課本(人教版)第2、3頁的內(nèi)容,至少看兩遍,直到看懂為止;B組學(xué)生不能看課本.然后A、B兩組同學(xué)同時用10分鐘時間,閉卷、獨立完成“課前測驗卷”. 以下是“課前測驗卷”的題目及其相關(guān)的數(shù)據(jù)分析知識點一: 一元二次方程的概念1、方程x2-75x+350=0中含有 個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 . 組別A組(已預(yù)習(xí))B組(未預(yù)習(xí))“方程x2-75x+350=0中含 個未知數(shù)”出錯率填 2 16%填 2 22%填 x 3%填 x 0%基于solo理論分析約八成的學(xué)生完全做對,對照兩組實驗結(jié)果,發(fā)現(xiàn)區(qū)別不大,因此無論預(yù)習(xí)與否,學(xué)生都能通過已有“未知數(shù)”、“最高次數(shù)”的概念內(nèi)涵進(jìn)行遷移聯(lián)想,完成此題,因此,有八成學(xué)生屬于多點結(jié)構(gòu)層次,而近兩成學(xué)生未知數(shù)填2,通過訪談,了解到他們只是單純地在式子中數(shù)出了兩個“x”,屬于前結(jié)構(gòu)層次.2、下列方程中,屬于一元二次方程的是 (填序號):x2-2y+3=0 2xx-1=2x2 x2=2x(x2-1)2+2x+3=0 x2-1x+2=0 x2+22x+3=0在你所選的序號中,你不確定序號是 .組別A組(已預(yù)習(xí))各題正確率B組(未預(yù)習(xí))各題正確率“下列方程中,屬于一元二次方程的是 ” 答題情況沒選68%沒選60%沒選48%沒選33%選了65%選了74%沒選84%沒選78%沒選55%沒選60%選了97%選了93%基于solo理論分析對照兩組實驗結(jié)果,區(qū)別較大的是、項,可見,預(yù)習(xí)能強化學(xué)生對“元、二次項、一次項、常數(shù)項”的認(rèn)識.兩組都有過半學(xué)生選,近半學(xué)生選,其中許多學(xué)生在“不確定序號”里選了,說明一元二次方程定義仍處于一知半解的程度,屬于單點結(jié)構(gòu)層次.知識點二: 一元二次方程的一般形式3、將5x2-1=3x化成一般形式,并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.組別A組(已預(yù)習(xí))B組(未預(yù)習(xí))答題情況列對一般式81%列對一般式30%做對二次項系數(shù)81%做對二次項系數(shù)44%做對一次項系數(shù)58%做對一次項系數(shù)26%做對常數(shù)項84%做對常數(shù)項52%系數(shù)和常數(shù)項符號錯19%系數(shù)和常數(shù)項符號錯15%項系數(shù)寫成“項”19%項系數(shù)寫成“項”41%基于solo理論分析此題是課本例題的同類題,通過自學(xué),八成A組學(xué)生能把握要點,結(jié)合已有的“移項”知識,準(zhǔn)確寫出一般式,但近半學(xué)生沒有找對一次項系數(shù),說明學(xué)生未能把將“多項式的系數(shù)包含其符號”這一已有知識機地整合起來,可見,不到一半的學(xué)生屬于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次,大部分學(xué)生屬于多點結(jié)構(gòu)層次.B組學(xué)生由于沒有接觸過“一般形式”的概念,只能對文字的表面意思猜測,近八層學(xué)生屬于前結(jié)構(gòu)層次.本題牽涉到“一元二次方程一般形式”的新概念,因此預(yù)習(xí)與否對學(xué)生產(chǎn)生較大影響,兩組實驗結(jié)果差距很大, A組過半學(xué)生進(jìn)入到多點結(jié)構(gòu)層次,B組大部分停留在前結(jié)構(gòu)層次,因此,對于含新概念知識的內(nèi)容,預(yù)習(xí)能極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)起點.知識點三: 一元二次方程的根4、在-4,-3,2,3這些數(shù)中,是一元二次方程x2+x-6=0的根的是 .組別A組(已預(yù)習(xí))B組(未預(yù)習(xí))答題情況只填對一個答案42%列對一般式41%填對2個答案55%做對二次項系數(shù)59%全錯3%做對一次項系數(shù)0%基于solo理論分析兩組實驗結(jié)果區(qū)別不大,包括沒有預(yù)習(xí)的同學(xué)在內(nèi),幾乎所有學(xué)生都知道將答案代入方程中的 x 進(jìn)行檢驗,但只有不到一半的學(xué)生把根找全,屬于多點結(jié)構(gòu)層次,近六成學(xué)生屬于單點結(jié)構(gòu)層次.知識點四: 根據(jù)實際問題列一元二次方程5、一個矩形的長比寬多2,面積是100,設(shè)矩形的長為x,則可列方程 .組別A組(已預(yù)習(xí))B組(未預(yù)習(xí))答題情況全對55%全對63%基于solo理論分析該題完全沒有受預(yù)習(xí)與否的影響,在做錯的學(xué)生當(dāng)中,絕大部分列成了xx+2=100,由此可見,對于此題,近四成學(xué)生屬于單點知識結(jié)構(gòu).6、根據(jù)問題列方程,并將所列方程化成一元二次方程的一般形式:參加一次聚會的每兩人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人參加聚會?組別A組(已預(yù)習(xí))B組(未預(yù)習(xí))答題情況沒設(shè)元或留空0%沒設(shè)元或留空30%設(shè)元,但列錯或沒列方程40%設(shè)元,但列錯或沒列方程59%列對方程,但化錯一般式29%列對方程,但化錯一般式11%完全做對32%完全做對4%對方程進(jìn)行了化簡19%對方程進(jìn)行了化簡4%基于solo理論分析此題為課本第二頁問題2的一道同類題,A組同學(xué)通過預(yù)習(xí),有六成學(xué)生列對方程,達(dá)到多點結(jié)構(gòu)層次,但只有三成學(xué)生全部做對,達(dá)到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次.B組有三成學(xué)生屬于前結(jié)構(gòu)層次,六成學(xué)生屬于單點結(jié)構(gòu)層次,一成學(xué)生屬于多點結(jié)構(gòu)層次.小結(jié):通過分析“課前測驗卷”數(shù)據(jù),可以看出學(xué)生對一元二次方程定義仍處于一知半解的程度,大多屬于單點結(jié)構(gòu)層次;對于知識點二,大部分學(xué)生能通過自學(xué),從前結(jié)構(gòu)層次過渡到多點結(jié)構(gòu)層次,但對于系數(shù)的符號仍把握不準(zhǔn);對于知識點三,過半學(xué)生屬于單點結(jié)構(gòu)層次;對于知識點四,對于同類題,通過自學(xué),過半學(xué)生能達(dá)到多點結(jié)構(gòu)層次.由此可見,課前預(yù)習(xí)能極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)起點. 為了讓學(xué)生能在同一起跑線上進(jìn)行新課學(xué)習(xí),前測結(jié)束以后,也對B組做了同樣的預(yù)習(xí)要求.二、課堂片段及點評由“課前測驗卷”完成情況,得知學(xué)生對一元二次方程的定義的本質(zhì)、一般式當(dāng)中“二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項”符號的把握、以及根據(jù)實際問題列一元二次方程這三個方面較為薄弱.因此本課例針對這三個方面的內(nèi)容,側(cè)重描述三個課堂片段,并進(jìn)行點評.片段一:課堂小練:填表多項式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項3x2+8x+103x2-8x-10x2-6x+4-x2-x師:我們先來熱熱身,完成這張表格.學(xué)生開始填表,教師巡視,先做完的四名同學(xué)請到黑板上板書.師:同學(xué)們,我們在找二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的時候要注意什么問題?學(xué)生闡述應(yīng)注意帶上符號;x2與-x2的系數(shù)分別是“1”和“-1”,而不是“沒有”;要注意系數(shù)與項的區(qū)別 .針對學(xué)生對于各項的系數(shù)容易漏“符號”等問題,設(shè)計此題,在上新課之前完成,能喚醒學(xué)生對舊知的認(rèn)識,起到承上啟下的作用,以幫助學(xué)生邁向關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次.片段二:教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀導(dǎo)學(xué)案上的問題一:下個月,湛江一中培才學(xué)校將舉行體育節(jié)活動.我們班的大本營需要制作一個用于裝大本營用具的紙箱,具體要求如下:材料是一塊長100cm,寬50cm的厚紙板,在它的四角各切去一個同樣的正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2,那么紙皮各角應(yīng)切去多大的正方形?師:同學(xué)們,你們能用已有的知識解決這個問題嗎?請將你的想法寫在導(dǎo)學(xué)案上.教師巡視,邀請完成快的兩學(xué)生上黑板書寫.師:同學(xué)們做完了嗎?下面邀請上黑板的兩位同學(xué)展示他們的方法.生1:設(shè)切去的正方形邊長為x cm,因為紙板總面積為10050cm2,紙板面積又等于四個切去的小正方形面積4x 2cm2,加上下兩個小長方形面積2x (100-2x ) cm2,加左右兩個小長方形面積2x (50-2x ) cm2,再加上中間長方形面積3600cm2,就能得到方程4x 2+2x 100-2x +2x 50-2x +3600=10050.師:好!有理有據(jù).第二位同學(xué)列的方程似乎更簡潔一點,讓我們來聽聽他的想法.生2:我也是設(shè)切去的正方形邊長為 x cm, 不過我是利用中間的矩形面積列的方程,中間矩形的長為100-2x cm2,寬為50-2xcm2,這樣就得到方程100-2x50-2x=3600.這時課堂上響起了掌聲.師:從同學(xué)們的掌聲中可以聽出,你們更喜歡第二種方法.你們能說說這兩種方法的區(qū)別和聯(lián)系嗎?生3:他們都通過面積建立了相等關(guān)系,不同的是所選擇的面積不同.師追問:這兩個方程看起來形式不一樣,我們能否用一個統(tǒng)一的形式將它們簡化?同學(xué)們注意要求:等號的右側(cè)化為0,等號的左側(cè)要求化簡,并表示成按x的降冪排列.學(xué)生按要求完成,發(fā)現(xiàn)兩個方程都化成了x2-75x+350=0.師:這道題雖然采用了不同的相等關(guān)系,但由于所設(shè)的x都表示小正方形的面積,所以列出方程形式本質(zhì)是一樣的.你們能說說這個方程有什么特征嗎?生4:只有一個未知數(shù)x,x的最高次數(shù)是2 .生5:課本上還提到,方程的兩邊都是整式.師邊板書邊總結(jié):像這樣,等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程 ,叫做一元二次方程.師指導(dǎo)學(xué)生完成導(dǎo)學(xué)案上的判斷題:請判斷以下方程是不是一元二次方程:(1)x2-12x+1=0; 2y2+2y=0;(3)xx+2=x2-4;(4)ax2+bx+c=0.生6:(2)、(3)、(4)是,(1)不是.師反問:同學(xué)們贊同他的說法嗎?生7:(4)不是,因為a如果是0,未知數(shù)x的最高次數(shù)就不是2了.師邊板書邊總結(jié):補充得很好.事實上, ax2+bx+c=0(a0)叫做一元二次方程的一般形式,其中ax2是二次項,a是二次項系數(shù);bx是一次項,b是一次項系數(shù);c是常數(shù)項.只要是一元二次方程,都能化成一般形式.那么請嘗試一下整理(3),看看能否化成一元二次方程的一般形式?學(xué)生整理后發(fā)現(xiàn)化成了一元一次方程.師:是的,所以通常我們要先化簡,再進(jìn)行判斷.現(xiàn)在請每組利用2分鐘時間,設(shè)計4個不同類型的方程,然后交給隔壁的小組交換判斷,看看哪些是一元二次方程.問題一是在教材中實際問題的基礎(chǔ)上,結(jié)合學(xué)?;顒颖尘斑M(jìn)行改編的,對于學(xué)生來說特別有真實感,從而自然地產(chǎn)生尋求解決辦法的動機.通過對應(yīng)用題一題多解的展示,學(xué)生逐漸理解到列一元二次方程的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系,有效鍛煉學(xué)生根據(jù)實際問題列一元二次方程的能力.通過對“問題一”所得方程化簡之后形式的觀察,很自然地引出一元二次方程及其一般式的定義.4個判斷題是結(jié)合學(xué)生的前測情況設(shè)計的,而后面的“創(chuàng)作方程”環(huán)節(jié),屬于開放性問題,這要求學(xué)生對問題進(jìn)行抽象的概括,能促進(jìn)學(xué)生邁向抽象拓展層次.片段三:教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀導(dǎo)學(xué)案上的問題二:這次的體育節(jié),我們初二年級打算組織一次籃球賽.籃球賽連續(xù)進(jìn)行7天時間,每天進(jìn)行4場比賽,請問初二級應(yīng)組織多少只籃球隊參加比賽?請你將列出一元二次方程化為一般形式,并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.師:這道題可以設(shè)什么為x?生8:可以設(shè):初二級應(yīng)組織x只籃球隊參加比賽.師進(jìn)一步問:等量關(guān)系呢?生9:籃球賽連續(xù)進(jìn)行7天時間,每天進(jìn)行4場比賽,一共有28場比賽,可以利用這個建立相等關(guān)系.師:那如何用含x的式子表示比賽的總場數(shù)呢?生10:每個球隊都要和其他(x-1)個隊各賽一場,共有x個隊,可以表示為x(x-1)場.師邊在黑板上畫圖,邊說:有一定的道理,但我存在一個疑問:如果我用x個點表示x個隊,用連線表示比賽,那么甲隊將和其余(x-1)個隊比賽,但是在算乙隊的時候,甲乙比賽之間為什么出現(xiàn)兩條連線?生一起回答:因為重復(fù)計算了一次!師:在計算其它隊的時候,都重復(fù)計算了嗎?生齊答:是.師追問:那怎么表示總場數(shù)呢?生11:表示為x(x-1)2.師:很好,這樣我們就能列出方程x(x-1)2=28 了.那下面請同學(xué)們把這個方程化成一般式,并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.此題的難點在于對總場數(shù)表示為x(x-1)2當(dāng)中為什么要除以2的認(rèn)識.事實上,學(xué)生在學(xué)習(xí)“多邊形”內(nèi)容的時候,曾經(jīng)歷過探索n邊形對角線條數(shù)的問題,在這里筆者利用數(shù)形結(jié)合的方法,將比賽問題化歸為點與點之間的連線問題,讓學(xué)生很容易產(chǎn)生聯(lián)想,幫助學(xué)生把這些思路結(jié)合起來思考,以達(dá)到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次.完成此題后,教師還將題目變式為“隊友互送卡片”的問題,讓學(xué)生區(qū)別不用“除以2”的情況.本節(jié)課的知識點多而零散,通過對教材的改編,使得問題二成為問題一情景的延續(xù),讓整節(jié)課用“體育節(jié)”的故事線索串聯(lián)了起來,同時,在解決問題的過程中,利用講練結(jié)合的方式逐漸滲透各個概念,使得零碎的內(nèi)容得以統(tǒng)一.三、課后教學(xué)效果檢測及統(tǒng)計1、下列方程中,是一元二次方程的有 . 3x2=2x y2-2x-8=0 2x2-x-1=0 2xx-5=x(2x+1) x2-2x+1=0 y25=42、已知方程m-3x2-3x-2=0是關(guān)于x的一元二次方程,則m的取值范圍是 .3、方程 m-2xm-3x-4=0是一元二次方程,則 m的值為 .4、x=4 是方程x2+kx-20=0 的其中一個根,則k的值為 .5、已知一元二次方程 m-2x2+x+m2-4=0有一個根是0,則m的值為 .6、參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽了一份合同,所有公司共簽訂了45份合同,設(shè)共有x家公司參加商品交易會,則可列方程 .7、將方程6xx-5=2(x+1) 化成一元二次方程的一般式,并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.內(nèi)容各題正確率第1題選了84%沒選86%沒選93%沒選91%選了93%選了71%第2題88%第3題86%第4題93%第5題86%第6題86%第7題78%7道題全對59%只做對2道或以下7%四、總結(jié)與反思通過A、B兩組學(xué)生的預(yù)習(xí)對照,可以看出,盡管只有10分鐘的“預(yù)習(xí)”,但是學(xué)生的認(rèn)知水平已經(jīng)拉開一定的距離,特別是對于含新概念知識的內(nèi)容,預(yù)習(xí)能極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)起點.通過課前預(yù)習(xí)檢測,能有效摸清學(xué)生的薄弱點,更有效地“對癥下藥”.從課

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