一元二次方程（1）.docx

一元二次方程的定義教學(xué)案例 湛江一中培才學(xué)校 李韶萍一、課前測(cè)驗(yàn)以及數(shù)據(jù)分析.這節(jié)課是在湛江一中培才學(xué)校初二級(jí)35個(gè)平行班當(dāng)中的一個(gè)班進(jìn)行的.初二級(jí)學(xué)生歷經(jīng)近2年的課改，自學(xué)能力較成熟；另一方面，在學(xué)習(xí)這個(gè)單元之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組、分式方程，這些單元的基本數(shù)學(xué)思想與本單元基本一致，學(xué)生已具備了解一元二次方程知識(shí)的能力與思想.筆者根據(jù)學(xué)生的能力，結(jié)合本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)該班學(xué)生進(jìn)行了課前檢測(cè)，并基于solo理論進(jìn)行分析.為對(duì)比預(yù)習(xí)產(chǎn)生的效果，筆者還將該班學(xué)生平均分成A、B兩組，兩組學(xué)生當(dāng)中的優(yōu)、中、學(xué)困生人數(shù)比例接近.要求A組學(xué)生用10分鐘自學(xué)課本（人教版）第2、3頁(yè)的內(nèi)容，至少看兩遍，直到看懂為止；B組學(xué)生不能看課本.然后A、B兩組同學(xué)同時(shí)用10分鐘時(shí)間，閉卷、獨(dú)立完成“課前測(cè)驗(yàn)卷”. 以下是“課前測(cè)驗(yàn)卷”的題目及其相關(guān)的數(shù)據(jù)分析知識(shí)點(diǎn)一： 一元二次方程的概念1、方程x2-75x+350=0中含有 個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 . 組別A組（已預(yù)習(xí)）B組（未預(yù)習(xí)）“方程x2-75x+350=0中含 個(gè)未知數(shù)”出錯(cuò)率填 2 16%填 2 22%填 x 3%填 x 0%基于solo理論分析約八成的學(xué)生完全做對(duì)，對(duì)照兩組實(shí)驗(yàn)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)區(qū)別不大，因此無(wú)論預(yù)習(xí)與否，學(xué)生都能通過(guò)已有“未知數(shù)”、“最高次數(shù)”的概念內(nèi)涵進(jìn)行遷移聯(lián)想，完成此題，因此，有八成學(xué)生屬于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次，而近兩成學(xué)生未知數(shù)填2，通過(guò)訪談，了解到他們只是單純地在式子中數(shù)出了兩個(gè)“x”，屬于前結(jié)構(gòu)層次.2、下列方程中，屬于一元二次方程的是 （填序號(hào)）：x2-2y+3=0 2xx-1=2x2 x2=2x(x2-1)2+2x+3=0 x2-1x+2=0 x2+22x+3=0在你所選的序號(hào)中，你不確定序號(hào)是 .組別A組（已預(yù)習(xí)）各題正確率B組（未預(yù)習(xí)）各題正確率“下列方程中，屬于一元二次方程的是 ” 答題情況沒(méi)選68%沒(méi)選60%沒(méi)選48%沒(méi)選33%選了65%選了74%沒(méi)選84%沒(méi)選78%沒(méi)選55%沒(méi)選60%選了97%選了93%基于solo理論分析對(duì)照兩組實(shí)驗(yàn)結(jié)果，區(qū)別較大的是、項(xiàng)，可見，預(yù)習(xí)能強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“元、二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)”的認(rèn)識(shí).兩組都有過(guò)半學(xué)生選，近半學(xué)生選，其中許多學(xué)生在“不確定序號(hào)”里選了，說(shuō)明一元二次方程定義仍處于一知半解的程度，屬于單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次.知識(shí)點(diǎn)二： 一元二次方程的一般形式3、將5x2-1=3x化成一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).組別A組（已預(yù)習(xí)）B組（未預(yù)習(xí)）答題情況列對(duì)一般式81%列對(duì)一般式30%做對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)81%做對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)44%做對(duì)一次項(xiàng)系數(shù)58%做對(duì)一次項(xiàng)系數(shù)26%做對(duì)常數(shù)項(xiàng)84%做對(duì)常數(shù)項(xiàng)52%系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)符號(hào)錯(cuò)19%系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)符號(hào)錯(cuò)15%項(xiàng)系數(shù)寫成“項(xiàng)”19%項(xiàng)系數(shù)寫成“項(xiàng)”41%基于solo理論分析此題是課本例題的同類題，通過(guò)自學(xué)，八成A組學(xué)生能把握要點(diǎn)，結(jié)合已有的“移項(xiàng)”知識(shí)，準(zhǔn)確寫出一般式，但近半學(xué)生沒(méi)有找對(duì)一次項(xiàng)系數(shù)，說(shuō)明學(xué)生未能把將“多項(xiàng)式的系數(shù)包含其符號(hào)”這一已有知識(shí)機(jī)地整合起來(lái)，可見，不到一半的學(xué)生屬于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次，大部分學(xué)生屬于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次.B組學(xué)生由于沒(méi)有接觸過(guò)“一般形式”的概念，只能對(duì)文字的表面意思猜測(cè)，近八層學(xué)生屬于前結(jié)構(gòu)層次.本題牽涉到“一元二次方程一般形式”的新概念，因此預(yù)習(xí)與否對(duì)學(xué)生產(chǎn)生較大影響，兩組實(shí)驗(yàn)結(jié)果差距很大， A組過(guò)半學(xué)生進(jìn)入到多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次，B組大部分停留在前結(jié)構(gòu)層次，因此，對(duì)于含新概念知識(shí)的內(nèi)容，預(yù)習(xí)能極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)三： 一元二次方程的根4、在-4，-3，2，3這些數(shù)中，是一元二次方程x2+x-6=0的根的是 .組別A組（已預(yù)習(xí)）B組（未預(yù)習(xí)）答題情況只填對(duì)一個(gè)答案42%列對(duì)一般式41%填對(duì)2個(gè)答案55%做對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)59%全錯(cuò)3%做對(duì)一次項(xiàng)系數(shù)0%基于solo理論分析兩組實(shí)驗(yàn)結(jié)果區(qū)別不大，包括沒(méi)有預(yù)習(xí)的同學(xué)在內(nèi)，幾乎所有學(xué)生都知道將答案代入方程中的 x 進(jìn)行檢驗(yàn)，但只有不到一半的學(xué)生把根找全，屬于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次，近六成學(xué)生屬于單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次.知識(shí)點(diǎn)四： 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程5、一個(gè)矩形的長(zhǎng)比寬多2，面積是100，設(shè)矩形的長(zhǎng)為x，則可列方程 .組別A組（已預(yù)習(xí)）B組（未預(yù)習(xí)）答題情況全對(duì)55%全對(duì)63%基于solo理論分析該題完全沒(méi)有受預(yù)習(xí)與否的影響，在做錯(cuò)的學(xué)生當(dāng)中，絕大部分列成了xx+2=100，由此可見，對(duì)于此題，近四成學(xué)生屬于單點(diǎn)知識(shí)結(jié)構(gòu).6、根據(jù)問(wèn)題列方程，并將所列方程化成一元二次方程的一般形式：參加一次聚會(huì)的每?jī)扇硕嘉樟艘淮问郑腥斯参帐?0次，有多少人參加聚會(huì)？組別A組（已預(yù)習(xí)）B組（未預(yù)習(xí)）答題情況沒(méi)設(shè)元或留空0%沒(méi)設(shè)元或留空30%設(shè)元，但列錯(cuò)或沒(méi)列方程40%設(shè)元，但列錯(cuò)或沒(méi)列方程59%列對(duì)方程，但化錯(cuò)一般式29%列對(duì)方程，但化錯(cuò)一般式11%完全做對(duì)32%完全做對(duì)4%對(duì)方程進(jìn)行了化簡(jiǎn)19%對(duì)方程進(jìn)行了化簡(jiǎn)4%基于solo理論分析此題為課本第二頁(yè)問(wèn)題2的一道同類題，A組同學(xué)通過(guò)預(yù)習(xí)，有六成學(xué)生列對(duì)方程，達(dá)到多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次，但只有三成學(xué)生全部做對(duì)，達(dá)到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次.B組有三成學(xué)生屬于前結(jié)構(gòu)層次，六成學(xué)生屬于單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次，一成學(xué)生屬于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次.小結(jié)：通過(guò)分析“課前測(cè)驗(yàn)卷”數(shù)據(jù)，可以看出學(xué)生對(duì)一元二次方程定義仍處于一知半解的程度，大多屬于單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次；對(duì)于知識(shí)點(diǎn)二，大部分學(xué)生能通過(guò)自學(xué)，從前結(jié)構(gòu)層次過(guò)渡到多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次，但對(duì)于系數(shù)的符號(hào)仍把握不準(zhǔn)；對(duì)于知識(shí)點(diǎn)三，過(guò)半學(xué)生屬于單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次；對(duì)于知識(shí)點(diǎn)四，對(duì)于同類題，通過(guò)自學(xué)，過(guò)半學(xué)生能達(dá)到多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次.由此可見，課前預(yù)習(xí)能極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn). 為了讓學(xué)生能在同一起跑線上進(jìn)行新課學(xué)習(xí)，前測(cè)結(jié)束以后，也對(duì)B組做了同樣的預(yù)習(xí)要求.二、課堂片段及點(diǎn)評(píng)由“課前測(cè)驗(yàn)卷”完成情況，得知學(xué)生對(duì)一元二次方程的定義的本質(zhì)、一般式當(dāng)中“二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)”符號(hào)的把握、以及根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程這三個(gè)方面較為薄弱.因此本課例針對(duì)這三個(gè)方面的內(nèi)容,側(cè)重描述三個(gè)課堂片段，并進(jìn)行點(diǎn)評(píng).片段一：課堂小練：填表多項(xiàng)式二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)3x2+8x+103x2-8x-10x2-6x+4-x2-x師：我們先來(lái)熱熱身，完成這張表格.學(xué)生開始填表，教師巡視，先做完的四名同學(xué)請(qǐng)到黑板上板書.師：同學(xué)們，我們?cè)谡叶雾?xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的時(shí)候要注意什么問(wèn)題？學(xué)生闡述應(yīng)注意帶上符號(hào)；x2與-x2的系數(shù)分別是“1”和“-1”，而不是“沒(méi)有”；要注意系數(shù)與項(xiàng)的區(qū)別 .針對(duì)學(xué)生對(duì)于各項(xiàng)的系數(shù)容易漏“符號(hào)”等問(wèn)題，設(shè)計(jì)此題，在上新課之前完成，能喚醒學(xué)生對(duì)舊知的認(rèn)識(shí)，起到承上啟下的作用，以幫助學(xué)生邁向關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次.片段二：教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀導(dǎo)學(xué)案上的問(wèn)題一：下個(gè)月，湛江一中培才學(xué)校將舉行體育節(jié)活動(dòng).我們班的大本營(yíng)需要制作一個(gè)用于裝大本營(yíng)用具的紙箱，具體要求如下：材料是一塊長(zhǎng)100cm，寬50cm的厚紙板，在它的四角各切去一個(gè)同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個(gè)無(wú)蓋方盒.如果要制作的無(wú)蓋方盒的底面積為3600cm2，那么紙皮各角應(yīng)切去多大的正方形？師：同學(xué)們，你們能用已有的知識(shí)解決這個(gè)問(wèn)題嗎？請(qǐng)將你的想法寫在導(dǎo)學(xué)案上.教師巡視，邀請(qǐng)完成快的兩學(xué)生上黑板書寫.師：同學(xué)們做完了嗎？下面邀請(qǐng)上黑板的兩位同學(xué)展示他們的方法.生1：設(shè)切去的正方形邊長(zhǎng)為x cm，因?yàn)榧埌蹇偯娣e為10050cm2，紙板面積又等于四個(gè)切去的小正方形面積4x 2cm2，加上下兩個(gè)小長(zhǎng)方形面積2x (100-2x ) cm2，加左右兩個(gè)小長(zhǎng)方形面積2x (50-2x ) cm2，再加上中間長(zhǎng)方形面積3600cm2，就能得到方程4x 2+2x 100-2x +2x 50-2x +3600=10050.師：好！有理有據(jù).第二位同學(xué)列的方程似乎更簡(jiǎn)潔一點(diǎn)，讓我們來(lái)聽聽他的想法.生2：我也是設(shè)切去的正方形邊長(zhǎng)為 x cm， 不過(guò)我是利用中間的矩形面積列的方程，中間矩形的長(zhǎng)為100-2x cm2，寬為50-2xcm2，這樣就得到方程100-2x50-2x=3600.這時(shí)課堂上響起了掌聲.師：從同學(xué)們的掌聲中可以聽出，你們更喜歡第二種方法.你們能說(shuō)說(shuō)這兩種方法的區(qū)別和聯(lián)系嗎？生3：他們都通過(guò)面積建立了相等關(guān)系，不同的是所選擇的面積不同.師追問(wèn)：這兩個(gè)方程看起來(lái)形式不一樣，我們能否用一個(gè)統(tǒng)一的形式將它們簡(jiǎn)化？同學(xué)們注意要求：等號(hào)的右側(cè)化為0，等號(hào)的左側(cè)要求化簡(jiǎn)，并表示成按x的降冪排列.學(xué)生按要求完成，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程都化成了x2-75x+350=0.師：這道題雖然采用了不同的相等關(guān)系，但由于所設(shè)的x都表示小正方形的面積，所以列出方程形式本質(zhì)是一樣的.你們能說(shuō)說(shuō)這個(gè)方程有什么特征嗎？生4:只有一個(gè)未知數(shù)x，x的最高次數(shù)是2 .生5：課本上還提到，方程的兩邊都是整式.師邊板書邊總結(jié)：像這樣，等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程 ，叫做一元二次方程.師指導(dǎo)學(xué)生完成導(dǎo)學(xué)案上的判斷題：請(qǐng)判斷以下方程是不是一元二次方程：（1）x2-12x+1=0； 2y2+2y=0；（3）xx+2=x2-4；（4）ax2+bx+c=0.生6：（2）、（3）、（4）是，（1）不是.師反問(wèn)：同學(xué)們贊同他的說(shuō)法嗎？生7：（4）不是，因?yàn)閍如果是0，未知數(shù)x的最高次數(shù)就不是2了.師邊板書邊總結(jié)：補(bǔ)充得很好.事實(shí)上， ax2+bx+c=0（a0）叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).只要是一元二次方程，都能化成一般形式.那么請(qǐng)嘗試一下整理（3），看看能否化成一元二次方程的一般形式？學(xué)生整理后發(fā)現(xiàn)化成了一元一次方程.師：是的，所以通常我們要先化簡(jiǎn)，再進(jìn)行判斷.現(xiàn)在請(qǐng)每組利用2分鐘時(shí)間，設(shè)計(jì)4個(gè)不同類型的方程，然后交給隔壁的小組交換判斷，看看哪些是一元二次方程.問(wèn)題一是在教材中實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)校活動(dòng)背景進(jìn)行改編的，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)特別有真實(shí)感，從而自然地產(chǎn)生尋求解決辦法的動(dòng)機(jī).通過(guò)對(duì)應(yīng)用題一題多解的展示，學(xué)生逐漸理解到列一元二次方程的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系，有效鍛煉學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程的能力.通過(guò)對(duì)“問(wèn)題一”所得方程化簡(jiǎn)之后形式的觀察，很自然地引出一元二次方程及其一般式的定義.4個(gè)判斷題是結(jié)合學(xué)生的前測(cè)情況設(shè)計(jì)的，而后面的“創(chuàng)作方程”環(huán)節(jié)，屬于開放性問(wèn)題，這要求學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行抽象的概括，能促進(jìn)學(xué)生邁向抽象拓展層次.片段三：教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀導(dǎo)學(xué)案上的問(wèn)題二：這次的體育節(jié)，我們初二年級(jí)打算組織一次籃球賽.籃球賽連續(xù)進(jìn)行7天時(shí)間，每天進(jìn)行4場(chǎng)比賽，請(qǐng)問(wèn)初二級(jí)應(yīng)組織多少只籃球隊(duì)參加比賽？請(qǐng)你將列出一元二次方程化為一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).師：這道題可以設(shè)什么為x？生8：可以設(shè)：初二級(jí)應(yīng)組織x只籃球隊(duì)參加比賽.師進(jìn)一步問(wèn)：等量關(guān)系呢？生9：籃球賽連續(xù)進(jìn)行7天時(shí)間，每天進(jìn)行4場(chǎng)比賽，一共有28場(chǎng)比賽，可以利用這個(gè)建立相等關(guān)系.師：那如何用含x的式子表示比賽的總場(chǎng)數(shù)呢？生10：每個(gè)球隊(duì)都要和其他（x-1）個(gè)隊(duì)各賽一場(chǎng)，共有x個(gè)隊(duì)，可以表示為x（x-1）場(chǎng).師邊在黑板上畫圖，邊說(shuō)：有一定的道理，但我存在一個(gè)疑問(wèn)：如果我用x個(gè)點(diǎn)表示x個(gè)隊(duì)，用連線表示比賽，那么甲隊(duì)將和其余（x-1）個(gè)隊(duì)比賽，但是在算乙隊(duì)的時(shí)候，甲乙比賽之間為什么出現(xiàn)兩條連線？生一起回答：因?yàn)橹貜?fù)計(jì)算了一次！師：在計(jì)算其它隊(duì)的時(shí)候，都重復(fù)計(jì)算了嗎？生齊答：是.師追問(wèn)：那怎么表示總場(chǎng)數(shù)呢？生11：表示為x（x-1）2.師：很好，這樣我們就能列出方程x（x-1）2=28 了.那下面請(qǐng)同學(xué)們把這個(gè)方程化成一般式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).此題的難點(diǎn)在于對(duì)總場(chǎng)數(shù)表示為x（x-1）2當(dāng)中為什么要除以2的認(rèn)識(shí).事實(shí)上，學(xué)生在學(xué)習(xí)“多邊形”內(nèi)容的時(shí)候，曾經(jīng)歷過(guò)探索n邊形對(duì)角線條數(shù)的問(wèn)題，在這里筆者利用數(shù)形結(jié)合的方法，將比賽問(wèn)題化歸為點(diǎn)與點(diǎn)之間的連線問(wèn)題，讓學(xué)生很容易產(chǎn)生聯(lián)想，幫助學(xué)生把這些思路結(jié)合起來(lái)思考，以達(dá)到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次.完成此題后，教師還將題目變式為“隊(duì)友互送卡片”的問(wèn)題，讓學(xué)生區(qū)別不用“除以2”的情況.本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)多而零散，通過(guò)對(duì)教材的改編，使得問(wèn)題二成為問(wèn)題一情景的延續(xù)，讓整節(jié)課用“體育節(jié)”的故事線索串聯(lián)了起來(lái)，同時(shí)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，利用講練結(jié)合的方式逐漸滲透各個(gè)概念，使得零碎的內(nèi)容得以統(tǒng)一.三、課后教學(xué)效果檢測(cè)及統(tǒng)計(jì)1、下列方程中，是一元二次方程的有 . 3x2=2x y2-2x-8=0 2x2-x-1=0 2xx-5=x(2x+1) x2-2x+1=0 y25=42、已知方程m-3x2-3x-2=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是 .3、方程 m-2xm-3x-4=0是一元二次方程，則 m的值為 .4、x=4 是方程x2+kx-20=0 的其中一個(gè)根，則k的值為 .5、已知一元二次方程 m-2x2+x+m2-4=0有一個(gè)根是0，則m的值為 .6、參加一次商品交易會(huì)的每?jī)杉夜局g都簽了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，設(shè)共有x家公司參加商品交易會(huì)，則可列方程 .7、將方程6xx-5=2(x+1) 化成一元二次方程的一般式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).內(nèi)容各題正確率第1題選了84%沒(méi)選86%沒(méi)選93%沒(méi)選91%選了93%選了71%第2題88%第3題86%第4題93%第5題86%第6題86%第7題78%7道題全對(duì)59%只做對(duì)2道或以下7%四、總結(jié)與反思通過(guò)A、B兩組學(xué)生的預(yù)習(xí)對(duì)照，可以看出，盡管只有10分鐘的“預(yù)習(xí)”，但是學(xué)生的認(rèn)知水平已經(jīng)拉開一定的距離，特別是對(duì)于含新概念知識(shí)的內(nèi)容，預(yù)習(xí)能極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn).通過(guò)課前預(yù)習(xí)檢測(cè)，能有效摸清學(xué)生的薄弱點(diǎn)，更有效地“對(duì)癥下藥”.從課