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.五種方法求二面角及練習(xí)題一、 定義法: ABCDA1D1C1B1 從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角, 這條直線(xiàn)叫做二面角的棱, 這兩個(gè)半平面叫做二面角的面,在棱上取點(diǎn),分別在兩面內(nèi)引兩條射線(xiàn)與棱垂直,這兩條垂線(xiàn)所成的角的大小就是二面角的平面角。1如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中,求:(1)二面角C1BDC的正切值(2)二面角2.如圖,四棱錐中,底面為矩形,底面,點(diǎn)M在側(cè)棱上,=60,M在側(cè)棱的中點(diǎn)(1)求二面角的余弦值。E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 二、三垂線(xiàn)法:三垂線(xiàn)定理:在平面內(nèi)的一條直線(xiàn),如果和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直,那么它也和這條斜線(xiàn)垂直通常當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線(xiàn)定理法求二面角的大小。1. 如圖,在直四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD為等腰梯形,AB/CD,AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點(diǎn)。(1) 證明:直線(xiàn)EE/平面FCC;(2)求二面角B-FC-C的余弦值。 2.如圖,在四棱錐中,底面是矩形已知()證明平面;()求異面直線(xiàn)與所成的角的大小;()求二面角的大小三補(bǔ)棱法本法是針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒(méi)有明確交線(xiàn)的求二面角題目時(shí),要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整,使之有明確的交線(xiàn)(稱(chēng)為補(bǔ)棱),然后借助前述的定義法與三垂線(xiàn)法解題。即當(dāng)二平面沒(méi)有明確的交線(xiàn)時(shí),一般用補(bǔ)棱法解決1.已知斜三棱柱ABCA1B1C1的棱長(zhǎng)都是a,側(cè)棱與底面成600的角,側(cè)面BCC1B1底面ABC。ACBB1C1A1L(1)求證:AC1BC;(2)求平面AB1C1與平面 ABC所成的二面角(銳角)的大小。A1D1B1C1EDBCA圖52: 如圖5,E為正方體ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn),求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成銳角的余弦值.ABCEDP3如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,BCD60,E是CD的中點(diǎn),PA底面ABCD,PA2. ()證明:平面PBE平面PAB;()求平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小.角的平面角(銳角).分析 平面AB1E與底面A1B1C1D1交線(xiàn)即二面角的棱沒(méi)有給出,要找到二面角的平面角,.四、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡(jiǎn)捷的也是非常傳統(tǒng)的解法,可以說(shuō)所有的立體幾何題都可以用向量法求解,用向量法解立體幾何題時(shí),通常要建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo),然后將幾何圖中的線(xiàn)段寫(xiě)成用坐標(biāo)法表示的向量,進(jìn)行向量計(jì)算解題。1如圖,在五面體ABCDEF中,F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE,ABAD,M為EC的中點(diǎn),AF=AB=BC=FE=AD (I) 求異面直線(xiàn)BF與DE所成的角的大小;(II) 證明平面AMD平面CDE;求二面角A-CD-E的余弦值。 ,2、如圖,在直三棱柱中,平面?zhèn)让?()求證:;()若直線(xiàn)與平面所成的角為,二面角的大小為,試判斷與的大小關(guān)系,ABCDA1D1C1B13如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中,求:(1)二面角C1BDC的正切值(2)二面角4.過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作,設(shè)PA=AB=a,(1)求二面角的大小;(2)求二面角C-PD-A5. 如圖所示,四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,BCD60,E是CD的中點(diǎn),PA底面ABCD,PA.(1) 證明: BE平面PAB;(2) 求二面角ABEP的大?。?)PB與面PAC的角6 如圖,在底面為直角梯形的四棱錐,BC=6 (1) 求證:(2) 求二面角的大小.(3)求二面角B-PC-A的大小7如圖,直二面角DABE中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,AE=EB,F(xiàn)為CE上的點(diǎn),且BF平面ACE.()求證AE平面BCE;()求二面角
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