14(抽屜原理).doc

初一數(shù)學(xué)鞏固提高(14)抽屜原理一、知識要點1、 抽屜原理1把n+1個東西，任意地分放到n個抽屜里，那么必有一個抽屜里有2個東西。2、 抽屜原理2把m個東西，任意地分放到n個抽屜里，那么必有一個抽屜里至少有k個東西。其中的整數(shù)部分。3、 上述二個原理統(tǒng)稱為抽屜原理。抽屜原理雖然簡單、淺顯，卻是解決很多存在性問題的有力工具。利用抽屜原理解題的一般步驟是：(1) (1) 構(gòu)造抽屜，指出東西；(2) (2) 將東西放入抽屜，或從抽屜里取出；(3) (3) 說明理由，得出結(jié)論。二、例題精講例1 用2種顏色涂3行9列共27個小方格，證明：不論如何涂色，其中必至少有兩列，它們的涂色方式相同.分析：把用兩種顏色涂的小方格的方法當(dāng)作抽屜。解：用兩種顏色涂的小方格共有種方法現(xiàn)有列，由抽屜原理，必有兩列涂法一樣評注：用抽屜原理解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造抽屜，另外還要搞清什么是抽屜？什么是東西？例2 已知一個圓。經(jīng)過圓心任意作993條直徑，它們與圓共有1986個交點，在每個交點處分別填寫從1到496中的一個整數(shù)(可重復(fù)填寫)。證明：一定可以找到兩條直徑，它們兩端的數(shù)的和相等。(第二屆迎春杯決賽試題)分析：直徑兩端的數(shù)都在1到496之間，所以它們兩端的數(shù)的和在2到992之間， 則可構(gòu)造991只抽屜，而東西有993個，因而得到證明。證明：直徑兩端的數(shù)都在1到496之間，所以直徑兩端的數(shù)的和2，且992 所以，這種和只有991種。 而直徑有993條，993991，所以一定可以找到兩條直徑，它們兩端的數(shù)的和相等。評注：由解題過程知本題將“993條直徑”改為“992條直徑”結(jié)論仍然成立。 如果將結(jié)論改為“可以找到兩條直徑，它們兩端的數(shù)的和相等”，那么條件“經(jīng)過圓心任意作993條直徑”就要改為“經(jīng)過圓心任意作1983條直徑”。例3夏令營組織1987名營員去游覽故宮、景山公園、北海公園，規(guī)定每人最少去一處，最多去兩處游覽，至少有幾個人游覽的地方完全相同？試證明你的結(jié)論。(第二屆迎春杯決賽試題)分析：將游覽方案當(dāng)作抽屜，將人當(dāng)作東西，由抽屜原理可得結(jié)論。解：去一處的可能有3種(故宮、景山公園、北海公園)，去兩處的可能也有3種(故宮與景山公園、北海公園與故宮、景山公園與北海公園)，由于每人最少去一處，最多去兩處游覽，所以游覽方案共有6種。 因此，1987個人中至少有個人游覽的地方完全相同。例4在1，4，7，100中任選20個不同的數(shù)。證明其中至少有4個數(shù)a、b、c、d，使a+b=c+d=104.(第39屆普特南數(shù)學(xué)競賽試題)分析：考慮和為104的數(shù)對。如果兩個數(shù)取自同一個數(shù)對，則它們的和必是104，所以應(yīng)當(dāng)將和為104的數(shù)對作為抽屜。解：將1，4，7，100這34個數(shù)，去掉1與52，分成16個數(shù)對：4，100，7，97，49，55，顯然每個數(shù)對中兩數(shù)的和為104所取的20個數(shù)中，至少有18個取自這16個數(shù)對，則根據(jù)抽屜原理，其中必有兩個數(shù)a、b在同一數(shù)對中，它們的和a+b=104。剩下的16個數(shù)，取自其余的15個數(shù)對，同樣根據(jù)抽屜原理，其中必有兩個數(shù)c、d在同一數(shù)對中，它們的和c+d=104。所以其中至少有4個數(shù)a、b、c、d，使a+b=c+d=104.評注：本題兩次使用了抽屜原理。例5 910瓶紅、藍(lán)墨水，排成130行，每行7瓶，證明：不論怎樣排列，紅藍(lán)墨水瓶的顏色次序必定出現(xiàn)下述兩種情況之一種：（1）至少有三行完全相同；（2）至少有兩組（四行）每組的兩行完全相同. （北京1990年高一競賽）解：910瓶紅、藍(lán)墨水排成130行，每行7瓶，對一行來說，每個位置上有紅藍(lán)兩種可能，因此，一行的紅、藍(lán)墨水排法有27=128種，對每一種不同排法設(shè)為一種“行式”，共有128種行式.現(xiàn)有130行，在其中任取129行，依抽屜原則知，必有兩行A、B行式相同.除A、B外余下128行，若有一行P與A行式相同，知滿足（1）至少有三行A、B、P完全相同，若在這128行中設(shè)直一行5A行或相同，那么這128行至多有127種行式，依抽屜原則，必有兩行C、D具有相同行式，這樣便找到了（A、B），（C、D）兩組（四行），且兩組兩行完全相同.例6 從自然數(shù)1，2，3，99，100這100個數(shù)中隨意取出51個數(shù)來，求證：其中一定有兩個數(shù)，它們中的一個是另一個的倍數(shù).分析：設(shè)法制造抽屜，使它們符合如下條件：（1）不超過50個；（2）每個抽屜的里的數(shù)（除僅有的一個外），其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)。一個自然的想法是從數(shù)的質(zhì)因數(shù)表示形式入手。解：設(shè)第一個抽屜里放進數(shù)：1，12，122，123，124，125，126；第二個抽屜時放進數(shù)：3，32，322，323，324，325；第三個抽屜里放進數(shù)：5，52，522，523，524；第二十五個抽屜里放進數(shù)：49，492；第二十六個抽屜里放進數(shù)：51.第五十個抽屜里放進數(shù)：99.那么隨意取出51個數(shù)中，必有兩個數(shù)同屬一個抽屜，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù).評注：本題構(gòu)造的抽屜比較別致，它必須符合分析中的兩個條件。這種構(gòu)造抽屜的方法值得我們體會。例7 在邊長分別為2和4的矩形中任取9個點(任三點不共線)，證明至少存在三點，以它們?yōu)轫旤c的三角形的面積不大于1。分析：矩形中任一三角形的面積不超過該矩形面積的一半，而已知矩形面積為8，故若將該矩形分為4個等積的小矩形，則小矩形的面積為2，其內(nèi)的任一三角形的面積不超過1，因而只須將已知矩形分為4個等積的小矩形，證明其中至少有一份含有9個點中的3個點即可。證明：將已知矩形分為4個全等的小矩形，則由抽屜原理，任取9個點中至少有3個點在一個小矩形中。由于這個小矩形的面積等于，故以這3個點為頂點的三角形面積不超過該小矩形面積的一半1，問題得證。例8 有一位國際象棋大師，用11周時間準(zhǔn)備一次錦標(biāo)賽。在準(zhǔn)備期間，他決定每天至少參加一次比賽，但每周累計比賽不超過12次。證明：存在連續(xù)若干天，這位大師恰好共進行了21次比賽。證明：設(shè)前i天這位大師累計比賽的次數(shù)為a i，11周共有77天，故1i77。 由于每天至少參加一次比賽，但每周累計比賽不超過12次，故有 1a1a2a771112=132， 于是，22a1+21a2+21a77+21132+21=153 則在1到153之間共有154個整數(shù)：a1，a2，a77，a1+21，a2+21，a77+21 由抽屜原理，其中至少有兩個數(shù)相等。由于a1，a2，a77不可能相等，a1+21，a2+21，a77+21也不可能相等，所以只可能是某個a i與某個a j+21(ji) 相等，即a i- a j=21。這說明這位大師第j+1天，第j+2天，第i天累計比賽21次。三、鞏固練習(xí)選擇題1、一副撲克有4種花色，每種花色有13張，從中任意抽牌，最少要抽( )張才能保證有4張牌是同一花色。A、12 B、13 C、14 D、152、有22只裝鋼筆的文具盒，如果不管如何裝都至少有4只文具盒里的鋼筆數(shù)相同(不裝算0個)，那么每個文具盒最多可裝( )支鋼筆。A、4 B、6 C、7 D、83、今有21個自然數(shù)a1，a2，a21，且a1a2a2170，則值相等的差aj-ai(1ij21)的個數(shù)為( ) A、0個 B、2個 C、至多有3個 D、至少有4個4、從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5個數(shù)，則(1)其中必有兩數(shù)互質(zhì)；(2)其中必有一數(shù)是另一數(shù)的倍數(shù)；(3) 其中必有一數(shù)的兩倍是另一數(shù)的倍數(shù)。以上結(jié)論中，正確的個數(shù)為( )A、0個 B、1個 C、2個 D、3個5、某校有1200人，則全校在同一天過生日的人至少有（ ）個A、2 B、3 C、4 D、56、從1，2，3，n中任取8個數(shù)且使其中一定至少有兩個數(shù)的商不小于又不大于，則n的最大值是（ ）A、25 B、32 C、39 D、60填空題7、把130只蘋果分給若干小朋友，如果不管如何分，都至少有一個小朋友分得4只或4只以上的蘋果，則小朋友最多有 個。8、黑色、白色、黃色的筷子各有8根，混雜地放在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的兩雙筷子(一雙筷子指同色的兩根)，則至少要取 根筷子。9、在一副撲克牌中取牌，至少取 張，才能保證其中必有3張牌的點數(shù)相同。10、不大于10的k個自然數(shù)，從中選出三個數(shù)，使得其中兩數(shù)之和等于第三個數(shù)，則k的最小值是 11、在面積為1的平行四邊形內(nèi)有任意五點，則一定存在三點，以這三點為頂點的三角形面積不大于 12、在1，3，5，7，m連續(xù)奇數(shù)中任取17個數(shù)，使其中至少有兩個數(shù)之差為8，則奇數(shù)m的最大值為 解答題13、在不超過91的自然數(shù)中任取10個數(shù)，證明：這10個數(shù)中一定有兩個數(shù)的比值在區(qū)間中。14、設(shè)a1，a2，an是1，2，n的某種排列，且n是奇數(shù)，求證：(a1-1)( a2-2)(a n-n)必是偶數(shù)。15、用2種顏色涂55共25個小方格，證明：必有一個四角同色的矩形出現(xiàn).16、把圓周分成36段，將1，2，35，36這36個數(shù)字任意寫在每一段內(nèi)，使每一段內(nèi)恰好有一個數(shù)字。求證：一定存在連續(xù)的三段，它們