2016年全國1卷理科數(shù)學(xué)(修正版,含答案).doc

絕密啟用前 試題類型：A2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（1）設(shè)集合，則（ ）（A）（B）（C）（D）（2）設(shè)，其中x，y是實數(shù)，則（ ）（A）1（B）（C）（D）2（3）已知等差數(shù)列前9項的和為27，則（ ）（A）100（B）99（C）98（D）97（4）某公司的班車在7:00，8:00，8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是（ ）（A）（B）（C）（D）（5）已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是（ ）（A）(1,3)（B）(1,)（C）(0,3)（D）(0,)（6）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是（ ）（A）17（B）18（C）20（D）28（7）函數(shù)y=2x2e|x|在2,2的圖像大致為（ ）（A）（B）（C）（D）（8）若，則（ ）（A）（B）（C）（D）（9）執(zhí)行右面的程序圖，如果輸入的，則輸出x，y的值滿足（ ）（A）（B）（C）（D）（10）以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的標(biāo)準(zhǔn)線于D、E兩點.已知|AB|=，|DE|=，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為（ ）(A)2(B)4 (C)6 (D)8（11）平面a過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，a/平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABA1B1=n，則m、n所成角的正弦值為（ ）(A)(B)(C)(D)（12）已知函數(shù)為的零點,為圖像的對稱軸,且在單調(diào)，則的最大值為（ ）（A）11（B）9（C）7（D）5二、填空題：本大題共3小題，每小題5分（13）設(shè)向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，則m=_.（14）的展開式中，x3的系數(shù)是_.（用數(shù)字填寫答案）（15）設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2an的最大值為_.（16）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料。生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元。該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元_.三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（17）（本題滿分為12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別別為a，b，c，已知（I）求C；（II）若的面積為，求的周長（18）（本題滿分為12分）如圖，在已A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是（I）證明平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值（19）（本小題滿分12分）某公司計劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù).（I）求的分布列；（II）若要求，確定的最小值；（III）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個？（20）（本小題滿分12分）設(shè)圓的圓心為A，直線l過點B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.（I）證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；（II）設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M, N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P, Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.（I）求a的取值范圍；（II）設(shè)x1，x2是的兩個零點，證明：x1+x21的解集。參考版解析1，故故選D2由可知：，故，解得：所以，故選B3由等差數(shù)列性質(zhì)可知：，故，而，因此公差故選C4如圖所示，畫出時間軸：小明到達(dá)的時間會隨機(jī)的落在圖中線段中，而當(dāng)他的到達(dá)時間落在線段或時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘根據(jù)幾何概型，所求概率故選B5表示雙曲線，則由雙曲線性質(zhì)知：，其中是半焦距焦距，解得故選A6原立體圖如圖所示：是一個球被切掉左上角的后的三視圖表面積是的球面面積和三個扇形面積之和故選A7，排除A，排除B時，當(dāng)時，因此在單調(diào)遞減，排除C故選D8對A：由于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，A錯誤對B：由于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，B錯誤對C：要比較和，只需比較和，只需比較和，只需和構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，因此又由得，C正確對D：要比較和，只需比較和而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故又由得，D錯誤故選C9如下表：循環(huán)節(jié)運行次數(shù)判斷是否輸出運行前01/1第一次否否第二次否否第三次是是輸出，滿足故選C10以開口向右的拋物線為例來解答，其他開口同理設(shè)拋物線為，設(shè)圓的方程為，題目條件翻譯如圖：F設(shè)，點在拋物線上，點在圓上，點在圓上，聯(lián)立解得：，焦點到準(zhǔn)線的距離為故選B11如圖所示：，若設(shè)平面平面，則又平面平面，結(jié)合平面平面，故同理可得：故、的所成角的大小與、所成角的大小相等，即的大小而（均為面對交線），因此，即故選A12由題意知：則，其中在單調(diào)，接下來用排除法若，此時，在遞增，在遞減，不滿足在單調(diào)若，此時，滿足在單調(diào)遞減故選B13由已知得：，解得14設(shè)展開式的第項為，當(dāng)時，即故答案為1015由于是等比數(shù)列，設(shè)，其中是首項，是公比，解得：故，當(dāng)或時，取到最小值，此時取到最大值所以的最大值為6416設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品件，B產(chǎn)品件，根據(jù)所耗費的材料要求、工時要求等其他限制條件，構(gòu)造線性規(guī)則約束為 目標(biāo)函數(shù)作出可行域為圖中的四邊形，包括邊界，頂點為在處取得最大值，17由正弦定理得：，由余弦定理得：周長為18為正方形面面平面平面由知：平面平面平面平面面面四邊形為等腰梯形以為原點，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè) ，設(shè)面法向量為.，即，設(shè)面法向量為.即，設(shè)二面角的大小為.二面角的余弦值為19每臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11記事件為第一臺機(jī)器3年內(nèi)換掉個零件記事件為第二臺機(jī)器3年內(nèi)換掉個零件由題知，設(shè)2臺機(jī)器共需更換的易損零件數(shù)的隨機(jī)變量為，則的可能的取值為16，17，18，19，20，21，2216171819202122要令，則的最小值為19購買零件所需費用含兩部分，一部分為購買機(jī)器時購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用當(dāng)時，費用的期望為當(dāng)時，費用的期望為所以應(yīng)選用20圓A整理為，A坐標(biāo)，如圖，則，由，則所以E的軌跡為一個橢圓，方程為，()；設(shè)，因為，設(shè)，聯(lián)立得；則；圓心到距離，所以，21由已知得：若，那么，只有唯一的零點，不合題意；若，那么，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增當(dāng)時，單調(diào)遞減即：極小值故在上至多一個零點，在上至多一個零點由于，則，根據(jù)零點存在性定理，在上有且僅有一個零點而當(dāng)時，故則的兩根， ，因為，故當(dāng)或時，因此，當(dāng)且時，又，根據(jù)零點存在性定理，在有且只有一個零點此時，在上有且只有兩個零點，滿足題意若，則，當(dāng)時，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時，即，單調(diào)遞增即：+0-0+極大值極小值而極大值故當(dāng)時，在處取到最大值，那么恒成立，即無解而當(dāng)時，單調(diào)遞增，至多一個零點此時在上至多一個零點，不合題意若，那么當(dāng)時，即，單調(diào)遞增當(dāng)時，即，單調(diào)遞增又在處有意義，故在上單調(diào)遞增，此時至多一個零點，不合題意若，則當(dāng)時，即，單調(diào)遞增當(dāng)時，即，單調(diào)遞減當(dāng)時，即，單調(diào)遞增即：+0-0+極大值極小值故當(dāng)時，在處取到最大值，那么恒成立，即無解當(dāng)時，單調(diào)遞增，至多一個零點此時在上至多一個零點，不合題意綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時符合題意，即的取值范圍為由已知得：，不難發(fā)現(xiàn)，故可整理得：設(shè)，則那么，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式：設(shè)，則，故單調(diào)遞增，有因此，對于任意的，由可知、不可能在的同一個單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)，則必有令，則