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第七章對沖 金融市場學(xué) 2020 2 9 1 風(fēng)險(xiǎn)對沖是指通過投資或購買與標(biāo)的資產(chǎn)收益波動(dòng)負(fù)相關(guān)的某種資產(chǎn)或衍生證券 來沖銷標(biāo)的資產(chǎn)潛在損失的一種策略 在進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)對沖時(shí)經(jīng)常用到定量參數(shù)有 Delt Gamma Vega Theta和Rho 這些參數(shù)一般是某些變量變化對另外一些變量變化的比率 反映了一些變量對另外一些變量的相對變化 根據(jù)這些參數(shù)的變化適時(shí)調(diào)整頭寸 可在一定程度上達(dá)到風(fēng)險(xiǎn)對沖的目的 2020 2 9 2 7 1Delta對沖 下面用一種簡單的方法來說明 對沖 假設(shè)你賣出了一個(gè)看漲期權(quán) 并預(yù)測當(dāng)股價(jià)上漲1美元時(shí) 期權(quán)的價(jià)格上漲0 5美元 2 1 關(guān)系 那么你的投資組合賬戶的平衡方法應(yīng)該是賣出100份看漲期權(quán) 買進(jìn)50股股票 或者說賣出40份看漲期權(quán)與買進(jìn)20股股票 這就是Delta定義為其他變量不變的條件下期權(quán)價(jià)格變化 C與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化 S的比率 即 Delta隨著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化和實(shí)踐的推移而不斷變化 因此在運(yùn)用Delta對沖風(fēng)險(xiǎn)時(shí) 需要定期調(diào)整對沖頭寸 否則就要承擔(dān)頭寸風(fēng)險(xiǎn)暴露的風(fēng)險(xiǎn) 2020 2 9 3 對沖 動(dòng)態(tài)規(guī)劃與理想條件下Black Scholes運(yùn)作機(jī)制構(gòu)造一個(gè)投資組合 其中股票數(shù)量為a 賣空一份期權(quán) 同時(shí)持有一定數(shù)量現(xiàn)金或者某一數(shù)量的債務(wù) 使凈頭寸為0 換句話說 投資組合的價(jià)值為 2020 2 9 4 通過選擇我們得到Delta對沖的另外一種推導(dǎo)方法 若假設(shè)對沖計(jì)劃的初始時(shí)刻資產(chǎn)為 通過對資產(chǎn)組合瞬時(shí)調(diào)整的實(shí)施以平衡股價(jià)S的變化 并保證每一瞬間都有 寫成微分方程的另外一種形式即 早期的Delta對沖在連續(xù)交易中 對沖比率 7 2 回頭看該式是離散情形下的對沖 但U D V 衍生產(chǎn)品的價(jià)格的差分 且因此 7 3 公式 7 3 是公式 7 2 的離散情形 2020 2 9 5 對沖法則 對沖就是賣出一份期權(quán) 同時(shí)買進(jìn) 股股票 不支付紅利的股票歐式看漲期權(quán)的Delta為 Delta N d1 7 4 根據(jù)該式 在對一個(gè)歐式看漲期權(quán)的空頭進(jìn)行Delta對沖時(shí) 在任何時(shí)候需要同時(shí)持有數(shù)量為N d1 的標(biāo)的資產(chǎn)多頭 類似的 對一個(gè)歐式看漲期權(quán)的多頭進(jìn)行Delta對沖時(shí) 在任何時(shí)候需要同時(shí)持有數(shù)量為N d1 的標(biāo)的資產(chǎn)空頭 不支付紅利的股票看跌期權(quán)的Delta為 Delta N d1 1 7 5 由該式Delta為負(fù)值 這意味著看跌期權(quán)多頭應(yīng)該利用標(biāo)的資產(chǎn)的多頭頭寸來對沖風(fēng)險(xiǎn) 看跌期權(quán)的空頭因該利用標(biāo)的資產(chǎn)的空頭頭寸來對沖風(fēng)險(xiǎn) 2020 2 9 6 7 2Theta對沖 Theta定義為在其他變量不變時(shí)期權(quán)價(jià)格的變化相對于權(quán)利期間變化的比率 即Theta一般是負(fù)值 它反映了期權(quán)價(jià)格隨著權(quán)力期間的減少而衰減的程度 因此我們不可能用對沖的方法消除時(shí)間變化對期權(quán)價(jià)格的影響 不支付紅利的股票歐式看漲期權(quán)的Theta為 不支付紅利的股票歐式看跌期權(quán)的Theta為 2020 2 9 7 7 3Gamma對沖 Gamma反映了期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)對期權(quán)Delta變動(dòng)的影響程度 即 7 9 Gamma大小反映了為保持Delta中性而需要調(diào)整的頭寸 Delta中性是指Delta等于零狀態(tài) 由于標(biāo)的資產(chǎn)和衍生證券可以是多頭和空頭 所以Delta可大于零也可小于零 如果組合內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)和衍生證券數(shù)量匹配適當(dāng) 整個(gè)組合的Delta等于零 然而Delta并非固定不變 隨著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格或者權(quán)利區(qū)間的變化 Delta也在變化 因此 進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)對沖就必須不斷隨著Delta變化來調(diào)整頭寸 以保持Delta中性 在這種調(diào)整中 Gamma就是一個(gè)有用的指標(biāo) 因?yàn)镚amma的大小正好反映了為保持Delta中性而需要調(diào)整的頭寸 不支付紅利股票的歐式看漲和看跌期權(quán)的Gamma均為 2020 2 9 8 7 4Vega對沖 Vega定義為在其他變量保持不變的條件下期權(quán)價(jià)格C變化對標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率變化的比率 即 7 11 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)對期權(quán)價(jià)格有著重大影響 在其他條件一定的條件下 波動(dòng)率越大 期權(quán)價(jià)格越高 波動(dòng)率越小 期權(quán)價(jià)格越低 在對沖風(fēng)險(xiǎn)過程中 Vega是一個(gè)重要指標(biāo) Black Scholes期權(quán)定價(jià)公式假定標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率為已知常數(shù) 這一假定是不符合實(shí)際的 所以在實(shí)際交易過程中 投資者要面臨著波動(dòng)率變動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn) 為了規(guī)避這種風(fēng)險(xiǎn) 必須縮小期權(quán)的Vega 把波動(dòng)率變化可能造成的損失降低到最小 不支付紅利股票的歐式看漲和看跌期權(quán)的Vega為 2020 2 9 9 7 5Rho對沖 Rho定義為在其他變量不變時(shí)期權(quán)價(jià)格C辯護(hù)與利率r變化之間的比率 即 7 13 Rho反映了利率變化對期權(quán)價(jià)格的影響程度 因此在利率變動(dòng)比較頻繁的時(shí)期 Rho將是一個(gè)重要的敏感情況指標(biāo) 利率變動(dòng)對看漲期權(quán)的價(jià)格有正的影響 對看跌期權(quán)價(jià)格有負(fù)的影響 所以看漲期權(quán)的Rho一般大于零 而看跌期權(quán)的Rho一般小于零 不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)的Rho為 不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)的Rho為 2020 2 9 10 例 考慮一個(gè)不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán) 其標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是 50 行權(quán)價(jià)格為 50 無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10 年波動(dòng)率是30 權(quán)利期間還有6個(gè)月 失球其相應(yīng)的對沖參數(shù) 解 計(jì)算 2020 2 9 11 7 6Delta對沖法則的推導(dǎo) 這里分析標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)S對期權(quán)價(jià)格V的影響 令這表示在其他因素不變的前提下 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)與期權(quán)價(jià)格變化之間的關(guān)系 因?yàn)槠跈?quán)價(jià)格是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的非線性函數(shù) 因此這一關(guān)系在當(dāng)前價(jià)格水平S附近才能成立 2020 2 9 12 2020 2 9 13 2020 2 9 14 7 7隱含波動(dòng)率 隱含波動(dòng)率是一個(gè)在市場上無法觀察到的波動(dòng)率 是通過Black Scholes期權(quán)定價(jià)公式計(jì)算出來的波動(dòng)率 由于我們無法給出它的解析解 因此只能借助于數(shù)值計(jì)算給出近似解 幾種計(jì)算隱含波動(dòng)率的數(shù)值方法 二分法和牛頓迭代法 二分法的設(shè)計(jì)思想相當(dāng)簡單 如果某函數(shù)在一區(qū)間的符號(hào)有變化 則在此區(qū)間內(nèi)該函數(shù)必有零點(diǎn) 根據(jù)這個(gè)思想 我們先計(jì)算該函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)中點(diǎn)的值 并考察其符號(hào)變化 然后再用中點(diǎn)值替代與其有相同符號(hào)的端點(diǎn) 這樣每經(jīng)過一次迭代 包含零點(diǎn)的區(qū)間就縮小一半 假設(shè)經(jīng)過n次迭代后 零點(diǎn)位于長度為的區(qū)間內(nèi) 則在下一輪迭代結(jié)束后 這個(gè)零點(diǎn)將被劃界在長度恰好是的區(qū)間內(nèi) 經(jīng)過n次這樣的迭代后 包含零點(diǎn)的區(qū)間兩端就會(huì)逼近真值 2020 2 9 15 注意 在使用二分法時(shí) 需要事先計(jì)算出達(dá)到給定精度的解所需要的迭代次數(shù)為迭代結(jié)束后所期望的精度 分析 根據(jù)上述二分法的基本思想 我們給出求隱含波動(dòng)率的步驟 1 設(shè)定隱含波動(dòng)率的上下限 2 計(jì)算隱含波動(dòng)率上下限的平均值并帶入Black Scholes期權(quán)定價(jià)公式 3 計(jì)算該期權(quán)價(jià)格之差 直到達(dá)到給定的精度為止 2020 2 9 16 例 假設(shè)當(dāng)前觀察到的期權(quán)是 3 5 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是 20 X 17 5 r 10 權(quán)利期間還有3個(gè)月 試求隱含波動(dòng)率 解 在本例中 Cmarket 3 5 S 20 X 17 5 r 0 1 T t 0 25根據(jù)二分法計(jì)算隱含波動(dòng)率的步驟如下 1 給出一個(gè)波動(dòng)率的上下限 并計(jì)算它的平均值 2 將計(jì)算出來的平均值代入Black Scholes期權(quán)定價(jià)公式計(jì)算期權(quán)的價(jià)格 3 如果計(jì)算出來的期權(quán)價(jià)格大于期權(quán)價(jià)格的觀察值 縮小波動(dòng)率的上下限重新計(jì)算 4 不斷重復(fù)上述過程直至計(jì)算結(jié)果逼近期權(quán)價(jià)格的觀察值 2020 2 9 17 Price 20 Strike 17 5 Rate 0 1 Time 0 25 Value 3 5 Volatility blsimpv Price Strike Rate Time Value 2020 2 9 18 牛頓迭代法牛頓迭代法 Newton smethod 又稱為牛頓 拉夫遜方法 Newton Raphsonmethod 是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)域上近似求解方程根的方法 步驟1 將函數(shù)f x 再點(diǎn)x0附近展開成泰勒級(jí)數(shù)步驟2 取泰勒級(jí)數(shù)的前兩項(xiàng)作為設(shè)求解方程得到這樣得到迭代公式經(jīng)過n次迭代后可以求出f x 0的近似解 2020 2 9 19 根據(jù)牛頓迭代法 隱含波動(dòng)率的計(jì)算步驟下 1 假設(shè)其他變量保持不變 認(rèn)為函數(shù)是隱含波動(dòng)率的一元函數(shù) 其中為市場上觀察到的其時(shí)價(jià)格 2 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 3 由迭代公式 計(jì)算波動(dòng)率 直至 2020 2 9 20 例 以不支付股息的歐式看漲期權(quán)為例 設(shè)S 20元 X 17 5元 Cmar 3 5 r 0 1 T 0 25年 運(yùn)用牛頓迭代法計(jì)算隱含波動(dòng)率 假設(shè)一開始隨意選擇波動(dòng)率為18 根據(jù)上式求出B S模型的歐式期權(quán)再將 2020 2 9 21 然后 用 重復(fù)以上的步驟 再次計(jì)算期權(quán)的模型價(jià)格及其如此循環(huán)往復(fù) 最終計(jì)算出一個(gè)最接近期權(quán)市場價(jià)格的模型價(jià)格 此時(shí)所試用的波動(dòng)率就是隱含波動(dòng)率 在此例子中 當(dāng)試算的波動(dòng)率為44 49 時(shí) 期權(quán)的模型價(jià)格為3 5001 與期權(quán)的市場價(jià)格3 5幾乎一樣 運(yùn)用牛頓試算隱含波動(dòng)率的過程 2020 2 9 22 運(yùn)用科拉多 米勒公式計(jì)算隱含波動(dòng)率從Black Scholes公式可知 人們不可能直接通過B S模型求得隱含波動(dòng)率 為了計(jì)算出隱含波動(dòng)率 經(jīng)濟(jì)學(xué)家和理財(cái)專家曾做過種種努力試圖解決這個(gè)問題 如布雷納 Brenner 和薩布拉曼亞 Subrahmanyam 于1988年 查恩斯 Chance 于1993年分別提出的計(jì)算隱含波動(dòng)率的公式 雖然這些公式對于持有平價(jià)期權(quán)的波動(dòng)率的計(jì)算還算準(zhǔn)確