名師講座 陳忠懷 數(shù)學數(shù)思想方法說(2).doc

數(shù)學月刊二月號 陳忠懷 以退為進 走是策略 高考數(shù)學思想方法之（2）在本文中，將多次牽涉到“難題”這個概念.但是。從邏輯上講，“難題”并不能構成一個集合.所以，在本文中，我們特別將“難題”定義為：對多數(shù)考生而言，難于用簡單、直接的方法迅速破解的題.這樣，一些“小題不小” 的題，我們也稱之為“難題”.數(shù)學解題中遇到難題怎么辦？基本對策是：以退為進. “以退為進.”的實質是轉移或轉換.考場上遇到難題，如同戰(zhàn)場上遇到強敵.應該“打得贏就打，打不贏就走.”（ 毛澤東語）打是為了消滅敵人，而走的目的，既是為了保全自己，又是為了更有效的消滅敵人.這種思想完全應該而且能夠移植到考場上.在具體操作上，有如下幾種 “走”法.（1） 一般不易，走特殊路我在上一篇文章中講到：一個問題在普遍意義上難以認識辨別與掌握，在特殊情況下往往清楚明白.既如此，我們解題時，何不以退為進，由一般退到特殊呢？用這種“特殊化思想”去解那些“小題不小” 的題是特別優(yōu)質而且高效的，這種退法是一切退法中的首選.【例1】函數(shù)的反函數(shù)是 （ ）A.BC. D. 【解析】（0，-1）在原函數(shù)的圖象上，（-1，0）在其反函數(shù)的圖象上.但是（-1，0）不適合A、B、D，（x=-1時，它們沒有意義）故選C.【例2】如方程表示雙曲線，則下列橢圓中，與該雙曲線共焦點的是 （ ）A. B.C. D. 【解析】取，則雙曲線為，其焦點.而此時A、B、D軌跡都不存在，故選C.【例3】（06.遼寧卷 10題）直線y=2k與曲線（kR且k0）的公共點的個數(shù)為 （ ）A.1 B.2 C.3 D.4【解析】不妨取k=1，有：，即.如圖，直線y=2與雙橢圓有4個不同的交點.故選D.【例4】（06 全國一卷 22題）設數(shù)列的前項和，（1） 求首項和通項；（2） 設，證明：【分析】高中數(shù)學只講過兩種特殊數(shù)列等差數(shù)列和等比數(shù)列.本題牽涉的數(shù)列顯然既非等差，又非等比.但高考命題必須源于課本，高于課本.所以我們有理由相信，這道題一定與特殊數(shù)列有關.所以我們的思考方向，就是考察它是一種什么樣的特殊數(shù)列的 “變種.”【解析】（1），由得：（由（1）式看到，如果沒有，這個數(shù)列已經(jīng)是等比數(shù)列；現(xiàn)在多了這個，我們的思考方向就是構造新的數(shù)列，使之成為等比數(shù)列.而構造的基本方法則是待定系數(shù)法）.令，化簡得：比較（1）與（2）知.于是，的等比數(shù)列.，故所求數(shù)列的通項為：，其中首項也適合.（2）將代入條件式得：【評注】（2）問的證明中使用了拆項法，這也是特殊數(shù)列求和方法的一種推廣.（2）縱深不易，回歸源頭這里先給大家講一個考場故事.1977年我國首次恢復高考.數(shù)學考題一共才有5道，其中一道是：求tan22.5之值.在30年后的今天來看，這道題是再簡單不過了，可是那時多數(shù)考生甚至沒有上過一天高中的課，這道題比較正規(guī)的解法是利用半角的正切公式，而這個公式在初中課本上絕對找不到.盡管如此，閱卷的老師還是發(fā)現(xiàn)了奇跡，這就是流傳已經(jīng)十分廣泛的下述解法，只是許多人都不清楚這個解法原來來自1977年的一名考生.【解析】如下圖， ABC中ACB=90，且AC=BC，設AC=BC=1，則AB=，BAC=45，延長CA到D，使AD=AB，連BD，則BDC=22.5.于是tan22.5=當時，這種解法的確叫人耳目一新，它充分說明一個道理：有時候最原始的方法，恰恰是最好的方法.以下再看數(shù)例：【例5】已知圓和直線y=mx交于P、Q兩點則的值為（ ）【解析】容易求出點A、B的坐標分別是：A（1，0）B（5，0）.由平幾知識： 15=5.故選C.【反思】本題若正而八經(jīng)地用解析法做，工作量會至少增加幾倍？ 【例6】AB是拋物線的一條弦，若AB的中點到x軸的距離為2，則弦AB長度的最大值是【解析】拋物線的焦點為，準線是連結FA，F(xiàn)B，作AA于A，.作BB于B，MM于M那么.【評注】本題如果不是回歸定義，并借助“原始”三角形邊角關系，其解法又何其難也.【例7】雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交雙曲線右支于M，N；A，B分別為，的內心，當MN傾斜角的正弦值為，且離心率e=2時，求雙曲線的方程.【分析】本題條件雖多，可由于其中有許多人不很熟悉的內心，所以感到無從下手.如果用解析法，最容易想到的是利用三角形內角平分線的性質，可是由于牽涉到的參變量太多而難以找到突破口.在這種情況下分析題中的數(shù)據(jù)是有好處的.為什么一個數(shù)據(jù)是而另一個則是？這兩者的乘積為整數(shù)4，比較合理的想法是=4.因而想到退，退到“原始”的平面幾何中去尋找突破口.【解析】如下圖，由于雙曲線的離心率e=2，故c=2a.兩焦點分別為F1（-2a，0），F(xiàn)2（2a，0）.設圓A分別切各邊于D，E，G，并設：，又設，則于是有：我們發(fā)現(xiàn)，計算的結果與無關.這說明點G即是雙曲線的右頂點. 同理，的內切圓亦與x軸切于雙曲線的右頂點.或者說，A，G，B三點一定共線.設直線MN的傾斜角為，連結ABCD，則四邊形ABCD是直角梯形，AB為其斜腰且由AGF2=GF2D=90知GAO=.于是，即2a=4，a=2，從而c=4，b=.所求雙曲線的方程為：.【評注】據(jù)說本題是80年代的一道競賽題，而且不過是一道填空題.那么以上的解法是過于繁瑣的了.不過既是競賽題又是填空題，以上的許多中間過程都可不寫.參與競賽的學生應當一目了然地看出關系式.假如考生還記得如下的定理：“設P為雙曲線上一點（不同于頂點），而F1，F(xiàn)2是該雙曲線的兩個焦點，I為P F1F2的內心，則I在實軸上的射影必是雙曲線的一個頂點.”那么解題速度就更快了.后積才能薄發(fā).沒有平時深后的基礎知識積累，在考場上是不可能有上乘的表現(xiàn)的. （3）抽象難啃，以形配數(shù).【例8】（05.湖北卷，6題）在這四個函數(shù)中，當恒成立的函數(shù)的個數(shù)是（ ）A，0 B，1 C，2 D，3【分析】本題牽涉到四個不同的函數(shù)，用常規(guī)方法逐一計算判斷則工程浩繁決不可取.因而想到退，由抽象退到具體，由數(shù)退到形.運用函數(shù)的凹凸知識來解決. 如圖當是下凹的，不滿足，下凹，當不是恒成立，只有的圖象始終上凸，也就是說：當恒成立的函數(shù)只有一個，選B.【評注】從圖象上容易看出，上凸的函數(shù)都滿足，而下凹的函數(shù)都滿足.僅根據(jù)這一點，就可以輕松破題，這就是由抽象退到具體的優(yōu)越性.【例9】（04.重慶卷，16題）對任意實數(shù)k，直線 與橢圓恒有公共點，則的取值范圍是【解析】橢圓的標準方程是：在方程（1）中，命得解得，或3.如圖，當時，無論直線的斜率k取什么實數(shù)，該直線必通過以A（0，3），B（0，-1）為端點的線段AB上一點，而線段AB是橢圓（1）的弦.這就是說，當時，直線 恒過橢圓（1）內或上一點，因而與橢圓恒有公共點. .【評注】本題如果用純解析法去做，其計算量不知要大多少倍，“問題抽象，退而求形.”的威力可見一斑.【例10】已知集合，若AB=，求實數(shù)a的值.【分析】表面上看，這是一道代數(shù)的題.可是你若用純代數(shù)的方法去做又何其難也.可是我們若給出題中的兩個集合的幾何解釋，不難看出問題的實質是考察兩條直線平行的條件.因而有如下比較輕松的解法：【解析】AB=的含義是：直線平行.當a=1時， 顯然（2）恒不成立，此時B=，從而AB=；當a=-1時， ，顯然兩直線平行，亦有AB=.當a1時，由于兩方程中x，y的系數(shù)不成比例，即，兩直線恒不平行.但由于直線（1）中x2，不含點（2，3），將點（2，3）代入方程（2），得.于是所求實數(shù)a的值是1，-1，-5.（4）正面難攻，反面去求在戰(zhàn)爭中，一切高明的軍事家總是提倡“攻其無備，避實擊虛”的.考場上也一樣，“正難則反”往往是破題的良策.【例11】已知函數(shù)滿足且.求證：.【分析】本題直接由條件推證結論比較難于下手，而證明結論的反面不成立則相對容易.故采用反證法證之.【證明】由及，知.將兩邊同除以正數(shù)，得：.假定，即，則，這與的條件矛盾.假定，即，則.從而，這又與的條件矛盾.于是，都不能成立，故必有.【評注】1.凡命題都有題設（即已知條件）和題斷（即待定結論），通過推倒題斷反面而達到肯定題斷正面的證題方法稱之為反證法.反證法證題的步驟是：(1)反設：即假定題設反面為真；(2)歸謬：即通過正確的推理引出矛盾；(3)結論：追究產生矛盾原因，必為反設之不當，從而推倒反面，肯定正面.【例12】設an,bn是公比不相等的兩個等比數(shù)列,cn=an+bn,證明cn不是等比數(shù)列.【證明】設等比數(shù)列an,bn的公比分別為P,q,且Pq,假定cn=an+bn為等比數(shù)列,則必,即(a2+b2)2=(a1+b1)(a3+b3),即：2a1b1pq=a1b1(p2+q2),(pq)2=0,p=q.這與題設pq矛盾,cn不是等比數(shù)列.【評注】本例選自2000年全國高考試題，其解法也是典型的“正難則反”.就本題而言，很容易通過舉反例驗證：設數(shù)列an：1,1,1,1,1,1,1,bn：1,1,1,1,1,1,1,顯然an是首項與公比均為1的等比數(shù)列，bn是首項為1，公比為1的等比數(shù)列.但數(shù)列an+bn：2,0,2,0,2,0,，不是等比數(shù)列，故原命題正確.但需注意：這種證明方法是不完整，也不徹底的.因為只推翻了“個別”，而沒有否定“所有”.雖然推翻一個命題（或證否定式命題），舉出一個反例足夠；但證明一個命題舉多少個例子均不足以達到論證目的，還是應從理論上進行邏輯推證.【例13】求證：拋物線沒有漸近線.【分析】 二次曲線中僅有雙曲線有漸近線，什么是漸近線？人們的解釋是與曲線可以無限接近卻又沒有公共點的直線.拋物線是否有這樣的直線？我們無法直接給予證明.怎么辦？退到反面去，“正難反求”，假定拋物線有漸近線，是否會導出不合理的結果？【證明】 不妨設拋物線方程為y2=2px.假定此拋物線有漸近線y=kx+b,x=,代入直線方程，化簡得：ky22py+2Pb=0. 可以認為：曲線與其漸近線相切于無窮遠處，即如方程有實根y0,那么，y0,或0,令=y,方程化為：2pby22py+k=0 方程應有唯一的零根,y=0代入得：k=0.于是拋物線的漸近線應為y=b.這是不可能的，因為任意一條與x軸平行的直線y=b,都和拋物線有唯一公共點(,b),因而y=b不是拋物線的漸近線，這就證明了：拋物線不可能有漸近線.5.空間難辦，平面去溜空間幾何是在平面幾何的基礎上建立和發(fā)展起來的.解空間幾何問題的基本方向是：“空間問題平面化”【例14】（05 湖北卷 10題）如圖，在三棱柱ABC-ABC中，點E、F、H、K分別為的中點，G為ABC的重心，從K，H，G，B中取一點作為P，使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則P為 （ ） A.K B.H C.G D.B【解析】如圖，過G、E、F作三棱柱的截面PQMN，由于G為ABC的重心，且MNAB，故M、N必不是AC、AB的中點，而E、F分別是側面AA1C1C、BB1C1C的中心，故四邊形MNPQ是梯形而非平行四邊形，因之該棱柱恰有二條棱AB、A1B1與平面PEF平行，故選C.【評注】空間問題的基礎在于平面.正是注意到三角形重心的性質特點，才有如上優(yōu)質高效的解題速度，否則“按部就班”地逐一分析鑒別，很可能陷入“欲進不得，欲罷不忍”的兩難境地.【例15】（04 全國4卷 20題）三棱錐PABC中， PA=PB=PC=3.（1）求證：ABBC；（2）設AB=BC，求AC與平面PBC所成角的大小.【解析】（1）取AE中點M，連PM，EM.側面PAC與底面ABC垂直，PM面ABC.已知PA=PB=PC，MA=MB=MC.由平面幾何知識，ABC中ABC=90，ABBC.（2）M為AC中點且PA=PC，PMAC，又知BA=BC，BMAC，從而AC平面PMB.作MNPB，連CN，Y由三垂線定理，PBCN，PB面CMN，平面PBC平面CMN，MCN是直線AC與平面PBC所成角，易求CM=，PB=3，于是tanMCN=，MCN=30，即AC與平面PBC所成角的大小為30.【評注】從本例的解析過程可以看出，除了必須用到的幾個空間概念和定理外，其余全是平面幾何的有關計算.6.逢無窮題，走有窮路.自從接觸高中數(shù)學，所有學生都會接觸到一個怪物無窮大!無窮大是什么？是可望而不可求的無法計程的太空，是可以想象但實際無法到達的數(shù)學之神的領地，無窮大不是一個具體的數(shù)，它比任何人所能想象得到的大數(shù)還要大得多，在“無窮大”的領域里，你不能比較它的一半或它的兩倍的大?。凰鼈儗嶋H上“一樣大”！由于無窮大具有這種“怪僻”的性質，所以處理起來會十分困難，怎么辦？還是退，先從無限退到有限，摸清規(guī)律，再返回無限.【例16】數(shù)列中，是這個數(shù)列的第幾項？【分析】這個數(shù)列雖然是無窮數(shù)列，但是數(shù)之前只有有限多項.盡管如此，不準確摸清這個數(shù)列的規(guī)律，也是難以探明它的位置的.對這個數(shù)列，我們應從如下兩個方面認識：（1）這個數(shù)列除第一項外，其他各項都是由1，2，n，組成的分數(shù).分子由1逐漸遞增到n，而分母則由n逐漸遞減到1.例如由數(shù)字1，2，3，4組成的分數(shù)有四個：由此還可知道，由數(shù)字1，2，n組成的分數(shù)有n個.（2）每一組分數(shù)中，分子與分母兩數(shù)字之和是一個比n大1的常數(shù).例如這四個分數(shù)，分子與分母兩數(shù)字之和是比4大1的數(shù)，也就是5.弄清楚了這兩點，以下的解法便是輕而易舉的事.【解析】由數(shù)字1，2，n組成的分數(shù)有n個：.這n個分數(shù)的分子與分母兩數(shù)字之和都是n+1.的分子與分母兩數(shù)字之和是15，所以它屬于由數(shù)字1，2，3，14所組成的分數(shù)之中的第8個.而前面各組共有1+2+3+13=91個分數(shù)，故是這個數(shù)列中的第91+8=99項.【例17】設n為正整數(shù)，規(guī)定.已知，求的值.【分析】面對題目中這種“無窮”的架勢，你大可不必驚慌，任何無窮都是從有限開始的，唯一的辦法是從無窮推到有限，老老實實地從1做起.【解析】；.可見，由當n=1，2，3，時，其函數(shù)值組成的數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為4，每一個周期的數(shù)依次為：.由于2008恰為4的倍數(shù)，故.【例18】如圖，n2（n4）個正數(shù)排成n行n列方陣，其中每一行的數(shù)組成等差數(shù)列，每一列的數(shù)組成等比數(shù)列，并且所有公比都相等，設.（1） 求公比q的值；（2） 求的值；（3） 求的值.【解析】先將已知條件代入方陣之中，得（1）成等差數(shù)列，；數(shù)陣中各列數(shù)成等比數(shù)列，且所有公比都相等，設這個公比為q，則，又數(shù)陣中各數(shù)均為正數(shù)，故所求公比.（2），等差數(shù)列的公差，從而，于是.（3）根據(jù)（2）：，且各列數(shù)都是公比為的等比數(shù)列的特點，重新列出數(shù)陣是：可知.以下用“錯項相減法”容易求出：.【評注】解任何一個較難的問題，其過程都是“逐步明朗化”的.這是因為前面的結論又成為后面的條件，解題人正應該善于利用這些條件，使解題的思路越來越寬闊，最終達到完全、正確解題的目的.【例19】 計算機中用的是二進制數(shù)，只用兩個數(shù)碼：0和1，如：二進制數(shù)中110101=125+124+023+122+021+120=53.在制造電子計算機時，每個數(shù)碼要用一個設備，如果用n進制，每一位有n個數(shù)碼，在計算機中要表示m位n進制數(shù)就要用mn個設備，設計算機能表示的最大數(shù)為M（使用數(shù)制為n,n2）時，設備量為G.()如果在機器中要表示m位n進制數(shù)，試寫出M,m,n的關系式.()把G（n）看作n的函數(shù)，M作為常數(shù)，寫出這個函數(shù)式.()計算G（2），G（3），G（4），G（5）各等于多少個lg（M+1）.(lg2=0.3,lg3=0.48).()當M給定，選取n為多少時，才能使設備總量G最少？證明你的結論.【思考】 在n進制中，n是幾？可以是有限的2，3，4也可以任意地大，即不存在最大.在無限大的n進制中去分析規(guī)律顯然是困難的，那么就先退到有限，把有限的規(guī)律弄清了，再推廣到無限，即是順理成章的事.二進制是“逢2進1”，因此只須兩個數(shù)碼0和1，其中二進制110101為什么表示53？原來2的冪依次為21=2;22=4;23=8;24=16;25=32;而53321641125+124+023+122+021+120.把所有2的冪去掉，即成為110101.仿此，三進制是“逢3進1”需用三個數(shù)碼0，1和2.例如用三進制表示十進制中的1000將是多少？由于30=1;31=3;32=9;33=27;36=729,，而1000729243271136+135+034+133+032+031+130.去掉所有3的冪，那么十進制中的1000用三進制表示是1101001，同理，十進制中的100用3進制表示則為10201.如此類推，可知n進制是逢n進1，需要0，1，2，n1共（n1）個數(shù)碼.此外，含五位的二進制數(shù)中，最大數(shù)