反比例函數圖象和性質第一課時.doc

反比例函數的圖象和性質1.能用描點法畫出反比例函數y=的圖象.2.能根據圖象理解和掌握反比例函數y=的性質,并能靈活運用解決函數問題.3.理解反比例函數中比例系數k(k0)的幾何意義.4.初步建立反比例函數解析式與圖象之間的關系.1.經歷探索和發(fā)現反比例函數的圖象的特點和性質的過程,獲得研究函數性質的經驗.2.通過函數圖象探究函數性質,進一步體會運用數形結合思想研究函數的性質.3.經歷知識的形成過程,了解從特殊到一般的認識過程,培養(yǎng)學生觀察、探究、歸納及動手能力.1.經歷觀察、推理、交流等過程,獲得研究問題和合作交流的方法與經驗,體驗數學活動中的探索性和創(chuàng)造性.2.在數學學習過程中,進一步理解變量和常量間的辨證關系,培養(yǎng)嚴謹的科學態(tài)度,感受數學美,并發(fā)現學習的樂趣.【重點】用描點法畫反比例函數的圖象;探索反比例函數的圖象特點和性質.【難點】探究反比例函數的圖象特點和性質的過程及比例系數的幾何意義.第課時1.能用描點法畫出反比例函數y=的圖象.2.能根據圖象理解和掌握反比例函數y=的性質.3.能運用反比例函數的性質解決有關問題.1.經歷探索和發(fā)現反比例函數的圖象的特點和性質的過程,獲得研究函數性質的經驗.2.通過函數圖象探究函數性質,進一步體會運用數形結合思想研究函數的性質.3.經歷知識的形成過程,了解從特殊到一般的認識過程,培養(yǎng)學生觀察、探究、歸納及動手能力.1.經歷畫圖、觀察、猜想、思考、交流等活動,獲得研究問題和合作交流的方法與經驗,體驗數學活動中的探索性和創(chuàng)造性.2.在數學學習過程中,體驗與領悟數學發(fā)現的成功感,感受數學美,發(fā)現學習的樂趣.【重點】用描點法畫反比例函數的圖象;探索反比例函數的圖象特點和性質.【難點】探究反比例函數的圖象特點和性質的過程.【教師準備】多媒體課件14.【學生準備】在練習本上畫兩個平面直角坐標系.導入一:【課件1展示】校園內有一塊矩形草坪面積為200 m2,它的長y(單位:m)與寬x(單位:m)之間滿足的函數關系是什么?當它的長y(單位:m)增加時,它的寬x(單位:m)將怎樣變化?【師生活動】學生思考回答,并觀察該反比例函數中y隨x的增大而減小,教師引出課題.設計意圖由生活實際情景導入新課,讓學生體會生活中處處有數學,激發(fā)學生學習興趣,同時通過觀察,思考問題中長y與寬x之間的關系,很自然地由實際問題抽象出本課時學習重點之一的反比例函數圖象的增減性.導入二:【復習提問】(1)以前學習一次函數、二次函數時,是用什么思路和方法研究的?(先根據函數解析式畫出函數的圖象,然后觀察、分析、歸納得到函數的性質)(2)一次函數、二次函數的圖象分別是什么?(直線、拋物線)(3)請你說出一次函數、二次函數的性質是什么.(一次函數增減性、圖象所經過象限;二次函數圖象開口方向、對稱軸、增減性等)(4)畫函數圖象的基本步驟是什么?(列表、描點、連線)【導入語】我們可以類比研究一次函數、二次函數性質的方法來研究反比例函數的性質,如果可以,應先研究什么? 設計意圖通過復習畫函數圖象的基本步驟,為本節(jié)課的學習做好鋪墊,復習通過畫函數圖象來研究一次函數、二次函數性質的方法,讓學生用類比的方法自然地構建出新知識,降低本節(jié)課的學習難度.過渡語這節(jié)課我們通過畫反比例函數的圖象來研究它的一般性質.一、描點法畫反比例函數圖象畫函數y=與y=的圖象.思路一教師引導,師生共同完成,同時展示畫圖象的過程.(1)自變量x的取值范圍是什么?函數值y的取值范圍是什么?(2)畫函數圖象時取哪些x的值列表,使函數圖象完整、準確?(師生共同完成列表)(3)在平面直角坐標系中描點.(4)如何用平滑的曲線連接各點?(5)從左到右連線時,圖象與x軸、y軸有沒有交點?為什么?教師強調連線時從左到右依次用平滑曲線連接,由自變量x、函數值的取值范圍可得函數圖象與兩坐標軸沒有交點,故畫反比例函數圖象時與畫一次函數、二次函數圖象時不同,坐標軸把圖象分成兩部分.設計意圖通過師生合作,經歷用描點法畫函數圖象的過程,培養(yǎng)學生動手操作能力,理解描點法畫函數圖象的本質,經歷知識的形成,進一步體會數形結合思想,通過課件展示畫圖的過程,直觀形象,學生既感興趣又記憶深刻.思路二【任務】同桌合作,每人在課前準備的平面直角坐標系中畫一個函數圖象.【師生活動】學生獨立完成列表、描點、連線,畫圖后,小組合作交流,發(fā)現組內成員的畫圖錯誤,并幫助改正,教師在巡視過程中及時發(fā)現常見典型錯誤,進行匯總,在展示完整畫圖過程后展示典型畫圖錯誤.【課件2展示】(1)列表:在x的取值范圍內列出函數對應值表:(教師強調:列表時取值不能太少,也不能只取正值)x-6-4-3-2-112346y=-1-1.5-2-3-66321.51y=-2-3-4-6-12126432(2)描點.(教師強調:描點時橫、縱坐標易混淆)(3)連線.(教師強調:連線時用平滑曲線,不能畫成折線,因為自變量x不等于0,所以畫函數圖象時,不能將左右兩個圖象連接起來)設計意圖通過動手操作,讓學生自己經歷畫反比例函數圖象的過程,進一步了解用描點法的方法畫圖象的基本步驟,培養(yǎng)學生動手操作能力,經歷知識的形成過程.通過小組合作交流,培養(yǎng)學生合作精神,在討論畫圖結果時互相糾錯的過程中,加深了學生對畫函數圖象的理解和認識.二、反比例函數y=(k0)的性質過渡語通過函數圖象可以得到函數的有關性質,讓我們一起觀察所畫的函數圖象有哪些性質吧!思路一觀察教材圖26.1 - 2的函數圖象,學生在教師的引導下思考回答:(1)你能描述反比例函數圖象的形狀嗎?(教師給出雙曲線定義) (2)反比例函數圖象無限延伸后與x軸、y軸有公共點嗎?與函數解析式之間有什么關系?(因為自變量x、函數值y不能等于0,所以函數圖象與x軸、y軸沒有交點)(3)函數圖象在哪個象限內?該圖象關于原點O對稱嗎?(在第一、第三象限,關于原點O對稱)(4)觀察函數圖象,當x0時呢?你能根據函數解析式說明理由嗎?(當x0時,隨著x的增大,y也減小)(5)對于反比例函數y=(m0),以上結論還成立嗎?【師生活動】學生在教師設計的問題下邊思考邊回答,教師提示學生可以通過表格和圖象兩個方面思考解決問題,對回答有困難的問題,教師要給學生足夠的時間思考、交流.設計意圖將探究函數的性質設計成問題的形式,使學生在探究過程中有方向和目的,降低學習新知識的難度,同時進一步體會數形結合思想及由特殊到一般的研究方法.【共同總結(課件3展示)】(1)反比例函數y=(k0)的圖象是雙曲線;(2)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限;(3)在每個象限內,y隨著x的增大而減小;(4)兩支雙曲線向兩邊無限延伸,與坐標軸沒有交點;(5)兩支雙曲線關于坐標原點成中心對稱.思路二類比以前研究的一次函數、二次函數的性質的方法,根據所列表格、函數解析式、所畫函數圖象,你能得到哪些結論?看看哪個小組得到的正確結論最多.【師生活動】學生觀察函數圖象后先獨立思考,再小組合作交流,然后學生展示,教師在巡視過程中及時幫助有困難的學生,發(fā)現學生思考片面時,可以及時提醒學生從圖象形狀、增減性、對稱性等多個角度觀察思考,學生展示后,教師點評,師生共同歸納函數的性質.【共同總結】(板書)(1)反比例函數y=(k0)的圖象是雙曲線;(2)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限;(3)在每個象限內,y隨著x的增大而減小;(4)雙曲線兩支向兩邊無限延伸,與坐標軸沒有交點;(5)雙曲線兩支關于坐標原點成中心對稱.設計意圖通過小組合作交流,歸納反比例函數的性質,學生之間的合作交流,培養(yǎng)了學生合作精神,同時提高分析問題的能力.類比以前學過的函數的方法和性質歸納總結,讓學生體會數學中重要的學習方法類比法,同時進一步體會數形結合思想是學習數學最常用的思想方法之一.三、反比例函數y=(k0)的圖象與性質【導入語】回顧以上探究過程,你能用同樣的方法探究函數y=(k0)的圖象與性質嗎?【師生活動】學生在剛才的平面直角坐標系中畫函數y=-與y=-的圖象.觀察函數圖象,小組合作交流,歸納反比例函數y=(k0)的性質.教師巡視過程中幫助學習有困難的學生,引導學生歸納反比例函數的性質.【共同歸納】(1)反比例函數y=(k0時,雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每個象限內,y隨x的增大而減小;(2)當k0)(4)你能確定函數圖象的位置嗎?(由k2+10得函數圖象在第一、三象限) (5)自變量x的取值范圍是什么?(自變量x的取值范圍是x0)故選D.若點(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)在反比例函數y=的圖象上,則下列結論中正確的是()A.y1y2y3B.y2y1y3C.y3y1y2D.y3y2y1解析(1)已知三點的橫、縱坐標分別是什么?(2)函數值y1,y2,y3與已知點的橫坐標有什么關系?(點的橫坐標和縱坐標滿足函數解析式)(3)已知函數解析式和自變量的值,怎樣求出對應的函數值?(把點的橫坐標代入函數解析式求出對應的函數值)(4)你能分別求出y1,y2,y3的值嗎?三者的大小關系是什么?(把x1=-2,x2=-1,x3=1分別代入函數解析式求出y1,y2,y3)(5)反比例函數y=的圖象及增減性是怎樣的?(反比例函數的圖象在第一、三象限,在每個象限內y隨x的增大而減小)(6)你能根據函數增減性判斷y1,y2,y3的大小關系嗎?(第三象限圖象上的點的縱坐標小于0,且y隨x的增大而減小;第一象限圖象上的點的縱坐標大于0) 【師生活動】學生獨立思考,并回答問題,教師及時點評,然后歸納兩種比較函數值大小的方法.解法1:把三個點的橫坐標分別代入y=,得y1=-,y2=-1,y3=1,y3y1y2 .故選C.解法2:可以看出點(-2,y1),(-1,y2)在同一象限,k=10,在每個象限內,y隨x的增大而減小,-2-10,y2 y10,y30,y3y1y2 .故選C.設計意圖通過例題加深學生對反比例函數的圖象和性質的理解與掌握,體會運用數形結合思想解決函數問題的方法和技巧,提高學生分析問題、解決問題的能力.例2中用不同思路解決問題,培養(yǎng)學生多角度思考問題的能力.知識拓展(1)反比例函數的圖象是雙曲線,它有兩支,它的兩個分支是斷開的.(2)當k0時,雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限;當k0時,在每一個象限內,y隨著x的增大而減小,但不能籠統(tǒng)地說:當k0時,y隨著x的增大而減小.同樣,當k0時,在每一個象限內,y隨著x的增大而增大,也不能籠統(tǒng)地說:當k0時,圖象經過第一、第三象限當k0時,圖象位于第一、第三象限當k0時,y隨x的增大而增大當k0時,在每一象限內,y隨x的增大而減小當k0時,函數y=-的圖象在()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限解析:反比例函數y=-中,k=-50時,函數的圖象位于第四象限.故選A.2.對于反比例函數y=,下列說法正確的是()A.圖象經過點(1,-3)B.圖象在第二、四象限C.x0時,y隨x的增大而增大D.x0,圖象在第一、三象限,故B錯誤;k0,x0時,y隨x的增大而減小,故C錯誤;k0,x0時,y隨x的增大而減小,故D正確.故選D.3.反比例函數y=的圖象如圖所示,以下結論: 常數m -1;在每個象限內,y隨x的增大而增大;若A(-1,h),B(2,k)在圖象上,則h0,所以錯誤;觀察圖象可得,在每個象限內,y隨x的增大而減小,所以錯誤;當x=-1時,y=h0,所以hk,所以正確;反比例函數圖象關于原點成中心對稱,所以點P(x,y)關于原點的對稱點為P(-x,-y),所以正確.故選C.4.設有反比例函數y=,(x1,y1),(x2,y2)為其圖象上兩點,若x10y2,則k的取值范圍是.解析:因為x10y2,所以雙曲線在第二、四象限,則k+20,解得k-2.故填k-2.5.已知反比例函數y=(m-2).(1)求m的值;(2)它的圖象位于哪些象限?(3)當x2時,求函數值y的取值范圍.解:(1)依題意可得m2-5=-1,且m-20,解得m=-2.當m=-2時,函數y=(m-2)是反比例函數.(2)當m=-2時,代入函數解析式可得y=-.k=-40)的性質3.反比例函數y=(k1,則0y24.如圖所示的是反比例函數y=(k為常數,k0)的圖象,則一次函數y=kx-k的圖象大致是()5.(2015淮安中考)若點P(-1,2)在反比例函數y=的圖象上,則k=.6.已知反比例函數y=(k是常數,k0),在其圖象所在的每一個象限內,y的值隨著x的值的增大而增大,那么這個反比例函數的解析式是.(只需寫一個)7.已知y=(m+1)是反比例函數,若其圖象位于第二、四象限,則m的值是.8.若反比例函數y=(k”“=”或“0)的圖象經過頂點B,則k的值為.12.已知反比例函數y=(m為常數)的圖象在第一、三象限.(1)求m的取值范圍;(2)如圖所示,若該反比例函數的圖象經過ABOD的頂點D,點A,B的坐標分別為(0,3),(-2,0),求出函數解析式;(3)若點E(x1,y1),F(x2,y2)都在該反比例函數的圖象上,且x1x20,則y1和y2有怎樣的大小關系?【拓展探究】13.如圖所示,在直角坐標系中,矩形OABC的頂點O與坐標原點重合,頂點A,C分別在坐標軸上,頂點B的坐標為(4,2).過點D(0,3)和E(6,0)的直線分別與AB,BC交于點M,N. (1)求直線DE的解析式和點M的坐標;(2)若反比例函數y=(x0)的圖象經過點M,求該反比例函數的解析式,并通過計算判斷點N是否在該函數的圖象上;(3)若反比例函數y=(x0)的圖象與MNB有公共點,請直接寫出m的取值范圍.【答案與解析】1.A(解析:根據點在圖象上,點的坐標滿足函數解析式,將各點坐標代入驗算,滿足y=-的點即為所求,易得點(3,-2)滿足y=-.故選A.)2.D(解析:把(2,-1)代入y=,得k=2(-1)=-2,k=-20時,圖象在第一、三象限,在每個象限內,y 隨x的增大而減小,故B錯誤,C正確;k=20,當x1時,0y0,一次函數y=kx-k的圖象與y軸的交點在y軸的負半軸,且該一次函數值y隨x的增大而增大,一次函數y=kx-k的圖象經過第一、三、四象限.故選B.)5.-2(解析:把(-1,2)代入反比例函數解析式,得k=(-1)2=-2.故填-2.)6.y=-(解析:答案不唯一,因為該圖象在每一個象限內,y的值隨著x的值的增大而增大,所以k0,故答案中反比例函數解析式里只需k0即可.)7.-2(解析:由題意得m2-5=-1,解得m=2,它的圖象在第二、四象限,m+10,解得m(解析:k10,mn.)9.解:(1)將A(a,2)代入y=x+1中得2=a+1,解得a=1,即A(1,2),將A(1,2)代入反比例函數解析式中得k=2,則反比例函數的解析式為y=. (2)將x=2代入反比例函數解析式,得y=,點B在反比例函數的圖象上.10.6(解析:把x=2代入y=x+1,得y=2+1=3,所以該交點坐標為(2,3),把(2,3)代入反比例函數解析式中,得k=23=6.故填6.)11.32(解析:過C點作CDx軸,垂足為D,點C的坐標為(3,4),OD=3,CD=4,由勾股定理可得OC=5,OC=BC=5,點B坐標為(8,4),反比例函數y=(x0)的圖象經過頂點B,k=32.故填32.)12.解:(1)根據題意,得1-2m0,解得mx20,E,F兩點都在第一象限,即y隨x的增大而減小,y10)的圖象經過點M(2,2),m=4.y=.又點N在BC邊上,B(4,2),點N的橫坐標為4.點N在直線y=-x+3上,y=1.N(4,1).在y=中,當x=4時,y=1,點N在函數y=的圖象上.(3)4m8.本節(jié)課主要是在學生的動手操作、合作交流、共同歸納的過程中完成的.首先復習用描點法畫函數圖象的方法,既激發(fā)了學生學習的興趣,又為學習新知做好鋪墊.然后讓學生自己經歷畫函數圖象,并讓學生從“形”直觀觀察性質.通過所畫的幾個函數圖象,最終歸納y=(k0)的圖象和性質.學生親身經歷由特殊到一般的知識的形成過程,體會了數形結合思想在數學中的應用,既提高了學生分析問題、解決問題的能力,又讓學生體驗到學習中的快樂.實現學生自己動手、主動探索、合作交流學習方式的轉變.本節(jié)課的重點是學生經歷畫函數圖象的過程,歸納總結函數y=(k0)的性質. 觀察函數圖象討論性質時,應盡可能多地運用小組活動的形式,通過學生之間的合作與交流,建立圖象和表達式之間的聯(lián)系,以達到學生對反比例函數性質的真正理解.這一部分內容的學習給學生思考討論的時間較少,還是沒有大膽放手,讓學生更加自主地學習.本節(jié)課通過學生動手操作,在坐標系中畫同一類函數圖象,然后根據所畫的函數圖象,通過小組合作交流,共同探究,歸納出反比例函數的性質,再用類比思想歸納k0時的圖象與性質,培養(yǎng)了學生動手操作、觀察、歸納總結能力.讓學生經歷從特殊到一般的過程,體驗知識產生、形成過程,逐步達到培養(yǎng)學生抽象概括能力和激發(fā)求知欲望,同時體會類比、數形結合及分類討論的思想.練習(教材第6頁)1.(1)C(2)C2.(1)一、三(2)增大(1)本節(jié)課的重點是進一步讓學生熟悉描點法畫函數圖象的過程,然后借助函數圖象分析函數性質,體會數形結合思想.在設計上使學生經歷從特殊到一般的過程,體驗知識的形成過程,逐步達到培養(yǎng)學生抽象概括能力和激發(fā)求知欲望,讓學生在輕