回歸方程的義.doc

高中數(shù)學(xué)必修3第二章第2.3節(jié) 變量間的關(guān)系內(nèi)容解讀全國高考與四川卷的差異2016級備課組王述芳 2017年12月1日一 教材解讀：本節(jié)知識是必修內(nèi)容，在 2016年以前的四川高考卷中均未涉及到，但是全國試卷卻要求很高，另一方面，由于該節(jié)涉及高等數(shù)學(xué)的統(tǒng)計知識和二元函數(shù)的極值的求法，不少教師對此知識比較陌生，另一方面，線性回歸方程的推導(dǎo)以及公式的結(jié)論形式比較復(fù)雜，要記憶起來比較艱難 ，故本文從以下幾個方面進行闡述。1 生活生產(chǎn)實踐中一個變量往往隨多個變量的變化而變化，但是可以選定其中主要受到影響的變量來研究，所以我們中學(xué)僅僅學(xué)習(xí)兩個變量間的相互關(guān)系來研究。2 研究方法：通過統(tǒng)計大量的數(shù)據(jù)、通過調(diào)查、有時通過實驗來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，分析兩個變量間的相互關(guān)系。3 研究的有效途徑：作散點圖。用散點圖中點的走勢來說明兩個變量有關(guān)系，并對數(shù)據(jù)表進行支持，而且能直觀的看出是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)。4研究的理論支持：高等數(shù)學(xué)的二元函數(shù)的最值（或極值）求法，即拉格朗日定理作支撐。舉例：二元函數(shù) 的極值（最值）求法。第一步 求偏導(dǎo)數(shù) 和 第二步 解方程組 得 第三步得結(jié)論： 的極值（最值）就是可以用初等函數(shù)的換元方法令 換成一元函數(shù)求函數(shù)的最小值的最小值試一試,也可以看成是以未自變量的函數(shù)作參數(shù)，求函數(shù) 的最小值的最小值試一試。5如何用“最小二乘法”原則求回歸方程：最可靠的方法是刻畫每個散點 到回歸直線的距離之和最小即求 的最小值。當(dāng)L的值最小時與的值就可以確定，與的值一旦確定，回歸直線方程的斜率和縱截距就近似的用和來估計確定，回歸直線方程就確定。但實際中計算絕對值困難，為方便計算和減少誤差，習(xí)慣用求當(dāng)最小值時與 的值來求回歸方程。6 下面就利用二元函數(shù)的最值的求法來推導(dǎo)線性回歸方程：記，其中是兩個自變量準(zhǔn)備公式： 第一步 求偏導(dǎo)數(shù)（注明：這里是完全平方對變量求導(dǎo)數(shù)） 第二步 解方程組 由得 把準(zhǔn)備公式代入得 化簡得 由得 代入準(zhǔn)備公式由 再把上面求出的代入該式有 移項得 第三步得結(jié)論： 的極值（最值）時 的值按公式計算 第四步 寫出線性回歸方程。 得線性回歸方程 7 例題分析 有一個同學(xué)開了一家小賣部，他為了研究氣溫對熱飲料的銷售影響，經(jīng)過統(tǒng)計得到一個賣出的熱飲料杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：攝氏溫度/0C-504712151923273136熱飲料杯數(shù)15615013212813011610489937654（1） 畫出散點圖；（2） 從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲料銷售杯數(shù)之間的關(guān)系的規(guī)律（3） 求回歸方程；（4） 如果某天的氣溫是20C，預(yù)測這天賣出的熱飲料杯數(shù)。解析：（2）從圖中可以看出各點分布在從左上角到 右下角的區(qū)域里，因此氣溫與熱飲料的銷售成負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲料杯數(shù)越少。（3）計算： 14778； 故線性回歸方程為。（5） 當(dāng)時，因此某天的氣溫為20C時，這天大約賣143杯熱飲料。二 研究2015年普通高考高等學(xué)校招生考試全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)全國卷）理科數(shù)學(xué)第19題 某個公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需要了解年宣傳費 （單位：元）對年銷售量