華南理工大學(xué)版微積分下課件16.doc

第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用一、基本概念1） 單連通區(qū)域和復(fù)連通區(qū)域若區(qū)域內(nèi)的任意閉曲線所圍成的區(qū)域都屬于，則稱為單連通區(qū)域。（形象地理解就是區(qū)域內(nèi)沒(méi)有洞）若區(qū)域內(nèi)有某一條閉曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)有不屬于的點(diǎn)，則稱為復(fù)連通區(qū)域。（形象地理解就是區(qū)域內(nèi)有洞）2） 區(qū)域邊界曲線的方向平面區(qū)域其邊界曲線為，對(duì)于取定的方向，如果沿此方向行走時(shí)，區(qū)域總在左側(cè)，則稱此方向?yàn)檎较?；如果沿此方向行走時(shí)，區(qū)域總在右側(cè)，則稱此方向?yàn)樨?fù)方向。二、格林公式定理：設(shè)閉區(qū)域有分段光滑的曲線圍成，函數(shù)在上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則有其中是取正向的邊界曲線。證明：我們只需分別證明 我們證明式：1）如果是型區(qū)域 即2）如果不是型區(qū)域把分割成若干個(gè)型區(qū)域：3）如果為復(fù)連通區(qū)域類(lèi)似證明。注1：當(dāng)時(shí)，（其中是取正向的邊界曲線）例1：計(jì)算曲線積分，其中是圓并取逆時(shí)針?lè)较?。解：設(shè)（利用對(duì)稱性：積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱。被積函數(shù)是的奇函數(shù)）例2：計(jì)算，其中為曲線，從到的方向。解：添加輔助線段，取從到的方向，設(shè)，則注意：第二個(gè)等號(hào)前的負(fù)號(hào)，是因?yàn)榍€取的是負(fù)方向。點(diǎn)評(píng)：此題若用計(jì)算第二類(lèi)曲線積分的一般方法去做比較麻煩，如果利用格林公式把它轉(zhuǎn)化成二重積分，則計(jì)算比較簡(jiǎn)便。但在利用格林公式時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：1） 積分路徑要是封閉曲線；如果不是，要添加輔助線構(gòu)成封閉曲線后才能用公式，如例2；2） 函數(shù)在閉曲線所圍成的閉區(qū)域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)存在；3） 要特別注意積分曲線所選定的方向。例3：計(jì)算，其中為一條無(wú)重點(diǎn)，分段光滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線，的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?，圍成的區(qū)域?yàn)椤＝猓?）在的外面。2）在的內(nèi)部， 在的內(nèi)部作圓從變到。利用格林公式三、第二型曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件設(shè)開(kāi)區(qū)域是一個(gè)單連通區(qū)域，函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。為內(nèi)任意兩點(diǎn)，是內(nèi)從到的任意兩條光滑曲線，如果在內(nèi)恒成立，則稱曲線積分在內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。定理2：設(shè)開(kāi)區(qū)域是一個(gè)單連通區(qū)域，函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四條件等價(jià)：1）沿內(nèi)任意一條分段光滑閉曲線的曲線積分。2）曲線積分在內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。3）在內(nèi)為某一函數(shù)的全微分。4）等式在內(nèi)恒成立。證明：1）推出2）；2）推出3）設(shè)為內(nèi)固定點(diǎn)，為內(nèi)任意點(diǎn)，設(shè)因?yàn)榉e分與路徑無(wú)關(guān)，我們可以選折線來(lái)積分M0A的參數(shù)方程為，其中從變到y(tǒng)；的參數(shù)方程為其中從變到類(lèi)似可證明，所以3）4）：具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)相等4）1）：利用格林公式。例4：計(jì)算曲線積分，其中為沿?cái)[線從點(diǎn)到點(diǎn)的弧。（00華）解：，所以此曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。四、勢(shì)函數(shù)的概念及其求法（二元函數(shù)的全微分求積）例5:驗(yàn)證在整個(gè)平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，并求